Luận văn: Nghiên cứu một số nhóm con của nhóm S7 - ĐH Sư Phạm TP.HCM

Khóa luận tốt nghiệp Toán Tin: Nghiên cứu một số nhóm con của nhóm S7. Tìm hiểu cấu trúc đại số, tính chất và ứng dụng của các nhóm con này.

• Tác giả: Lâm Hữu Phước
• Người hướng dẫn: TS. Trần Huyên
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán - Tin Học
• Đề tài: Một số nhóm con của nhóm S7
• Loại tài liệu: Luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2004
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• Lời nói đầu
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Nhóm, nhóm abel, cấp của nhóm
• 1.2. Nhóm con, nhóm con sinh bởi một tập
• 1.3. Nhóm con cyclic, cấp của phần tử, nhóm cyclic
• 1.4. Đồng cấu (nhóm)
• 1.5. Nhóm con chuẩn tắc (ước chuẩn), cái chuẩn tắc hóa, cái tâm hóa
• 1.6. Tác động của nhóm lên một tập
• 1.7. Nhóm con đẳng hướng và quỹ đạo phần tử
• 1.8. Phép thế và nhóm S7
• 2. 2: CÁC ĐỊNH LÝ, MỆNH ĐỀ
• 2.1. Các mệnh đề cơ bản về cấp và số phần tử
• 2.2. Định lý Sylow, các hệ quả và mệnh đề liên quan
• 2.3. Các mệnh đề liên quan đến tác động của một nhóm lên một tập
• 2.4. Các mệnh đề liên quan đến ước chuẩn và cái chuẩn tắc hóa
• 2.5. Định lý phân tích phép thế thành tích các vòng xích độc lập
• 3. MỘT SỐ NHÓM CON CỦA NHÓM S7
• 3.1. Các nhóm con cyclic trong S7
• 3.2. Nhóm con cyclic cấp 3
• 3.3. Nhóm con cyclic cấp 4
• 3.4. Nhóm con cyclic cấp 6
• 3.5. Nhóm con cấp 14
• 3.6. Nhóm con cấp 21
• 3.7. Các nhóm con Sylow trong S7
• 3.8. Một số nhóm con không tồn tại trong S7
• 3.9. Một số nhóm con khác trong S7
• 3.10. Nhóm con cấp 3
• 3.11. Nhóm con cấp 21
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Toàn cảnh luận văn nhóm S7 Nền tảng Lý thuyết Nhóm

Bài viết này cung cấp một phân tích chuyên sâu về chủ đề luận văn Toán Tin liên quan đến nhóm con của nhóm S7. Trọng tâm là khám phá cấu trúc phức tạp của nhóm đối xứng S7, một đối tượng trung tâm trong lý thuyết nhóm và đại số trừu tượng. Việc nghiên cứu các nhóm con không chỉ là một bài toán lý thuyết thuần túy mà còn mở ra những hiểu biết sâu sắc về các định lý nền tảng như Định lý Lagrange và Định lý Sylow. Nhóm S7, với cấp 7! = 5040, sở hữu một cấu trúc phong phú và đa dạng, là một đối tượng nghiên cứu đầy thách thức. Luận văn gốc của tác giả Lâm Hữu Phước đã trình bày một cách hệ thống các kiến thức chuẩn bị, từ định nghĩa cơ bản về nhóm, nhóm con, đến các khái niệm nâng cao như tác động của nhóm lên một tập hợp và nhóm con chuẩn tắc. Bài viết sẽ đi sâu vào việc xác định các tính chất cơ bản của S7, bao gồm việc phân loại các phần tử dựa trên cấu trúc vòng xích và cấp của chúng. Hơn nữa, tầm quan trọng của việc phân tích cấu trúc nhóm con sẽ được làm rõ, nhấn mạnh vai trò của nó trong việc kiểm chứng các giả thuyết và định lý trong đại số trừu tượng. Đây là bước đệm cần thiết để tiếp cận các vấn đề phức tạp hơn, chẳng hạn như việc chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của các nhóm con với cấp nhất định, một nội dung cốt lõi sẽ được thảo luận trong các phần sau. Việc hiểu rõ nền tảng này là chìa khóa để nắm bắt các phương pháp phân tích và ứng dụng của lý thuyết nhóm trong lĩnh vực Toán Tin hiện đại.

