Khóa luận tốt nghiệp Toán Tin: Nghiên cứu Định lý Sard

Khóa luận tốt nghiệp toán tin về định lý Sard. Nghiên cứu sâu về ứng dụng và chứng minh định lý Sard trong các bài toán toán học và tin học. Tài liệu tham khảo hữu ích.

• Tác giả: Lê Thanh Quang
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Hà Thanh
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Định lý Sard
• Loại tài liệu: Luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2003
• Địa điểm: TP. Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• Lời nói đầu
• Mục lục
• 1. Phần 1. Sơ lược về đa tạp khả vi (đa tạp vi phân)
• 1.1. Đa tạp tôpô
• 1.1.1. Định nghĩa đa tạp tôpô
• 1.1.2. Phép chuyển bản đồ, đổi hệ tọa độ địa phương
• 1.2. Đa tạp khả vi
• 1.2.1. Atlat khả vi
• 1.2.2. Atlat tương đương
• 1.2.3. Định nghĩa đa tạp khả vi
• 1.3. Định nghĩa ánh xạ khả vi
• 1.3.1. Biểu diễn địa phương của hàm f
• 1.3.2. Đinh nghĩa tính khả vi của hàm f
• 1.4. Ma trận Jacobi -Hang của ánh xạ khả vi-Phép ngập
• 1.5. Không gian tiếp xúc
• 1.5.1. Đường cong khả vi
• 1.5.2. Vectơ tiếp xúc với đường cong khả vi
• 1.5.3. Định nghĩa không gian tiếp xúc
• 1.6. Vi phân của ánh xạ khả vi
• 2. Phần 2. Khảo sát điểm tới hạn
• 2.1. Định nghĩa và ví dụ
• 2.2. Điểm tới hạn của một hàm số. Phân tích Morse
• 2.3. Nhắc lại dang song tuyến tính đối xứng trên không gian hữu hạn chiéu
• 2.4. Ung dụng vị trí của một mặt qua mặt tiếp tuyến
• 2.5. Lí thuyết Morse
• 3. Phần 3. Chứng minh định lí Sard
• 3.1. Minh họa ứng dụng định lí Sard
• Tổng kết
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Tổng quan Định lý Sard Nền tảng cho khóa luận Toán Tin

Định lý Sard là một trong những kết quả tinh hoa và nền tảng của giải tích toán học và tô pô vi phân. Đối với sinh viên chuyên ngành Toán Tin, việc chọn Định lý Sard làm đề tài khóa luận tốt nghiệp không chỉ thể hiện sự am hiểu sâu sắc về lý thuyết mà còn mở ra nhiều hướng tiếp cận các vấn đề phức tạp. Định lý này, trong phát biểu đơn giản nhất, khẳng định rằng tập hợp các giá trị tới hạn của một ánh xạ khả vi đủ trơn giữa hai không gian Euclide (hoặc tổng quát hơn là hai đa tạp vi phân) là một tập hợp nhỏ theo một nghĩa rất cụ thể: nó là một tập có độ đo không. Cụ thể, nếu xét một ánh xạ trơn f từ một tập mở trong R^n vào R^m, tập hợp các giá trị tới hạn của f có độ đo Lebesgue bằng không trong R^m. Ý nghĩa của kết quả này vô cùng lớn lao. Nó đảm bảo rằng 'hầu hết' các điểm trong không gian đích đều là giá trị chính quy, cho phép các nhà toán học áp dụng các công cụ mạnh mẽ như Định lý hàm ẩn để nghiên cứu cấu trúc địa phương của ánh xạ. Việc thực hiện một khóa luận cử nhân Toán về chủ đề này đòi hỏi người nghiên cứu phải trang bị một hệ thống kiến thức vững chắc, bao gồm phép tính vi tích phân nhiều biến, lý thuyết đa tạp, và những khái niệm cơ bản của lý thuyết độ đo. Luận văn không chỉ dừng lại ở việc trình bày lại chứng minh Định lý Sard mà còn phải phân tích các hệ quả, các ứng dụng và có thể là một vài mở rộng của nó. Đây là một đề tài kinh điển, nhưng luôn có không gian cho những phân tích mới và cách trình bày sáng tạo trong một báo cáo khoa học cấp cử nhân, thể hiện năng lực nghiên cứu độc lập và tư duy toán học logic, chặt chẽ của sinh viên.

