MỞ ĐẦU Khi xét bài toán đao động tử điều hòa, Dirac đã đưa ra khái niệm toán tử sinh và toán tử hủy a, â”. Hai toán tử này là sự tổ hợp của các toán tử toa độ và xung lượng X,p, như sau: a = ae me Oo? (la) a+ ` a = ¬ạ are? (1b) Từ hệ thức giao hoán giữa toán tử toa độ và xung lượng X. chúng ta dé dàng chứng minh biểu thức giao hoán tử (a, a7] = 1. (4) Lời giải Dirac khi clin có thể đưa vé dạng tường minh theo tọa độ x.
Tuy nhiên, trong quá trình tính toán không cần biết rõ dạng tường minh mà chi cần sử dụng tính toán đại số thông qua giao hoán tử (2) và phương trình (3). Nghiệm được xây dựng như thế gọi là nghiệm đại số. Trong bài toán dao động tử điều hòa, các toán tử sinh hủy do Dirac đưa ra biểu thị một sự sinh ra hay mất đi một lượng tử nào đó tương ứng với sự làm tăng lên hay giảm đi một mức trạng thái của hệ. Cụ thể : ajn) = nịn-l) â*|n) = (n+l)|n + 1).
Ví dụ cụ thể: khi lượng tử hóa dao động mạng, ta thu được phương trình dao Trang 3 Luận Văn Tốt Nghiệ động diéu hòa và khi đó toán tử 4, a” có tác dụng sinh ra hay hủy đi một phonon, còn toán tử trung hòa ä”â là toán tử liên kết với số phonon trong hệ äˆã|n) = n|n). Trong đó trị riêng n là số phonon của hệ. Hon nữa, trong lý thuyết trường, người ta chuyển từ phép biểu diễn toa độ cho các hàm sóng W{§,,š,.É,,,U) sang biểu diễn các số lấp đẩy W(n,,n„.ny là số hạt có trong các trạng thái lượng tử 1, 2,. Khi đó sẽ thấy rõ các toán tử a và ả” khi tác dụng lên ham sóng mô tả trạng thái sẽ làm cho số hạt ở một trạng thái nào đó tăng lên hay giảm bớt một đơn vị.) Chú ý là các toán tử sinh hủy lúc này là hình thức biểu diễn khác của các toán tử sinh hủy do Dirac đưa ra Ngày nay, với sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật đã cho ra đời ngày càng nhiều thiết bị đo đạc chính xác ở cấp độ cao.
Do đó việc phát triển các phương pháp tính tương ứng với thực nghiệm là một đòi hỏi cấp bách và có ý nghĩa quan trọng. Hơn nữa, trong vật lý càng xuất hiện nhiều vấn để mới như điện tử chuyển động trong từ trường có cường độ bất kỳ, quá trình ion hoá phân tử với nhiều photon. khi giải quyết sẽ đối mặt với số lượng các phép tính toán phức tạp và để sộ. Vì vậy, việc sử dụng máy tính computer làm một công cụ tính toán rất phù hợp và có thể giải quyết nhiều vấn để khó khăn vẻ kỷ thuật tính.
Khi này phương pháp đại số đã thể hiện rõ ưu điểm của mình vì các kết quả của phương pháp này đưa ra chỉ bao gồm các phép tính đại số thông thường và đặc biệt là có thể tự động hoá được. Người sử dụng có thể tính toán và tìm lời giải với bất kỳ một ngôn ngữ lập trình trên các biểu tượng nào như Matlab, Maple, Mathematica. Đây là một trong những thuận lợi to lớn cho các nhà vật lý. Chính lời giải Dirac đã gợi ý cho việc hình thành một phương pháp đại số thuần tốy cho các bài toán nguyên tử, Một trong những trường phái nghiên cứu và phát triển phương pháp này là nhóm làm việc của LI.