1.1. Khám phá nhóm đối xứng S7 và các tính chất cơ bản

Nhóm đối xứng S7, hay còn gọi là nhóm hoán vị trên 7 phần tử, là tập hợp tất cả các song ánh từ một tập 7 phần tử vào chính nó, cùng với phép toán là phép hợp thành ánh xạ. Cấp của nhóm S7 là 7! = 5040. Mỗi phần tử của S7 có thể được biểu diễn duy nhất (sai khác thứ tự) dưới dạng tích các vòng xích rời nhau. Cấu trúc này quyết định cấp của phần tử. Ví dụ, phần tử (1 2)(3 4 5) có cấp là BCNN(2, 3) = 6. Luận văn gốc đã chỉ ra rằng S7 có các phần tử với cấp là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12. Việc phân loại các phần tử theo lớp liên hợp trong S7 tương đương với việc phân loại chúng theo cấu trúc vòng xích. Hai phép thế là liên hợp khi và chỉ khi chúng có cùng cấu trúc vòng xích. Đây là một tính chất cơ bản nhưng vô cùng quan trọng, giúp đơn giản hóa việc đếm số lượng phần tử và nghiên cứu các nhóm con.

1.2. Tầm quan trọng của việc phân tích cấu trúc nhóm con

Phân tích cấu trúc nhóm con của một nhóm hữu hạn, đặc biệt là một nhóm lớn như S7, là một nhiệm vụ trọng tâm của lý thuyết nhóm. Theo Định lý Lagrange, cấp của mọi nhóm con phải là ước của cấp nhóm mẹ. Do đó, các nhóm con của S7 phải có cấp là một trong 60 ước của 5040. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng: không phải mọi ước của 5040 đều tương ứng với một nhóm con. Việc xác định xem một nhóm con với cấp cho trước có tồn tại hay không là một bài toán phức tạp. Hơn nữa, việc nghiên cứu các nhóm con đặc biệt như nhóm con chuẩn tắc (ví dụ, nhóm thay phiên A7), nhóm con Sylow, hay nhóm con cực đại cung cấp những hiểu biết sâu sắc về cấu trúc tổng thể của S7. Nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn là nền tảng cho các ứng dụng trong đại số máy tính, mật mã học và lý thuyết mã hóa, nơi cấu trúc của các nhóm đối xứng đóng vai trò then chốt.

II. Thách thức khi tìm nhóm con S7 Các cấp không tồn tại

Một trong những kết quả nghiên cứu quan trọng nhất trong việc phân tích nhóm con của nhóm S7 là chứng minh sự không tồn tại của các nhóm con ở một số cấp nhất định. Mặc dù Định lý Lagrange cung cấp một danh sách các cấp có thể có, nhưng nó không đảm bảo sự tồn tại. Luận văn gốc đã dành một phần đáng kể để chứng minh rằng S7 không chứa các nhóm con có cấp như 15, 35, 45, 63, 80, 90, 105, 140, và nhiều cấp khác. Công cụ chính để đạt được những kết quả này là Định lý Sylow, một bộ ba định lý mạnh mẽ về cấu trúc của các p-nhóm con Sylow. Bằng cách phân tích số lượng các p-nhóm con Sylow (ký hiệu là n_p) trong một nhóm con giả định G < S7, và đối chiếu với các điều kiện ràng buộc của Định lý Sylow (n_p ≡ 1 (mod p) và n_p phải là ước của chỉ số của nhóm con đó), nghiên cứu đã dẫn đến các mâu thuẫn logic. Chẳng hạn, khi xét một nhóm con cấp 15 = 3.5, định lý Sylow buộc nó phải có duy nhất một 5-nhóm con Sylow, biến nhóm con này thành một nhóm con chuẩn tắc. Tuy nhiên, khi xét trong S7, cái chuẩn tắc hóa của một nhóm con cấp 5 lại có cấp 40, mà 15 không phải là ước của 40, dẫn đến mâu thuẫn. Quá trình này cho thấy sự phức tạp và tinh tế trong việc áp dụng lý thuyết nhóm để giải quyết các bài toán cụ thể.

2.1. Áp dụng Định lý Sylow để chứng minh sự không tồn tại

Định lý Sylow là công cụ không thể thiếu trong việc khảo sát các nhóm hữu hạn. Giả sử G là một nhóm con của S7 có cấp |G|. Định lý Sylow đảm bảo sự tồn tại của các p-nhóm con Sylow cho mọi p là ước nguyên tố của |G|. Phương pháp chứng minh không tồn tại thường diễn ra như sau: Giả sử G tồn tại. Áp dụng Định lý Sylow để tính số lượng n_p của các p-nhóm con Sylow trong G. Thường thì, các điều kiện của định lý sẽ buộc n_p = 1, ngụ ý rằng p-nhóm con Sylow đó là nhóm con chuẩn tắc trong G. Khi đó, theo một mệnh đề trong lý thuyết nhóm, G phải là một nhóm con của cái chuẩn tắc hóa (normalizer) của p-nhóm con Sylow đó trong S7. Nếu |G| không phải là ước của cấp của cái chuẩn tắc hóa này, ta đi đến một mâu thuẫn. Luận văn đã áp dụng phương pháp này một cách hiệu quả để loại trừ hàng loạt các cấp khả dĩ.