1.1. Phát biểu và ý nghĩa cốt lõi của Định lý Sard

Định lý Sard, được đặt theo tên nhà toán học Arthur Sard, là một kết quả cơ bản trong tô pô vi phân. Nội dung chính của định lý phát biểu rằng: Cho một ánh xạ khả vi đủ trơn f từ một đa tạp vi phân n chiều X vào một đa tạp vi phân m chiều Y, khi đó tập hợp các giá trị tới hạn của f trong Y là một tập có độ đo không. Một điểm y thuộc Y được gọi là giá trị tới hạn nếu tồn tại một điểm tới hạn x thuộc X sao cho f(x) = y. Điểm x được gọi là tới hạn nếu vi phân của f tại x, df_x, không phải là một toàn ánh. Ý nghĩa của định lý này là rất sâu sắc: nó cho thấy rằng các giá trị 'bất thường' (giá trị tới hạn) của một ánh xạ trơn là rất hiếm. Điều này cho phép chúng ta khẳng định sự tồn tại của các giá trị chính quy, là những điểm mà tại đó cấu trúc của ánh xạ có thể được mô tả một cách đơn giản, tạo tiền đề cho nhiều chứng minh quan trọng khác trong hình học và tô pô.

1.2. Tầm quan trọng trong một khóa luận cử nhân Toán

Việc lựa chọn Định lý Sard làm đề tài cho một khóa luận tốt nghiệp Toán Tin mang lại nhiều giá trị. Thứ nhất, nó yêu cầu sinh viên phải tổng hợp và hệ thống hóa một lượng lớn kiến thức từ các môn học khác nhau như Giải tích, Hình học vi phân, và Tô pô đại cương. Thứ hai, quá trình nghiên cứu và chứng minh Định lý Sard giúp rèn luyện tư duy trừu tượng, khả năng lập luận logic và kỹ năng trình bày một vấn đề toán học phức tạp một cách mạch lạc. Hơn nữa, các ứng dụng của Định lý Sard, ví dụ như trong chứng minh Định lý Brown về sự tồn tại của giá trị chính quy, giúp sinh viên thấy được mối liên kết chặt chẽ giữa các nhánh khác nhau của toán học hiện đại. Một luận văn thạc sĩ giải tích trong tương lai cũng có thể được phát triển dựa trên nền tảng vững chắc từ đề tài này, đi sâu vào các mở rộng của định lý cho không gian vô hạn chiều hoặc các lớp hàm yếu hơn.

II. Thách thức cốt lõi Hiểu sâu về điểm và giá trị tới hạn

Nền tảng để chinh phục Định lý Sard nằm ở việc nắm vững hai khái niệm có vẻ trừu tượng nhưng lại rất trực quan: điểm tới hạn (critical point) và giá trị tới hạn (critical value). Đây chính là thách thức lớn nhất đối với người mới bắt đầu nghiên cứu đề tài này cho một khóa luận tốt nghiệp. Một điểm x trên đa tạp vi phân nguồn X được gọi là một điểm tới hạn của ánh xạ khả vi f nếu vi phân của f tại x, ký hiệu là df_x, không phải là một toàn ánh. Điều này có nghĩa là ánh xạ tuyến tính df_x từ không gian tiếp xúc tại x (T_x X) đến không gian tiếp xúc tại f(x) (T_{f(x)} Y) không phủ kín toàn bộ không gian đích. Về mặt hình học, tại các điểm tới hạn, ánh xạ f có thể 'gấp nếp', 'co lại' hoặc có những hành vi phức tạp khác. Ma trận biểu diễn cho df_x chính là ma trận Jacobian, và điều kiện điểm tới hạn tương đương với việc hạng của ma trận này nhỏ hơn số chiều của không gian đích. Tương ứng với điểm tới hạn, một điểm y trong đa tạp đích Y được gọi là giá trị tới hạn nếu nó là ảnh của ít nhất một điểm tới hạn, tức là y = f(x) với x là một điểm tới hạn. Tập hợp tất cả các giá trị tới hạn chính là đối tượng mà Định lý Sard mô tả. Việc phân biệt rõ ràng giữa điểm tới hạn (nằm trong không gian nguồn) và giá trị tới hạn (nằm trong không gian đích) là cực kỳ quan trọng để tránh nhầm lẫn khi xây dựng chứng minh Định lý Sard. Các ví dụ kinh điển thường được sử dụng để minh họa là các phép chiếu từ hình cầu xuống đường thẳng, nơi các cực là điểm tới hạn và ảnh của chúng là các giá trị tới hạn.

