me FTTTTFFTTTFFTTTTFTTTTFFTTTFTFFTTTTTFTTTTTTT"T” 'T1] 5EBRPïGAmeOSiHMỊ3 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ ells LUAN VAN TOT NGHIỆP ghd DANG BÀI Tập TRONG PRWONG TRINH VAT Lý TOAN tec) và, "9Í GVHD:IRỂNRHÁETNW gw: LE THY Ted LÂM. r rc r rc rc F rc EF F F F TP.HỒ CHÍ MINH F F NIÊN KHÓA 2000 - 2004 E- J1 =5. LIÊN wae TỐT NGMIỆP @/0⁄0: Trân Khác Ty Lời cảm a Tưởng suốt thời gian ngồi dưới mái trường được sự quan lâm, day dễ cáa các thay cô trong trường Dai Hoc Su Pham TP 1CM, đã giáp em mở rong kiến thác, nâng cao sự hiểu biết, để ham nay em có thể hoàn thành dé tài tất nghiệp này. Công lao to lớn của qui thầy cô thực sự em không thể nào quên.
Em xin gửi lời cảm em chân thành nhất đến: ® Các thẩy cô trong khea Vat lý đã day dé em trong nuốt những năm học. © Thầy Trdn Khác Ty đã tận tình hướng dan và chỉ bdo em trong sudt thời gian làm ludn văn. ® Ban Đỗ Thi Hanh, người đã giáp cho em rat nhiều trong sudt thời gian làm dé tài. ® Cảm on tất cả các ban lý IV đã giáp đã tôi trong Sau cảng em xin cảm cn dénhéi déng xé! duyệt luận văn eda Khoa Ly trường DHSP và một lần nãa em kính chác sức khoẻ qui thay ca.
SOUTH: La Thị Trúc Lam Quang 1 LUAN VAN TỐT NGHIỆP GUWD: Tran Khác Ty Lời nói đầu 1. MỤC ®Í€M NGHIÊN €ỬU: Nói đến vật lý học thì ai trong chúng ta cũng biết đây là một môn khoa học thực nghiệm. Do đó đòi hỏi người học vật lý phải luôn thực hành và người nghiên cứu vật lý phải luôn thực nghiệm vì vật lý học g4n liền với thực tiễn cuộc sống hay nói cách khác lý thuyết (của vật lý) luôn gấn với thực tiễn. Bởi vậy học vật lý giúp ta mở mang kiến thức xung quanh ta, Mặt khác vật lý học liên quan đến nhiều môn khoa học khác như: hoá hoc, sinh học, triết hoc,.
mà đặc biệt là môn toán học vì đây là công cụ của vật lý học. Để học tốt vật lý thì chúng ta phải có một nền tang kiến thức nhất định về các môn khoa học có liên quan, chú ý là môn toán học. Ta không chỉ hiểu toán học mà phải hiểu cách ứng dụng toán học trong vật lý gọi là toán chuyên ding trong vật lý hay là toán của vật lý. Thế giới xung quanh ta muôn hình muôn vẻ, để khám phá nhiều điều bí ẩn thì ta phải biết vận dụng kiến thức (lý thuyết) vào thực tiễn (thực hành) và sự vận dụng trước tiên là bài tập.
Trong quá trình vận dụng kiến thức để giải bài tập cũng đòi hỏi chúng ta phải có tư duy sáng tạo đặc biệt đối với bài tập có liên quan đến các môn khoa học khác. Học phn phương trình vật lý toán mà các bạn sinh viên đã và sẽ được theo học ở năm thứ 3, nhưng vì thời gian có hạn, thấy day chỉ có thể giới thiệu và giảng dạy những phần cơ bản nhất, cô đọng nhất để các bạn có thể hoàn tất học phần ấy mà thôi. Còn rất nhiều, rất nhiều những phần kiến thức mà các bạn phải tự mình tìm hiểu qua tài liệu, qua sách tham khảo để củng cố thêm kiến thức, khắc sâu kiến thức và các bạn sẽ được tiếp xúc kỹ hơn khi tiếp tục học lên cao học. O đây, để tài được nghiên cứu: “Các dạng bài tập trong phương trình vật lý toán”.
