Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Trong quang hình học truyền thống, các bài toán khúc xạ ánh sáng thường được khảo sát trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng với giả định chiết suất không đổi ($n = \text{const}$). Khi truyền qua mặt phân cách phẳng giữa hai môi trường đồng chất, tia sáng đổi hướng đột ngột theo định luật Snell-Descartes và tiếp tục truyền thẳng. Tuy nhiên, trong thực tế vật lý và kỹ thuật, môi trường truyền sáng thường không đồng nhất; chiết suất của môi trường biến đổi liên tục phụ thuộc vào các yếu tố nhiệt độ, mật độ phân tử, áp suất hoặc độ cao của khối khí.

Sự biến thiên chiết suất dẫn đến hiện tượng tia sáng bị bẻ cong liên tục, tạo nên các quỹ đạo phi tuyến tính. Bản chất quang học này giải thích nhiều hiện tượng tự nhiên như ảo ảnh trên sa mạc, ảo tượng mặt đường nhựa vào ngày nắng nóng, hiện tượng con tàu ma (Fata Morgana) và là cơ sở vận hành của các linh kiện quang học hiện đại như cáp quang sợi dải chiết suất biến đổi (GRIN - Gradient-Index). Bên cạnh đó, các dạng bài toán quang hình trong môi trường có chiết suất biến đổi thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi Olympic Vật lý sinh viên toàn quốc và quốc tế.

Từ bối cảnh học thuật và thực tiễn trên, tác giả Nguyễn Thị Hằng thực hiện khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Vật lý đại cương với đề tài "Sự khúc xạ ánh sáng trong môi trường chiết suất biến đổi" tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 (năm 2018), dưới sự hướng dẫn khoa học của ThS. Nguyễn Thị Thắm.

Mục đích nghiên cứu của đề tài gồm hai nội dung chính:

  • Hệ thống hóa các kiến thức lý thuyết liên quan đến hiện tượng khúc xạ ánh sáng trong môi trường có chiết suất biến đổi.
  • Phân loại và xây dựng phương pháp giải quyết một số dạng bài toán quang học đặc thù thuộc dạng môi trường này.

Nhiệm vụ nghiên cứu được xác định cụ thể theo 3 bước:

  1. Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của hiện tượng khúc xạ ánh sáng trong môi trường chiết suất biến đổi.
  2. Tìm hiểu, phân loại một số dạng bài tập cơ bản về hiện tượng khúc xạ ánh sáng trong môi trường chiết suất biến đổi.
  3. Trình bày phương pháp giải chi tiết, thiết lập phương trình quỹ đạo tia sáng và rút ra các kết luận vật lý.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Hiện tượng khúc xạ ánh sáng trong môi trường có chiết suất biến đổi liên tục; các mô hình bài tập quang hình giải tích và phương pháp thiết lập quỹ đạo tia sáng.
  • Phạm vi nghiên cứu: Khảo sát các quy luật biến thiên chiết suất theo các cấu trúc hình học xác định (lớp phẳng song song, lớp vỏ cầu đồng tâm và lớp trụ đồng trục) và các hiện tượng quang học tự nhiên tương ứng.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp

Khóa luận được xây dựng dựa trên hệ thống các nguyên lý và định luật nền tảng của quang hình học:

  • Khái niệm chiết suất: Chiết suất tuyệt đối xác định theo vận tốc truyền sóng $n = \frac{c}{v}$ (với $c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}$ là tốc độ ánh sáng trong chân không, $v$ là tốc độ ánh sáng trong môi trường, $n \ge 1$). Chiết suất tỉ đối giữa hai môi trường được tính bằng tỉ số $n_{21} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{v_1}{v_2}$.
  • Các định luật quang hình học cơ bản: Định luật truyền thẳng ánh sáng trong môi trường trong suốt đồng tính và đẳng hướng; Định luật phản xạ ánh sáng ($i = i'$); Định luật khúc xạ ánh sáng Snell-Descartes ($\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{n_2}{n_1} = n_{21}$); Hiện tượng phản xạ toàn phần với điều kiện tia sáng truyền từ môi trường chiết quang hơn sang kém chiết quang hơn ($n_1 > n_2$) và góc tới thỏa mãn $i \ge i_{gh}$ với $\sin i_{gh} = \frac{n_2}{n_1}$.
  • Nguyên lý Fermat: Ánh sáng truyền giữa hai điểm $A$ và $B$ theo quỹ đạo có thời gian truyền ngắn nhất, tương đương với điều kiện quang trình $L = \int_A^B n, ds$ đạt giá trị cực trị ($\delta L = 0$).
  • Mô hình hóa môi trường chiết suất biến đổi: Môi trường có chiết suất biến đổi liên tục $n(y)$ dọc theo một trục tọa độ được chia thành vô số lớp mỏng vi phân có độ dày $dy$. Áp dụng định luật khúc xạ liên tiếp qua các mặt phân cách vi phân, tác giả rút ra hệ thức bất biến quang hình dọc theo tia sáng: $$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 = \dots = n(y)\sin i(y) = \text{const}$$ Từ đó, phương trình vi phân quỹ đạo được thiết lập qua hệ số góc tiếp tuyến của đường cong tia sáng: $\tan \alpha = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0} = f'(x_0)$.

