mở đầu: chúng tôi nêu lên ý tưởng, đặt van đề hoặc nhắc lại các kiến thức đã học đề dẫn dắt sinh viên tiếp cận với nội dung kiến thức tốt hơn, kích thích tư duy của người học. Trình bày kiến thức: các kién thức sẽ được trình bày cụ thê, chỉ tiết. Trước khi đưa ra định nghĩa, chúng tôi sẽ trình bày phần dẫn dắt và giải quyết một vài trường hợp cụ thé. Bên cạnh đó, các ví đụ phải bao quát, giải chỉ tiết và giải thích được định nghĩa cũng như tính chất và các ví dụ liên quan đến kiến thức vật lý.
Ngoài ra, chúng tôi kèm thêm một vai lưu ý ở các kiến thức hay ví dụ giúp sinh viên không hiểu sai kiến thức và tránh được những lỗi thường gặp. Từ đó, sinh viên sẽ giải các bài tập một cách dé dang hơn. Bảng tóm tắt: chúng tôi trình bày lại các nội dung kiến thức một cách cô dong, dé nhớ đề sinh viên có thê tra cứu lại khi cần thiết. Hệ thong bài tập-chúng tôi trình bày hệ thống bài tập tự giải.
Trong đó, các bài tập về toán học vẫn chiếm đa số tập trung ở những bai tập đầu tiên và bỗ sung thêm các bài toán vật lý cụ thê. Các bài toán vật lý chỉ dừng lại ở mức độ vừa phải và đảm bảo được yêu cau vẻ kiến thức toán học tương ứng. PHAN TÍCH VA SO SÁNH PHAN DAO HAM VA VI PHAN CUA HAM NHIEU BIEN 2. Phan ly thuyét Cách tiệp cận khái niệm Dao hàm Cách tiep cận khái niệm Dao riêng cấp một hàm riêng cấp một Không có phan nao nói về cách Một ngày nóng, độ âm cao làm tiếp cận khái niệm đạo hàm riêng cấp | chúng ta cảm thấy nhiệt độ cao hơn nhiệt một của hàm nhiều biến.
độ thực, nơi có không khí khô chúng ta cảm nhận nhiệt độ thập hơn chỉ số của nhiệt kế. The National Weather Service đã nghĩ ra chỉ số nhiệt (còn gọi là chỉ số nhiệt độ - độ âm) dé miêu tả ảnh hưởng của nhiệt độ và độ âm. Chỉ số nhiệt J là nhiệt độ cảm nhận được lúc nhiệt độ thực là 7 va độ âm tương đối là /. Do đó, 7 là hàm số theo 7 và H và có thé viết J = ƒ(T.1 biểu diễn giá trị của J được trích từ bảng hoàn chỉnh từ The National Weather Service.
* liá Lbs ] iv? jas} 16 | 1s | to ~TM im im) ps ME ow | 161 Hình 2. Giá trị chỉ số nhiệt [8] Nếu chúng ta tập trung vào cột màu xanh, tương ứng với độ âm tương đối là H = 70%, chúng ta xét chỉ số nhiệt như hàm số của một biến 7 với giá trị cỗ Khi đó ø(T}) miêu tả chỉ số nhiệt 7 tăng như thé nào khi nhiệt độ thực tăng lúc độ âm tương đôi là 70%. Dao hàm của g lúc 7 =96"E là tốc độ thay đôi của / đối với T lúc 7 =96"F: #'(96)= tim £@6+5)- 8 (96) ñ-»0 (96) h — jim £ (96 +8,70)— F (96.70) b— h Chúng ta có thé tính gan đúng ¢'(96) sử dụng giá trị trong Hình 2.1 bằng cách lay h=2 và -2: 4'(96) = etry 2) _ #(98,70)~ ƒ (96. Trung bình các giá trị trên, ta có thé kết luận rằng đạo hàm ø'(96) xap xỉ 3,75.