2.2. Ví dụ điển hình Nhóm con cấp 35 63 và 80 trong S7

Để minh họa, hãy xem xét trường hợp nhóm con G cấp 35 = 5.7. Theo Định lý Sylow, số 7-nhóm con Sylow (n_7) phải thỏa mãn n_7 | 5 và n_7 ≡ 1 (mod 7), suy ra n_7 = 1. Do đó, G có một 7-nhóm con Sylow chuẩn tắc H. Điều này có nghĩa là G < N_S7(H). Trong S7, cấp của N_S7(H) là 42. Nhưng 35 không phải là ước của 42, dẫn đến mâu thuẫn. Tương tự, một nhóm con cấp 63 = 3².7 cũng sẽ có một 7-nhóm con Sylow chuẩn tắc duy nhất, dẫn đến mâu thuẫn tương tự. Trường hợp nhóm con cấp 80 = 16.5 phức tạp hơn. Nếu n_5 = 1, ta gặp mâu thuẫn vì |N_S7(H_5)| = 40. Nếu n_5 = 16, G sẽ có 16x4 = 64 phần tử cấp 5. 16 phần tử còn lại phải tạo thành một 2-nhóm con Sylow cấp 16 duy nhất, do đó là nhóm chuẩn tắc, nhưng |N_S7(H_16)| = 16, cũng dẫn tới mâu thuẫn. Các ví dụ này cho thấy sức mạnh của lý thuyết nhóm trong việc phân tích cấu trúc.

III. Phương pháp xác định p nhóm con Sylow của nhóm S7

Việc xác định các p-nhóm con Sylow là một bước cốt lõi trong luận văn Toán Tin về nhóm con của nhóm S7. Với |S7| = 5040 = 2⁴.3².5.7, ta cần khảo sát các p-nhóm con Sylow ứng với các số nguyên tố p = 2, 3, 5, và 7. Các 5-nhóm con Sylow và 7-nhóm con Sylow có cấu trúc đơn giản nhất. Vì cấp của chúng là các số nguyên tố 5 và 7, chúng đều là các nhóm cyclic. Luận văn đã tính toán được S7 có 126 nhóm con cấp 5 (các 5-nhóm con Sylow) và 120 nhóm con cấp 7 (các 7-nhóm con Sylow). Tất cả các nhóm con Sylow cùng cấp đều liên hợp với nhau, một kết quả trực tiếp từ Định lý Sylow. Việc phân tích các 2-nhóm con Sylow (cấp 16) và 3-nhóm con Sylow (cấp 9) phức tạp hơn nhiều vì chúng không nhất thiết phải là nhóm Abel. Nghiên cứu chỉ ra rằng S7 có 315 nhóm con cấp 16 và 70 nhóm con cấp 9. Việc xác định cấu trúc cụ thể và cái chuẩn tắc hóa của chúng đòi hỏi các kỹ thuật đại số trừu tượng sâu hơn. Phân tích các nhóm con Sylow không chỉ giúp hiểu cấu trúc của S7 mà còn là chìa khóa để chứng minh sự không tồn tại của các nhóm con khác, như đã trình bày ở phần trước. Quá trình này thể hiện sự kết hợp chặt chẽ giữa lý thuyết và tính toán trong nghiên cứu lý thuyết nhóm.

3.1. Phân tích 2 nhóm con Sylow Nhóm con cấp 16

Một 2-nhóm con Sylow của S7 là một nhóm con có cấp 2⁴ = 16. Sự tồn tại của chúng được đảm bảo bởi Định lý Sylow. Tất cả các nhóm con cấp 16 trong S7 đều liên hợp với nhau và do đó, chúng đẳng cấu với nhau. Mỗi phần tử có cấp là lũy thừa của 2 (tức cấp 2, 4, 8) đều phải nằm trong một 2-nhóm con Sylow nào đó. Luận văn đã đưa ra một ví dụ về nhóm con cấp 16 là nhóm được sinh bởi các phần tử {(1 2), (3 4), (5 6), (1 3)(2 4), (1 5)(2 6)(3 7)(4 8)} (trong S8) và cấu trúc tương tự có thể xây dựng trong S7. Một kết quả quan trọng là cái chuẩn tắc hóa của một 2-nhóm con Sylow cấp 16 trong S7 chính là chính nó, tức là |N_S7(H)| = 16. Từ đó, số lượng các 2-nhóm con Sylow trong S7 được tính bằng chỉ số [S7 : N_S7(H)] = 5040 / 16 = 315.

