Chương Il sẻ xem xét một cách tiếp can da trị định lý Pakas và sau đó là áp dụng của định lý này vào bài toán QHTT từ đó cho ta kết luận vẻ sự tỏa tại aghiern của cap bài toán QHTT doi ngau khong đôi xứng. Chương cuối trình bay tính dat được, điều khiển được của các hệ bao hain thức sai phán và he đừng mà chủ yếu sẽ là xem xét hai van để chính - khí nào he dat được, điệu khiển được ? Đó là toàn bo nội dung của lian van này, Trong khí trình bay. những van để nào được trích đán sẻ có ghi cụ thé nguồn góc và nhừng vấn để đó chỉ được nêu kết quả. phân lớn không chứng mink: luận vấn chỉ néu và chứng minh nhưng ket quả ma ching tôi tim được.
Xin được kết thúc phan md đầu bằng một vài ghi chú thong what vẻ ký hiện chung: + Cac khát nigm và thuật ngữ vẻ Gidi tích ham chúng 101 ding theo Phan Die Chinh [2]. Trang | Pte Sertoli pe De tro + Cy khát mage và gt npÉ vẻ Gai teh der chủng tor dưng thes Kockatellar [Of «HH dùng de chi guả coum và qui cau đóng đơn vị trong khong gián dink chon, + N° là khong gian hen hop của khong gian định chuẩn NÓ với mọi x eX’ thi <\+_x>dinp đc chi ghí trị của phim hams tary «MP ba các (ap con khác ròng của khong gian định chuân N | N Các nón đồi cực hát; ona Me, P 1à Mi=({x eN `:<v.x>>0,VveP| ky luc MEP Tá các non đối cực am của MP xác định bái: Me MM. P=«-P’ Now dain va adn lùi xã cua tập M ky higu bOM) và ree M >: WM)=(neN sayin per) rect Ma = [YM] trong đó oy) là ham te của tap M. Do là ham số từ NỔ vào tap so tue id rong xúc định bởi Øw(X` ) = sup{(<x.x»>:xe MỊ Ngoai đa: nM) =()AM A” Cuo cing em xin bay tô lòng bict On sâu sắc đến thay Trịnh Công Điệu da het ag giúp dé em hoàn thành luận van này [rong quá trình làm em có tham khảo một số tài liệu, xin gửi đến các tác giả lời cảm ơn sâu sắc.
Em xin chân thành cảm ơn các thay có trong Khoa Toán - Tin học trường ĐHSP Tp.HCM da tio điều kiện cho em hoàn thành luận vấn nay TPHCM. ngày 310 tháng † nani 2002 SVTH > Bi The Anh Trang 2 | an vận Bột etep Dias lọc CHUONG kL: ; TÍNH LIÊN TUC VÀ TAP BAT BIEN CUA ANH XA DA TRI §LSOSANH CÁC TOPO 1.Khái niệm không gian t6pé: Cho X là mot tap hợp Mot ho 7 những tap hợp con của X được gọi là một topo trên X neu ho 7 thỏa các dieu Kien: I)@ €*7.NXe 7 H)Nếu G,e 7 vael) ([ là tạp chỉ sở bất kỳ) thì (J]G„- 7 oel HIINếu G@,€ thì G, Gye 7 Mot không gian tôpô là một bộ gồm tạp hợp X và mot topo trên tap hợp 4x. Khi đó các phản tử của họ Z được goi là các tập mở trong không gan tOjx3(N, 7?) 1. Cơ sở và tiền cơ sở: Mot ho con B của 7 được gọi là cơ sở trong không gian tôjx3⁄(X.
khi và chỉ khu moi phan tử của “7 là hợp có thể của các phản tử trong Z. Mot họ con o của được gọi là tiền cơ sở trong không gian tôpô (X.7)khi và chỉ khi mọi giao hưu hạn có thể của các phan tử trong o lập thành một cơ sở của (N.1: Ho Z2 các tập con của X là một cơ sở của một tôpô nào đó trên X nếu với U và V của B và với mdi xEU OV đều 3W e2 : xeW và WcL'-V.Lân can: Cho (X. 7) là không gian tôpô. Nếu V là một tập mở chứa A ta nói V là một lần cận mở của A.
