Chương 1 Da thức Legendre va ham cau 1. Giới thiệu * AF am Da thức Legendre xuất hiện trong nhiều bài toán vật lý khác nhau: e Chúng có nguồn gốc là nghiệm của PTVP Legendre thường trong việc tách biến đối với phương trình Laplace và các PTVP thường tương tự trong hệ tọa độ trụ và can. e Chúng xuất hiện từ hệ quả của việc yêu cầu một bộ hàm có tính day đủ và trực giao trong đoạn [—], 1]. e Trong cơ học lượng tử, chúng (thực chat là hàm cau) đại điện cho các hàm riêng của toán tử moment động lượng quỹ dao.
e Chúng được xác định bởi một hàm sinh: Chúng tôi giới thiệu đa thức Legendre ở đây bằng cách đưa ra thé tĩnh điện của một điện tích điểm, hoạt đồng như hàm sinh. Thế tinh điện của điện tích g đặt cách gốc toa độ một khoảng 0. Cơ sở vat lý: Tinh điện Các đa thức Legendre xuất hiện trong khai triển của thế tĩnh điện trong chuỗi xuyên tâm nghịch đảo. Xét một điện tích g đặt trên truc z tai z = Như hiển thị trong Hình1.1, thế tĩnh điện của điện tích ø là 1 q —@=——:— ( (Hệ đơn vị SI).1 chúng tôi muốn biểu thị thế tinh điện dưới dang hệ tọa độ tru và cau r và 0 (tọa độ ¿ không có do đối xứng phương vi, nghĩa là bat biến dưới phép quay quanh trục z}, Sử dụng định lý cosine trong Hinh1.
Ham sinh Xét trường hợp r > a. Can thức trong PT (1.2) có thể được khai triển =. +: 3 3 ` + ~ * 1e trong chuỗi nhị thức đối với rˆ > |a* — 2ar cosØl và sau đó sắp xếp lại lũy Hình 1. Điều này mang lại hệ số 1 của (a/r}? = 1, cos Ø là hệ số của (œ/r),.
Đa thức Legendre P,,(cos @) (Hình1.2) được định nghĩa là hệ số của (a/'r)", do đó x v=a 4 > Đ„(cos @) @)-r (1.t) là hàm sinh cho Đ„(z). Đa thức P,(x) này được biểu diễn trong Bang 1. Trong phần tiếp theo, cho thấy rằng |P,(cos@)| < 1, nghĩa là chuỗi khai triển (PT (1.4)) hội tụ đỗi với |£Ì < 1. That vậy, chuỗi hội tụ đối với |t| = 1 ngoại trừ tai z = +1, trong đó |P„(#+1)| = 1.
ct Trong các ứng dung vật lý, chang han như thế Coulomb hoặc thế hap dẫn, PT (1.4) thường xuất hiện dưới dang vector 9 14 1 ra\” Vr. =———= Ír?+r?— ary ry]? = — [1 + (2) ~2 (2) cos6 1 |Fi — rol ° r li rl Dang thức cuỗi cùng thu được bởi thừa số ?¡ = |rị| từ mau thức, sau đó, đối với rị > rg, ta có thể khai triển theo PT (1. Bang cách này, ta có được l 1 Ch/7<Ì\» - onl Re ¬ P,(cos 8), (1.5) n=0 trong đó I r„ = |P gáy vạ ri] > |ral.6) re = |r› và Ts = |ra| 2. Ze = đối với |ra| > |m|.7) fe= Iri| Ví dụ 1.1: Các giá trị đặc biệt Một ứng dụng đơn giản và rộng rãi của hàm sinh ø là sử dụng cho các giá trị đặc biệt (ví dụ x = £1), trong đó, ø có thể được tính rõ ràng.
