Chương 1: "Vi phạm CP trong tương tác mạnh" trình bày về phép nghịch đảo không gian (parity) và phép liên hợp điện tích (charge conjugation) lên các trường vô hướng, trường vector và trường Dirac. Đồng thời cũng chỉ ra sự vi phạm CP trong tương tác mạnh và các hướng giải quyết có thể triển khai. Chương 2: "Axion và tương tác của axion với vật chất" trình bày về cơ chế PQ nhằm giải quyết vấn đề vi phạm CP trong tương tác mạnh, dẫn tới hạt axion; tính 5 toán khối lượng axion và xây dựng các tương tác của axion với vật chất để làm cơ sở cho chương 3. Chương 3: "Axion trong mô hình SMASH" giới thiệu về mô hình SMASH và hạt axion trong mô hình này.
Đồng thời, chương 3 cũng phân tích axion, một ứng cử viên của vật chất tối trong bức tranh vũ trụ và đưa ra các ràng buộc về khối lượng của axion trong các trường hợp. VI PHẠM CP TRONG TƯƠNG TÁC MẠNH Phép nghịch đảo không gian (Parity), phép liên hợp điện tích (Charge conju- gation) và phép đảo ngược thời gian (Time-reversal) là ba phép biến đổi rời rạc tác dụng lên các trường vật lý. Trong một thời gian dài, người ta nghĩ rằng các hiện tượng vật lý là bất biến dưới mỗi phép biến đổi này, và thực sự, điều này là đúng cho Điện động lực học (QED) và Sắc động học lượng tử (QCD). Tuy nhiên trong QED và QCD thì cho thấy có sự vi phạm của tổ hợp hai phép biến đổi nghịch đảo không gian hay phép biến đổi liên hợp điện tích (vi phạm CP).
PHÉP NGHỊCH ĐẢO KHÔNG GIAN Toán tử của phép nghịch đảo không gian, P , tác dụng lên không gian x = (x , → −x ) → x′ = (x , −→ 0 − x ). Trường vô hướng Trong lý thuyết trường lượng tử, P được biểu diễn bằng toán tử unitary P̂ tác dụng lên trường vô hướng lượng tử φ(x) φ(x) → φ′ (x) = P̂ φ(x)P̂ −1 = ηP φ(x′ ), (1.1) trong đó ( −1 giả vô hướng, ηP = (1. Trường vector Đối với trường vector, dưới tác dụng của phép nghịch đảo không gian, toán tử ′ trường Aµ (x) biến đổi thành Aµ (x) Aµ (x) → Aµ′ (x) = P̂ Aµ (x)P̂ −1 = ηP Aµ (x′ ), (1.4) +1 µ = 0, đối với trường vector và ngược lại với trường giả vector. Tức là ηP = +1 với µ = 1, 2, 3 và ηP = −1 với µ = 0.
Trường Dirac Phương trình Dirac là bất biến dưới phép biến đổi P , các toán tử trường Dirac và toán tử phản trường Dirac phải biến đổi theo hai phương trình dưới đây ψ(x) → ψ ′ (x) = P̂ ψ(x)P̂ −1 = ηP γ o ψ(x′ ), (1.7) nên song tuyến fermion-phản fermion dưới tác dụng của Parity biến đổi như sau ψ(x)ψ(x) → ψ(x′ )ψ(x′ ) (vô hướng), ψ(x)γ5 ψ(x) → −ψ(x′ )γ5 ψ(x′ ) (giả vô hướng), (1. PHÉP BIẾN ĐỔI LIÊN HỢP ĐIỆN TÍCH 1. Trường vô hướng Một trường vô hướng lượng tử φ(x) có một hàm khai triển chứa các toán tử sinh và huỷ hạt có dạng X a(p)e−ip.9) p 8 trong đó a(p) và b(p)† lần lượt là các toán tử huỷ hạt và sinh phản hạt. Một hạt có xung lượng là p, dưới tác dụng của toán tử liên hợp điện tích Ĉ, hạt đó sẽ chuyển thành phản hạt có xung lượng là vẫn là p.