một tập Ve X được gọi là Z lân cận của A nếu nó chứa một tập mở chứa A. Trường hợp A={x| thì ta nói lân can V của A là một lân can của x và x là điểm trong của V 1.4So sánh tôpö: Chả sử “7, và 7, là 2 tô pd trên cùng mọt tập hơi: nêu Tic “7; tà nói po “7, là yeu hơn topo Z7; hay topo F, mịn hơn topo F,. Khi dé ta ký hiện 7,< 7,. 7, và 7, được gọi là tương đương (hay tưởng đương) pd neu: Tis 7, và TiS F, (Ký hiệu: 2; = ^7,).
Trang 3 Luan vận tết aehiep Dar học Định lý 1.) là các không gian tôpð, Điều kien cán và đủ để Fs 2; là : ZxeX neu V là mọt 7; lân cạn của x thì cing là mot 7, lân cạn của x 1.Xnh xạ liên tye: Gid sử ff: X=sY là mot ánh xạ từ khong gian topo (X. 7) vào không gian topo Y và x„eX, ta nói fliên tuc tại x; nếu với moi lân cậnW của fi). tổn tai | lâu can V của x„ sao cho: [(VicW Ta nói f là ánh xạ liên lục nếu £ liên tục tại mọi xeX. Từ định nghia ta suy ra các ket qua sau: Định lý 1.Y là các khong giản topÔ và ánh xạ f: X + Y Gib su Fs 7; Néu £ (X.Z,)—Y liên tục thi f (X.;)—+Y liên tục Định lý 1.7,14(Y 2u), X là các không gian topo và ánh xạ f: X > Y Giả sử 7,27, Nếu f: X—({Y.Z,) liên tục thì f: X—(Y,Z,) liên tục Định lý L.
Trang 4 [ mau va tỏi aghiep Dar học §2. ANH XA ĐA TRI 1.Các khái niệm: Cho A.B là hai tạp hợp Phep tướng ứng F cho moi phản tử của A ứng với mot tap con của B được gọi là ánh xa đa trị từ A vào B. Ký hiệu: I:A=B x>l(xIicB Vi dị: [-:0.1) nêu x € Q \{0} Fixy= {for} nếu xeQ > nêu x =0 Qui ước: từ đây vẻ sau ta viết “cho ánh xạ đa trị F:A—B” thay cho F:A-B Gud sử ta có ánh xa da trị F: XY. Ta định nghĩa +DomF = D(F) = {x : F(x)# ©}.
FAr= UFoo aA +imF = R(F) = F(X) +F là ánh xạ không tim thường nếu DiF) # @ +F là ánh xạ chặt nếu D(F) = X Định nghĩa 1.1: Cho ánh xạ da trị F: X—+ Y.ký hiệu grÌ' là tập hợp: grF=((x .y) e XxY: ye F(x)] Định nghĩa 1.2: Cho ánh xạ đa trị F: X =—ŸY. ta gọi ánh xạ ngược của F là ánh xạ đa trị F`: Y — X xác định bdr F(y)={x: Foxy} Ta có nhận xét sau: +grF'” = f(y.Các khái niệm đặc biệt: Giả sử (1) là mọt tính chat của tập hợp (lỗi.) trong không gian có cấu trúc X và ánh xạ đa trị F: XY. Ta nói F là ánh xạ da trị (T) neu và chỉ nếu grl' là tap hợp có tính chat (T) trong X‹Y (với cấu trúc tưởng ứng), Trang 5 [nạn vân tỏi aghiep Dai hoe Ngoài ca, ta nói F là ánh xạ đa trị giá trị (T) nêu và chỉ nếu -VxeX. Fiala tập hop có tính chất (T) Cho * là phép toan trên tập hợp (hợp, giaojva FG là các ánh xạ da ui ta định nghia: P*G là ánh xa da tri xác định bởi: EF*G(x) = F(x)*G(x) Vị dụ: F:X—¬Y.C ác tính chất cơ bản : (iiả sử, ta có Ps XY là ánh xa da trị và Ac X, tađịnh nghĩa: F(A)=({x:F(x)- Avo} F°(A) = {x F(x)c A} Ta có các tính chất cơ bản sau: € ho các ánh xạ đa trị: F:X—>Y ,G:X—Y và BcY .C ác khái niệm liên tục: Định nghĩa 1.
