Chương 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hệ luật bảo toàn Cho 2 C RP là một tap mở. Giả sử trên © xác đình hàm khả vi liên tục với giá trị véc-tở f:Q—> Re. Dang tổng quát của hệ luật bảo toàn một biến không gian là ut f{w,=0, z€lE,t>0, (11) trong đó ấn hàm uv = u{z,f),2 € #,t > 0 là một ham giá trị véc-tơ từ # x (0,00) vào 9: Wy Q được gọi là tập trang thái và các ham fi fa f=]. fy được gọi là các ham thông lượng.
Ta nói rằng hệ được viết dưới dạng bảo toàn. Dang tổng quát của hệ luật bảo toàn hai biến không gian là u; + ƒ(u), + g(u),=0, (x,y) € R?t>0. Dang tổng quất của hệ luật bảo toàn ba biến không gian là ty + flu), + g(u), +h(u), =0, (z,w,2z) € #°,£ >0. Gọi ma tran Jacobi cha f{u) là : isikSp 5 Người thuc hiện: Đặng Thị Thục Quyên Khóa luân tốt nghiệp Khi đó hệ phương trình bảo toàn {L1} được viết lai là u; + A(uju, = 0.
Hệ {1 được gọi là hyperbolic nếu với mỗi € 2, ma tran Afi) thừa nhân p giá tri riêng Mau) Às(u) SS Apu). Hon nữa, nếu tắt cả các giá trị riêng Ay là phân biệt: À¡(0} < Ag(u) < +++ < Apfel), thì hệ {1} được gọi là hyperbolic ngặt.2 Bài toán Cauchy, bài toán Riemann Bài toán Cauchy déi với hệ {1.1 là bài toán tìm hàm +: R x [Ú, ) > 2 là nghiệm của {1} thỏa mãn diéu kiện dau u(z,() = uạ(+), 2 ER.2) Dac biệt, nếu điền kiện dau có dạng hằng từng khúc up, © <0, uo(z) = u R, x>O0 4 Ũ thì bài toán Cauchy còn được gọi là bài toán Riemann. Phương Đình đối lưu thuyền tính I chiều ư, + (au)„=0, rER t>0, trong đó a là hing số cho trước, « = u(x,t) là ấn hàm can tìm thỏa điều kiện ban đầu (œ,Ú) = uạ(+), zœe€ BE. Theo B] ta có nghiệm của bài toán Cauchy này là ư{z,È) = tạ( — af), z€R £>0.
Với khí lý tướng đẳng entropy, ta có phương trình trang thái Đ=p(U} =KR-U”, w>U l<*+< s Khi đá Uu=|”|. Frø=[ ” ư p Vi du 3. Mô hình nước nông đáu phẳng h, + (ha), = 0, gh? (hu) + | hu? + >i = 0, zclRt>0, trong đó, A(x, t) là chiều cao tính từ đáy đến mặt nước, u{a,t) là van tốc dòng nước, g là hãng số trọng trường. Khi đó h hou Ư = | F(U)= gh? hu hu? + —— 1.3 Nghiệm cổ điển, nghiệm yếu Định nghĩa 1.
Ham vu: Rx (0,00) => 9 được gói là nghiệm cổ điển của bài todn Cauchy (1). {t3 nêu œ là hàm khả vi liên tực va thỏa mãn các phương trình {7.9) tại timg điềm. Xét bài toán Cauchy {L1}, {1.2} và giả sử uọ(z) € //E(/8)”. Giả sử u là nghiệm cổ điển và hàm y € Œ2°(R x Í0,s))".
Ap dụng công thức Green ta được = -[ | (ur + f(u),) dxdt o JR = LỊ (use + f(w)„) dadt + f ns(2)e(z,0)dz » R R Nghĩa là nghiệm cố điển œ thỏa mãn đẳng thức tích phan [ | (uy, + ƒ(u)ø;} dzát + / u(x, 0)¿{z,0]dz+ = 0.3} a JR R Rõ ràng {t3} có nghĩa chi với giả thiết uạ(z) € LER). Cho dit là ug trơn (thuộc lớp C?), thì tới một lúc nào đó, nghiệm u(x,t) sẽ "khong còn tron", ví dụ như phương trình Burgers. Do đó ta cần khái niềm "nghiệm yếu”. Trong khái niệm nghiệm yếu ta chỉ yêu cầu vp, u khả tích địa phương.
