Chương 1: Kiến thức cơ sở 1. Vành đa thức một ẩn. Theo kiến thức ở phổ thông ta có khái niệm đa thức như sau: Đa thức là một tổng có đạng: đạ +ãaX+.+,„x mĩ m2 trong đó a,(i=0,m) 1a sé thuc và x là một biến. Định nghĩa I1 : Vành P được gọi là vành đa thức của ân x lẫy hệ tử trong 4 hay van tắt là vành đa thức của ẩn x trên 4 ( kí hiệu là A[x]).
Các phần tử của 4[x] gọi là các đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong 4. Trong một đa thức : ƒ(x)=ax”°+ax`+.,zr gọi là các hệ tử của đa thức. Các ,xˆ được gọi là các hạng tử của đa thức, đặc biệt ax° được gọi là hạng tử tự do. Bac cua da thie.
Chú ý: Đối với đa thức 0 ta không định nghĩa bậc. Giả sử ƒ(x) và ø(x) là hai đa thức khác 0. Khi đó ta có deg(ƒ(+) + ø(2)) < max(deg(fx),deg(g(x)) Chứng minh Gọi f(x)=a,x° +a,x' +. Gia str deg( f(x)) > deg(g(x)) ttre 1a n > m ta có: F(x) + B(x) = ax” tax! +.
+ a,x”, a„ là hệ tử cao nhất của ƒ(x)+ g(x). TH2: deg(ƒ(x)) = deg(g(x)) ttre la n =m, ta cd: F(x) + g(x) = ayx° tax! +. Nếu 44 là một miền nguyên, ƒ(x) và g(x) là hai đa thức khác 0 của vành 4[x]. Chứng mình Gia st.
f(x), g(x) e Alx] là hai đa thức khác 0.4,,b,% a, và b,#0 nên a„b #0 do đó ƒ(*)g(z) # 0 và deg( f(x)g(x) =m +n=deg( f(x)) + deg(g(x)). " Hệ quả : Nếu A là miền nguyên thì 4[x] cũng là miền nguyên. Phép chia đa thức. Giả sử 44 là một trường, với hai đa thức bất kì ƒ(x) và g(x) #0, tồn tại duy nhất những đa thức g(x) va r(x) thude Ax] sao cho: F(x) = sŒ)4(x)+r(3) Voi deg(r(x)) < deg(g(x)) néu r(x) #0.
Chứng mình: Tính duy nhất: Gia sir f(x) = g(@)# ()+r (x).2) = deg(g(x)) + deg(q(x) — 4 (x)) Mặt khác theo giả thiết và định lý 1.1 ta có deg(r(x) — r(x)) < max(deg(r(x), deg(r (x)) < deg(g(x)) < deg(g(x)) + deg(q(x) — g(x) (mâu thuẫn với đẳng thức trên) Vay g(x) va r(x) là duy nhất. Chi ý: Nếu một trong hai đa thức r(x) và r (x) bằng 0 thì ta không thể nói đến bậc của nó nhưng không ảnh hưởng đến việc chứng minh, vì khi đó deg(r(x)—r (x)) = deg(r(x)) nếu r (x)=0 vàdeg((x) -r (x)) = deg(r (x)) nếu r(x) =0. Sự tổn tại Nếu deg( ƒ(z)) < deg(g(x)) .ta có thể viết : #(z)= zŒœ)0+ ƒ() Vậy kết luận đúng. Nếu deg(ƒ(x)) > deg(g(z)) và cho: Sf (x)= ax" tax"! +.
0 Và khi đó những đa thức phải tìm là 4()= 2x” va r(x) = fix) 0 Nếu deg(//(x)) > deg(g(+)). Đặt /(x) = cqx'+ex“”+.+e ¡x +, và tạo đa thức ƒ(x)= /(x)— pegs). 0 0 Nếu lại có deg(/2(x))> deg(g(z)) thì từ /2(x)ta lại tiến hanh nhu voi f(x) va #4(x) ở bước trước. Ta tiếp tục thực hiện quá trình này và nhận được dãy đa thức F(x), f,(x),.
Nhung vi bac của những đa thức là những số nguyên không âm, nên quá trình trên không thể kéo dài vô hạn. Nghĩa là đến một thời điểm ta nhận được đa thức F(x) sao cho deg(f,(x)) < deg(g(x)). Khi đó những đa thức phải tìm là: 4(x)= St" + <9 x "+. by b 0 Hay ta có thể viết ƒ()=g(x)C 2x" + ty +.