2.1. Định nghĩa điểm tới hạn critical point và điểm chính quy

Trong bối cảnh của một ánh xạ khả vi f: X → Y giữa hai đa tạp vi phân, một điểm x ∈ X được định nghĩa là điểm tới hạn nếu vi phân df_x: T_xX → T_{f(x)}Y không phải là một toàn ánh. Ngược lại, nếu df_x là một toàn ánh, x được gọi là một điểm chính quy. Theo Định lý về hạng, điều này tương đương với việc hạng của ma trận Jacobian của biểu diễn địa phương của f tại x nhỏ hơn số chiều của đa tạp đích Y. Các điểm tới hạn là nơi ánh xạ có thể mất tính chất 'đẹp' của một vi phôi địa phương. Chẳng hạn, với hàm f: R^2 → R, các điểm tới hạn chính là những điểm mà tại đó gradient của hàm bằng không, tương ứng với các điểm cực trị hoặc điểm yên ngựa.

2.2. Khái niệm về giá trị tới hạn và vai trò trong giải tích

Một điểm y ∈ Y được gọi là giá trị tới hạn của f nếu tập hợp nghịch ảnh f⁻¹(y) chứa ít nhất một điểm tới hạn. Nếu f⁻¹(y) không chứa điểm tới hạn nào (có thể rỗng hoặc chỉ chứa các điểm chính quy), thì y được gọi là giá trị chính quy. Tập hợp tất cả các giá trị tới hạn là đối tượng trung tâm của Định lý Sard. Định lý này khẳng định rằng tập hợp này rất 'bé', cụ thể là một tập có độ đo không. Điều này cực kỳ hữu ích trong giải tích toán học và hình học, vì nó đảm bảo sự tồn tại phong phú của các giá trị chính quy. Khi y là một giá trị chính quy, Định lý tiền ảnh (Preimage Theorem) cho phép kết luận rằng tập f⁻¹(y) là một đa tạp con của X, một kết quả vô cùng mạnh mẽ.

III. Hướng dẫn xây dựng nền tảng Lý thuyết về đa tạp vi phân

Để viết một khóa luận tốt nghiệp Toán Tin về Định lý Sard, việc xây dựng một nền tảng lý thuyết vững chắc về đa tạp vi phân (differentiable manifold) là yêu cầu bắt buộc. Đây là phần kiến thức xương sống, cung cấp ngôn ngữ và công cụ để phát biểu và chứng minh định lý một cách tổng quát. Một đa tạp vi phân là một không gian tô pô mà về mặt địa phương, nó 'trông giống' như một không gian Euclide R^n. Sự 'giống' này được định nghĩa chính xác thông qua các bản đồ địa phương và atlat. Tính chất 'vi phân' được đưa vào thông qua yêu cầu các phép chuyển bản đồ phải là các ánh xạ khả vi đủ trơn. Kiến thức này cho phép ta mở rộng các khái niệm của phép tính vi tích phân từ R^n lên các không gian phức tạp hơn như mặt cầu, mặt xuyến hay không gian xạ ảnh. Một khái niệm quan trọng khác là ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp. Một ánh xạ được gọi là khả vi nếu biểu diễn của nó trong các tọa độ địa phương là một hàm khả vi theo nghĩa thông thường của giải tích nhiều biến. Hạng của ánh xạ tại một điểm được định nghĩa thông qua hạng của ma trận Jacobian tương ứng. Khái niệm không gian tiếp xúc tại một điểm cung cấp một xấp xỉ tuyến tính cho đa tạp tại điểm đó. Vi phân của một ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian tiếp xúc, đóng vai trò như đạo hàm trong trường hợp tổng quát. Việc hiểu rõ cách các đối tượng này được định nghĩa và mối liên hệ giữa chúng là chìa khóa để có thể tiếp cận chứng minh Định lý Sard và các ứng dụng của Định lý Sard một cách hiệu quả.

