Luận văn: Làm đầy không gian - Không gian Sobolev (ĐH Sư phạm TP.HCM)

Khóa luận tốt nghiệp toán học: Nghiên cứu về ánh xạ làm đầy không gian Sobolev. Ứng dụng và kết quả mới trong giải tích hàm. Tìm hiểu ngay!

• Tác giả: Lê Thị Lan Phương
• Người hướng dẫn: Thầy Lê Hoàn Hóa
• Trường học: Trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán giải tích
• Đề tài: Làm đầy không gian - Không gian Sobolev
• Loại tài liệu: Luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 1999 - 2000
• Địa điểm: Tp Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• MỤC LỤC
• 1. Chương I: Làm đầy không gian ~ Không gian lebesque L² & không gian Hilbert L²
• 1.1. Định lý làm đầy không gian định chuẩn :
• 1.2. Một số không gian thường gặp :
• 1.2.1. Không gian C(G)
• 1.2.2. Không gian Lebesgue L¹(G), p > †
• 1.2.3. Không gian L¹[a,b]
• 1.2.4. Không gian Lebesgue /”(Ơ), p≥1
• 1.2.5. Không gian Hilbert L²(G)
• 2. Chương II : Không gian Sobole.
• 2.1. Kết quả cần thiết
• 2.2. Không gian Sobolev W™(G)
• 2.3. Không gian Sobolev W'?(G)
• 2.4. Không gian Hillbert 0!
• 2.5. Khong gian H' [a, 6]
• 2.5.1. Không gian I' [a,5]
• 2.5.2. Đạo hàm phân bố trong không gian H' [a,»]
• 2.6. Không gian Sobolev #'(G)va \ (G) với Ge®’
• 2.6.1. Không gian H'(G):
• 3. Chương III : Một vài ví dụ trong không gian Sobolev :
• 3.1. Kết qủa cần
• 3.2. Bài toán về “ Điểu kiện Dinichict thuần nhất” trong Re
• 3.3. Bài toán về * Điểu kiện Neumenn thuần nhất” trong `
• 3.4. Bài toán vé * Điều kiện Dinichlet thuần nhất” trong £È.
• LOI CẢM ON
• LỜI GIỚI THIỆU

Tóm tắt

I. Toàn cảnh khóa luận Hiểu rõ về làm đầy không gian Sobolev

Khóa luận “Làm đầy không gian - Không gian Sobolev” là một công trình nghiên cứu chuyên sâu trong lĩnh vực giải tích hàm, tập trung vào một trong những khái niệm nền tảng của toán học hiện đại. Nội dung cốt lõi của tài liệu là trình bày quá trình xây dựng các không gian hàm đầy đủ từ những không gian chưa đầy đủ, một tiến trình có ý nghĩa sống còn trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng. Luận văn được cấu trúc thành ba chương chính, dẫn dắt người đọc từ những nguyên lý tổng quát đến các ứng dụng cụ thể. Chương đầu tiên giới thiệu về định lý làm đầy không gian định chuẩn, một công cụ lý thuyết mạnh mẽ, và áp dụng nó để xây dựng không gian Lebesgue Lᵖ và không gian Hilbert L². Đây là những viên gạch nền tảng, cho thấy cách các không gian hàm quen thuộc được hoàn thiện để đảm bảo mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Chương thứ hai là trọng tâm của khóa luận, đi sâu vào việc xây dựng không gian Sobolev Wᵏ,ᵖ. Không gian này được hình thành bằng cách làm đầy không gian các hàm trơn, sử dụng một chuẩn đo lường cả giá trị của hàm và các đạo hàm của nó. Khái niệm trung tâm ở đây là đạo hàm yếu, một sự mở rộng của đạo hàm cổ điển cho phép xử lý các hàm không khả vi liên tục. Cuối cùng, chương ba minh họa sức mạnh của lý thuyết bằng cách áp dụng không gian Sobolev vào việc giải các bài toán biên trị, như bài toán Dirichlet và Neumann, qua đó cho thấy vai trò không thể thiếu của nó trong việc tìm kiếm nghiệm yếu.