Nếu ta đặt z = 1, thì điểm z = a trên trục z dương, nơi mà thế có dang đơn giản, PT (1.4) trở thành 1 | = (1-—2t+t?)2 1-¢ » M8) — i «aml, `” ` 1.8 6 sử dụng khai triển nhì thức hoặc chuỗi hình học. Tuy nhiên, PT (1.4) đối với x = | xác định So sánh hai chuỗi khai triển, ta có P,(1) = 1.9) Nếu ta dat z = —1 trong PT (1.4), thi điểm z = —a trên trục z âm trong Hinh1.1, nơi mà thế đơn giản, sau đó ta lấy tổng tương tự 1 1 ' ame= THe =O" a0) sao cho P,(-1) = (-1)”.11) Các kết quả tổng quát nay khó phat triển từ các cong thức khác hơn là đa thức Legendre. Nếu ta lay z = 0 trong PT (1.4), sử dụng khai triển nhị thức (1+£') -1/2 _ 1_ = 42 bến 1—=-t +;f +.1: Các da thức Legendre. Các kết quả này có thể được kiểm nghiêm bằng cách đò Bảng 1.2: Tính chan lẻ Nếu ta thay # bằng —z và ¢ bằng — thì hàm sinh vẫn không đổi.15) n=0 n= So sánh hai chuỗi này, ta có P,(-a) = (—1)"P.16) nghĩa là các ham đa thức lẻ hay chan (đối với z = 0) theo chỉ số n lẻ hay chin.
Đây là tính chat chin lẻ hay phan chiêu, đóng một vai trò quan trọng trong cơ học lương tử. Tính chin lẻ được bảo toàn khi Hamiltonian bat biến đưới sự phản chiều của các tọa độ r -> —r. Đỗi với lực xuyên tam, chỉ số + là moment động lượng quỹ đạo (và n(n + 1) là trị riêng của L?), do đó liên kết tinh chan lẻ va moment động lượng quỹ đạo. Tinh chất chăn lẻ này sẽ được xác nhận bởi nghiệm chuỗi và cho các trường hợp đặc biệt được liệt ké trong Bang 1.
Chuỗi lũy thừa Ta khai triển hàm sinh dưới đang e t e S A (2n) 2 ca n= n=1 ` Sm (êm mở E (aa) Trước khi khai triển (2z( — f?)", ta hay kiểm tra các lũy thừa thấp nhất của Í.3: Các đa thức Legendre thắp nhất Dối với một số đa thức Legendre đầu tiên (ví dụ Py, Py và P2), ta cần các hệ số của t®, t? và (° trong PT (1. Các lũy thừa này của t chỉ xuất hiện trong các số hạng n = 0,1 và 2; do đó, ta có thể giới han sự chú ý ` x =z ° =: a vào ba số hang dau tiên của chuỗi vô han: 0" _(2et — ) + — (ant ponent —£) + ppt 8) + sang — 2)! = (2zt - t?)? = 1t°+at!+ (52 — 5) t? + O(t’). 35 Ì\, Sau đó, từ PT (1.18) xác nhận dita vào Bảng 1. Ta lặp lại sự phát triển giới han này trong một khung vector ở phan sau của phan này.
Khi sử dụng phương pháp xử lý tổng quát. ta nhận thấyrằng khai triển nhị thức của thừa số (2z — £?)” mang lại chuỗi kép (1 — 2at+ f') › ~ Om 2 —1/2 ‘ — _ Ptest » (-1)* Ha-me (2n)! (2 * ot An t n—kyk n=0 >> k—0"¬-.19) trở thành oo |r /2] g o g2\-1/2 (1 — 2zt+†?) 1 = — — ) T\Ẻ SC (2n — 2k)! En —N)l(n x\n—2k„n = DE (2+) tự, (1.20) với f" độc lập với chỉ số k. Bây giờ, cân bằng hai chuỗi lũy thừa (các PT (1.20)) theo số hạng, ta có In/2] 2 — Gì _ 71k (2n — Pa(z) = » 1) Pia Ainae 2k)! zy" 2E 31) (1.21) Theo cong thức trên, khi k = 0 thi lũy thừa cao nhất của P„(z) là x", và lũy thừa thấp nhất là x” = 1 đối với n chẵn và x đối với n lẻ. Điều này phù hợp với Ví dụ 1.