3.1. Từ không gian Euclide đến khái niệm đa tạp khả vi

Khái niệm đa tạp vi phân là sự tổng quát hóa tự nhiên của các đường cong và mặt trong không gian Euclide. Ý tưởng cốt lõi là mô tả một không gian phức tạp bằng cách 'dán' các mảnh không gian R^n lại với nhau một cách trơn tru. Một đa tạp tô pô n-chiều là một không gian Hausdorff có cơ sở đếm được và đồng phôi địa phương với R^n. Để có cấu trúc vi phân, ta yêu cầu các phép ánh xạ chuyển đổi giữa các hệ tọa độ địa phương phải khả vi cấp k. Điều này cho phép định nghĩa các khái niệm giải tích như đạo hàm trên đa tạp. Đây là bước đầu tiên và cơ bản nhất cần trình bày trong một khóa luận cử nhân Toán về chủ đề này.

3.2. Phân tích ánh xạ khả vi và ma trận Jacobian

Một ánh xạ khả vi (hay ánh xạ trơn) f giữa hai đa tạp M và N là một ánh xạ liên tục mà khi biểu diễn trong các tọa độ địa phương, nó trở thành một hàm khả vi thông thường giữa các tập mở của không gian Euclide. Công cụ chính để phân tích tính chất địa phương của một ánh xạ như vậy là vi phân của nó, df_x. Trong một cặp tọa độ địa phương, vi phân này được biểu diễn bởi ma trận Jacobian. Hạng của ma trận Jacobian tại một điểm quyết định xem điểm đó có phải là điểm tới hạn hay không. Việc tính toán và phân tích ma trận này là một kỹ năng cơ bản để khảo sát các ví dụ cụ thể và hiểu sâu hơn về cấu trúc của ánh xạ.

3.3. Hiểu về không gian tiếp xúc và vi phân của ánh xạ

Không gian tiếp xúc T_xM tại một điểm x trên đa tạp M là không gian vector gồm tất cả các 'vận tốc' có thể có của các đường cong khả vi đi qua x. Nó là sự xấp xỉ tuyến tính tốt nhất của đa tạp tại lân cận của x. Vi phân df_x của một ánh xạ khả vi f: M → N tại x là một ánh xạ tuyến tính từ T_xM vào T_{f(x)}N. Nó mô tả cách f làm biến đổi các vector tiếp xúc. Một điểm x là điểm tới hạn nếu và chỉ nếu df_x không phải là toàn ánh. Khung lý thuyết này là ngôn ngữ chuẩn mực của tô pô vi phân và rất cần thiết để phát biểu định lý một cách chính xác.

IV. Bí quyết chứng minh Định lý Sard cho khóa luận tốt nghiệp

Phần trọng tâm của một khóa luận tốt nghiệp về Định lý Sard chính là trình bày lại việc chứng minh Định lý Sard một cách rõ ràng và đầy đủ. Mặc dù có nhiều cách chứng minh khác nhau, tư tưởng chung thường là quy về trường hợp đơn giản hơn trong không gian Euclide và sử dụng các công cụ mạnh của lý thuyết độ đo. Bước đầu tiên là sử dụng các bản đồ địa phương để quy bài toán từ các đa tạp vi phân tổng quát về một bài toán cho ánh xạ f: U → R^m, với U là một tập mở trong R^n. Do tính chất địa phương của tập có độ đo không, ta chỉ cần chứng minh ảnh của tập các điểm tới hạn nằm trong một tập mở bất kỳ có độ đo không. Chìa khóa của chứng minh nằm ở việc sử dụng Định lý Fubini và quy nạp theo số chiều n. Chứng minh thường được chia thành các bước nhỏ. Đầu tiên, người ta chứng minh rằng ảnh của tập các điểm tới hạn 'bậc cao' (nơi tất cả các đạo hàm đến một cấp nào đó bằng không) có độ đo không. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng khai triển Taylor và chia không gian nguồn thành các hình lập phương nhỏ. Sau đó, bằng quy nạp, người ta giải quyết các điểm tới hạn 'bậc thấp hơn'. Vai trò của độ đo Lebesgue là trung tâm, vì nó cung cấp một cách định lượng chính xác khái niệm 'tập hợp nhỏ'. Một báo cáo khoa học thành công cần phải trình bày các bước này một cách logic, giải thích cặn kẽ từng lập luận và làm nổi bật các ý tưởng chính đằng sau các kỹ thuật phức tạp.