1.1. Mục tiêu và cấu trúc nghiên cứu của luận văn

Luận văn đặt ra mục tiêu chính là trình bày một cách hệ thống và chi tiết về phương pháp làm đầy các không gian định chuẩn, với đích đến là xây dựng và phân tích không gian Sobolev. Cấu trúc được chia làm ba phần rõ ràng: Phần một tập trung vào lý thuyết tổng quát, giới thiệu định lý làm đầy và áp dụng để kiến tạo không gian Lᵖ, một không gian Banach cơ bản. Phần hai, phần cốt lõi, chuyển sang đối tượng chính là không gian Wᵏ,ᵖ, giải thích tại sao không gian các hàm trơn là chưa đủ và quá trình làm đầy nó dẫn đến khái niệm đạo hàm yếu. Phần ba là phần ứng dụng thực tiễn, nơi lý thuyết được sử dụng để giải quyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng, chứng tỏ tính hiệu quả và cần thiết của công cụ toán học này.

1.2. Giới thiệu khái niệm không gian Sobolev Wᵏ ᵖ

Không gian Sobolev, ký hiệu là Wᵏ,ᵖ(G), là một không gian Banach bao gồm các hàm xác định trên một tập mở G của ℝⁿ. Điểm đặc biệt của không gian này là các hàm trong nó không chỉ có tính khả tích lũy thừa p (thuộc không gian Lᵖ) mà các đạo hàm yếu của chúng lên đến cấp k cũng phải khả tích lũy thừa p. Chuẩn trong không gian này, hay chuẩn Sobolev, được định nghĩa để bao hàm cả chuẩn Lᵖ của hàm và chuẩn Lᵖ của tất cả các đạo hàm yếu của nó. Không gian này là sự làm đầy của không gian các hàm trơn Cᵏ(G) dưới chuẩn tương ứng, giải quyết được vấn đề thiếu tính đầy đủ (completeness) của các không gian hàm cổ điển.

II. Vì sao cần làm đầy không gian Sobolev Vấn đề tính đầy đủ

Trong giải tích hàm, tính đầy đủ (completeness) là một thuộc tính cực kỳ quan trọng của một không gian định chuẩn. Một không gian được gọi là đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy Cauchy trong không gian đó đều hội tụ đến một phần tử nằm ngay trong chính không gian đó. Tuy nhiên, nhiều không gian hàm tự nhiên, chẳng hạn như không gian các hàm liên tục C[a,b] với chuẩn tích phân Lᵖ, lại không có được tính chất này. Luận văn gốc đã chỉ ra một ví dụ kinh điển: một dãy các hàm liên tục trên [-1, 1] có thể là một dãy Cauchy theo chuẩn L², nhưng lại hội tụ về một hàm gián đoạn, một phần tử không thuộc không gian các hàm liên tục ban đầu. Sự "thiếu hụt" này tạo ra những lỗ hổng lý thuyết và gây khó khăn khi giải quyết các bài toán giới hạn, đặc biệt trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng. Quá trình làm đầy chính là một phương pháp để "lấp" những lỗ hổng này, bằng cách thêm vào không gian các phần tử giới hạn còn thiếu. Việc xây dựng không gian Sobolev từ không gian các hàm trơn là một minh chứng điển hình cho nhu cầu này, tạo ra một môi trường làm việc lý tưởng, nơi các kỹ thuật giải tích mạnh mẽ có thể được áp dụng mà không lo ngại về vấn đề hội tụ.

2.1. Vấn đề cốt lõi về tính không đầy đủ của không gian hàm

Vấn đề cơ bản xuất phát từ việc một số không gian định chuẩn không chứa tất cả các giới hạn của các dãy hội tụ bên trong nó. Một dãy Cauchy là một dãy mà các phần tử của nó ngày càng "gần nhau", nhưng giới hạn của nó có thể "rơi ra ngoài" không gian ban đầu. Theo tài liệu, không gian các hàm liên tục trên một miền G, trang bị chuẩn Sobolev (bao gồm đạo hàm), không phải là một không gian Banach. Điều này có nghĩa là tồn tại những dãy hàm khả vi liên tục hội tụ theo chuẩn này, nhưng giới hạn của chúng lại là những hàm không khả vi theo nghĩa cổ điển. Nhu cầu làm đầy không gian này là để đảm bảo sự tồn tại của các nghiệm yếu cho các phương trình vi phân.