Phương pháp nghiên cứu được tác giả sử dụng là phương pháp nghiên cứu lý thuyết kết hợp giải tích toán lý:

  • Phương pháp tra cứu, phân tích và tổng hợp tài liệu: Thu thập lý thuyết quang hình, các dữ liệu thực nghiệm về chiết suất môi trường và các đề thi Olympic chuyên ngành.
  • Phương pháp mô hình hóa và phân loại: Chia nhỏ không gian môi trường thành các lớp vi phân theo các hệ tọa độ đối xứng (Descartes, cầu, trụ), từ đó thiết lập phương trình vi phân và tích phân giải tích quỹ đạo đường truyền tia sáng.

Nguồn dữ liệu tham khảo của công trình bao gồm các tài liệu chuyên khảo: "Bài tập và lời giải quang học" (Yung-Kuo Lim, NXB Giáo dục, 2010), "Chuyên đề duyên hải Bắc Bộ 2015" (Bùi Khương Duy), "Giáo trình thiên văn" (Nguyễn Hữu Tình, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội) cùng hệ thống đề thi Olympic Vật lý sinh viên toàn quốc giai đoạn 2010–2016.

Nội dung chính theo từng chương

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Chương 1 hệ thống hóa các khái niệm, định luật cơ bản của quang hình học và xây dựng cơ sở toán học để khảo sát môi trường không đồng nhất:

Tác giả trình bày định nghĩa chiết suất tuyệt đối, chiết suất tỉ đối và đưa ra bảng số liệu chuẩn về chiết suất tuyệt đối của các môi trường đo ở $20^\circ\text{C}$ đối với ánh sáng vàng natri (hoặc ở $0^\circ\text{C}, 1\text{ atm}$ đối với chất khí):

Trạng thái Môi trường Chiết suất tuyệt đối ($n$)
Chất rắn Kim cương 2,419
Thủy tinh crao 1,464 – 1,532
Nước đá 1,309
Muối ăn 1,544
Hổ phách 1,546
Polistiren 1,590
Xaphia 1,768
Chất lỏng Nước 1,333
Benzen 1,501
Glixerol 1,473
Chất khí Không khí ($0^\circ\text{C}, 1\text{ atm}$) 1,000293
Khí cacbonic ($0^\circ\text{C}, 1\text{ atm}$) 1,00045

Tiếp đó, chương luận giải chi tiết định luật truyền thẳng, định luật phản xạ, định luật khúc xạ và hiện tượng phản xạ toàn phần. Chương 1 đặt trọng tâm vào việc diễn giải toán học của nguyên lý Fermat thông qua biểu thức tích phân quang trình $t = \frac{1}{c}\int_A^B n,ds$. Khi áp dụng vào môi trường có chiết suất biến đổi dọc theo trục $Oy$, bằng phương pháp chia lớp vi phân, tác giả chứng minh rằng tia sáng bị bẻ cong liên tục và quỹ đạo $y = f(x)$ có hệ số góc vi phân liên hệ trực tiếp với góc tới cục bộ $i(y)$ qua hệ thức $\cot i = \frac{dy}{dx}$.