3.2. Cấu trúc 3 nhóm con Sylow Nhóm con cấp 9

Một 3-nhóm con Sylow của S7 có cấp 3² = 9. Theo lý thuyết về các nhóm cấp p², một nhóm như vậy phải là nhóm Abel: hoặc là nhóm cyclic Z_9, hoặc là tích trực tiếp Z_3 x Z_3. Vì S7 không có phần tử nào cấp 9, nên 3-nhóm con Sylow của S7 không thể là nhóm cyclic. Do đó, chúng phải đẳng cấu với Z_3 x Z_3. Một ví dụ điển hình là nhóm con được sinh bởi hai 3-vòng xích rời nhau, chẳng hạn như H = <(1 2 3), (4 5 6)>. Nhóm này gồm phần tử đơn vị và 8 phần tử cấp 3. Luận văn đã tính toán và chỉ ra rằng cái chuẩn tắc hóa của một 3-nhóm con Sylow trong S7 có cấp 72. Từ đó, số lượng 3-nhóm con Sylow trong S7 là 5040 / 72 = 70. Kết quả này phù hợp với điều kiện của Định lý Sylow, vì 70 ≡ 1 (mod 3).

IV. Hướng dẫn phân loại các nhóm con cyclic của nhóm S7

Ngoài các p-nhóm con Sylow, việc phân loại các nhóm con cyclic cũng là một phần quan trọng trong luận văn Toán Tin về nhóm con của nhóm S7. Một nhóm con cyclic là nhóm được sinh bởi một phần tử duy nhất. Do đó, cấp của nhóm con cyclic chính là cấp của phần tử sinh ra nó. Như đã xác định, S7 có các phần tử cấp 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, và 12. Điều này có nghĩa là S7 tồn tại các nhóm con cyclic tương ứng với các cấp này. Luận văn đã tiến hành đếm số lượng các nhóm con cyclic cho từng cấp. Ví dụ, số nhóm con cyclic cấp k được tính bằng cách lấy tổng số phần tử cấp k chia cho φ(k) (hàm phi Euler), vì mỗi nhóm cyclic cấp k có φ(k) phần tử sinh. Nghiên cứu này không chỉ dừng lại ở việc liệt kê, mà còn phân tích mối quan hệ liên hợp giữa chúng. Các nhóm con cyclic sinh bởi các phần tử có cùng cấu trúc vòng xích sẽ liên hợp với nhau. Bên cạnh các nhóm cyclic, nhóm con đặc biệt nhất của S7 chính là nhóm thay phiên A7. Đây là nhóm con chuẩn tắc duy nhất của S7 (ngoài nhóm tầm thường), có cấp 2520 và bao gồm tất cả các hoán vị chẵn. Việc hiểu rõ cấu trúc của A7 là cực kỳ quan trọng vì nó là một nhóm đơn, nền tảng của nhiều lý thuyết sâu hơn trong đại số trừu tượng.

4.1. Nhóm con cyclic sinh bởi các phần tử trong S7

Việc xác định các nhóm con cyclic trong S7 bắt đầu bằng việc phân loại các phần tử theo cấp. Luận văn chỉ ra S7 có 231 nhóm con cấp 2, 175 nhóm con cấp 3, 420 nhóm con cấp 4, 126 nhóm con cấp 5 (chính là 5-Sylow), 735 nhóm con cấp 6, và 120 nhóm con cấp 7 (chính là 7-Sylow). Các nhóm con này được phân thành các lớp liên hợp khác nhau tùy thuộc vào cấu trúc vòng xích của phần tử sinh. Ví dụ, một nhóm con cấp 2 sinh bởi một chuyển trí (ví dụ <(1 2)>) sẽ không liên hợp với một nhóm con cấp 2 sinh bởi tích của hai chuyển trí rời nhau (ví dụ <(1 2)(3 4)>). Việc phân loại này cung cấp một cái nhìn chi tiết về sự phân bố các cấu trúc nhóm con đơn giản nhất bên trong S7.