2.2. Minh họa Dãy Cauchy không hội tụ trong không gian hàm trơn

Luận văn (trang 10) cung cấp một ví dụ rõ ràng để minh họa tính không đầy đủ. Xét dãy hàm {xₙ(t)} liên tục trên [-1, 1], được định nghĩa để tiệm cận một hàm bước (step function) gián đoạn tại t=0. Dãy này được chứng minh là một dãy Cauchy trong không gian L²[-1,1]. Tuy nhiên, giới hạn của nó là hàm x(t) bằng -1 trên [-1,0) và bằng 1 trên (0,1], là một hàm không liên tục. Do đó, giới hạn này không thuộc không gian các hàm liên tục L²[-1,1] ban đầu. Ví dụ này cho thấy rõ sự cần thiết phải mở rộng không gian ban đầu để bao gồm cả những giới hạn như vậy, dẫn đến sự ra đời của các không gian Lebesgue Lᵖ và sau đó là không gian Sobolev.

III. Phương pháp làm đầy không gian định chuẩn Nền tảng cốt lõi

Để giải quyết vấn đề không đầy đủ, toán học cung cấp một công cụ tổng quát và mạnh mẽ: định lý làm đầy không gian định chuẩn. Luận văn đã trình bày chi tiết phương pháp này trong chương I. Về cơ bản, quá trình này tương tự như cách xây dựng tập hợp số thực từ tập hợp số hữu tỉ. Xuất phát từ một không gian định chuẩn E, ta xét tập hợp tất cả các dãy Cauchy trong E. Một quan hệ tương đương được thiết lập: hai dãy Cauchy được coi là tương đương nếu hiệu của chúng tiến về 0. Mỗi lớp tương đương như vậy sẽ định nghĩa một phần tử mới trong không gian mở rộng, ký hiệu là Ê. Không gian Ê này sau đó được trang bị các phép toán cộng và nhân vô hướng, cùng với một chuẩn được định nghĩa thông qua giới hạn của chuẩn các phần tử trong dãy đại diện. Kết quả của quá trình này là một không gian Banach Ê. Một điểm quan trọng là không gian E ban đầu có thể được "nhúng" vào Ê như một tập trù mật (dense set). Điều này có nghĩa là mọi phần tử trong không gian đầy đủ Ê đều có thể được xấp xỉ bởi một dãy các phần tử từ không gian E ban đầu. Phương pháp này không chỉ áp dụng cho không gian Lᵖ mà còn là chìa khóa để xây dựng không gian Sobolev.

3.1. Định lý làm đầy và xây dựng các lớp tương đương

Định lý làm đầy phát biểu rằng mọi không gian định chuẩn E đều có thể được xem như một đa tạp tuyến tính trù mật trong một không gian Banach Ê. Quá trình chứng minh, như được mô tả trong luận văn (trang 3-5), bao gồm các bước: (1) Xét tập hợp tất cả các dãy Cauchy {xₙ} trong E. (2) Định nghĩa quan hệ tương đương {xₙ} ~ {yₙ} nếu lim ||xₙ - yₙ|| = 0. (3) Xây dựng không gian mới Ê là tập hợp các lớp tương đương. (4) Định nghĩa chuẩn trên Ê thông qua giới hạn chuẩn của dãy đại diện: ||x̂|| = lim ||xₙ||. (5) Chứng minh Ê là một không gian Banach, tức là nó đầy đủ.