CHƯƠNG 2: CÁC HIỆN TƯỢNG KHÚC XẠ ÁNH SÁNG TRONG TỰ NHIÊN

Chương 2 vận dụng lý thuyết quang hình để phân tích và giải thích các hiện tượng quang học tự nhiên, chia làm hai nhóm môi trường:

1. Hiện tượng khúc xạ trong môi trường chiết suất không đổi

  • Vật bị gãy khúc tại mặt phân cách: Giải thích cảm giác nhìn đũa hoặc bút chì bị gãy trong cốc nước do tia sáng từ phần chìm bị khúc xạ ra xa pháp tuyến khi sang không khí, tạo ảnh ảo nâng lên gần mặt nước; giải thích việc nhìn thấy hai ảnh của con cá ở các vị trí khác nhau qua thành bể thủy tinh.
  • Hiện tượng cầu vồng: Giải thích cơ chế tán sắc, khúc xạ và phản xạ trong các giọt nước mưa hình cầu. Khóa luận thiết lập giải tích cho cầu vồng bậc 1 (phản xạ trong 1 lần), tính toán góc lệch $D = 180^\circ + 2i - 4r$. Điều kiện góc lệch cực tiểu $\frac{dD}{di} = 0$ cho nghiệm $\sin i = \sqrt{\frac{4 - n^2}{3}}$. Với chiết suất của nước $n = 1,33$, góc lệch cực tiểu đạt $D_{\min} \approx 138^\circ$, tương ứng góc quan sát cực đại giữa hướng nhìn và ánh sáng tới là $\theta_{\max} = 42^\circ$. Do đó, người quan sát phải đứng quay lưng lại Mặt Trời, và hiện tượng chỉ quan sát được khi Mặt Trời ở độ cao dưới $42^\circ$ so với đường chân trời (trong khoảng từ 6h–9h sáng và 15h–18h chiều).
  • Cầu vồng tay vịn (cầu vồng bậc 2): Khảo sát tia sáng phản xạ trong 2 lần trước khi ló ra ngoài giọt nước, dẫn đến biểu thức góc lệch $D = 180^\circ - 6r + 2i$. Đạo hàm tìm cực trị cho $\sin i = \sqrt{\frac{9 - n^2}{8}}$, xác định góc lệch cực tiểu $D_{\min} \approx 51^\circ$, giải thích dải màu thứ hai mờ hơn nằm phía ngoài cầu vồng chính.

2. Hiện tượng khúc xạ trong môi trường chiết suất biến đổi

  • Ảo ảnh trên sa mạc và mặt đường nhựa: Bề mặt đường nhựa/cát hấp thụ bức xạ nhiệt mạnh làm lớp không khí sát mặt đất nóng lên, mật độ khí giảm dẫn đến chiết suất giảm dần từ trên cao xuống dưới mặt đất ($n_{\text{dưới}} < n_{\text{trên}}$). Tia sáng từ bầu trời truyền xuống bị bẻ cong lõm lên phía trên và phản xạ toàn phần cục bộ đi vào mắt người quan sát, tạo ra ảo ảnh vũng nước phản chiếu bầu trời.
  • Hiện tượng Fata Morgana (con tàu ma): Xảy ra trên các vùng biển lạnh khi lớp không khí sát mặt nước lạnh hơn lớp trên cao, tạo ra nghịch đảo nhiệt độ ($n_{\text{dưới}} > n_{\text{trên}}$). Tia sáng từ con tàu bị bẻ cong hướng xuống dưới, khiến mắt người nhìn thấy ảnh ảo lơ lửng trên không trung phía trên đường chân trời.

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ KHÚC XẠ ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI

Chương 3 trình bày các bài toán giải tích mẫu được phân loại theo cấu trúc hình học của hàm chiết suất:

Dạng 1: Chiết suất thay đổi theo các lớp phẳng

Khảo sát tia sáng truyền qua môi trường có chiết suất biến thiên $n = n(y)$ theo các lớp phẳng song song, ứng dụng phương trình bất biến $n(y)\cos\theta(y) = \text{const}$ hoặc $n(y)\sin i(y) = \text{const}$ để tích phân tìm quỹ đạo $y(x)$.