4.2. Nhóm thay phiên A7 Nhóm con chuẩn tắc duy nhất

Nhóm thay phiên A7 là tập hợp tất cả các hoán vị chẵn trong S7. Nó là hạt nhân của đồng cấu dấu sign: S7 → {+1, -1}, và do đó là một nhóm con chuẩn tắc của S7 với chỉ số 2. Cấp của A7 là |S7|/2 = 2520. Đây là một nhóm cực kỳ quan trọng vì với n ≥ 5, An là nhóm đơn (không có nhóm con chuẩn tắc nào khác ngoài nhóm tầm thường). Tính chất này làm cho A7 trở thành một trong những viên gạch xây dựng cơ bản trong lý thuyết về các nhóm hữu hạn. Mọi phần tử của A7 có thể được biểu diễn dưới dạng tích của một số chẵn các chuyển trí, hoặc tương đương là được sinh bởi các 3-vòng xích. Nghiên cứu nhóm con của nhóm S7 không thể hoàn thiện nếu không phân tích kỹ lưỡng cấu trúc và các nhóm con của chính A7.

4.3. Các nhóm con đặc biệt khác Cấp 40 42 và 21

Luận văn cũng chứng minh sự tồn tại của các nhóm con không cyclic đáng chú ý khác. Một ví dụ là các nhóm con cấp 40. Các nhóm này chính là cái chuẩn tắc hóa của các 5-nhóm con Sylow, N_S7(<(1 2 3 4 5)>). Vì tất cả các 5-nhóm con Sylow đều liên hợp, các cái chuẩn tắc hóa của chúng cũng liên hợp, do đó S7 có 126 nhóm con cấp 40. Tương tự, các nhóm con cấp 42 là cái chuẩn tắc hóa của các 7-nhóm con Sylow, và S7 có 120 nhóm con như vậy. Bên trong mỗi nhóm con cấp 42 này, tồn tại duy nhất một nhóm con cấp 21. Những nhóm con này thể hiện cấu trúc phức tạp hơn và cho thấy mối liên hệ mật thiết giữa các nhóm con Sylow và các nhóm con khác trong S7.

V. Ứng dụng của luận văn nhóm S7 trong Toán Tin và tương lai

Nghiên cứu về nhóm con của nhóm S7 không chỉ là một bài tập đại số trừu tượng mà còn có những ứng dụng và ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực Toán Tin. Việc phân tích cấu trúc phức tạp của một nhóm hữu hạn như S7 đòi hỏi sự kết hợp giữa tư duy lý thuyết và các công cụ tính toán. Đại số máy tính đã trở thành một công cụ không thể thiếu, với các hệ thống như GAP (Groups, Algorithms, and Programming) hay Magma cho phép các nhà toán học kiểm tra giả thuyết, liệt kê nhóm con, và tính toán các đặc tính của nhóm một cách hiệu quả. Luận văn, dù được thực hiện bằng phương pháp lý thuyết, đã đặt nền móng cho những khảo sát có thể được mở rộng bằng máy tính. Về mặt ứng dụng, lý thuyết nhóm hoán vị là nền tảng của nhiều lĩnh vực trong tin học. Cấu trúc của nhóm đối xứng được sử dụng trong việc thiết kế và phân tích các thuật toán sắp xếp, mạng hoán vị, và đặc biệt là trong mật mã học. Các hệ mật mã dựa trên cấu trúc nhóm, như mật mã ElGamal hay RSA, đều khai thác các bài toán khó trong lý thuyết nhóm. Hơn nữa, lý thuyết biểu diễn nhóm có ứng dụng trong xử lý tín hiệu và đồ họa máy tính. Hướng phát triển trong tương lai có thể bao gồm việc sử dụng các thuật toán như thuật toán Schreier-Sims để biểu diễn S7 và các nhóm con của nó trên máy tính, từ đó tự động hóa việc phân loại và tìm kiếm các cấu trúc con đặc biệt, mở ra những hướng nghiên cứu mới.

5.1. Vai trò của đại số máy tính trong nghiên cứu lý thuyết nhóm

Đại số máy tính là cầu nối giữa lý thuyết và thực hành trong nghiên cứu nhóm. Các hệ thống như hệ thống GAP cung cấp một môi trường mạnh mẽ để định nghĩa các nhóm hoán vị, tìm các nhóm con, kiểm tra tính chuẩn tắc, tính toán cái tâm hóa và cái chuẩn tắc hóa. Đối với một nhóm lớn như S7, việc kiểm tra thủ công mọi khả năng là không thể. Các công cụ này cho phép xác minh các kết quả lý thuyết trong luận văn, chẳng hạn như số lượng các p-nhóm con Sylow hoặc cấp của cái chuẩn tắc hóa. Hơn nữa, chúng có thể giúp khám phá các mẫu hoặc cấu trúc mới mà lý thuyết thuần túy có thể bỏ qua, định hướng cho các chứng minh toán học trong tương lai.