3.2. Áp dụng Làm đầy không gian hàm liên tục thành không gian Lᵖ

Một ứng dụng trực tiếp của định lý làm đầy là việc xây dựng không gian Lebesgue Lᵖ(G). Ta bắt đầu với không gian các hàm liên tục trên G, ký hiệu C(G), với chuẩn Lᵖ. Không gian này không đầy đủ. Bằng cách áp dụng quy trình làm đầy, ta thu được không gian Lᵖ(G). Mỗi phần tử của Lᵖ(G) là một lớp tương đương của các dãy Cauchy gồm các hàm liên tục. Theo luận văn, các phần tử này có thể được đồng nhất với các hàm khả tích Lebesgue, cho phép sự tồn tại của các hàm gián đoạn tại một số điểm. Khi p=2, quy trình này tạo ra không gian Hilbert L²(G), một không gian có cấu trúc tích vô hướng vô cùng hữu ích.

IV. Hướng dẫn xây dựng không gian Sobolev W¹ ᵖ từ không gian hàm trơn

Trọng tâm của khóa luận nằm ở việc áp dụng nguyên lý làm đầy để xây dựng không gian Sobolev. Quá trình này bắt đầu từ không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục trên một miền G, ký hiệu là Cᵏ(G). Một chuẩn đặc biệt, gọi là chuẩn Sobolev, được định nghĩa trên không gian này. Chuẩn này không chỉ đo "kích thước" của hàm (thông qua chuẩn Lᵖ) mà còn đo cả "kích thước" của các đạo hàm của nó lên đến cấp k. Tuy nhiên, không gian Cᵏ(G) với chuẩn này vẫn chưa đầy đủ. Khi thực hiện quá trình làm đầy, chúng ta thu được không gian Sobolev Wᵏ,ᵖ(G). Các phần tử của không gian mới này không nhất thiết phải có đạo hàm theo nghĩa cổ điển. Thay vào đó, chúng có đạo hàm yếu (weak derivative). Đạo hàm yếu là một khái niệm tổng quát hóa, được định nghĩa thông qua công thức tích phân từng phần và cho phép chúng ta nói về "đạo hàm" của những hàm không trơn. Sự tồn tại của đạo hàm yếu trong không gian Lᵖ chính là điều kiện tiên quyết để một hàm thuộc về không gian Sobolev. Đặc biệt, khi p=2, ta thu được không gian Hilbert Hᵏ(G), một không gian có vai trò trung tâm trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.

4.1. Khái niệm cốt lõi Đạo hàm yếu và phân bố distributions

Đạo hàm yếu là nền tảng của không gian Sobolev. Theo luận văn (trang 15), một hàm w ∈ Lᵖ(G) được gọi là đạo hàm yếu của u ∈ Lᵖ(G) nếu phương trình ∫_G uφ' dx = -∫_G wφ dx nghiệm đúng với mọi hàm thử φ thuộc không gian các hàm trơn có giá compact C∞_c(G). Định nghĩa này dựa trên việc chuyển tác động của toán tử đạo hàm từ hàm u (có thể không trơn) sang hàm thử φ (rất trơn) thông qua tích phân từng phần. Khái niệm này liên quan mật thiết đến lý thuyết phân bố (distributions) và là chìa khóa để mở rộng các khái niệm giải tích cho một lớp hàm rộng lớn hơn.

4.2. Quy trình làm đầy không gian Wᵏ G thành không gian Wᵏ ᵖ G

Quá trình này tuân theo định lý làm đầy tổng quát. Ta bắt đầu với không gian Wᵏ(G) gồm các hàm có đạo hàm đến cấp k liên tục trên G. Chuẩn được định nghĩa là ||u||{Wᵏ,ᵖ} = (Σ{|α|≤k} ||Dᵅu||_{Lᵖ}ᵖ)¹/ᵖ. Một dãy Cauchy {uₙ} trong không gian này sẽ hội tụ, nhưng giới hạn u có thể không có đạo hàm cổ điển. Tuy nhiên, các dãy đạo hàm {Dᵅuₙ} cũng là dãy Cauchy trong không gian Lᵖ(G), do đó chúng hội tụ đến các giới hạn wᵅ trong Lᵖ(G). Các hàm wᵅ này chính là các đạo hàm yếu của u. Không gian kết quả, Wᵏ,ᵖ(G), bao gồm tất cả các hàm u như vậy.

