CHƯƠNG 1: KIÊN THỨC CHUAN BỊ Định nghĩa 0.1 Cho G là một nhóm va cho x,,x, là những phần tử của G. Khi đó, hoán tứ của x, vả x, được định nghĩa la x, 'x,"'x,x,. Tổng quát, một hoán vị đơn giản của n phần tử (n 22) được định nghĩa một cách đệ quy [ x,.x„ |= li nh trong đó [x,| = x,.1 Cho x, y, z là những phản tử của một nhóm Khi đó: 6 [xz]=[x+]' i) [ø]=|xzƑ(sz} [s3z]=[sz|[sy} đủ) [x,y"]= ([x.»Ƒ = (x12 xz) 2" (xy tay) 2 = 2 (yz) x02) = [2,92] Gil) [Jaa] =x"(y!) on") (ety) = =[xz"] = Í~»}' Ì [x!z]x2Ƒ” =e) yey) (eyo) = =>[x',y] =[I~»† Ì (iv) Đặt w = xzv 'yx v= yy"'zay w= zyz`xz Ta có: [xz'zÏ =y' [=xT z*[x»']:)» = yx ty") zˆ'x yxy ey = ESS yay"'zy = uy i [ets] =z'(*] z1(»z'}‡) tte ie le [z, x CÀI =x ‘(Lex 'T'y *{zx']y): =x'(z xa" tÌ y*z xxx Kh SE Ác8 ws Vậy [z. yi} [ „zxÏÏ gs v] =u'w'ww'u=1 Định nghĩa 0.
là những tập con khác rỗng của nhóm G. Nhóm con hoán tử của X, và X; được định nghĩa là [X,„X, ]“ ([x„x; ]Jx, € Xx, €X;). Nhân xét; Từ mệnh dé 0.2 Cho X là tập con và K là nhém con của một nhóm. là nhóm con được sinh bởi tất cá [x,*,]” (xe X,k, e K,k, e K) [X,K] là nhóm con được sinh bởi tất cả [x,k](x X,„k e K) [x.K]”,Vx e X,k e Theo mệnh để 0.Y|Í là nhóm con được sinh bởi tất cả những phẩn từ [x,y]' với xeX,yeYkek * Chứng minh [Y, |< [x.y] Xét [x,k]e[X,K] với xe X kek Vì K =(Y) nên ta có thé viết k = yƒy§'.vÉ*, với y, e Ÿ„£, = +l Nếu m=1 thì [x,k]=[ x,y# |e[X.x# [eal Ta chứng minh [x,È„.Y +Nếu m > 2 thi lặp lại quá trình trên và do [x,k]e[X,Y]“ khi & = y“ nên ta nhận được kết quả [x,* ] e[.2 Cho H và K là nhém con của một nhóm Nếu H =(X),K=(Y) thì [H.
Chứng minh Theo mệnh đề 0.3 Cho p là một số nguyên tố. Một nhóm hữu hạn được gọi la p-nhdm nếu cấp của nó là p” (m >0). H{(x)={ø 'xe | g GÌ được gọi là lớp liên hợp của x. That vay ye H (x)= 3g, €G:y = g¡ X8, = x = BoB Ta co; vụ 'xg € H(x):g 'xe = 8 '(øayei')e =(&š'8)` »(gi's)e H(y) Vụ 'ygc H(x):gˆ'yg = 8 '(8s xø,)ø = (a8)” y(ssg) € H(z) Vậy H(y)= H(x).
Vậy G được chia thành các lớp liên hợp. Thật vậy: xeCG = gx = xg,Vg €Œ = x= ø 'xø,Vg eG => H(x) ={g'xg | g cG} ={x} * Đặt C, (x) ={e €G| xe = gx} thì C,(x) là nhóm con của G. Thật vậy: +C,,(x) #Ø (vi xeC„(x)) +C,(x)sG + Wờ SG) 2] 9M =>(g"'y)x=g"' (9x) = 9" (xy) =("'x)y =(xe") y= x(ø"y) => g'yeC,(x) Do đó C,,(x) là nhóm con của G.3 Cho G là một nhóm, x EG. œ được định nghĩa tốt Wg (x) = zC¿ (x)=> ey" = g EC, (x) z = By a(zC¿(x))= z 'xz = (gy) x(a) = y"(ø 'xg)y = y 'xy (vì g EC, (x)) ° œ đơn ảnh 10 a(yC,,(x))=a(2C,(x)) =y 'xy=z”`xz z(y"xy)y" =z(z'z)y" => (zy"')x = x(zy")= zy" © Cy (x) = yC¿ (x) = zC¿ (x) Vậy œ đơn ánh.