Để tài này chỉ là một phần nhỏ trong khối kiến thức đô sộ của môn học này, nhưng nó sẽ có ích, giúp các bạn sinh viên năm 3 củng cố kiến thức, nắm vững thêm kiến thức giúp cho các bạn thi tốt. Và hy vọng dé tài này sẽ tạo nền móng vững chắc cho các anh chị năm 4 khi muốn thi lên cao học sẽ được ôn lại những kiến thức cũ để chuẩn bị tốt cho kỳ thi. La Thi Trúc Lam Trang 2 LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GOUWD: Trân Khắc Ty Để tài: * CÁC DANG BÀI TẬP TRONG PHƯƠNG TRÌNH VAT LÝ TOÁN” » PhầnJ: Tổng quan về chuỗi hàm. Giới thiệu sơ lược về cơ sở toán học của Phương trình vật lý toán.
» Phần 2: Phương pháp giải Phương pháp thường được sử dụng để giải bài tập có liên quan đến phương trình vật lý toán. » Phần 3: Bài tập I. Phương trình truyền sóng. Phương trình truyền nhiệt.
Phương trình Laplace. PHƯØNG PHAP NGHIÊN COU: ~ Thông qua chương trình đã được học ở đầu năm 3 ~ Tìm hiểu, nghiên cứu qua các tài liệu, các sách tham khảo, các sách chuyên để của môn học này, cũng như các môn khác có liên quan. Nhận thấy có nhiều điểu mới mẻ mà chưa được biết đến ở học phần đã học. Những điều ấy có thể giúp ích cho sinh viên, được chúng tôi tổng hợp lại, đúc kết thành nên để tài này dưới sự hướng dẫn của thầy phụ trách.
KẾT Oud N6MIÊW cứu: Sau một thời gian tương đối, tôi đã hoàn thành dé tài “Các dang bài tập trong phương trình vật lý toán” hy vọng sẽ giúp ích được cho các bạn sinh viên ngay bây giờ và cả sau này nữa. WW, KẾT tuệ: Qua nghiên cứu và thực hiện để tài, tôi học hỏi thêm một cách sâu sắc về phương trình vật lý toán. Hy vọng với để tài này các bạn sinh viên có thêm một tài liệu tham khảo về môn học này. Mặc dù cố gắng rất nhiều nhưng cũng không tránh khỏi những sai xót trong quá trình làm và đánh máy để hoàn thành luận văn.
Rất mong sư đóng góp nhiệt tình của quí thay cô phản biện và tất cả các sinh viên để tôi rút ra những kinh nghiệm và để luận văn này hoàn thiện hơn. CP BS SOTH. La Thi Trac Lam Frang 3 LUẬN WAN TỐT NGHIỆP GUWD: Tran Khắc Ty Phént: TONG QUAN VE CHUÕ2 HAM 1. “NUỒI HẦM TONG OUAT: Định nghĩa: Cho một day vô hạn các hams6: #,(x), w(x),.
trong miền D nào đó. Ta gọi tổng vô hạn: #,(x)+w¿;(x)+. là một chuỗi hàm số.) với „(x): là số hang tổng quát hay số hạng thứ n của chuỗi - Tại xe D mà chuỗi ham hội tụ hay phân kỳ thì x là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi hàm. - Nếu ¥ xe(a, b) chuỗi hàm hội tụ thì (a, b) được gọi là miền hội tụ của chuỗi.
- Tổng của n số hạng đầu tiên S„(x) của chuỗi hàm gọilà tổng riêng thứ n của nó,và là hàm theo x wong D S,(x) = u(x) + uz(x) +. - Tổng của chuỗi hàm trong miễn hội tụ của nó S(x) cũng là hàm số theo x và được định nghĩa: S(x)= lim S„(x) hay có thể viết: S(x) = uj(x) + u;(X) +. ta gọi chuỗi hàm là hội tụ vé hàm S(x). Thí dụ: Xét chuỗi hàm So =l+x+x?+.
