CHƯƠNG II. THỦY TĨNH Thủy tĩnh học nghiên cứu những vấn đề về chất lỏng ở trạng thái cân bằng tức là ở trạng thái không có chuyển động tương đối giữa các phần tử chất lỏng. Vì không có chuyển động tương đối nên không có tác dụng của tính nhớt, do đó những kết luận về thủy tĩnh đều đúng cho chất lỏng lý tưởng cũng như chất lỏng thực. Yếu tố thủy lực cơ bản của trạng thái cân bằng của chất lỏng và áp suất thủy tĩnh.
Định nghĩa áp suất, các tính chất của áp suất thủy tĩnh 2. Định nghĩa áp suất a. Khái niệm: Áp suất tại một điểm bất kỳ tronng chất lỏng là các áp lực thủy tĩnh tác dụng lên một đơn vị diện tích đặt tại điểm đó. Công thức biểu diễn (2.1) 1 Trong đó: p: là áp suất thủy tĩnh lên một đơn vị diện tích hữu hạn A (N/m2) dF: là lực tác dụng lên một đơn vị diện tích vô cùng nhỏ dA (N) dA: Diện tích bị nén (m2) F Nếu áp suất phân bố đều trên toàn bộ diện tích thì p = A c.
Đơn vị của áp suất Trong hệ đơn vị SI ta sử dụng đơn vị chung là pascal (1Pa= N/m2) hay kPa (kN/m2). Đổi đơn vị đo áp suất Pa (N/m2) m cột nước 1 Pa (N/m2) 1 1,019x10-4 1 at (atmốtphekỹ thuật) 98100 10 1 atm (atmốtphe vật lý) 101325 10,328 1 mmHg 133 0,0135 Ghi chú: mmHg là viết tắt của milimét thủy ngân. Các tính chất của áp suất thủy tĩnh a. Tính chất 1: Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với mặt chịu lực và hướng vào mặt chịu lực.
Áp suất thủy tĩnh tại điểm O có thể phân thành 2 thành phần: pn B p C A 0 D Hình 2.1a - Pn hướng theo pháp tuyến tại điểm O của mặt (p) - τ hướng theo phương tiếp tuyến + Thành phần τ có tác dụng làm mặt phẳng (P) chuyển động theo phương ngang, tức là làm chất lỏng chuyển động tương đối. Như ban đầu ta đã giả thiết chất lỏng đang xét ở trạng thái cân bằng Vì vậy τ=0 + Chất lỏng không chịu được sức kéo mà chỉ chịu được sức nén do thành phần Pn không thể hướng ra ngoài được. Vậy áp suất tại điểm O chỉ có thành phần pháp tuyến hướng và hướng vào trong. Tính chất 2: Áp suất thủy tĩnh tại một điểm bất kỳ trong khối chất lỏng bằng nhau theo mọi phương xét một khối chất lỏng vô cùng bé hình tứ diện vuông góc có đỉnh đặt tại A các cạnh dx, dy, dz.
Điều kiện cân bằng của khối chất lỏng là tổng hình chiếu các lực lên các phương bằng 0. Gọi px, py, pz là hình chiếu của áp suất thủy tĩnh tại một điểm bất kỳ trên các mặt BAD, BAC, DAC lên các trục x,y, z. Do khối chất lỏng là vô cùng nhỏ nên áp suất thủy tĩnh tại 2 một điểm bất kỳ trên các mặt cũng là áp suất thủy tĩnh tại điểm A theo các phương x,y,z. Gọi pn là áp suất thủy tĩnh tại trọng tâm BCD; D z dpy dz dpn dpx dx A dy B C dpz 0 y x Hình 2.
Sơ đồ chứng minh tính chất 2 của áp suất thủy tĩnh Fx là hình chiếu theo phương x của lực thể tích F tác dụng lên một đơn vị khối lượng chất lỏng. Điều kiện để khối chất lỏng cân bằng theo phương x: F = 0 p .VABCD = 0 AABC AABC 1 px .2) 2 Trong đó: 1 1 1 1 VABCD = AB. dx dx (h: là đường cao hạ từ A xuống mặt BCD) 1 ( pn .dz = 0 2 2 6 1 px − pn + .5) 3 Khi thể tích khối tứ diện →0 (hay dx→0) thì px = pn Cũng thực hiện tương tự như trên ta có: p y = pn ; pz = pn Như vậy là áp suất thủy tĩnh tại một điểm bằng nhau theo bất kỳ phương nào. Phương trình vi phân cân bằng của chất lỏng tĩnh Xét một khối chất lỏng hình hộp vô cùng bé có cạnh tương ứng là dx, dy, dz đứng cân bằng- có gia tốc a không đổi theo thời gian t.
Điều kiện để khối chất lỏng cân bằng là tổng hình chiếu của các lực tác dụng vào nó lên các trục bằng 0 dpx dpz A’ B’ z A B dpy dpy’ dz M dy C’ dx D C dpx’ dpz’ y 0 x Hình 2. Sơ đồ tính toán thành lập PTVP cơ bản chất lỏng cân bằng. 4 Gọi p là ASTT tại trọng tâm M của khối hộp thì áp suất tại mặt B’C’D’A’ là p dz p dz dpz = p −. và tại trọng tâm mặt DD’C’C là dpz ' = p +.
z 2 z 2 Gọi hình chiếu lên trục x của lực thể tích F tác dụng lên một đơn vị trọng lượng chất lỏng là Fz. Phương trình cân bằng theo phương x như sau: p dz p dz (p −. )dydx + Fz dxdydz = 0 z 2 z 2 p dz p dz ( p −. ) + Fz dz = 0 z 2 z 2 p dz −2 + Fz dz = 0 z 2 p Fz − =0 z Tương tự viết phương trình cân bằng theo các phương y và x: p Fx − x = 0 p Fy − =0 (2.1a) được gọi là hệ phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng ở trạng thái cân bằng hay còn gọi là hệ phương trình Euler của chất lỏng ở trạng thái tĩnh (tìm ra năm 1755).