4.3. Định lý nhúng Sobolev và các bất đẳng thức quan trọng

Một trong những kết quả mạnh mẽ nhất của lý thuyết này là định lý nhúng Sobolev. Định lý này chỉ ra mối liên hệ sâu sắc giữa các không gian Sobolev khác nhau và giữa không gian Sobolev với các không gian hàm liên tục. Cụ thể, trong một số điều kiện nhất định về bậc đạo hàm k, số mũ p và số chiều của không gian n, định lý khẳng định rằng một hàm trong không gian Sobolev Wᵏ,ᵖ(G) cũng sẽ thuộc một không gian L^q khác hoặc thậm chí là không gian các hàm liên tục Cᵐ(G). Cùng với các công cụ như bất đẳng thức Sobolev, các định lý này cung cấp thông tin về độ trơn và tính bị chặn của các nghiệm yếu tìm được trong không gian Sobolev.

V. Top ứng dụng của không gian Sobolev trong giải bài toán biên

Sức mạnh thực sự của không gian Sobolev được thể hiện rõ nhất qua các ứng dụng trong việc giải phương trình đạo hàm riêng (PDE). Nhiều bài toán vật lý và kỹ thuật dẫn đến các PDE mà không tồn tại nghiệm cổ điển (nghiệm trơn). Lý thuyết Sobolev cho phép định nghĩa một khái niệm nghiệm tổng quát hơn, gọi là "nghiệm yếu". Thay vì yêu cầu phương trình phải đúng tại mọi điểm, nghiệm yếu chỉ cần thỏa mãn phương trình ở dạng tích phân sau khi nhân với một hàm thử bất kỳ. Không gian làm việc tự nhiên cho các nghiệm yếu này chính là không gian Sobolev. Luận văn, trong chương III, đã trình bày cách tiếp cận này qua hai bài toán biên kinh điển: bài toán Dirichlet và bài toán Neumann. Bằng cách biến đổi phương trình vi phân thành một "dạng biến phân" trên không gian Hilbert H¹(G) hoặc H¹₀(G), ta có thể sử dụng các định lý mạnh của giải tích hàm, như Định lý Biểu diễn Riesz và Định lý Lax-Milgram, để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu. Cách tiếp cận này đã cách mạng hóa lĩnh vực PDE, mở đường cho các phương pháp số hiện đại như phương pháp phần tử hữu hạn.

5.1. Giải bài toán biên Dirichlet thuần nhất bằng nghiệm yếu

Bài toán Dirichlet tìm hàm u thỏa mãn -Δu + u = f trong miền G và u = 0 trên biên. Lời giải yếu cho bài toán này, theo luận văn (trang 38), là một hàm u thuộc không gian H¹₀(G) (không gian con của H¹ gồm các hàm triệt tiêu trên biên) thỏa mãn phương trình tích phân ∫_G (∇u⋅∇v + uv) dx = ∫_G fv dx với mọi hàm thử v ∈ H¹₀(G). Dạng song tuyến tính ở vế trái được chứng minh là liên tục và bức trên không gian Hilbert H¹₀(G). Do đó, Định lý Lax-Milgram đảm bảo sự tồn tại và duy nhất của một nghiệm yếu u cho mọi f ∈ L²(G). Đây là một kết quả nền tảng của lý thuyết phương trình Elliptic.