7 Người thực hiện: Đặng Thị Thục Quyên Khóa luân tốt nghiệp Định nghĩa 1. Hàm u € LEAR x 0,%])" dược gói là nghiệm tiếu của bài toán Cauchy {.4 Nghiệm của bài toán Riemann 1.41 Sóng sốc Sóng sắc kết nối hai trạng thái bền trái Ứy với trang thái bén phải Up là nghiệm yếu có dang + a. ) Un, 4 <at, U(a,t) = Up, a>et, (1.4) trong đó, vận tốc sốc o của sóng gián đoạn phải thỏa mãn bắt dang thức Lax sốc sau (Uy) > (Ur, Up) > (Un), i= 1,2. (15) Ta gọi là một i— vận tốc Lax sốc nếu vận tốc sốc ø = o{U,, UR) thỏa man bắt dang thức Lax séc.
Diéu kién Rankine-Hugoniot Sóng sắc là một nghiệm yếu của bài toán Cauchy khi va chỉ khi U,, Up, ¢ thỏa diéu kiện Rankine - Hugoniot — ø[U] + [F(U)] = 0, (1.2 Sóng giãn Theo 2}, một sóng giãn kết nối hai trang thai bên trái U’;, với trang thái bên phải Us, là nghiêm yeu có dang Uy, + = if, U{2z,th=< V (7) , &t<a< &t, (1.7) Trong đó, £ = „ và là một hàm trơn với Wf(£¡) = wy, V(£;) = tự. Tuy nhiên không phải với trang thái tùy ý nào của Ứy va Up cũng có nghiệm dang này. Trong trường hợp tổng quát, khi bắt đẫu tại trạng thái bên trái Ủy có za đường cong bao gỗm trạng thái bên phải Up có thể kết nối với Ủy bài một sóng giãn nếu AU. Trong 2} đã chứng minh được rằng, v= 8 Khóa luân tốt nghiệp Người thực hiện: Dang Thị Thục Quyên 1.5 Phương pháp số Lax-Friedrichs 1.1 Lược đồ Lax-Friedrichs Xót bài toán Cauchy (1.
ut flu) =0, z€IE. Ta phan hoạch phẳng x — t bằng cách chia déu thành các mắc lưới có độ rộng là h = Ax và một bước nhảy thời gian là & = At, và ta định nghĩa các điểm lưới phân biết (z;,£„) là #=J7h, 7=. ta cũng đình nghĩa #/+1/2 = ty + >= € + 5) h. h 1 Phương pháp sai phân hữu han sẽ tao ra day xap xi UP € #'" tien đến nghiệm w{z;,f„) tại những điểm lưới phân biệt.
Giá trị của nghiệm đúng được biểu thi bằng uy = u(x; Ea). Nhung khi md rộng các phương pháp cho các luật bảo toàn, người ta thường xem U? như một xắp xi trung bình tích phân của u(2,t,) được định nghĩa bdi 1 T/+L/? uw | {(z, t„)da.9) h #;—l/2 hơn JA một xắp xi giá trị từng điểm uP. Ham ban dau trong phương pháp số ta ding up{x) để định nghĩa 9, giá trị từng điểm U? = x? hoặc } = Tý. Hd sử ta đã có day {UƑ};¿z là xắp xỉ cho nghiêm yếu u(x,t) ở thời điểm t = ¢, tai các điểm nút r = #y.
Dé tìm dãy {U?*”},¿z xấp xỉ cho nghiệm yếu u(z,f£) ở thời điểm £ = fa + Af tại các điểm nút x = x; bằng phương pháp sai phân hữu hạn. ta chỉ cần xấp xi các đạo hàm riêng uy, và f{u), bởi các công thức sai phan thích hợp, chẳng hạn: ụm" _[n uy (rytu) —. U7)— FUG a - Roi rac hệ luật cân bằng w, + f(u), = 0, chẳng han: nh —U" .10) Tuy nhiên, phương pháp này khong chắc h" có hội tụ hay không. Do đó để dam bảo sự hội tu, người ta tiếp tục xắp xi UN Un US x Pas 5 ta thu được lược đồ Lax - Friedrichs yo, + Un, n9 - “9 Ï ) - s2+1) — £(UP.2 Sai số toàn cục và sự hội tu Chúng ta can quan tâm nghiêm số U} gan đúng với nghiêm chính xác như thé nào, khi đó ta có định nghĩa sai số toàn cục là sai phân giữa nghiệm đúng với nghiêm số.
