CHƯƠNG I 1. Dự đoán xem những số hạng của dãy số sau được chọn theo quy tắc nào? 11,31, 41, 61, 71, T01, 131;. 2, Xét bảng ] =0+1l 2+3+4 =l+8 5+6+7+8+0Ð9 =8+27 10+ 11+12+ 13+ 14+ 15+ l6=27 +64 Dự đoán xem thí dụ đó theo đúng quy luật chung nào? Biểu diễn bằng kí hiệu toán học và chứng mình. Xét giá trị của các tổng liên tiếp.
có theo quy tắc đơn giản nào không? A. Xót giá trị của các tổng liên tiếp: 1l; 1+8; I+8+27; I+8+27+64. có theo quy tắc đơn giản nào không? 14 Ba cạnh của một tam giác có chiêu dài tương ứng là L, m và n; 1, m, n là những số nguyên dương, | Xm <n. Với mội sốn cho trước có bao nhiêu tam giác khác nhau? (lấy n = 1, 2, 3, 4, 5.
Từm quy luật chung biểu diễn số tam giác theo n. Ba số hạng đầu của một dấy là 5, 15, 25. (số tận cùng bởi 5) chia hết cho 5. Những số hạng tiếp theo có chia hết cho 5$ không? Ba số hạng đầu của mội dãy là 3, 13, 23,.
(số tận cùng bởi 3) là những số nguyên tố. Những số hạng tiếp theo có phải là số nguyên tố không? Nhờ các phép tính hình thức, chúng ta tìm thấy: (1+1lx+2!x2+3!x)+4!x2+5!1x +61x2+.) lx =1=x=x° 3x) 13x” =71x` =461x” — Từ đó xuất hiện hai giả thuyết về các hệ số tiến theo của chuối luỹ thừa ở vế phải: 1) Tất cả các hệ số đó đều âm. 2) Tất cả các hệ số đó đều là số nguyên tố. Các giả thuyết đó có đáng tin cậy như nhau không? x vˆ x ợ Ax Ax? Đặt I-C+—-—| =4s¿+-—+-ˆ—+.
1 2 3 lội :21 Chúng ta tìm thấy rằng: n=0 1 2 3 4 5 6 7 § 9 Az=l 1 1 2 4 14 38 216 600 6240 Hãy phát biểu thành một giả thuyết. Nhà toán học Pháp vĩ đại Fermat (Phecmd) đã xét dãy số 5; 17; 257; 65537. với số hạng tổng quát 27 +1. Ông nhận thấy rằng bốn số hạng đầu tiên - đã viết ra ở trên - tương ứng với n = |, 2, 3 và 4, là những số nguyên tố.
Ông giả định rằng những số tiếp theo cũng là những số nguyên tố. Tuy không chứng mình được, ông vẫn tín rằng giả thuyết của mình là đúng và đã thách Vallis và các nhà toán học Anh chứng mình giả thuyết đó. Những Euler đã tìm thấy rằng ngay số hạng Hiếp theo 2? 2+1 ứng với n = 5 không phải là số nguyên tố (chia hết cho 614). Euler viết: "Chúng ta đã thấy một trường hợp mà phép quy nạp giản đơn dẫn đến sai lâm".
10 Kiểm tra giả thuyết của Goldbach đối với 2h = 60, chúng ta lần lượt thứ với những số nguyên tố p đến n = 30. Nhưng cũng có thể thử với những số 15 nguyên tố p` giữa n = 30 và 2n = 60. Đối với những số n lớn thì cách nào nhanh và thuận lợi hơn? 11. Trong từ điển, bạn thấy trong những lời giải thích về các từ "quy nạp”, "thi nghiệm” và "quan sát" những câu như sau: “Quy nạp là rút ra quy luật chung từ những trường hợp riêng hay trình bày những sự kiện để chứng mình một điều khẳng định chung".
"Thí nghiệm là biện pháp để kiểm tra giả thuyết". “Quan sát là theo dõi kĩ và ghi lại những hiện tượng dưới hình thức mà các hiện tượng đó thể hiện trong thiên nhiên, về một nguyên nhân, kết quả hoặc mối liên hệ giữa chúng". Những câu trên có áp dụng được cho những thí dụ của chúng ta ở §2 và 3 không? 12. Có và không Nhà toán học cũng như nhà khoa học tự nhiên, khi kiểm tra các hệ quả của một định luật chung đã được nêu lên do quan sát đã đặt câu hỏi sau đây với Thiên nhiên: "Tôi cẩm thấy định luật này đúng.
Nhưng nó có đúng - hay không?". Nếu hệ quả rõ ràng bị bác bỏ, thì định luật ấy không thể đúng. Nếu hệ quả rõ ràng được xác nhận thì có thêm một số chứng cớ chứng tổ rằng định luật có thể đúng. Thiên nhiên có thể trả lời "có" hoặc _ "không", nhưng trong khi nó trả lời thâm một cách thì nó lại lớn tiếng nói lên một cách khác.
Câu trả lời ư có” thì có điểu kiện, còn câu trả lời “không” thì dứt khoát. Kinh nghiệm và hành động Kinh nghiệm thay đổi hành động đồng thời thay đổi quan niệm của con người. Hai sự việc đó thực ra không phải độc lập với nhau. Hành động thường là kết quả của quan niệm và quan niệm là cái "thế " của hành động.
Tuy nhiên bạn chỉ có thể nhìn thấy hành động của một con người khác, chứ không thể nào nhìn thấy quan niệm của họ. Hành động dễ quan sát hơn là quan niệm. Mọi người đều biết câu tục ngữ: "Trẻ bị bỏng sợ lửa". Câu tục ngữ đó phản ánh đúng điều vừa nói trên: kinh nghiệm làm Ì thay đổi hành động của con người.