Có nghĩa là, khi nhiệt độ là 96°F và độ âm tương đối là 70% thì nhiệt độ biểu kiến (chỉ số nhiệt) tăng 3,75°F với mỗi độ tăng của nhiệt độ thực. Bây giờ chúng ta hãy quan sát hàng màu xanh, tương ứng với nhiệt độ cô định 7 =96°F. Những số trong hàng là 10 sẽ tăng như thé nào khi độ âm tương đối tang lúc nhiệt độ thực là 7 = 96”F? Đạo hàm của hàm số khi #7 = 70% là tốc độ thay đổi của J đối với H lúc H =70% G'(70)= lim G(70+k)—G(70) 0 h tim £96.70) Bang cách lay h=5 va -5, chúng ta tính xap xi G'(70) bằng cách sử dụng giá trị trong Hình 2. Bang cách lay trung bình các giá trị này chúng ta có thé ước lượng G'(70) = 0,9.
Nó nói lên rằng, lúc nhiệt độ là 96°F và độ âm tương đối là 70%. chỉ số nhiệt tăng khoảng 0,9°F cho mỗi phan tram mà độ âm tương đối tăng. Trong trường hợp tong quát, nếu ƒ là hàm số của hai biến x và y, giả sử chúng ta chỉ xét biến x trong khi giữ y II cô định, y=?, trong đó b là hang số. Khi đó chúng ta thật ra đang xét hàm số của một biến x, tên tương tự g(x)= f(x.
Nếu ø có đạo hàm tại a, khi đó chúng ta gọi nó là đạo hàm riêng của f đối với x tại (a,b) và kí hiệu bằng f,(a,b). Bang cách định nghĩa của đạo ham, chúng ta có ht và phương trình 1 trở thành BÌr, ( a. b ) , kod h Một cách tương tự, đạo hàm riêng của f đôi với y tại (a,b) được kí hiệu bằng f,(a,b}. là thu được bằng cách giữ x cô định (x = a) và tìm đạo hàm thường tại b của hàm số G(y)= ƒ(4a.
Nếu chúng ta giả sử điểm (a,b) biến đồi trong phương trình 2 và 3, f, và f, trở thành hàm số của hai biến. Cách tiếp cận Kha vi và Vi phân 12 Không có phan nào nói về cách tiếp cận Đối với Kha vi và Vi phân, S2 đã Khả vi và Vi phân của ham nhiều biến. lập luận bằng cách nhắc lại các kiến thức và ý tưởng có trong hàm một biến đề liên hệ với các kiến thức nay đối với ham nhiều biến. Một trong những ý tưởng quan trọng trong giải tích hàm một biến là chúng ta phóng to một điểm trên đồ thị của hàm số có thể phân biệt được, đồ thị trở nên không thé phân biệt được từ tiếp tuyến của nó và chúng ta có thé xấp xi hàm số bằng một hảm tuyến tính.
Ở đây, chúng ta phát triển ý tưởng tương tự trong không gian ba chiều. Chúng ta có thê phóng to một điểm trên bề mặt la đồ thị của hàm số có thể phân biệt được của hai biến, bề mặt của chúng sẽ trông như mặt phẳng (mặt phăng tiếp tuyến) và chúng ta có thé xap xi hàm số bằng hàm số tuyến tính của hai biến. Chúng ta đồng thời mở rộng ý tưởng vi phân ham số của hai hay nhiều hơn hai biến. Đối với hàm số một biến khả ví, £= ƒ(x,y), chúng ta xác định vi phân dx là biến độc lập, đó là, dy có thé là bat kì số thực nào.
Vi phân của y được 13 y= fla) + ƒta)(x — al Hình 2. Môi liên hệ giữa số gia Av và vi phân dy [8] Hình 2.2 thé hiện mỗi liên hệ giữa số gia Ay và vi phân dy: Ay thé hiện sự thay đôi độ cao của đường cong y= ƒ (x) và dy thé hiện sự thay đôi của độ cao của đường tiếp tuyến lúc x thay đôi một lượng dx = Av. Định nghĩa Đạo hàm riêng Dinh nghia Dao ham riéng Chúng ta định nghĩa đạo hàm riêng của Ham hai biến hàm f(x,y) theo biến x tại điểm Nếu f là hàm số của hai biến, đạo hàm (%).¥o) như là đạo ham thưởng của riêng của nó hàm số ƒ, và f, được xác định bằng (3. Đạo hàm riêng theo biến x của hàm z= f (x,y) tại điểm (x,, y,) là giới hạn (nếu có) = t f (my) how i m S e y ) , h fxy + Ax, lim————————, yụ}= ƒ (xe: vụ) Có nhiều kí hiệu thay thế cho đạo hàm Ar=0 Ax riêng.