Điều này thoả mãn khi Ĉ |0⟩ = |0⟩, Ĉa(p)Ĉ −1 = b(p) và Ĉb(p)Ĉ −1 = a(p). Trường Vector Liên hợp điện tích C là đổi dấu điện tích. Do đó, dưới phép biến đổi liên hợp điện tích, thế vector Aµ (x) biến đổi thành A′µ (x) Aµ (x) → A′µ (x) = ĈAµ (x)Ĉ −1 = −Aµ (x). Trường Dirac Phép biến đổi liên hợp điện tích có liên quan tới liên hợp Hermit của trường lượng tử.
Để xác định chính xác thuộc tính của biến đổi, ta sử dụng ∗ ψ (x) ψ (x) 1 1 ψ (x) ψ (x)∗ 2 2 ψ(x) = , ψ(x)∗ = , (1. 9 Dưới phép biến đổi liên hợp điện tích, ta có ψ(x) → ψ C (x) = Cψ(x)T = C(ψ(x)† γ 0 )T = Cγ 0 ψ(x)∗ , (1.16) với T là kí hiệu chuyển vị. Ma trận C được chọn để đảm bảo ψ C (x) thoả mãn phương trình Dirac.18) Trong biểu diễn Dirac, chúng ta có một dạng rõ ràng cho C ! 0 σ2 C = γ2 = .19) σ2 0 Phép biến đổi liên hợp điện tích lên trường Dirac lượng tử được cho bởi ψ(x) → ψ C (x) = Ĉψ(x)Ĉ −1 = Cψ(x)† , C (1. Song tuyến fermion-phản fermion biến đổi như sau ψ(x)ψ(x) → ψ(x)ψ(x) (vô hướng), ψ(x)γ5 ψ(x) → ψ(x)γ5 ψ(x) (giả vô hướng), (1.
Dòng đối xứng trục jµA bất biến dưới phép biến đổi liên hợp điện tích trong khi đó dòng vector jµ đổi dấu. Lý thuyết mà trong đó tổ hợp tuyến tính của dòng vector và dòng đối xứng trục xuất hiện, ví dụ, phần tương tác điện yếu trong mô hình chuẩn (có sự khác biệt giữa dòng phân cực trái và dòng phân cực phải), không bất biến dưới phép biến đổi liên hợp điện tích. PHÉP BIẾN ĐỔI CP 1. Trường vô hướng Dưới tác dụng đồng thời của hai phép biến đổi CP thì trường φ(x) biến đổi thành φ(x) → φCP (x) = P̂ (Ĉφ(x)Cˆ−1 )P̂ −1 = ηP φ∗ (x′ ), (1.
Trường vector Trường vector Aµ , dưới hai phép biến đổi CP, biến thành AµCP Aµ (x) → AµCP (x) = P̂ (ĈAµ (x)Cˆ−1 )P̂ −1 = −ηP Aµ (x′ ), (1. Trường Dirac Phép biến đổi CP lên trường Dirac lượng tử có thể viết ψ(x) → ψ CP (x) = P̂ (Ĉψ(x)Cˆ−1 )P̂ −1 = ηP γ 0 Cψ(x′ )† , (1.27) Khi đó song tuyến fermion-phản fermion biến đổi như sau ψ(x)ψ(x) → ψ(x′ )ψ(x′ ) (vô hướng), ψ(x)γ5 ψ(x) → −ψ(x′ )γ5 ψ(x′ ) (giả vô hướng), (1. 11 Rất nhiều lý thuyết trường lượng tử là bất biến dưới phép biến đổi C, P riêng lẻ, ví dụ QED, QCD. Tuy nhiên, dễ dàng có thể kiểm tra được vi phạm C, P trong Lagrangian tương tác dạng V-A.
Lagrangian có dạng tổng quát như sau Lint (x) = ψ(x)γ µ (1 − γ 5 )ψ(x)Aµ (x) (1.31) trong đó jVµ (x) là dòng vector và jAµ (x) là dòng đối xứng trục. Dưới phép biến đổi điện tích C Aµ (x) → −Aµ (x′ ), (1.35) Tuy nhiên, dưới phép biến đổi P Aµ (x) → Aµ (x′ ), (1.39) Còn dưới tác dụng của hai phép biến đổi CP thì Aµ (x) → −Aµ (x′ ), (1.43) Như vậy Lint bị vi phạm cả C và P nhưng bất biến dưới phép biến đổi CP. VI PHẠM CP 1. Vi phạm CP trong lý thuyết mô tả tương tác điện yếu Phần lớn các số hạng trong Lagrangian của Mô hình chuẩn là bất biến dưới biến đổi C, P hay CP.