Ngoài ra, nếu ta chia đa thức ƒ(+) cho đa thức ø(x) thì người ta gọi đa thức ƒ(%) là đa thức bị chia va da thtre g(x) là đa thức ước số. Tìm thương và số đư trong phép chia hai đa thức ta suy ra từ cách làm của định lý trên. Dé cu thé hóa ta xét ví đụ sau. Chia da thire f(x) = 2x° + 3x*—x* +8x—-1 cho da thtte g(x)=x° +x41.
Phép chia hết. Định nghĩa: Ta nói đa thức ƒ{(x) chia hết cho đa thức ø(z) nếu tồn tại một đa thức 4(x)sao cho ƒ(x) = g(x)q(x). Phép chia đa thức có những tính chất hiển nhiên sau: 1) Với mọi đa thức f(x) va voi moi s6 @ #0 ,a f(x) g(x) (q(x) =@ ). 7 Chứng mình: Gia st’ f(x) #0 va g(x) #0 Ta có deg( f(x) < deg(g(x)) deg(g(x)) < Xung, =deg(z(z)=deg(ƒ(+)) (Œ*) Từ đẳng thức ƒ(x)= g(%)4(%) suy ra : deg(/(x)) = deg(g(x)) + deg(4(+)) (3) Tir(*) va (**) suy ra deg(g(x)) = 0.
Chứng mình: #(x)=k(x)g(x) với ¡=1,2,. Chứng minh rằng với mọi giá trị Z*, da thite (x +1) x chia hét cho da thire x7 +x+1. Gia st khang dinh ding voi n—1. Ta sẽ chứng minh khẳng định đúng với ?.
Vậy khẳng định đúng với moi ne Z". Nghiệm của đa thức. Định nghĩa: Cho đa thức ƒ(x) = a„x"+a„x””+.+ax+ay 6 Alx] a,eA;i=l,n;số ce A.4ac+a,€A goi la gidtricia f(x) tại e néu f(c)=0 thi cduge goi langhiém cia f(x). Tim nghiém cia f(x) trong truéng A nghia là giải phương trình dai sé bac n a,x" +a, ,x" | +.
Giả sử 4 1a mét trudng, c € A, f(x) € A[x]. Du ctia phép chia ƒ(z) cho (x—ec) là ƒ(c). Lược đồ Hoócne. Gọi c là một nghiệm của ƒ(x).
ta thực hiện chia ƒ(x) cho (x—€). 10 Xác định đa thức thương như sau k a, đà Hệ sô ƒ(x) x=l b,=a b„ị¡=a,¡+cb, b, =aca, b n n Ví dụ 3. Xác định đa thức thương khi chia ƒ(x) = x`— 3x+2 cho g(x)=x-l. Ta sẽ sử dụng lược đồ Hoócne.
Nghiệm bội, nghiệm đơn, nghiệm kép. Giả sử 4 là một trường, ee 4, ƒ(x) € A[x] va m là một số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1, c là nghiệm bội cấp nếu và chỉ nếu f(x) chia hét cho (x—e)” và ƒ(x) không chia hết cho (x— c)””. Nếu m =1 thì é là nghiệm đơn. Néu m=2 thi e là nghiệm kép.
Chú ý: Ta coi một đa thức có nghiệm bội cấp m như một đa thức có 7 nghiệm trùng với nhau. Đa thức bất khả quy. Phần tử khả nghịch. Giả sử 4 là một miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là I.
Các ước của đơn vị gọi là phần tử khả nghịch, chúng lập thành một nhóm nhân mà 1 là phần tử đơn VỊ. 11 Ví dụ 1: Trong vành Z. các số nguyên các phần tử khả nghịch là 1 va -1. Trong vành đa thức K[x] với K là một trường các đa thức bậc 0, nghĩa là các phần tử khác 0 của K 1a các phần tử khả nghịch.
Ước thực sự. Các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch là các ước không thực sự của x. Ví dụ 2: +2,+3 là các ước thực sự của 6, còn +l,+6 là các ước không thực sự của 6. Đa thức bất khả quy.
Định nghĩa: Cho A4 là một miền nguyên ƒ(x) e 4[x] được gọi là bất khả quy nếu F(x) khong có ước thực sự. Tỉnh chất của đa thức bắt khả quy : 1) Néu f(x) bat kha quy thì với mọi ø(x) e A[x], xảy ra một trong hai khả năng sau: lì (x) (z().„ ¬ a ae sø(z)h(z): ƒ(x©® h(x) sai khac f(x) một nhân tử khả nghịch. x Đa thức bất khả quy trên trường Q. Đối với trường số thực và số phức, để xét xem một đa thức có bất khả quy hay không rất đơn giản.