5.2. Lý thuyết nhóm S7 và ứng dụng trong mật mã thuật toán

Mặc dù S7 không trực tiếp được sử dụng trong các hệ mật mã phổ biến, các nguyên lý nghiên cứu nó lại có giá trị ứng dụng cao. An ninh của nhiều hệ mật mã dựa trên độ khó của các bài toán trong nhóm, chẳng hạn như bài toán Logarithm rời rạc. Việc hiểu sâu sắc cấu trúc nhóm con giúp đánh giá độ phức tạp của các bài toán này. Trong lĩnh vực thuật toán, các hoán vị và nhóm đối xứng là trung tâm của các bài toán liên quan đến sắp xếp và tìm kiếm. Thuật toán Schreier-Sims là một ví dụ điển hình về thuật toán trong lý thuyết nhóm tính toán, cho phép giải quyết hiệu quả bài toán xác định một phần tử có thuộc một nhóm con sinh bởi một tập hợp cho trước hay không. Nghiên cứu lý thuyết về S7 cung cấp kiến thức nền tảng để phát triển và tối ưu hóa các thuật toán như vậy.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1. KIEN THUC CHUAN BỊ Chứng minh. Nếu A 4Ó, BG, thì với mọi a € A, b€ Ö, ta có aba“'b-! = (aba~')b-' c B aba"b-! = a(ba-"b-") € A DoAN B = {e} nên aba“!b~! = e, Vì thé ab = ba, Va € A,Vb € B. Do vậy, chỉ cần chứng minh mệnh dé với điều kiện (i).

Xét ƒ : AxB — G (z,y) — zy ƒÍ(rì.WA)(Za0)) = f(fi-Zz.a) Do đó, f là đồng cấu nhóm.B =G nên ƒ là toàn cấu. Mặt khác, AN B = {e} nên ta có zr=e y=e = y=e <=> (1,0) =(e,e) tức là kerƒ = {e} Vậy, f là đẳng cấu.3 Các mệnh đề liên quan đến tác động của một nhóm lên một tập Mệnh đề1. Giả sử nhóm Œ tác động lên tập S , s vis’ là các phần tử thuộc S va y là phần tử thuộc Œ sao choys = s'. Khi đó, các nhóm đẳng hướng của các phần tử s va s' liên hợp nhau.

Xét tập Œ,u~`, ta có: Vz € Œ,y~! thì z = yxy, 2, € G,. Do đó as’ = (wryU”`)s° = yz\(wˆ`3') = yris = y(zis) = ys = # tức là Œ„w~' giữ s’ khong đổi. Tương tự, /ˆ!G„ giữ s có định. Vì thế, ta có ŒG,w"! cGy y'Gyy C G, hay Gy C ụG,` Từ đó suy ra Gy = yG,y"! I8) 12 Luận vitn tốt nghiệp CHUONG 1.

KIÊN THUC CHUAN BỊ Hệ qua 1. Cho G là nhóm, H là nhớm con của G, x, a là các phần tử của Œ. Khi đó ta có () z0,2°* = Cras! (zt) zN,z"! = Nene) Chứng minh. Ap dụng trực tiếp mệnh dé trên cho trường hợp G tác động liên hợp lên chính nó và các nhóm con của nó, ta có điều phải chứng minh, n Hệ quả trên có thể phát biểu lại như sau: Cho Œ là một nhóm thế thì (i) Nếu hai phần tử liên hợp nhau trong G thì cái chuẩn tắc hóa của chúng cũng liên hợp nhau trong G.

(ii) Nếu hai nhóm con liên hợp nhau trong G thì cái chuẩn tấc hóa của chúng cũng liên hợp nhau trong G. Nếu G là một nhóm tác động lên tập S và s € S, thì số phần tử của quỹ dao Gs trùn ớt chỉg số (G : G,) Chứng minh. Xét tập thương G/G,, ta có Nếu x và y cùng nằm trong một lớp ghép theo G, thì zs = ys và ngược lại, z và y không cùng nằm trong một lớp ghép thì zs # ys. Thật vậy, ta có zŒ, =G, «> y'reG, = (y 'r)s=s = y Ì(zs)=s = 19 =J/4 (1.1) Vì thế ta được ánh xạ ƒ:G/G, — Gs cho bởi cong thức ƒ(zŒ,) = zs Tit (1.1) ta được f là đơn ánh, và rõ rằng f là toàn ánh.