Tuy nhiên vẫn tồn tại một số nguồn vi phạm CP trong tương tác điện yếu. Cụ thể tương tác của quark với các hạt boson W có dạng XX g ∗ LqW = − √ (ui γ µ (1−γ 5 )(VCKM )ij dj Wµ+ +di γ µ (1−γ 5 )(VCKM )ij uj Wµ− ), i j 2 (1.44) trong đó ma trận CKM theo tham số Wolfenstein đối với xấp xỉ bậc O(λ4 ) 1 2 3 1− λ λ Aλ (ρ − iη) 2 VCKM = 1 2 2 .47) ∗ ∗ Lagrangian là bất biến nếu ma trận trộn CKM là thực, tức (VCKM )ji = (VCKM )ij. Tuy nhiên điều này không đúng trong ma trận CKM với ba thế hệ fermion do có tồn tại một pha phức. Do đó tương tác của quarks với các hạt boson W vi phạm CP trong mô hình chuẩn.
Vi phạm CP trong QCD Tương tác mạnh được mô tả thông qua nhóm đối xứng chuẩn định xứ SU (3)C , hay còn được gọi là lý thuyết Sắc động học lượng tử (QCD). Lagrangian trong QCD có dạng N −1 µν X LQCD = Ga Gaµν − q f (−iγ µ Dµ + mf )qf , (1.48) 4 f =1 trong đó: qfred green • tam tuyến của nhóm màu qf = qf , qfblue • đạo hàm hiệp biến Dµ = ∂µ + igAaµ T a với a = 1, 2, ., 8 là các gluon, tác dụng lên chỉ số màu, • tensor cường độ trường của gluon Gµν a a a = ∂µ Aν − ∂ν Aµ − g.f abc b c Aµ Aν , với g là hằng số coupling, f abc là hằng số cấu trúc và T a là vi tử của nhóm SU (3). Khi ở mức năng lượng cao, các gluon tương tác rất nhỏ với các quark màu. Các trường fermion nói chung sẽ được tách thành hai thành phần phân cực trái và phân cực phải.
Trong giới hạn mf → 0, ngoài nhóm đối xứng định xứ SU (3)C , Lagrangian còn bất biến với nhóm đối xứng toàn cục GT C = SU (3)L ⊗ SU (3)R ⊗ U (1)V ⊗ U (1)A. Nhưng khi năng lượng thấp cỡ GeV , các quark bị cầm tù gây ra trạng thái mù màu. Lúc này nhóm đối xứng màu SU (3)C không bị phá vỡ trong khi đối xứng GT C bị phá vỡ về nhóm SU (3)V ⊗ U (1)A dẫn tới 9 vi tử bị phá vỡ. Theo định lý Goldstone boson ta thu được 9 Goldstone boson có khối lượng.
Khi sử dụng các lý thuyết để mô tả các trạng thái cầm tù, ta tìm được khối lượng của các hạt tương ứng với các hạt π ± , π 0 , K ± , K 0 , K e 0 và η, η ′. Tám hạt π ± , π 0 , K ± , K 0 , K e 0 và η là các hạt Goldstone boson do phá vỡ SU (3)L ⊗ SU (3)R về SU (3)V còn hạt η ′ là 14 hạt Goldstone boson do phá vỡ U (1)A. Vì các hạt đều sinh ra do cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát nên các hạt Goldstone boson này được dự đoán có cùng thang khối lượng. Tuy nhiên, theo thực nghiệm, khi tám hạt Goldstone boson có khối lượng là mπ± = 139, 6M eV ; mπ0 = 135M eV ; mK ± = 493, 7M eV ; mK 0 = 497, 7M eV và mη = 548, 8M eV , thì hạt η ′ có khối lượng mη′ = 958M eV lớn hơn hẳn so với hạt η.
Tức là xuất hiện sự phân bậc khối lượng giữa các Goldstone boson. Đây là vấn đề của U (1)A. Trong lý thuyết của nhóm Lie hay nhóm topo, cấu trúc topo yêu cầu rằng nếu lý thuyết là bất biến với một nhóm Lie thì phải tồn tại một số hạng chân không do cấu trúc topo tạo nên [4]. Người ta đã chứng minh được số hạng có dạng g 2 µν e Q= G Gµν , (1.