Komarov tại Berlarus. Mục đích chính làm việc của nhóm là vận dụng phương pháp đại số vào việc tính toán cụ thể cho các bài toán vật lý nguyên tử. Sự thành công và Trang 4 Luận Văn Tốt Nghiệp tính tiện ích của phương pháp này thể hiện qua một loạt các công trình nghiên cứu {6 - 10] Tuy nhiên, một vấn để nảy sinh có ý nghĩa cơ bản là: tại sao có thể dp dụng các toán tử sinh hủy Dirac để biểu diễn nghiệm của các bài toán vật lý nguyên tử? Câu trả lời vừa rồi nằm gọn trong phép biến đổi Kuataanheimo- Stiefel(KS. chuyển đổi từ không gian hai chiéu phức sang không gian ba chiéu thực Phép biến đổi này được viết như sau: ‘i = Boab ý = argt, (0s¢s 2a) Trong đó o,(A = 1, 2, 3) là các ma trận Pauli.
Qua phép biến đổi này, chúng ta sẽ xây dựng được mối liên hệ giữa bài toán đao động tử với các bài toán tương tác trong trường Coulomb. Đặc biệt, nghiệm của bài toán nguyên tử hydro có thể được chọn từ nghiệm của bài toán dao động tử điểu hòa. Diéu này đồng nghĩa với việc chúng ta có thể biểu diễn hàm sóng của nguyên tử hydro đưới dạng đại số thông qua các toán tử sinh hủy Dirac. Mục tiêu của luận văn này là: - Tim hiểu phương pháp toán tử thông qua việc giải các bài toán cụ thể là dao động tử điểu hòa, nguyên tử hydro.
Hoàn thiện các kỉ năng tính toán dựa trên các toán tử sinh, huỷ. - Xây dựng cơ sở và phát triển thêm phương pháp này cho các bài toán có nghiệm trong miền năng lượng phân bố liên tục. Trong khuôn khổ của một luận văn tốt nghiệp đại học, khi giải các bài toán cụ thể, tác giả cũng trình bày thêm những nét cơ bản của phương pháp giải tích cho các bài toán đó. Mục đích chủ yếu của các lời giải giải tích là để giúp người đọc dé dang kiểm chứng cho phương pháp toán tử.
Giải theo phương pháp giải tích nghĩa là dm toán tử Hamilton (toán tử liên kết với năng lượng) và áp dụng phương trình SchrÖdinger dừng để tìm lời giải. Còn giải theo phương pháp toán tử cũng cần tìm toán tử Hamilton, biểu bién toán tử này qua tổ hợp các toán tử sinh-huỷ Dirac từ đó suy ra hàm sóng thông qua hàm sóng ở trạng thái cơ bản (trạng thái vacum). Trong quá trình giải theo phương pháp toán tử năng lượng có thể được tìm ra bằng các phần tử ma trận hoặc theo cách thức khác nhưng đơn giản hơn. Trang 5 Luận Văn Tốt Nghiệ Theo tinh thần đó, trong luận văn này, tác giả giải quyết một số vấn dé cụ thể sau đây: - Bài toán đao động tử điều hòa: Đây là bài toán quen thuộc nhưng quan trọng trong vật lý học.
Bài toán dao động tử điều hòa là một trong số rất ít các bài toán có nghiệm chính xác trong cơ học lượng tử. Trong luận văn này bài toán dao động tử điểu hòa được đưa ra như một áp dụng cụ thể của phương pháp toán tử trong mién năng lương gián đoạn. Đây cũng chính là một công cụ rất quan trọng để giải hai bài toán tiếp theo vì chúng liên quan với nhau một cách chặt chẽ. Tuy nhiên khi giải bài toán này theo phương pháp toán tử, Dirac đã đưa ra một nghiệm vừa bảo đảm tính toán học vừa thỏa mãn tính vật lý.