Dé thuận tiên hơn trong việc nghiên cứu, ta thường xét sai số từng điểm như sau i? = U; ¬ uy.12) Ta cũng có ham sai số với [f¿(z,£) là hàm hằng từng khúc với mọi z và ¢ từ những giá trị phân biệt UP Ux(a,t) = UP với (x, t} € (w;_3,a5_1) X [fas Ea): {1.14} Với những định nghĩa này, ta nói một phương pháp là hồi tu theo một chuẩn |Í - || nào dé nếu || Ex(-, £)|| —> 0 khi k — 0.15) với mọi £ > 0 cỗ định, với mọi giá trị ban dAu wp. Trong bài khóa luân này, ta sử dụng chuan-1 với định nghĩa như sau, và kế từ đây về sau, khi nói đến chuẩn nghĩa là chuẩn-1 đã được định nghĩa. Cho một ham ludi phân biệt U" ta dùng chudn-1 được định nghĩa hải (orth =3— UF.16) J Ta cũng có thể hiểu theo ý nghĩa "li = WUC. Dat Hy(U") = ut 1 trong đó, U5! đại điện cho vecto xip xi {U?*'} tại thời điểm t,.
Giá tri UP*? tại những điểm j cu thể phụ thuộc vào mét vài giá trị từ U”, vì vậy ta viết ụm = Hy (U": 7). 10 Khóa luân tốt nghiệp Người thực hiện: Dang Thị Thục Quyên Vi dụ. Hàm Hy trong phương pháp có dang Hu(U"s5) = UP — sạc [KU — AUP]. Tuy nhiên, dé nghiêm số dat được tiệm cận đến nghiệm chính xác dua trên định nghĩa sai số toàn cục 1A một điển không đề, Thay vào đề ta sử dung sai số chặt cụt địa phương và su én định của phương pháp để ước tính sai số toàn cuc từ sai số địa phương.3 Sai số chặt cụt địa phương Sai số chặt cut địa phương L„(z./) là phép do độ tốt của mô hình phương trình sai phân so với phương trình vi phân một cách cuc bộ.
Và sai số chat cụt địa phương được định nghĩa bằng cách thay thế nghiệm xắp xi UP? trong phương trình sai phân bởi nghiệm đúng #(z,,fa). nghiệm đúng của phương trình vi phan riêng chỉ là một nghiệm xắp xi của phương trình sai phan. Nghiêm đúng thỏa mãn phương trình sai phân như thế nào tức là nghiệm chính xác của phương trình sai phan cũng théa man phương trình vi phan. Xét phương pháp Lax-Friedrichs che hệ phương trình tuyển tính w+ Au, = 0, vdi A là ma trận hãng.
Phương pháp này gần giếng với phương pháp khong ốn định nhưng chỉ thay thế U? bởi 1 — At .) và on định với —— đủ nhỏ. Ta viết lại phương pháp này dưới dang bảo toàn 3 irl Stsau: Ar =Ai. Nếu bay giờ ta " L7 bởi nghiêm chính xác tại những điểm tương ứng, về trái sẽ không đạt được bằng 0 một cách chính xác, mà thay vào đó ta được sai số chat cut địa phương là L,{2,t) = -7 [ute t+k}— (ul — Ù,!) + u(œ + h,ay] ++5Aljee(a +h, t)—ufla—h,t)).17) 2 ta có Theo |Ð || Laf-,£}||< Crk với mọi k < kp, (1.18) với hing số Cy phụ thuộc vào điều kiện đầu ug. Khi đó, phương pháp Lax-Friedrichs được gọi là chính xác cấp 1 vì sai số cục bộ phụ thuộc tuyến tính vào È.
Phương pháp là tương thích néu |E„(-.3 (On định), Phương pháp gói là ổn định nếu với mỗi thời gian T cá một hang số C, vit một giá trị ky > 0 sao cho HEI] < Cy vei mọi nk < T, k < ko.20) trong đó, chỉ số trên của Hy chi lũy thừa của nó và Fer] = mp HEU") |].21) Jom | ad II Người thực hiện: Đặng Thị Thục Quyên Khóa luân tốt nghiệp 1.4 “The Lax Equivalence Theorem Day là một. định lý cơ bản vẻ sự hội tu cho phương pháp sai phan tuyến tinh.