5.2. Phân tích bài toán biên Neumann và vai trò của không gian H¹ G

Đối với bài toán Neumann, điều kiện biên liên quan đến đạo hàm pháp tuyến của hàm u. Không gian hàm phù hợp ở đây là không gian Sobolev H¹(G). Công thức biến phân tương tự được thiết lập, và một lần nữa, các công cụ của giải tích hàm được áp dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu. Việc lựa chọn không gian Sobolev phù hợp (H¹₀ cho Dirichlet, H¹ cho Neumann) là yếu tố quyết định để có thể thiết lập một bài toán biến phân hợp lý và giải được nó. Những ví dụ này cho thấy không gian Sobolev không chỉ là một đối tượng toán học trừu tượng mà còn là một công cụ thiết yếu để giải quyết các vấn đề thực tiễn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương I: Làm đấy không gian ~ Không gian lebesque L? & không gian Hilbert L`. Dinh ly làm đầy không gian định chuẩn : -. Một số không gian thường gặp : Sennen a eres aE TEC L3: Không gine Laboqne LẺ (Gì: D0 scenic) f4: Rites glam HiắRertU L6 etỜ 12 Chương ñ : Không gian Sobole.—————<S<=——<<S<—<< I1: tdba cần MB G0600 600 S0 00056 S66 og SUD; Không dịng Sobollv NT (À2 2220222222222 2220-61 ĐỆ I4: Khôsr ra BURT core B40 (b2 22 6QceS II. Không gian Sobolev H’ (G) và H's (G) với Gc RẺ-.

Không gian HÌ (G) và định lý nhúng tổng quát của Sobolev.28 Chương II] : Một vài ví du trong không gian Sobolev : <5 [I. Kết qủa cẩn ee2 III. Bài toán về “ Điểu kiện Dinichict thuần nhất” trong Re. Bài toán về * Điểu kiện Neumenn thuần nhất” trong `.

Bài toán vé * Điều kiện Dinichlet thuần nhất” trong £È.————————— LUẬN VAN TOT NGHIE? Lam đầy không gian - Không gian Sobolev ee LOI CẢM ON Em trân trọng cảm ơn thdy Là Hoàn Hóa đã tận tinh giảng dạy trong những năm học qua và đã hướng dẫn cho em thực hiện luận văn này. Em chân thành cảm on quý thây cô và Ban chủ nhiệm khoa todn đã tận tình giáp da, hướng dẫn em học tập và tạo điều kiện cho em thực hiện luận văn. Đây là lần đầu tiên em thực hiện nghiêm túc và có kỷ luật việc nghiên cứu khoa học nên chắc chắn còn nhiều sai sót và hạn chế. Em kính mong sự đóng góp xây dựng của qúy thây cô.

Làm đầy không g i a n - K hô ng g i a n S o b o l e u UẬN VĂN TỐT NGHIÊ? L— — LỜI GIỚI THIỆU Trong luận văn này , em trình bày về vấn để làm đẩy đủ một số không gian. Tuy không phải tất cả mọi không gian định chuẩn déu day đủ , chẳng hạn không gian các hàm liên tục mà chuẩn định bởi dch phân , nhưng người ta đã đưa vào một quan hệ các lớp tương đương thích hợp để làm đấy những không gian ấy. Nội dung của luận văn được chia làm ba phần : - Trong phần 1 : Chúng ta sẽ đựa vào định ly làm đẩy không gian định chuẩn để làm đẩy không gian các hàm liên tục , với chuẩn định bời tích phân , thành không gian Lebesgue L” hay không gian Hilbert L* - Trong phần 2 : Chúng ta sẽ xét không gian các hàm có đạo hàm cấp | liên tục , chuẩn được định bởi tích phân. Làm đấy của không gian này là không gian Sobolev W'? trường hợp riêng là không gian Hilbert H'.

- Trong phan 3 : Đây là phần mà các vấn để bài toán biên trị được nêu rất tổng quát trong tài liệu tham khảo , nhưng luận văn chỉ để cập đến một vài bài toán biên trị thuần ahất về những hàm trong không gian Sobolev một chiểu hay ba chiểu. Qua qúa trình thực hiện luận văn , em được học thêm cách làm việc và nghiên cứu một vấn để mới. Đặc biệt , khi phát hiện được một vấn để mà trước đây mình chưa biết , điểu đó cho em một động lực mới để tìm tồi , học hỏi. Tuy nhiên , với kiến thức còn hạn hẹp , chắc bản luận văn còn nhiễu thiếu sót , và có thể còn đôi điểu em chưa hiểu được một cách sâu sắc , kính mong sự tận tình chỉ bảo của thầy cô , cũng như những ý kiến đóng góp của bạn bè.