* œ toàn ánh Vự'xg = ye H(x)— 3§C, (x):e(øC, (x))= 9°38 = y Vậy ø toàn anh. Do đó ø là một song ánh tử tập những lớp ghép trái của C, (x) vào H(x). Từ đó suy ra |G: C, (x)|=|H(x)].4 Một p-nhóm hữu han không tâm thường có tâm không tâm thưởng. Chứng minh Giả sử G là một p-nhóm hữu hạn không tim thường, có cấp là p”(m 21) và có k lớp liên hợp phân biệt.
Giả sử số phan từ của các lớp lần lượt là »,,m,.k), với x, là phần tử nào đó thuộc lớp liên hợp thir i, Vì G là nhóm hữu hạn nên theo định ly Lagrange ta có n, là ước của |G|= p", hay n, = p'(i, e0,m). Do G có k lớp liên hợp phân biệt nên có: pTM =|Gl=n, +n, +.+ m Ta giả sử G có tâm tầm thưởng, tức là CG =1. Theo nhận xét (iii) trong định nghĩa 0.4, ta có //(1) = {1} là lớp liên hợp duy nhất của G có một phần tử. Tức là tổn tại duy nhất 1, = lÚ =0) Suy ra p" =n, +n, +.+n, = Ìmod p => m= 0(vô ly) Vậy €G #1 Định nghĩa 0.5 Một nhóm G được gọi là thỏa điểu kiện max nêu mọi họ khác rỗng những nhóm con của G, xếp thứ tự theo quan hệ bao ham, đều có phần tử tối đại.5 Nếu N 4G và N,GIN thỏa mãn điều kiện max thi G cũng thỏa man điều kiện max, Chimg minh Giả sử H, < H, <.<G là một chuỗi các nhóm con của G.
Khi đó với N, =H, ON thì N, <N, <.<N là một chuỗi các nhóm con của N H,N/N <H,N/N <.<G/N là một chuỗi các nhóm con của G/N Vì N.G/N thỏa mãn diéu kiện max nên tổn tại r > 0 sao cho H,AN#=H,,,0N HN = H,,,N albe) ay i=1,2,.) Vậy G thỏa mãn điều kiện max.6 Nhóm G thỏa điều kiện max khi và chỉ khi mọi nhóm con của nó đều hữu han sinh. e G là nhỏm thỏa điều kiện max, ta chứng minh mọi nhóm con của G đều hữu hạn sinh 12 Dùng phản chứng. Giả sử H là một nhóm con không hữu hạn sinh của G. Lay he H, thì H,=(h)¢H và tồn tại h, €H\H,.
Chọn h, e H\H, thì H, < H; < Hà = (h,,h,. Cứ như thé ta xây dựng được một chuỗi vô hạn các nhóm con của H, hay đó là một chuỗi v6 hạn các nhóm con của G. Điều này không thé xảy ra. Vậy H phải hữu hạn sinh se G là nhóm có tinh chat: mọi nhóm con của nó đều hữu hạn sinh.
Ta chứng minh G thỏa điều kiện max. Giả sử có một chuỗi vô hạn các nhóm con của G: H, < H, <. Khi đó H cũng là một nhóm con của G nên hữu hạn sinh. Giả sử H được sinh bởi tập hữu hạn {x,„x;,.
Với một số n đủ lớn thi mọi x, đều thuộc vào H,. Vì vậy H =H, Vậy G thỏa điều kiện max. Đặc biệt: G thỏa điều kiện max thì G hữu hạn sinh. G là nhóm cyclic thì G thỏa điều kiện max.7 ' Cho H là nhóm con và N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G.
Khi đó NOH 4H và (NrxH)xt> Nx là một đẳng cấu từ H(NrvH vào NHỊN. Chứng mình a@:x+ Nx là một toàn cấu từ H lên NH/N Kera ={x€ H |a(*)= lu,y} ={x e H| Nx =1u,„} ={xeH|xeN}=NAH Do đó NOH 4H và H/NOH = NH/N (định lý đẳng cấu Noether). N là những nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và cho N <M .' Khi đó MỊN <G/N và (G/N)/(M/N)=G/M. Chứng minh a:G/Ne G/M Nx @(Nx) = Me œ được định nghĩa tốt, vi: Nx = Nx'=> x'€ Nx= x'=nx(ne N) => a@(Nx') = Mx' = M(nx) =(Mn)( Mx) = Mx = a(x) (do ne NSM) > œ là đồng cấu ) = Mẹ =(M).