Nhưng trong quá trình giải lại không thấy Dirac biện luận cho tính vật lý khi nào. Phải chăng các toán tử do Dirac đưa ra đã bao hàm tính vật lý trong nó? Hay tính vật lý của lời giải còn ẩn chứa nhưng tác giả lại chưa nhận ra nên trong quá trình giải đã bỏ qua. Vì vậy trong chương này tác giả cũng sẽ đi tìm cơ sở để biện luận cho lời giải của Dirac. - Bài toán hạt chuyển động trong trường thế có dạng U= -guà còn gọi Bài toán có thế 'ngược.
Bài toán này trước đây chưa được quan tâm đúng mức của nó vì chưa có những áp dụng cho những mô hình vật lý cụ thể. Tuy nhiên tác giả giải bài toán này với mục đích chứng minh phương phip toán tử vẫn si đụng được trong cả miễn năng lương liên tục. Đồng thời cũng là cơ sở để xây đựng lời giải cho bài toán nguyên tử hydro có năng lượng trong vùng phân bố liên tục. Bởi vì khi giải bài toán hydro theo phương pháp toán tử, phải sử dụng mối liên hệ giữa nguyên tử hydro va dao động tử diéu hòa.
Mối liên hệ giữa hai bài toán này trước đây đã được nghiên cứu nhưng chỉ dừng lại trong miễn năng lượng gián đoạn. Khi mối quan hệ này mở rộng ra ta sẽ thấy nghiệm bài toán hydro trong miễn năng lượng liên tục có thể được chọn từ nghiệm của bài toán thế ngược này. Trong quá trình giải theo phương pháp toán tử phải sử dụng một số kiến thức về toán học chưa được để cập trong chương trình toán học cho sinh viên như phương pháp tiếp nối giải tích. Phương pháp này cho phép ta chuyển một dao động điều hòa có tin số w sang một đao động diéu hòa khác có tin số w’ (Trong bài này ta chuyển dao động có tin số w sang dao động có tin số iw).
Để tránh gây khó hiểu cho người đọc, khi sit dụng các công cụ mới này tác giả cố gắng trình bày chí tiết và các phép chuyển đổi cụ thể sẽ được trình bày trong các phụ lục theo sau. Trang 6 Luận Văn Tốt Nghié Bài toán nguyên tử Hydro : Bài toán nguyên tử hydro là bài toán cơ bản trong cơ học lượng tử. Đây cũng chính là một bài toán có thể giải chính xác bằng phương pháp giải tích. Vì vậy bài toán nguyên tử hydro là một “mẫu” cho các công trình khác kiểm tra tính đúng đấn của mình khi muốn áp dụng các phương pháp khác.
Hơn nữa nghiệm của bài toán hydro là một bộ nghiệm cơ sở, nghiệm của nhiều bài toán khác có thể biểu diễn qua nghiệm này vì vậy bài toán này được đánh giá có tim quan trọng rất lớn. Nghiệm của bài toán này trong luận văn được xây dựng trong cả hai miễn năng lượng: gián đoạn và liên tục. Bài toán này cũng chính là vận đụng phương pháp toán tử trong một bài toán vật lý cụ thể có thể kiểm tra bằng thực nghiệm. Vì vậy, kết quả của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử có vai trò quan trọng: vừa khẳng định tính đúng din của phương pháp vừa là cơ sở cho các tinh sau này về các đặc tính của nguyên tử.
Tuy nhiên khi giải bài toán hydro bằng phương pháp toán tử, xuất hiện một vấn để khó khăn là: thế năng của hydro có dạng-1/r. Do đó khi vận dụng phương pháp toán tử các toán tử sẽ xuất hiện dưới mẫu số. Để khắc phục khó khăn này phải nhờ vào phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel (KS) để thấy được mối quan hệ giữa bài toán nguyên tử hydro và bài toán dao động tử điều hòa. Vì vậy trong chương này, đầu tiên phải nghiên cứu mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro và bài toán đao động tử điểu hòa.