Ngoài ra, déi với n chan, P„ chỉ có lũy thừa chan của « và do đó, trang thái chan (xem PT (1.16)) va lũy thừa lẻ và trang thái lẻ đối với n lẻ. Đa cực điện tuyến tính Quay lại điện tích trên trục z, ta chứng mình tính hữu ích và sức mạnh của ham sinh bằng cách thêm một điện tích —q tại z = —a, như trong Hinh1.3, sử dung nguyên lý chồng chất điện trường. Thế trở thành và bằng cách sử dụng định lý cosine, đối với r > a, ta có 11 trong đó căn thứ hai giống với căn thứ nhất, ngoại trừ a được thay bởi —a. Sau đó, sử dung PT (1.24) 2aq— Pi(cos0 AEG t td với 2aq la moment lưỡng cực điện (Hinh1.
Nếu thé trong PT (1.22) được coi là thế lưỡng cực, sau đó là PT(1.21) cho bởi trạng thái tiêm cận đối với ? rộng. Phân tích này có thé được mở rộng bằng cách đặt các điện tích bổ sung trên trục z để số hang P;, cũng như số hang Py (đơn cực) bi hủy bỏ. Ví dụ, các điện tích g tại z = a và z = —a,—2q tại z = 0 làm phát sinh thế mà việc khai triển chuỗi bắt dau với P2(cos Ø). Day là một tứ cực điện tuyến tính.
Hai tứ cuc tuyến tính có thé được đặt sao cho số hạng tứ cực bị hủy bỏ, nhưng số hang bát cực điện P; vẫn ton tại. Các khai triển này là những trường hợp đặc biệt của khai triển đa cực tổng quát cha điện thế, 1. Khai triển vector Ta xét thế tĩnh điện được tạo bởi một điện tích phân bố p(ro): pra) ễ — AI Gregft} lr) - Ti 1.2! 5) 12 Xét mẫu thức của hàm lấy tích phân, đầu tiên sử dụng định lý cosine và sau đó khai triển nhị thức, thu được if : : li —ra| —- (rf — 2m - rạ + rÿ)1⁄”2 1-12 (1.26) 1 2ra-ry r2\) 12 =xÍ1 (- = 244) ri rộ rộ ,— đỗi với ry > re 1 rr. Ir} 3(r-n)Ÿ aX" Với ry = lyre = f, và ry - re = xt, PT (1.26) giảm xuống ham sinh là PT (1.
Số hang đầu tiên trong ngoặc vuông (1) thu được thế 1 1 0É") =——— ey(r,) Fai 0(r›)dTr› ra)đ7a.27 Tích phân chứa tổng điện tích. Phần tổng thế này là một đơn cực điện. Số hạng thứ hai cho kết quả lr yi(ri) = man rạø(ra)da, (1.28) trong đó tích phan là moment lưỡng cực mà mật độ điện tích ø{r¿) được gia trọng bởi một nhánh moment rg. Ta có một thế lưỡng cực điện.
Đối với các trạng thái nguyên tử hoặc hạt nhân có tinh chan lẻ xác định, ø(r;) là một ham chin và tích phân lưỡng cực về bản chất là không. Tuy nhiên, khi có điện trường tác dụng, sự chồng chat của trạng thái chẫn/1ẻ có thể phát triển để moment lưỡng cực cảm ứng tạo ra không còn bằng không nữa. Hai số hang cuối, cả hai thứ tự {r¿/r)” có thể được xử lý bằng cách 13 sử dung tọa d6 Cartesian. fel gel Sap xếp lai các biến để giữ nguyên x2 bên trong tích phân, thu được i s — ỗ j r ÿ ] p ( r a ) d r a .29) ; #a(ri) = deo 2r? ds #1; [ tJ=l l e v Dây là số hạng tứ cực điện.
Lưu ý rằng dẫu ngoặc vuông trong hàm lẫy tích phân tạo thành một tensor đối xứng không vết. Sự khai triển đa cực tĩnh điện tổng quát cũng có thể được phát triển bởi PT (1.25) cho thế (r4) và thay 1/(4z|rị — raÏÌ) bằng một chuỗi (kép) của nghiệm góc của phương trình Poisson. Trước khi kết thúc trường đa cực. ta nhắn mạnh ba điểm: e Thứ nhất, một đa cực điện (hoặc từ) có giá trị không phụ thuộc vào điểm gốc (điểm tham chiếu) chỉ khi tất cả các số hạng bậc thấp hơn triệt tiên.
Ví du, thé của một điện tích q tai z = a được khai triển trong chuỗi của đa thức Legendre.