Dạng 2: Chiết suất thay đổi theo các lớp hình cầu

  • Bài toán 1 (Truyền ánh sáng cong quanh Trái Đất): Xét mô hình chiết suất khí quyển biến thiên theo độ cao hình cầu $n(r) = 1 + \rho e^{-\frac{r-R}{h}}$ (với $R = 6400 \cdot 10^3\text{ m}$ là bán kính Trái Đất, $h = 8700\text{ m}$ là độ cao quy chuẩn, $\rho$ là hệ số tỉ lệ theo mật độ không khí). Áp dụng nguyên lý Fermat cho đường truyền tròn $L = r\theta \cdot n(r)$ đạt cực trị: $$\frac{dL}{dr} = 0 \implies \frac{dn(r)}{dr} = -\frac{n(r)}{r}$$ Kết hợp đạo hàm hàm mũ, tại mực nước biển ($r = R$, $n(R) = 1,0003$), khóa luận tính được: $$\rho = \frac{n(R) \cdot h}{R} = \frac{1,0003 \cdot 8700}{6400 \cdot 10^3} \approx 0,00136$$ So với hệ số thực tế ở mực nước biển $\rho_0 = n_0 - 1 = 0,0003$, tỉ số đạt được là: $$\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{0,00136}{0,0003} \approx 4,53\text{ lần}$$ Kết luận: Mật độ khí quyển phải đậm đặc gấp 4,53 lần thực tế thì tia sáng mới có thể truyền men theo độ cong bề mặt Trái Đất ở mực nước biển.

  • Bài toán 2 (Tia laser trong môi trường đối xứng cầu): Môi trường có chiết suất phân bố đối xứng tâm $O$ theo quy luật: $$n(R) = \begin{cases} n_0 \frac{R_0}{R} & \text{khi } R \ge R_0 \ n_0 & \text{khi } R < R_0 \end{cases}$$ Tia laser đi vào từ vị trí $R_1 > R_0$ với góc nghiêng $\varphi_1$ so với vectơ bán kính. Bằng định luật bảo toàn $n(R) R \sin\varphi(R) = \text{const}$, tác giả tìm ra công thức xác định khoảng cách nhỏ nhất $R_{\min}$ từ tâm $O$ tới tia sáng:

    • Nếu $R_1 \sin\varphi_1 \ge R_0$ thì $R_{\min} = R_1 \sin\varphi_1$.
    • Nếu $R_1 \sin\varphi_1 < R_0$ thì $R_{\min} = \frac{R_1^2}{R_0}\sin^2\varphi_1$.

    Áp dụng số liệu: $n_0 = 1$, $R_0 = 30\text{ cm}$, $R_1 = 40\text{ cm}$, $\varphi_1 = 30^\circ$, tính được $R_{\min} \approx 26,7\text{ cm}$.

Dạng 3: Chiết suất thay đổi theo các lớp hình trụ

  • Bài toán 1 (Cáp quang trụ bậc 2): Đoạn sợi quang hình trụ bán kính $R$, trục đối xứng $Ox$, chiết suất $n(r) = n_0 \sqrt{1 - 2r^2}$ (với $n_0 = \frac{2}{\sqrt{3}}$, $r$ tính bằng cm). Tia sáng chiếu vào tâm $O$ dưới góc tới $i_0 = 30^\circ$ (góc khúc xạ ban đầu):

    1. Thiết lập phương trình vi phân $\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{n^2(y)}{n_0^2 \sin^2 i_0} - 1}$, lấy tích phân với điều kiện biên $(0, 0)$ thu được phương trình quỹ đạo là đường parabol: $$y = -2x^2 + \sqrt{3}x$$
    2. Tọa độ đỉnh cực đại $y_{\max} = \frac{3}{8}\text{ cm} = 0,375\text{ cm}$. Điều kiện để tia sáng truyền hoàn toàn bên trong lõi mà không bị ló ra ngoài là $R \ge 0,375\text{ cm}$.

  • Bài toán 2 (Sợi quang gradient parabol tổng quát): Sợi quang có lõi bán kính $a$, chiết suất $n(y) = n_1 \sqrt{1 - \alpha^2 y^2}$ (với $\alpha > 0$, $y \le a$). Lớp vỏ ngoài có chiết suất $n_2 = n(a) = n_1 \sqrt{1 - \alpha^2 a^2}$. Tia sáng đi vào tâm $O$ dưới góc $\theta_0$:

    1. Phương trình quỹ đạo tia sáng có dạng sóng hình sin tuần hoàn: $$y(x) = \frac{\sin\theta_0}{\alpha n_1} \sin(\alpha x)$$
    2. Độ cao cực đại của tia sáng là biên độ $y_{\max} = \frac{\sin\theta_0}{\alpha n_1}$. Để tia sáng truyền trọn vẹn trong lõi ($y_{\max} \le a$), góc tới cực đại $\theta_{\max}$ thỏa mãn: $$\sin\theta_{\max} = \alpha a n_1 = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} \implies \theta_{\max} = \arcsin\sqrt{n_1^2 - n_2^2}$$