4.1. Vai trò của độ đo Lebesgue và tập có độ đo không

Độ đo Lebesgue là một cách đo 'kích thước' (thể tích) của các tập con trong không gian Euclide, tổng quát hóa khái niệm độ dài, diện tích và thể tích. Một tập hợp được gọi là tập có độ đo không nếu nó có thể được phủ bởi một họ đếm được các hình hộp có tổng thể tích nhỏ tùy ý. Ví dụ, một điểm, một đoạn thẳng trong mặt phẳng, hay một tập hợp đếm được các điểm đều là các tập có độ đo không. Kết luận của Định lý Sard rằng tập các giá trị tới hạn có độ đo không là một khẳng định rất mạnh về tính 'hiếm hoi' của chúng.

4.2. Các bước chính trong quy trình chứng minh định lý Sard

Quá trình chứng minh Định lý Sard thường được thực hiện qua quy nạp theo số chiều n của không gian nguồn. Trường hợp cơ sở n=0 là tầm thường. Bước quy nạp giả sử định lý đúng cho n-1 và chứng minh nó đúng cho n. Chứng minh được chia nhỏ để xử lý các loại điểm tới hạn khác nhau. Đầu tiên, xử lý tập C_k gồm các điểm mà tất cả đạo hàm riêng đến cấp k đều triệt tiêu. Bằng cách sử dụng khai triển Taylor, ta có thể chỉ ra rằng ảnh f(C_k) có thể được phủ bởi các hình hộp có tổng thể tích tiến về 0. Sau đó, với tập C \ C_1, ta sử dụng Định lý hàm ẩn và giả thiết quy nạp để hoàn thành chứng minh. Việc trình bày logic này là cốt lõi của một khóa luận cử nhân Toán chất lượng.

V. Top ứng dụng thực tiễn của Định lý Sard trong Toán học

Sức mạnh của Định lý Sard không chỉ nằm ở vẻ đẹp lý thuyết mà còn ở các ứng dụng của Định lý Sard trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Nó là một công cụ nền tảng trong tô pô vi phân, lý thuyết đa tạp, và hình học đại số. Một trong những ứng dụng trực tiếp và quan trọng nhất là chứng minh sự tồn tại của giá trị chính quy. Định lý Sard đảm bảo rằng tập các giá trị chính quy không chỉ không rỗng mà còn trù mật trong không gian đích. Điều này cho phép các nhà toán học 'chọn' được các giá trị 'tốt' để làm việc, mà tại đó nghịch ảnh là các đa tạp con chính tắc, một kết quả được biết đến với tên gọi Định lý Tiền ảnh. Một ứng dụng kinh điển khác là trong lý thuyết bậc của một ánh xạ. Nhờ Định lý Sard, người ta có thể định nghĩa bậc của một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp compact, cùng số chiều và có định hướng. Bậc là một bất biến tô pô quan trọng, không đổi dưới các biến đổi đồng luân. Ngoài ra, Định lý Sard còn là công cụ thiết yếu để chứng minh Định lý Brown, một kết quả quan trọng khác trong tô pô. Trong một khóa luận tốt nghiệp Toán Tin, việc trình bày và phân tích sâu một vài ứng dụng tiêu biểu sẽ làm tăng giá trị học thuật và thể hiện sự hiểu biết sâu rộng của người viết về chủ đề.

5.1. Ứng dụng trong Tô pô vi phân Sự tồn tại giá trị chính quy

Hệ quả trực tiếp của Định lý Sard là với mọi ánh xạ khả vi trơn, tập hợp các giá trị chính quy là trù mật trong đa tạp đích. Điều này có nghĩa là, với bất kỳ điểm nào trong không gian đích, ta luôn có thể tìm thấy một giá trị chính quy gần nó một cách tùy ý. Sự tồn tại này là nền tảng cho Định lý Tiền ảnh (Preimage Theorem), phát biểu rằng nghịch ảnh của một giá trị chính quy là một đa tạp con. Đây là một trong những công cụ xây dựng đa tạp mạnh mẽ nhất trong tô pô vi phân.