H được gọi là nhóm con đặc trưng trong G nếu và chỉ nếu a(H)< H,Ya e AuG. Nhân xét Néu H la đặc trưng trong G và œeAwG thì a(H)=H (vi ø(H)< H,#'(H)< H) 14 Định nghĩa 0. H được gọi là nhóm con bắt biến day đủ của G nếu va chỉ nếu H a(H,Y a) s e End G.9 Mệnh Nếu H là đặc trưng trong K và K 4G thì H aG Chứng minh: Với mỗi g eŒ ánh xạ: œ:/“—X k E—>a(k)=ø"'kg là một đẳng cấu trên K. Vi H là một đặc trưng trong K nên a(H)=H =>g'Hg=H Vậy HaG Mệnh dé 0.10 Nếu G là một nhóm cyclic hữu han, H là nhỏm con cấp nguyên tổ p của G thi H là nhóm con đặc trưng trong G Chứng mình VxeH x?=l Vae AwG, ta có 1= ø(I)= œ(x?)= (ø(x))”, mà p la số nguyên tố nên a(x) có cấp là 1 hoặc p.
Vì vậy a(x) H (H là nhóm con cấp nguyên tố p duy nhất,của G) Vậy H là nhóm con đặc trưng trong G. l§ CHƯƠNG 2: MỌT SÓ LỚP NHÓM QUAN TRỌNG 1. Nhóm giải được 1.Định nghĩa và cúc tính chit co ban Định nghĩa 1.1 Một nhóm G được gọi lá nhdm giải được nêu có một chuỗi các nhóm con 1=G, $G,s.$G, =G sao cho G, 4G,,, và mỗi nhóm thương G,,,/G, (i= 0,n-1) là nhóm abel. Chuỗi trên còn được gọi là chudi abel.
Vị dụ: i, Nhóm abei lá nhóm giải được. ii, Nhóm đổi xứng S, là nhóm giải được (không abel), với chuỗi chuẩn tắc e=G, SG, SG, =S,, trong đó G, = ((123)).2 Cho G là một nhóm giải được. Chiểu dai chuỗi abel ngắn nhất của G được gọi là chiều dài đạo hàm.3 Cho G, H là nhóm. Khi đó, E được gọi là mở rộng của nhóm G nhờ nhóm H nếu có N4E saocho NaH và E/N=G Mệnh: dé 1.1 Cho nhóm G và H <G.
Khi đó: () Nếu G là nhóm giải được thì H là nhỏm giải được (ii) Néu G là nhóm giải được thi G/N là nhóm giải được (iii) Nếu N,G/N là nhóm giải được thì G là nhóm giải được 16 Chứng minh (i) G là nhóm giải được nên có chuỗi abel 1 =G, <Œ, <.<G, =G Với ¡el,n~I, đặt , =G HH Theo bổ dé 0.7, ta có: sH=Gn¬H=(G.aH,4H„„ vet (i=1n-1) 0H, /H, =H, /G OH, =GH,./G, =G(G,, H)(G,<G,/G, => H,,,/H, abel Vậy H có chuỗi abel | = H, < H, <.< H, = H, hay H là nhóm giải được. (ii) G là nhóm giải được nên có chuỗi abel | = G, < G, <. Do N là nhóm con chuẩn tắc của G nên ta có G 4G„M(¡=0,n~1) và NsaGN (¡ = 0.n) Do đó theo mệnh dé 0.8 ta có: ¢N/N =GNÍN aG,NÍN 4.N =G,,,/G,,, AGN =(G,,,/G,)/(G,, AGN/G) Do G,,/G, là nhóm abel nên (G„,/G,)/(G„,AG,N/G,) là nhóm abel, Do đó G,,N/G,N là nhóm abel. Vậy G/N là nhóm giải được.
(iii) N là nhóm giải được nên có chuỗi abel 1= M, < N, <.< N„ = G/N là nhóm giải được nên có chuỗi abel NỊN =G,/N $G,[N<.$G,/N =G/N Từ dé ta có l= N, < N, S.<G, =G, trong đó N,,,/N,(i=0,n—1) là nhóm abel 17 G,.,/N)/(G,/N) là nhóm abel Vậy G là nhóm giải được.1 Cho G, H là nhóm E là mở rộng của nhóm G nhờ nhóm H. Khi đỏ nếu H, G giải được thì E giải được. Chứng mình E là mở rộng của nhỏm G nhờ nhóm H nên có NE sao cho Ne2H và E/N šG. Do H, G giải được nên N,E/N giải được.
Theo mệnh dé 1.1(0¡) ta có E lả nhóm giải được Mệnh đề 1.2 Tích của hai nhóm con chuẩn tắc, giải được là một nhóm giải được. Chứng minh Cho M aG,N 4G vả M, N là nhỏm giải được. Ta cần chứng minh MN giải được. Theo mệnh dé 0.7, ta có MAN <M và MN/N=M/MAN Vì M giải được, MAN <M nên theo mệnh để 1.1(ii) ta có AZ/AZZ+N là nhóm giải được.