Ta sẽ xét các đa thức trên trường số hữu tỷ Q. Trong Q[x] với Q là trường số hữu tỷ. 12 +) Các đa thức bậc nhất: ƒ(x) = ax + Ð là bất khả quy. +) Các đa thức bậc hai: ƒ(x) = ax” + bx+e.
f(x) kha quy nếu ƒ(x) = ø(x)#(x) © deg(g(x)) = deg(h(x)) = 1 © f(x) có nghiệm hữu tỷ. Vay f(x) bat kha quy khi ƒ(x) vô nghiệm hữu tỷ. +) Các đa thức bậc ba: ƒ(x) = ax` + bx” +ex+đ. deg(g(x)) =1 ƒ() khả quy nếu ƒ(x) = BOD) I ary) =1 <©› ƒ(z) có nghiệm hữu tỷ.
Vay f(x) bat kha quy khi ƒ(x) vô nghiệm hữu tỷ. Đối với các đa thức bậc lớn hơn ba thì để xét đa thức có bất khả quy hay không sẽ phức tạp hơn. Ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn Aidenstainơ (cho các đa thức với hệ số nguyên) để giải quyết vấn đề này. Trước hết, để chuẩn bị cho việc chứng minh tiêu chuẩn Aidenstainơ, ta có khái niệm đa thức nguyên bản và hai bổ dé sau.
Khái niệm đa thức nguyên bản: Nếu ƒ(+) là một đa thức với hệ số nguyên, #(z) được gọi là đa thức nguyên bản nếu các hệ số của ƒ(x) không có ước chung nào khác ngoài +]. +) Cho f(x) € Z[x] v6i các hé sé a, € Z;i=0,n. Gọi a là ước chung cua caca, => f(x)=a,f (x) voi f(x) € Z[x] vahé số của ƒ”(x) không có ước chung nào khác ngoài +1. +)ƒ(x)eQlx]=> f= 5 -#œ) 13 (a,b)=1, ƒ {z) là một đa thức nguyên bản.
Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thức nguyên bản. Chứng minh Giả sử ƒ(X)=aạ+ax+.+a„x” và g(x)=bạ+bjx+.+b x” là hai đa thức nguyên bản. Cho p là một số nguyên tố tùy ý. Ta sẽ chứng minh rằng ø không chia hết cho các hệ số của đa thức tích #()gŒœ).
Giả sử p chia hết cho đạ,.,b,_¡ và p không chia hết cho a, và Ö,. Ta xét hệ số c„. của đa thức tích ƒ(x)g(%) C.) Trong đó ø chia hết cho các tổng trong dấu ngoặc nhưng không chia hết tích a,b, (vì p là nguyên tổ). Do đó p không chia hết e,.
Nếu ƒ(+x) là một đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn 0 và ƒ(z) không bất khả quy trong Q|[x] thì ƒ(x) phân tích được thành một tích những đa thức bậc khác 0 với hệ số nguyên. Chứng minh Giả sử f(x) khong bat kha quy trong Q[x]. Trong đó ø(z) và J(x) là những đa thức nguyên bản và ø,b,e,đ là số nguyên. Do đó =? s(x\h f(x) =~ g(x)h(x) q voi P=“ va Pp.q nguyên tố cùng nhau.
4 bd Ta kí hiệu các hệ số của đa thức tích ø(x)#(x) = ø,. ¿ ^ Mặt khác vì ƒ(x) € Z[x] > — 1a sé nguyén. q Do đó q chia hết cho mọi e, va q nguyên tố với p => q = +l tức là: F(x) = tpg(x)h(x) Vi g(x) va y(x) la nhimg uéc thuc su cha f(x) trong Q[x], nén g(x) va h(x) la nhitng da thtrc bac khac 0 cia Z[x]. Tiêu chuẩn Aidenstainơ.
Voi f(x) 1a mét da thite voi hé số nguyên, điều kién dé f(x) 1a bat khả quy trong vành Q[x] khi và chỉ khi 3 một số nguyên tố ø sao cho: 15 xa, p`ay;ai;.,đ onl p Xa, Chứng mình.+c,x`(c,eZ,0<s<nm) Ta có: Ay = bye, a, = be, + bye, a, = b,c, +d, \C, +. + bye, a, = b,c, Theo gia thiét, p:a = byc,. Vay vi p languyén t6 nên hoặc p:ở, hoặc Ø:c. Giả sử p:b, > pic, (vi néu pic, thi p?:a,_trai voi gia thiét).
ø không thể chia hết cho moi hé sé ctia g(x) (vi néup chia hét cho moi hé sé ctia g(x) thip chia hết choa, =b„c, _ trái với giả thiếp).