5.2. Mối liên hệ chặt chẽ với Định lý Brown và lý thuyết bậc

Định lý Sard là công cụ không thể thiếu để chứng minh Định lý Brown, khẳng định rằng bậc của một ánh xạ (modulo 2) là một bất biến đồng luân. Cụ thể, bằng cách sử dụng Định lý Sard, ta có thể chọn một giá trị chính quy y và định nghĩa bậc là số các phần tử (tính chẵn lẻ) trong nghịch ảnh f⁻¹(y). Vì tập giá trị chính quy trù mật, định nghĩa này có thể được mở rộng cho toàn bộ không gian. Mối liên hệ này cho thấy vai trò của Định lý Sard như một cầu nối giữa giải tích (tính khả vi) và tô pô (các bất biến).

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN ~ TIN HỌC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Pe tat: ĐỊNH LY SARD CHUYEN NGÀNH: TOÁN HỌC GVHD: TS. NGUYEN HÀ THANH SVTH : LE THANH QUANG 4 : of ®4%. HCM, Tháng 05/2003 Ted LỜI NÓI ĐẦU Trong việc nghiên phép tính vi tích phân ở đại học có một định lí quan trọng như sau : “Cho D là một tập mở trong R'; f: D — R” có đạo hàm liên tạc.

Khi đó f{K) là tập có độ do không trong Rt: Tập K được gọi là tập của những điểm tới hạn. Định lí này được mở rộng trong đa tạp khả vì. Lúc đó tập những điểm tới hạn được định nghĩa như thế nào để kết quả trên vẫn còn đúng; đó chính là nội dung của định li Sard. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu định lí Sard gém ba phần: Phân! Giới thiệu những kiến thức cơ bản nhất về đa tạp khả vi ánh xạ khả vi ,hạng của ánh xạ khả vì, không gian tiếp xúc ,vi phân của ánh xa khả vi.

Phẩn2 Khảo sát điểm tới hạn thông qua một số ví du và tính chất của nó và ứng dụng trong việc xác định vị trí của một mặt qua mặt tiếp tuyến trong RẺ. Phân3 Trình bày nội dung và cách chứng mình định lí Sard. Em đặc biệt biết ơn thay NGUYEN HÀ THANH, đã dành nhiều thời gian và công sức để đọc, hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt qua trình thực hiện và hoàn thành Luận văn này. Em cũng xin chân thành cảm on QUÝ THAY CÔ và BAN CHỦ NHIỆM KHOA TOÁN, đặc biệt là TỔ HÌNH HỌC đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, chúng em trong suốt quá trình học tập ở Đại học và đã tạo điều kiện cho em thực hiện luận văn này.

Do điêu kiện về khả năng bản thân, em nghĩ rằng trong nội dung Luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định, em rất mong được sự chỉ bảo quý báu của Thầy Cô. TPHCM, tháng 5 năm 2003 LÊ THANH QUANG in văn tốt nghỉ GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh Mục lục. Trang Lời nói đầu Mục lục l Ki hiéu 3 Phần |.

Sơ lược về đa tap khả vi (da tap vi phân) 4 |. Da tạp tôpô 1,1 Định nghĩa đa tạp tôpô 1.2 Phép chuyển bản đồ, đổi hệ tọa độ địa phương 6 2. Da tạp khả vi 7 2.1 Atlat kha vi 2.2 Atlat tương đương 2.3 Định nghĩa đa tạp khả vi 3. Định nghĩa ánh xạ khả vi 9 3.1 Biểu diễn địa phương của hàm f 3.2 Dinh nghĩa tính khả vi của hàm f 3.

Ma trận Jacobi -Hang của ánh xạ khả vi-Phép ngập 4. Không gian tiếp xúc lì 4.1 Đường cong khả vi 4.2 Vectơ tiếp xúc với đường cong khả vi 4.3 Định nghĩa không gian tiếp xúc 5. Vi phân của ánh xạ khả vi 13 Phan 2. Khảo sát điểm tới han |.

Định nghĩa và ví dụ 15 2. Điểm tới hạn của một hàm số. Phân tích Morse 19 3.2 Nhắc lại dang song tuyến tính đối xứng trên không gian hữu hạn chiéu 21 3.5 Ung dụng vị trí của một mặt qua mặt tiếp tuyến 26 3.6 Lí thuyết Morse 29 SVTH: Lé Thanh Quang Trang 1 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh Phan 3.