Đây là chuỗi nhân công bội q = x chỉ hội tụ khi |x|<1 hay -1 < x <1, do đó miền hội tụ của chuỗi là khoảng (-1,1) và tổng của nó là: S(x)= _ và ta cũng có thể viết được: | ——=l+x+x'+. l—x Chuỗi này phân kỳ khi |x|>I hay, -< x<—Ì, và I< x< +. Miễn phân kỳ của nó là (~,=I]+2[1.+se} SOTHM: La Thi Lrúc Lam Trang 4 LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GUWD: Trdn Khắc Ty it. fự Hộ! Ty 0Êu: Cho chuỗi hàm: 2„„.: — gọi là phan du của chuỗi Do đó; Š(x) = S,(x) + R„(x) ~ Ta thấy chuỗi hội tụ tại xe D nếu: lim[S(x)-S,(2)]=0 hay lim R,(x)=0 Nghĩa là: Ve >0,4n € N,Vn > nạ =>|S(x)- S„(x)|< e=>|R.(x|<£ (1) ~ Tại các điểm hội tụ x khác nhau trong miễn hội tu D, (1) sẽ đạt tại n, khác nhau, nghĩa là n„ phụ thuộc vào ¢ và x * Đậc biệt nếu n„ chỉ phụ thuộc £: n, =z,(£), và có định nghĩa chuỗi hàm hội tụ đều như sau: ® Định nghĩa; Chuỗi ham (*) gọi là chuỗi hàm hội tụ đều về hàm S(x) trong miền D nếu: Ve >0,3n,(£),Vn > n,Vx e D =|S(x)=$%„(|< e|R„(x)|< £ Khi đó D gọi là miễn hội tụ đều của chuỗi.
Ví dụ: Xét chuỗi hàm Sự „ chuỗi này hội tụ Vx e [0,1]. Vì lim L=0, do đó Ve >0,3n,,Vn JJ ne? > m,|R„(x)|< £. Vậy chuỗi đã cho hội tụ đều trong [0,1] 1. Tiêu chuẩn hội tu đều: .Tiêu chuẩn Cauchy: #72: La Thi Trac Lam Frang 5 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP 4/020: Tran Khắc Ty Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm (*) hội tụ đều đến hàm S(x) trong miễn Ð là: Ve>0,3m eN,Vn>w,VpeN —|S„.+ u„„„(x)|<£ |ư Thí dụ: Xét chuỗi ="trên (0, a Dùng tiêu chuẩn Cauchy, liye =0, 1 và xét: 1 _ ă VneN sin(l+ 2 sin(l+ 2.
„ sin2 „ sinl ng Ut a 2 chuỗi đó không hội tụ đều [0,2z] * ,Tiêu Weierstrass; chuẩn Cho chuỗi ⁄-(x) (*) Nếu YneN, VxeÐ, |u,(x) <M, với M,>0 và chuỗi số dương >M, hội tụ thì chuỗi (*) hội tụ déu trong miễn D. Chuỗi >M, gọi là chuỗi hội tụ hay chuỗi già của (*) Thí dụ: - Xét các chuỗi a a (a >0) chuỗi trội của các chuỗi này là: Sự : —- <<, VxeR) Ta biết chuỗityhội tụ khi a> 1, theo tiêu chuẩn Weierstrass các chuỗi đã nel ESoisi00x62 ` sào œ >1. Trường hợp 0 <ø <1 chuỗi Lar phân kỳ, và không thể kết luận. * ,Tiêu chuẩn Dirichlet: Cho chuỗi > x, (x) (*), trong đó u,(x) = v,(x).+v„(x)|<e (VxeÐD, YneN) và dãy hàm ø,(x) đơn điệu không tăng và dan đến 0, vx e Ð thì chuỗi (*) hội tụ đều trong Ð Thí dụ: Xét các chuỗi ở ví dụ trên với 0< ø <1.
Ấp dụng tiêu chuẩn Dirichlet, với v(x) = sinnx, Ø„(x)= a (0<œ1) rõ rằng ø(x) đơn điệu không tăng và dan tới 0. Vee R, đặc biệt Vxe[e,2z—e]. 0<e<x Mặt khác: |ô,(x)|= sin x+sin 2x +. Vay theo tiêu chuẩn Dirichlet, chuỗi ete là hội tụ đều trong [z,2z -e] đặc biệt là trong (0,27), (£ +0).
Tại x ml 2 =0 và x=2z chuỗi đã cho cũng hội tụ. Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều : * Dinh lý 1: Néu chudi Ya (x) (*) với w„(x) (n = 1,2.) là các hàm liên tục trên [a,b] và hội tụ đều trên [a,b] vé hàm S(x) thì S(x) là một ham liên tục trên [a,b] Ví dụ; 1) Chuỗi x+(xỶ -x)+.là một chuỗi hội tụ Yx e [0,1] về hàm: suf) 0<x<l 1 x=] Nhưng chuỗi hàm không hội tụ đều trên [0,1], ta thấy tổng S(x) của chuỗi là môt hàm gián đoạn trên [0,1].+ 52% 4 hội tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass n vxe R Các số hạng của chuỗi là các hàm liên tục Vxe R. Theo định lý 1, tổng S(x) của nó là một hàm liên tục Vxe R.