Phương trình này biểu thị quy luật chung về sự phụ thuộc của ASTT đối với tọa độ: p =f(x,y,z). Để tích phân phương trình Euler chuyển nó về dạng vi phân toàn phần của p như sau: Nhân lần lượt các phương tình của hệ (2.6a)với dx, dy và dz rồi cộng lại ta có: 5 1 p p p Fx dx + Fy dy + Fz dz− dx + dy + dz = 0 x y z dp = ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) (2.6b) cũng là một dạng khác của phương trình vi phân cân bằng của chất lỏng ở trạng thái cân bằng tĩnh. Do vế trái là một vi phân toàn phần nên để đảm bảo tính đồng nhất vế phải cũng là một vi phân toàn phần của một hàm của tọa độ (x,y,z) nào đó, không có ràng buộc gì về tính chịu nén (nén được/không nén được) của chất lỏng. Trong phương trình(2.6a) chỉ có mật độ ρ và áp suất p là ẩn số (các đại lượng Fx, Fy, Fz và tọa độ được xem là cho trước) nên để phương trình này có lời giải đơn vị cần phải dùng phương trình thể hiện nhất quán mối quan hệ giữa các tính chất và trạng thái của chất lỏng đang xét, chẳng hạn như mối quan hệ giữa mật độ, áp suất và nhiệt độ của chất lỏng.
Công thức tổng quát xác định áp suất thủy tĩnh tại một điểm 2. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học Khi lực thể tích tác dụng vào chất lỏng chỉ là trọng lực thì chất lỏng được gọi là chất lỏng trọng lực. Xét khối chất lỏng để cân bằng phương trình 6 - Trong hệ tọa độ vuông góc, trục 0z đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên thì đối với lực thể tích tác dụng lên một đơn vị khối lượng của chất lỏng trọng lực ta có FX=0; FY=0; FZ=-g.7) ta có thể thấy áp suất giảm theo độ cao. Hiệu áp suất giữa hai độ cao z và z0 bằng z z p − p0 = − gdz = − dz (2.8) z0 z0 Ở đây, = g là trọng lượng riêng của chất lỏng.
Như vậy, hiệu áp suất giữa hai điểm ở z hai độ cao khác nhau z và z0 bằng tích phân dz , tức là bằng trọng lượng cột nước chất z0 lỏng với diện tích đáy là 1 và chiều cao là (z-z0). Kết luận này không phụ thuộc vào tính chất vật lý của chất lỏng và chất khí. Trong trường hợp chất lỏng là không nén được và đồng nhất thì từ (2.9) Tức là áp suất trong chất lỏng tĩnh đồng nhất không nén được giảm tuyến tính theo chiều cao. Đồng thời ta thấy, áp suất thủy tĩnh tại những điểm có cùng độ sâu trong môi trường cùng một loại chất lỏng trọng lực cân bằng thì bằng nhau.
Phương trình (2.9) cũng có thể viết thành: p1 p z1 + = z0 + 0 = 1const (2.10) được gọi là phương trình cơ bản của thủy tĩnh học và nó được dùng để xác định áp suất thủy tĩnh trong khối chất lỏng tại những điểm khác nhau và chỉ rõ trong khối chất 7 lỏng đồng nhất ở trạng thái tĩnh thì mọi điểm cùng nằm trên mặt phẳng nằm ngang đều có cùng một áp suất thủy tĩnh. Trong phương trình (2.10): Z: đặc trưng cho chiều cao hình học tại điểm đang xét so với mặt chuẩn và có đơn vị là mét (m). p đặc trưng cho chiều cao áp suất thủy tĩnh tại điểm đang xét - chiều cao của cột chất lỏng có khả năng tạo ra một áp suất bằng với áp suất tại điểm đang xét. Công thức xác định áp suất tại một điểm bất kỳ trong chất lỏng tĩnh Lấy 2 điểm M và N trong khối chất lỏng P Z 0 hình 2.
Lấy mặt Oxy làm chuẩn, khi đó N theo phương trình cơ bản của thủy tĩnh (2.10) ta có: ZMN M Z pM pN N zM + = zN + ZM 0 X Y Hay: pM = pN + (z N − zM ) (2.4 Phương trình (2.11) chứng tỏ khi biết áp suất tại một điểm thì có thể tính được áp suất tại mọi điểm trong chất lỏng đó. Trong trường hợp điểm N nằm trên mặt thoáng thì pN = p0 và zN − zM = hM (hM là độ sâu từ mặt thoáng đến điểm M). Vì điểm M lấy tùy ý, do đó ta có công thức tính áp suất tại một điểm bất kỳ trong chất lỏng là: p = p0 + h (2.12) Trong đó: p0: Áp suất trên mặt thoáng (N/m2) h: Độ sâu của điểm cần tính áp suất (m) 8 : Trọng lượng riêng của khối chất lỏng đang xét (N/m3) Chung quanh trái đất có một lớp không khí bao bọc gọi là khí quyển. Do không khí có trọng lượng nên trái đất và mọi vật trên trái đất đều chịu áp suất của lớp không khí này gọi là áp suất khí quyển (pa).
Khi mặt thoáng tiếp xúc với khí trời thì: p0 = pa =1atm = 101325 (N/m2) Ví dụ 2. Cho một bể nước như hình vẽ tại điểm M của bể có độ sâu h= 4m được xác định như hình vẽ có trọng lượng riêng của nước =98100 (N/m3).