Chứng minh định lí Sard 4. Minh họa ứng dụng định lí Sard 40 Tổng kết 42 Tài liệu tham khảo 43 SVTH: Lê Thanh Quang Trang 2 ân vấn tốt nghỉ GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh Kí hiệu C*`,C” : Tập các hàm số khả vi lớp k, œ. Bilsym(E) : Không gian vectơ đạng song tuyến tính đối xứng trên E.

cif : Tập các giá wi tới hạn của hàm f. df, : Vi phân của hàm ftại p. f(x) : Đạo hàm của f tại x. Hess, : Hessienne của ftại x.

Indice, : Chỉ số của f tại x. M, : Đa tạp có số chiều là n. RP° : Không gian xạ ảnh thực có số chiều là n. s ; Hình cầu với số chiéu là n.

X; : Dao hàm của f theo hướng của vectơ tiếp xúc X.(X) : Không gian tiếp xúc của đa tạp X tại x. SVTH: Lê Thanh Quang Trang 3 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh Phần1 Sơ lược về đa tạp khả vi Định lí Sard được phát biểu tổng quát trong hình học và liên quan đến đa tap do đó cần thiết phải trình bày những kiến thức cơ bản như là: đa tap khả vi, ánh xạ khảvi, hạng của ánh xạ khả vi, không gian tiếp xúc „vi phân của ánh xa khả vi. Da tạp tôpô 1.1 Định nghĩa đa tạp tôpô Cho M là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đếm được.

M goi là đa tạp tôpô n chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian Euclide RỶ. tức là: Wx €M, 3lâncận U C M của X và một đồng phôi 9: U>Vmy C R" (Hinh vé) Cặp (U, @) gọi là một bản đổ địa phương của M (xung quanh x EM). Xét (U, Ø): SVTH: Lê Thanh Quang Trang 4 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh g:U >VcR" uh Ø(u)=(x\u),x (u),.

x"; U—>R là n hàm thành phần của Ø. Ta gọi (U, x', xỶ. x” } là hệ tọa độ địa phương (xung quanh x) ứng với bản đồ (U, @). Một hệ {(Ua,Ve)},, gọi là một atlat của M nếu (Ue, Va) là bản dé địa phương V @, và họ {Ug}, là phủ mở của M.

Atlat ‹# = {(Us,Va)},, gọi là atlat tối đại nếu nó không bị chứa trong một atlat nào khác chính nó. Nhân xét Có thể có hai bản đổ (U,Ø) và (U,y) (chung miễn xác định U va @#. Trong một atlat c#= {(Uc,Va)}, ta quy ước : (Uaz,Ø„) # (Uz,Ø;) nếu Us # Up hoặc Ø, # Oy Ví dụ 1) M=R” là đa tạp tôpô n chiểu với atlat gdm bản đổ duy nhất ( R”, ¡d„‹ } 2)M =S"- RTM net S" = ( x= (x', x?.x"*!)/ 2 (x')’ =l] Xét 2n+2 tập hợp {UỆk kel[mi gồm n+l tập {Uj} và n+l tập {U/}, k r„.; xác định như sau: UE =(x=(xỶ, xx) e §°/0<x*<1|;k= ln+Ï Ui =[x=(x!, x2, x"*) © §"/-1< x`<0);k= l,n+Í SVTH: Lê Thanh Quang Trang 5 dn văn tốt nghỉ GVHD: TS. Nguyên Hà Thanh Dễ thấy {Us}, k-=1— e«Ll là phủ mở của S”.

ex") 4bỏ x* Ta có @, là đồng phéi;k = In +] Vay Sạ là đa tạp tôpô n chiéu với atlat là: {U‡, @‡ } (Hình vẽ) Cho M là đa tạp tôpô n chiểu. Giả sử (Uz,@,) , (Us,@,) 1a hai bản đổ địa phương sao cho U„ f1 Us # Ó. te tite Lm ] ; hệ tọa độ địa phương ứng với (U„‹Ø„) (UpixgiX pny) : hệ tọa độ địa phương ứng với (U.@„) Vx € UzñU, thì: SVTH: Lê Thanh Quang Trang 6 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh (x! (x), x? (x), = x (x)) : toa độ địa phương ứng với (U,,.