để giúp em có thể theo học mồn toán nói chung , và ngành giải tích nói riêng. Sinh viên thực hiện LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu CHUONG |. LAM BAY KHONG GIAN KHONG GIAN LEBESQUE L” & KHONG GIAN HILBERT L2 1.1 Định ly lam day không gian định chuẩn 11.4 a tạp tuyến tinh Cho E là không gian vecto. Tap E, EcE „ được gọi là đa tạp tuyến tính nếu: với mọi v.y€ Ƒ, Ã, là các vô hướng, ta có Âx + ug € E.2 Dinh ly làm đấy không gian định chuẩn Mọi không gian định chuẩn E có thể được xem như một đa tạp tuyến tính trù mật trong không gian Banach É.

Chưng minh: Xét tất vả đây Cauchy (x„} trong E. Ta nói hai day (x„}, (x,} là tương đương nhau nếu lim |kạ—xn|| =9, ký hiệu là {x,]~|x,]. Quan hệ ''~” là quan hệ tương đương trong tập hợp các dãy Cauchy trong E. Với x = {x,], đặt x==ÿ„)x-»} là lớp tương đương của x.

Đặt £ là tập hợp tất cả các lớp tương đương, Nếu {x,) thuộc lớp x, viết Íyn}€x ta goi [x,} là phần tử đại diện cho lớp r. Bước2: Xây dưng £ là không gian vecto a. Trén Ê ta xảy dựng phép toán cộng Gọi day Cauchy (x,}. [y,| lấn lượt là phắn tử đại điện của x,yeE.

Khi đó rye Ela lớp sao cho dãy Cauchy la +y,}e xe, Định nghĩa x+ y độc lập với việc chọn đại diện các lớp x và y. Thật vậy, nếu [x,). } cùng thuộc lớp x, (y„l. Ly,| cùng thuộc lớp y,thi E.-z{, —0/jy_—y, 30 khi r H~»>*+, LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu ——— Suy ra: |x, +y.~ (Xx; +y I, sịx, -*,), *|y, xi, —=0,n—=® Do đó fe ©y Ì-É + }hay + y Ÿ cũng là đại điện cho lớp x+y.

Trên E xảy dựng phép nhàn lớp x với vô hướng 2 Gọi (x.) là đại diện của x, Khi đó lớp 4 x là lớp nhận day Cauchy ( Äx„] làm đại diện. định nghĩa 2 x độc lập với việc chon đại điện của lớp x, Với hai phép toán trên, E cũng là không gian vectơ. Phần tử không trên E là lớp Ø có phấn ur dai điện là dãy dừng {0|. Cho đãy Cauchy [x„| trong E đại diện của lớp x €E.Ta định nghĩa: a, ml, (L1) Giới hạn trên tốn tai vì (x,} là dãy Cauchy trong E, ta có ltx.||s [x„ = 22] +0, mn =>, suy ra {tx} là dãy Cauchy trong ®, do đó dãy {tx} hội tu theo tiều chuẩn Cauchy đối với dãy số.

Ngoài ra , giới hạn này độc lập với cách chọn đại điện của lớp x. Thật vậy, nếu {x„]. : Suy ra: lz. kết quả là: tim x, | = lim fx}.1) thoả ba tiên đế của chuẩn: (i).

VEN không gian dính chuẩn nên |x,Ï>0,Vx, c E. Suy ra: lH. Mặt khác, x=Ø ©Íx,}=Í0}©limkx, -oell =0 (ii). a, = mb=B l i ml = e la, LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu (iii).

ae >= ims, tinh |= +p) E E Vay £ là không gian định chuẩn. Bước 4: Chứng minh £ là không gian đẩy đủ œ> E đóng nhất với một đa tạp tuyến tính trong E Đóng nhất phan tử xe £ với lớp chứa dãy dừng {x}, tức là x, x, x, ., ký hiệu lớp đó la x. Rõ ràng lớp 2x chứa day dừng { 2x }, lớp x+y chứa dây dừng {x+y}. Vậy tập tất cả các lớp chứa những dãy dừng là đa tạp tuyến tính trong £, do cách đồng nhất trên, đa tạp đó chính là E.