Do đó, ƒ là song ánh, vì thế, số phần tử của Gs bằng số lớp ghép theo Œ,. Ta có diều phải chứng minh. Giả sử nhóm hữu han G tác động bằng liên hợp lên tập các nhóm con của nó, H là nhóm con của G, thì số các phần tử liên hợp với H là r= — J@l \Nu| 13 Luận vấn tốt nghiệp CHUONG 1. KIÊN THUC CHUAN BỊ Mệnh dé 1.

Giả sử nhóm G tác động lên tập S hữu hạn. Khi đó, ta có công thức phân tích thành các quy dao sau card(S) = 5 ˆ(G : G„) el vdi card(S) là số phần tử của tập S va I là tập chỉ số nào dé. Gid sử G tác động lên tập S. Khi đó, hai quỹ đạo đối với nhóm G hoặc khong giao nhau hoặc trùng nhau.

Thật vậy, nếu Gs, và Gs, là hai quỹ đạo với phần tử chungs , thìs = zs, dối với một phần tử z nào đó thuộc G, và do đó Gs = Grs, = Gs,. Tương tự, Gs = Gs. Vì vậy, S là hợp của các quỹ đạo đôi một không giao nhau, và ta có thé viết S= Gs, (Gs, đôi một không giao nhau) ie1 trong đó, J là tập chỉ số nào đó và s, là các phần tử của các quỹ đạo khác nhau. Do S hữu han, ta được sự phân tích cắp của tập S thành tổng các cắp của các quỹ đạo, tức là card(S) = 3 ˆ(G : G„) el n Hệ quả 1.

Giả sử nhóm hữu hạn Œ tác động bằng liên hợp lên tập các nhóm con cắp m của nó, H, là các đạt điện của các lớp liên hợp các nhóm cơn của Œ có cắp m. Goi n là số nhóm cơn của G có cấp rn. Thế thì ta có |G] cat > |Nm. G là nhớm hữu hạn, G tác động lên chính nó bằng các liên hợp.

Khi đó (G:1)= 9 `(Œ : G,) xéC trong đó, C là tập các dai diện của các lấp khác nhau của các phần tử liên hợp. Công thức trên gọi là công thức các lớp. Cho nhóm G tác động lên tập S. x, y, z là các phần tử thuộc S.

Nêu +€Œ: vay € Gz thir € Gy vay € Gr. H Luận văn tốt nghiệp CHUONG 1. KIEN THUC CHUAN BỊ Chứng minh. Ta có x € Gz thix = az với a € G nào đó, và tương ty, y € Gz thi y = bz với bE G nào đó.

Từ đó suy ra + = ab'ye Gy y = ba ly€ŒGz 0 Hệ quả 1. Giả sử một nhớm G tác động lên chính nó bằng các liên hợp. Khi đó, nếu hai phần từ cùng liên hợp với tmột phân tử thứ ba thì chúng liên hợp với nhau 1.4 Các mệnh đề liên quan đến ước chuẩn và cái chuẩn tắc hóa Mệnh đề 1. Cho G là một nhóm, H là nhóm con của Œ, K là ước chuẩn của HỈ.

Khai dé, H là nhóm con của Nx Chứng minh. Ta có Nx ={xr€G:2Kr"' = K} Lay z € H thizKzTM' = K, do đó, z € Nx. và vi vậy, HC Nx. Mặt khác, do H có c&u trúc nhóm nên ta được H < N.

Cho G là một nhóm hữu hạn. H, K là các nhóm con của Œ, H là nhớm con của K, |H| =n, va trong K chỉ có duy nhất mot nhóm cơn cắp n là H. Khi đá, Nx là nhóm cơn của Nz. Ta có Nx ={z€G:2Kr' = K} Nw ={z€G:xHz"` = H} Cho G tác động bằng các liên hợp lên tập các nhóm con của nó, thì Yr€e Ny,zHz"ì = Hị < K Do tác động này là song ánh nên |H,| = |H| = n, mà trong chỉ có một nhóm con cắp n là H nên H, = H.,zHr"' = H Do vậy, Nx C Ny.

Mặt khác, Nx có cấu trúc nhóm nên Nx <= Nu 15 Luận van tốt nghiệp CHUONG 1. KIÊN THUC CHUAN BỊ Mệnh đề 1. Cho p la số nguyên tố bé nhất chia hết cắp của nhóm hữu hạn Œ, và H là nhóm cơn chỉ số p. Khi đá, H là nhóm con chuẩn tắc của G.