Đa tạp vi phân (đa tạp khả vi) 2,1 Atlat khả vi Cho ‹# ={(U„,Ø„)}„ là một atlat của đa tạptôpô n chiều M. Tabảo ‹# làatat khả vi lớp C* nếu: V cặp chỉ số @,B: UaU; # đ; ta đều có phép đổi tọa độ : Ppa = 0;0, : - Ø„(UañU¿) > Ø;(UanU¿) 4 4 (mở trong R") (mở trong R") là ánh xa khả vi lớp C* (mỗi hàm thành phẩn của gp, có đạo hàm riêng cấp k liên tục ) k = 0 điều kiện trên đương nhiên được thỏa man.2 Atlat tương đương Cho.# và @ là hai atlat khả vi lớp CỄ của M. Ta nói ‹# Lương đương với Ø2: cA ~ B nếu: V(U,g) € ‹#; V(V,V/)€ B saocho UNV # ổ đều có: SVTH: Lê Thanh Quang Trang 7 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh yoo : g(UNV) => (UAV) khả vi lớp c (theo nghĩa thông thường của giải tích nhiều chiều).

Nóiriêng of U B là mộtatlatkhả vi lớp C*, Nhân xét: ~ là quan hệ tương đương trên tập tất cả các atlat khả vi của đa tạp tôpô M. Do đó sinh ra sự chia lớp. Mỗi lớp tương đương gọi là một "cấu trúc khả vi" lớp C* trên đa tạp tôpô M. %3 bili weld tba - Đa tap tôpô M cùng với cấu trúc khả vi trên nó gọi là da tap vi phân lớp CX n chiểu.

Lúc đó đa tạp tôpô ban dau gọi là đa tạp tôpô nền của đa tạp khả vi lớp C đang xét. - Đa tạp tôpô chính là đa tạp vi phân lớp C°. - Đa tạp trơn chính là đa tạp vi phân lớp C”. (R" id) : Đa tạp đa tạp vi phân lớp C”Ý.

Hay là : cấu trúc vi phân chính tắc trên R”. Oday ()`:R ->R x là đa tạp đa tạp vi phân lớp C”, 3. S” với atlat đã xét là đa tạp vi phân n chiéu lớp C* 4. XétM = RP” là không gian xạ ảnh (thực) số học n chiểu.

Pp" + RP° SVTH: Lé Thanh Quang Trang 8 n văn tốt nghỉ GVHD: TS. Neuyễn Hà Thanh RP" =RTM*!' \{0} \~_.x" e R và không đồng thời bằng không.„Ø,)} trên RP” xác định bởi: U, = RPˆ\ (i= 0,n) (siêu phang x' = 0) gy: U => R*(i=0n) Dễ thấy ‹# là một atlat lớp c và RP” trở thành một đa tạp vi phân n chiều lớp C gọi là “ đa tạp xa ảnh thực số học n chiều” 3. Định nghĩa ánh xa kha vi Cho M là một da tạp vi phân n chiéu lớp CẺ. N là một đa tạp vi phân m chiểu lớp CỲ.

Xét một ánh xạ liên tục f: M > N (hình vẽ) SVTH: Lê Thanh Quang Trang 9 n văn tốt nghiệ GVHD: TS. Nguyễn Hà Thanh 3.1 Biểu điễn địa phương của f Xét một bản đổ (U,@) tùy ý của M và một bản đổ (V,y) tùy ý của N sao cho f(U)C V Lúc đó, ánh xạ n biến nhận giá trị vectơ m chiều: yot|,og': ø(U) => W(V) (mở trong R") (mở trong R”) Ox) Bò (f(x'x!.x?), POC dee MMO ND) yot|,,og'' = (ff.) gọi là biểu diễn địa phương của f ứng với cặp bản đồ {(U,Ø@), (V,ự/)} (mà f(U)C V) Ta thường đồng nhất f], = yof|,,og"', tức là xem f[, như là ánh xạ n biến nhận giá trị vectơ m chiều.2 Dinh nghĩa tính khả vi Ta bảo f là ánh xạ khả vi lớp C' (i < min(h,k}) nếu mỗi biểu diễn địa phương f|,, = yot| yO| đều là ánh xạ khả vi lớp C' theo định nghĩa thông thường của giải tích toán học. Định nghĩa trên là “hợp lí”, không phụ thuộc vào atlat chọn ở trên M và N vì mọi phép chuyển bản dé trên M,N đều khả vi lớp C`, C" tương ứng (chỉ phụ thuộc vào cấu trúc vi phân) - F là ánh xạ trơn khi f là ánh xạ khả vi lớp C”.