Kinh nghiệm làm thay đổi cả hành động của loài vật. Gần chỗ tôi có một con chó dữ, nó sủa và thấy ai là xông đến. Nhưng tôi đã phát hiện ra rằng có thể tự bảo vệ dễ dàng: nếu tôi cúi xuống và làm bộ nhặt một hòn đá thì con chó chạy lồng lên. Không phải con chó nào cũng 16 hành động như thế.
Và cũng dễ biết kinh nghiệm gì đã dạy cho con chó nói trên hành động như vậy. Nghiên cứu hành động của loài vật cũng có thể giúp cho ta nghiên cứu đẩy âu phép quy nạp. Nhà logic học, nhà toán học, nhà vật lí học và kĩ sư Nhà logic học nói: "Hãy xem nhà toán học. Ông ta nhận xét rằng 99 số đâu bé hơn 100, và từ đó với cái mà ông ta gọi là quy nạp, ông ta kết luận rằng tất cả các số đều bé hơn 100”.
Nhà toán học nói: "Nhà vật lí học tin rằng 60 cha hết cho mọi số. Ông ta nhận xét rằng 60 chia hết cho Ì, 2, 3, 4, Š và 6. Ông ta kiểm tra vớii một vài số khác chẳng hạn 10, 20 và 30. Những số này được chọn - theo ông ta nói - một cách hú hoạ.
Vì rằng 60 cũng chia hết cho những số đó nên ông ta cho rằng những thí nghiệm đó là đủ rồi”. Nhà vật lí học nói: "Vâng, hãy theo dõi kĩ sư. Anh ta nghĩ rằng mọi số lẻ đều là nguyên tố. Anh ta chứng mình như sau: trong mọi trường hợp số ] đều được xem là số nguyên tố.
Tiếp đó 3, 5, 7 rõ ràng là số nguyên tố. Đáng tiếc là sau đó số 9 không phải là số nguyên tố. Nhưng 11 và 13 lại là số nguyên tố. Trở lại trường hợp số9 - anh ta nói - tôi kết luận rằng 9 phải là một sai lẫm của thực nghiệm".
Rõ ràng là quy nạp có thể dẫn đến sai lâm. Song điều nổi bật là phép quy nạp đôi khi cũng đưa đến chân lí, mặc dù khả năng xuất hiện sai lâm trội hơn nhiều. Tu phải bắt đầu nghiên cứu từ những trường hợp hiển nhiên mà phép quy nạp bị thất bại, hay từ những trường hợp lí thú trong đó phép quy nạp đưa đến sự thành công? Nghiên cứu những viên ngọc quý rõ ràng là hấp dẫn hơn nghiên cứu những viên sỏi bình thường. Hơn thế nữa, chính những viên ngọc quý đã đưa nhà khoáng vật học đi vào khoa học tuyệt diệu - khòa tỉnh thể học.
2THSLCL 17 ( 'hương LI | KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ VÀ TƯƠNG TỰ 1. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự và quy nạp Hãy xét lại một lần nữa thí dụ về suy luận quy nạp mà chúng ta đã phân tích khá chi tiết (1. Đầu tiên chúng ta nhận thấy sự /zơng tự giữa ba hệ thức: 3+7=l10, 3+17=20, 13+ 17=30. Chúng ta khái quát hoá, nâng từ 3, 7, 13 và L7 lên tất cả các số nguyên tố; và từ 10, 20 và 30 lên tất cả các số chấn, sau đó chúng ta đặc biệt hoá, trở về nghiên cứu những số chắn khác nhau như 6, 8 hay 60.
Thí dụ đầu tiên đó rất đơn giản. Nó minh hoạ hoàn toàn đúng đắn vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự trong suy luận quy nạp. Tuy nhiên, cần phải nghiên cứu những rninh hoạ phong phú hơn, rõ ràng hơn. Và trước đó, cần phải xem xét bản thân sự khái quát hoá, sự đặc biệt hoá, sự tương tự, những nguồn gốc vĩ đại của phát minh.
Khái quát hoá Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu. Chẳng hạn, chúng ta khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu những tam giác sang việc nghiên cứu những đa giác với số cạnh tuỳ ý. Chúng ta cũng khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu những hàm số lượng giác của góc nhọn sang việc nghiên cứu những hàm số lượng giác của một góc tuỳ ý. Có thể nhận thấy rằng trong hai thí dụ trên, sự khái quát hoá đã được thực hiện theo hai hướng có tính chất khác nhau.
Ở thí dụ đầu, trong việc chuyển từ tam giác sang đa giác ø cạnh chúng ta đã thay hằng số bởi biến số, thay số không đổi 3 bởi số tuỳ ý n (chỉ giới hạn bởi bất đẳng thức n > 3), ở thí dụ 2, khi chuyển từ góc nhọn sang góc tuỳ ý œ, chúng ta đã vứt bỏ điều hạn chế 0° < œ < 907. Chúng ta thường khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng, sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó. Đặc biệt hoá Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho. Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang nghiên cứu những đa giác đều và tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển từ đa giác đều n cạnh sang tam giác đều.
Hai bước chuyển lần lượt trên đây được thực hiện theo hai phương hướng có tính chất khác nhau. Trong bước chuyển thứ nhất, từ đa giác đến đa giác đều chúng ta có sự hạn chế, cụ thể là yêu cầu tất cả các cạnh và tất cả các góc của đa giác phải bằng nhau. Trong bước chuyển thứ hai, chúng ta thay đối tượng biến thiên bằng đối tượng cụ thể, thay biến số tự nhiên øz bằng số 3. Chúng ta thường tiến hành đặc biệt hoá khi chuyển từ cả một lớp đối tượng đến một đối tượng của lớp đó.