Kết quả và đóng góp

Khóa luận đạt được các kết quả giải tích và số liệu định lượng cụ thể:

Bài toán / Hiện tượng Quy luật phân bố chiết suất $n$ Kết quả giải tích & Số liệu định lượng
Cầu vồng bậc 1 Giọt nước đồng chất ($n = 1,33$) Góc lệch cực tiểu $D_{\min} \approx 138^\circ$; Góc quan sát tối đa $\theta_{\max} = 42^\circ$
Cầu vồng bậc 2 Giọt nước đồng chất ($n = 1,33$) Góc lệch cực tiểu $D_{\min} \approx 51^\circ$ (cầu vồng tay vịn)
Khí quyển Trái Đất Đối xứng cầu: $n(r) = 1 + \rho e^{-\frac{r-R}{h}}$ $\rho = 0,00136$; Mật độ khí cần gấp 4,53 lần thực tế để bẻ cong tia sáng quanh Trái Đất
Môi trường cầu GRIN Đối xứng cầu: $n(R) = n_0 \frac{R_0}{R}$ ($R \ge R_0$) Với $R_0=30\text{ cm}, R_1=40\text{ cm}, \varphi_1=30^\circ \implies R_{\min} \approx 26,7\text{ cm}$
Cáp quang Parabol Đối xứng trụ: $n(r) = \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{1 - 2r^2}$ Quỹ đạo tia sáng: $y = -2x^2 + \sqrt{3}x$; Điều kiện bán kính sợi: $R \ge 0,375\text{ cm}$
Cáp quang Gradient Đối xứng trụ: $n(y) = n_1\sqrt{1 - \alpha^2 y^2}$ Quỹ đạo hàm sin: $y(x) = \frac{\sin\theta_0}{\alpha n_1}\sin(\alpha x)$; Góc tới giới hạn: $\theta_{\max} = \arcsin\sqrt{n_1^2 - n_2^2}$

Đóng góp của khóa luận thể hiện ở việc hệ thống hóa phương pháp vi phân lớp mỏng và áp dụng nguyên lý Fermat để chuyển hóa các bài toán quang hình phi tuyến phức tạp thành các phương trình vi phân giải tích giải được. Công trình liên kết chặt chẽ giữa hiện tượng vật lý định tính trong tự nhiên với các bài toán mô hình hóa định lượng ứng dụng trong công nghệ truyền dẫn quang sợi.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

  • Hạn chế: Đề tài giới hạn khảo sát trong khuôn khổ quang hình học tia sáng cổ điển, chưa xét đến các hiệu ứng quang sóng (nhiễu xạ, giao thoa sóng trong sợi quang đơn mode) hoặc hiện tượng tán sắc phi tuyến (sự phụ thuộc của chiết suất vào bước sóng $\lambda$ và cường độ sáng $I$). Các bài toán tập trung vào dạng đối xứng giải tích 2D lý tưởng, chưa khảo sát mô hình biến thiên chiết suất ngẫu nhiên hay bất đối xứng không gian 3 chiều.
  • Hướng nghiên cứu tiếp: Mở rộng nghiên cứu quang hình sang quang sóng trong môi trường gradient chiết suất; mô phỏng số quỹ đạo tia sáng trong các môi trường có hàm chiết suất bất kỳ; khảo sát hiện tượng truyền xung quang trong sợi quang GRIN phục vụ truyền thông thông tin quang học.

Giá trị tham khảo

Khóa luận là tài liệu tham khảo phù hợp cho:

  • Sinh viên chuyên ngành Sư phạm Vật lý, Vật lý học và Kỹ thuật Quang học dùng làm tài liệu học tập, mở rộng chuyên đề Quang hình học nâng cao.
  • Giảng viên và giáo viên phụ trách bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn Vật lý các cấp, sinh viên ôn thi Olympic Vật lý sinh viên toàn quốc (phần bài tập tính toán quỹ đạo trong môi trường đối xứng cầu và sợi quang gradient ở Chương 3).
  • Giáo viên Vật lý phổ thông tham khảo nội dung Chương 2 để xây dựng bài giảng thực tế giải thích các hiện tượng thiên nhiên (cầu vồng, ảo ảnh sa mạc, hiện tượng Fata Morgana).