Ví dụ, thay thế /, chúng ta có thẻ và được kí hiệu al ox Xys Yo), hoặc ghi f, hoặc D,f (dé chỉ ra đạo hàm đối ; F với biên thứ nhat) hoặc LÃ. Nhưng Ei ra] ê Là C5 Yo ) > Ox Ox ở day không thé được giải thích là tỉ lệ Rõ rang ta có vi phân. Kí hiệu của đạo hàm riêng: 14 Nếu z=f (x.y), chúng ta có thể viết -t=Ø_Ê pry Tương tự ta có dao ham riêng theo y -S =#. ox = lim for dot AY)—F(a Yo), j= .y) %, éy ay f(xy) dyd Ay & Chú ý: đối với ham một biến ta đã biết, =—=ƒ,=D,ƒ =D,ƒ.
ay nếu hàm có đạo hàm thì nó liên tục (tại Ham số nhiều hon hai biến điểm khảo sát). Đối với hàm nhiều biến, Đạo hàm riêng cũng có thẻ được xác việc tồn tại các đạo hàm riêng chưa đảm định cho hàm ba hay nhiều hơn ba biến. bảo sự liên tục của hàm số. Ví dụ, nêu ¢ là hàm số của ba biến x, y và z, khi ay đạo hàm riêng với biến x được xác định la f(x»,z) = tim tR»z)-fŒ y.z) iw h vả nó được tìm bằng cách đối với y và z như là hang số và lay dao ham f(xy,z) đối với biến x.z), khiấy f, -# có thé ox được giải thích là ti lệ thay đổi của w đôi với x khi y và z được giữ cố định, nhưng chúng ta không thẻ giải thích hình học bởi vi đồ thị của / nam trong không gian bốn chiêu.
Trong trường hợp tông quát, nếu ư là hảm so.x„), đạo ham riêng với biến X; là 15 hv va chúng ta cũng viết Cues : TỰ, =f, =D,ƒ. Gx, ÔN Đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm riêng cấp cao Nếu f là hàm số hai biến, khi đó đạo Đạo ham riêng cap hai la đạo ham riêng của đạo hàm riêng cấp một. Giả sử xét hàm riêng của nó ƒ, và ƒ, cũng là ham hai biến z= ƒ (x, y, ta có các đạo những hàm số hai biển, nên chúng ta có hàm cấp hai sau: thé xét dao hàm riêng (ƒ,).) ` (, ) ma chúng được gọi là dao hàm riêng cấp hai của f. Nếu z=ƒ (x, y), chúng ta sử dung các kí hiệu sau: al Ví dụ: f(xy Tuy vậy, néu các đạo ham hỗn hợp liên tục thì chúng bằng nhau.
điều đó thê hiện trong định ly Schwarz sau day. Nếu hàm f(xy) và các đạo hàm ƒƑ, fi. fi", fy xác định trong miền mở G chứa là chúng ta lay đạo hàm với biến š sau (xạ. xạ} và liên tục tai (x.y,) thì đó với biến y , ngược lại trong việc tính if; (xạ.
thì theo thứ tự đảo ngược. Hoàn toàn tương tự ta có các đạo hàm Vi dụ: Tim đạo hàm riêng cấp hai của riêng cấp 3. Vi dụ nhac: Dinh tý Clairaut 16 Of o( ef 8ƒ afes a a 27 «a Pe eee A 2 Oxéy" Oy | Oxdy |} Axey y| ax D mà chứa điểm (a,b). Nếu hàm số Hon nữa, nếu chúng liên tục thì lấy Ff, và f,, liên tục trên D , khi đó đạo hàm hỗn hợp không phụ thuộc vào = f,, (a,b).
F(ab) thứ tự các biển.