Ta có H C Ny, vì vậy (G : Ny) là ước của (Œ : H) suy ra (G: Ny) = 1 hoặc (Œ : Ny) = p. Nếu (G: Ny) = 1 thì G = Ny và H là nhóm con chuẩn tắc của G. Suy ra Ny = H. Cho G tác động bằng các liên hợp lén tap các nhóm con của nó.

Khi đó, theo hệ quả 1.4 thì GH có (G : Ny) = p phần tử. Gọi S, là nhóm các phép thé của GH. Với mỗi x € G, tương ứng a*\|Ha ——+ x-'a-'Har là song ánh. Thật vậy, ta có a;' Ha, = a;` Haạ a,a;'Ha,a;' = H [1 1 aa;' € Ny aạzz"!ar! € Ny (aaz)(ayz)~! € Ny (agx)~'H (agr) = (a,z)~*H (az) z*!az! Haạz = z*'ar'Hayz Suy ra tương ứng trên là ánh xa và là đơn ánh, do đó né là song ánh (do GH là tập hữu han), hay nói khác di, f, € S;,Vz€ G.

Xét ánh xạ ƒ:G =m % arfe Vì fas = ƒa.ƒ, nên ta có ngay f là đồng chu nhóm. Nếu a € ker f thi f,(H) = H, suy ra a"!Ha = H, cho nên a € Ny = H. Bỏi vậy, ta có ker ƒ C H. Bây gid ta chứng minh (H : ker f) = 1 (tức là H = ker /).

That vậy, giả sử (H : ker ƒ) > 1, khi đó gọi g là ước nguyên tố của (H : ker f), theo mệnh đề 1.q là ước của (G : kerf). Mặt khác, Œ/ ker ƒ = Imf C S, nên (Œ : ker ƒ) là ước của pl. Bởi vậy, ta có pạ|p!. Suy ra gÌíp — 1)!, do đó, q < p, trái với giả thiết bé nhất của p.

Vậy, phải có H = ker f, tức H là nhóm con chuẩn tắc của G, cho nên Ny = G. Thế nhưng điều này trái với giả sử ban đầu của ta là (G : Ny) = p. Tóm lại, ta luôn có (G : Ny) = 1 tức là H là nhóm con chuẩn tắc của G. n 16 Luận van tốt nghiệp CHƯƠNG |.

KIEN THỨC CHUAN BỊ 1.5 Định lý phân tích phép thế thành tích các vòng xích độc lập Vòng xích và chuyến trí Cho f là một phép thé bậc n. Nếu ƒ viết dưới dang i=(% Q@z *** Am Gm Omyi *** 2] đạ Ay t's Am Gy Amer oe Ay thi ƒ được gọi là vòng xích độ dài m và ta viết đơn giản ƒ = (aiđạ. Vòng xích độ dài 1 là phép thế đồng nhất ls, = (1) = (2) =. Vòng xích độ đài 2 gọi là phép chuyển trí.

Hai vòng xích ƒ = (d;d;. bx) gọi là độc lập nếu {01, đa, ., by} = Ø Dé thấy rằng phép nhãn các vòng xích độc lập có tính chất giao hoán. Moi phép thé bậc n khác phép thé đồng nhất déu phân tích được duy nhất (không kể thứ tự) thành tích các wong zích độc lập độ dài lớn hơn hoặc bằng 2. Từ định lý này ta có nhận xét sau Nhận xét: Nếu ta có các phần tử ay, đạ,., a„(tm <n) thì chúng sẽ tạo ra (rm — 1)! phép thế khác nhau có dạng vòng xích độ dài m.

Thật vậy, m phần tử ay, a¿,. ,đ„, tạo ra m! vòng xích. Tuy nhiên, ta có (44343 - - - yy) = (203 - - + Gq Qy) = - -‡ = (đmđg - - + đa —2@m—1) tức là ta sẽ có các bộ m vòng xích bằng nhau, hay một phép thế được thể hiện bởi m vòng xích. Từ đó, suy ra số phép thế khác nhau có dạng vòng xích là (m — 1)! Nếu một phép thế được biểu diễn bởi tích & vòng xích độc lập, thì do tính giao hoán trong phép tích các vòng xích độc lập nên một phép thế như thế sẽ có k! cách biểu diễn.

Mọi phép thé đều phân tích được thành tích các chuyển trí. (i) Dấu của một phép chuyển trí bằng -1. (ti) Ham sign có tính chất nhân, tức là sign(f.sign(g) 17 Luận van tốt nghiệp CHUONG 1. KIEN THÚC CHUAN BỊ Hệ qua 1.