B> E tra mat trong £ _ a a. £, bao đóng của E, là tập con của Edo sự đóng nhất ở (a) b. — Nếuxlà lớptrong £ thi x cũng là phấn tử trong £. That vậy, xét lớp x e È, tồn tại day Cauchy {x,) trong E sao cho Íx,}c x.

Theo tiêu chuẩn Cauchy ta có: Ve>0,3N :Vm,n> N ifr, =x„[, <5 (1) trong đó (x„}, {(x„) déu thuộc lớp tương đương x. Vậy với n > N, ta có: £ bx, ->Ï; = limJx, x„[, < 7 (do (1)) Suy ra |r, - x]; <e Kết luận: Đa tạp tuyến tính E trù mật trong Z. y> Ela khong gian Banach Cán chi ra rang: Moi day Cauchy { x" } trong E ta có: (i) ima =0 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Sobolev (ii) x là lớp tương đương trong E (hay chỉ ra tồn tại một dãy Cauchy {x„) trong E là đại diện của x) That váy, do x" là day Cauchy trong E nén lượng l= | tiến vé 0 khi m, & n dân ra «©, Ky hiệu |--~{ —x>Ô,nn,m =» © (2) Theo (B), vì E trù mat trong E nên tồn tại day (x„} trong E sao cho: 5 et (3) é Trước tiến, (x,) là dãy Cauchy trong E vi: Ix, -x, I. Ma day Cauchy {x,} — trong dãy dừng nén Ix.

- x„[,› suy ra (x,) eA là ee Cauchy trong £. -4, —>0,n—>= Vày E là không gian Banach.3 Làm đấy không gian được trang bị bởi một tích võ hưởng Xét không gian E được trang bị tích vô hướng (x,y). Làm đầy E như việc làm đấy cho một không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng: fx] = \[(x,x) (1.2) ta nhận được không gian Banach E chứa các lớp tương đương x của những dãy Cauchy [x,} trong E. E được trang bị tích vô hướng sau: giả sử x, y eE lần lượt có các đại diện {x,}.

{y,| là những dãy Cauchy trong E, khi đó: (x,y) = lim (x,XesYn) (L.1,3) và chuẩn tương ứng: lì = tim |x, = lim (x,,, x,)= (x, x) F ˆ (11.4) Làm diy của không gian được trang bị tích vô hướng là không gian Hilbert. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu 11.4 Phép đẳng cấu - Đẳng cự- Nhúng các không gian định chuẩn va các không gian Banach Dinh nghĩa 1: Hai không gian định chuẩn X. xX đẳng cấu nhau néu tồn tai một song ánh J_ X —> Xx tuyển tính sao cho: với mọi x trong X, tồn tại hằng số a, 8 dương thoả a|x| < |J(x)| < Bld. ta nói X và X đẳng cự với nhau.

Định nghĩa 2: Na gian định chuẩn X được nhúng trong không gian định chuẩn x néu tốn tại ánh xạ tuyén tinh J: X => x sao cho: với moi x thuộc X. tồn tại số Ø dương thoả: |/(x)|< Pfr}. ta nói X và x đẳng cự với nhau. © Phép đẳng cấu là phép nhúng hai không gian định chuẩn, trong đó có một hoặc cả hai là không gian Banach.2 Một số không gian thường gặp 1.24 Khônggian C(G) Xét G là một tập mở bị chan, liên thong, G là bao đóng của G trong không gian 9”.

Không gian định chuẩn C(G) chứa tất cả các hàmu liên tục trên G , với chuẩn : kÌ,.z, = max|z(x) 2,1) là không gian Banach.&>I Định nghĩa: C*(Ở)là không gian định chuẩn chứa tất cả các hàm u có đạo hàm cấp k liên tục trên Œ, với chuẩn: lu{,. = os 3” max|D u(x) = SN Ls, (1. Œ„), 0, > Ú, Vs = lm hal = +, +. +, LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu Và ký hiệu: D2 =——; D%= ; D* = DP Dật.DẠ" ý hệ ' & œ“ C'(G)& không gian Banach.