Câu hỏi thường gặp

1. Để tia sáng truyền vòng quanh Trái Đất theo mực nước biển, mật độ khí quyển phải thay đổi như thế nào so với thực tế?
Theo kết quả giải tích bài toán 1 dạng 2 tại Chương 3, dựa vào nguyên lý Fermat và hàm phân bố chiết suất khí quyển $n(r) = 1 + \rho e^{-\frac{r-R}{h}}$ ($R = 6400 \cdot 10^3\text{ m}, h = 8700\text{ m}, n(R) = 1,0003$), hệ số $\rho$ tính được là $0,00136$. So với hệ số thực tế $\rho_0 = 0,0003$, mật độ khí quyển ở mực nước biển phải đậm đặc hơn gấp khoảng 4,53 lần.

2. Góc lệch cực tiểu và điều kiện góc nhìn tối đa để người quan sát nhìn thấy cầu vồng bậc 1 là bao nhiêu?
Áp dụng định luật khúc xạ và cực trị góc lệch qua giọt nước mưa ($n = 1,33$), góc lệch cực tiểu giữa tia tới và tia ló là $D_{\min} \approx 138^\circ$. Góc quan sát cực đại giữa hướng nhìn của mắt và hướng ánh sáng Mặt Trời tới là $\theta_{\max} = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$. Người quan sát chỉ thấy cầu vồng khi Mặt Trời cách đường chân trời không quá $42^\circ$ (từ 6h–9h sáng và 15h–18h chiều).

3. Phương trình quỹ đạo của tia sáng truyền trong sợi quang có chiết suất biến thiên $n(y) = n_1\sqrt{1 - \alpha^2 y^2}$ có dạng hình học gì?
Quỹ đạo của tia sáng trong lõi sợi quang là đường hình sin tuần hoàn có phương trình $y(x) = \frac{\sin\theta_0}{\alpha n_1} \sin(\alpha x)$, trong đó $\theta_0$ là góc tới tại tâm sợi quang, $\alpha$ là hằng số biến thiên chiết suất và $n_1$ là chiết suất trên trục sợi quang.

4. Bán kính tối thiểu $R$ của sợi cáp quang trong Bài 1 Dạng 3 Chương 3 để tia sáng không bị ló ra ngoài là bao nhiêu?
Với hàm chiết suất $n(r) = \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{1 - 2r^2}$ và góc khúc xạ ban đầu $i_0 = 30^\circ$, quỹ đạo tia sáng là đường parabol $y = -2x^2 + \sqrt{3}x$. Đỉnh cực đại của quỹ đạo đạt tọa độ $y_{\max} = \frac{3}{8}\text{ cm} = 0,375\text{ cm}$. Do đó, bán kính của sợi cáp quang phải thỏa mãn điều kiện $R \ge 0,375\text{ cm}$.

5. Tại sao ảo ảnh mặt đường nhựa hoặc sa mạc chỉ quan sát được từ xa vào những ngày nắng nóng?
Bề mặt hấp thụ nhiệt mạnh tạo ra lớp khí sát đất có nhiệt độ cao, dẫn đến mật độ phân tử giảm và chiết suất giảm dần khi càng gần mặt đường. Tia sáng từ phía trên chiếu xuống bị bẻ cong lõm lên phía trên và chỉ đạt góc tới thỏa mãn phản xạ toàn phần cục bộ khi góc tới đủ lớn (tia sáng truyền xiên góc nhỏ với mặt đất), do đó người quan sát chỉ nhìn thấy ảnh ảo bầu trời (vũng nước) ở khoảng cách xa.

Kết luận

Khóa luận tốt nghiệp của tác giả Nguyễn Thị Hằng đã xây dựng hệ thống cơ sở lý thuyết toán lý vững chắc về hiện tượng khúc xạ ánh sáng trong môi trường có chiết suất biến đổi liên tục. Tác giả đã vận dụng lý thuyết để giải thích định lượng và định tính các hiện tượng quang học tự nhiên, đồng thời thiết lập phương pháp giải tích phân loại cho 3 nhóm bài toán theo cấu trúc lớp phẳng, lớp cầu và lớp trụ. Công trình là nguồn tài liệu học thuật hữu ích phục vụ giảng dạy, học tập và bồi dưỡng chuyên đề quang hình học giải tích nâng cao.