Y là các không gian tôpô F: X=— Y là ánh xạ đa tri Trang 6 Luan x 3n fot ngliep Dar bọc E được gor là nửa lien tục tren tại x¿@ DOP) khi và chỉ khi: YW là lần can của F(A). 3 V là lần cận của x, sao cho: VxeV:F(x)ịcWW Định nghia 1.Y là các không gian pd hs X—Y là ánh xa đa trị L được gọi là nửa liên tục đưới tại xạ@ D(E) khu và chỉ khi: Vyoeltx„), W V là lan can của yo. 3 U là lân cận của xạ sao cho: YxeL';:F(xi-V x@ Dac biệt, trong trường hợp X. Y là không gian metric từ định nghia trên ta có: k là nửa hén tục đưới tại X;e (F) khi và chi khi: Y yo€l{x¿).VX„=>&ta có đầy (y,): y„e FOL.
yy € hứng minh: (=): Với môi keN, xét B(yve, 1/&) là một lân cận của yo. Do F nữa liên tục dưới cho nẻn: #yseF(4¿). 3 L' là lân cận của X ta cỏ thể giả sử là B(x», 1) sao cho: Vxe B(x. l/&›: F(xp > Beye Lk)#© Giả sử (x„Jlà một đây hội tụ về x, khi đó ít nhất một phần tử của day (x,) gid sử là xạ sao cho: xy € B(xe.
Lấy bất kỳ xy eF(x)- B(ye. 1) tì day (y,) là day cần tìm.5: F là nửa liên tục trên ( dưới) nếu F nửa liên tục trên ( đưới) tại moi xeX Ví dụ: Cho ánh xạ đa trị F: R—> R (R :không gian các số thực với tôpê thong thường) được xác định bởi grF như hình vẻ: Theo định nghĩa ta thấy: +F nửa liên tục trên tại u nhưng không nửa liên tục dưới tại điểm này +F nửa liên tục dưới tại v nhưng không nửa liên tục trên tại điểm này +F nửa liên tục trên và đưới tại w | tran sn for nghiep Dat Đo $2. TOPO TRONG PAX) Cho doh wa đa trị b-N—Y (trong §4 và §1 ta chỉ xét nhưng ánh xa chat tức ánh xa co dom = XN). nhạn thay rằng có the xem Í như ia mot ánh xạ (đâu trị) tự X vào PAY) (tập các tip con của Y), neu không có gi nhằm lan ta se phí là |-X-+P,(Y) vị vậy neu ta có thể xảy dung dude cấu trúc topo wen PY) thì việc nghưen cứu các tính chat lien tục của của ánh xa da trị F-XN-Y sé trở thành viẹc nghưei ci sự liên tục của ánh xạ đơn trị E:X —+ PAY) Trong phan nay cong vice của chủng ta se là xây dựng cầu trúc topo trên PAY) 1.
lô bô trên: (iA sử ta có không giản topo (X7), Ge 7 Ta ký lưẹu: | Gi= (Ue P⁄4X): Uc G] và đạt 2 = {| .G]: Ge} Khi đó ta kiểm tra được rằng ⁄/ là mọt cơ sở topo trong PX) và ta gọi topo Sink bch cơ sở ⁄ là tOpo trên, Ký hiệu 7, Ví dụ: Cho khong gian tôpô (X.7) với 7 = (@ XỊ thi Z = (@ P/XI| 1. Topo dưới: Gid sử ta có khong gian tôpô (X. Ta ký hiệu: l„= (UeP,(X):L-G@| # dai 4£ = {| 1, > Ge “|. Ta kiểm wa được rằng 4 là một tiền cơ sở của PAX) và ta gọi tôpö sinh bởi 4 là tôpô đưới.
Ký hiệu 7; Vi dụ: Cho không gian tôpô (X.C ác tính chất: Cho không gian topo (X. Ge, và tập đóng F.