CHƯƠNG 1 l ếl. Có thể tạo ra bao nhiêu vectơ có gốc và đỉnh tại 2 trong 4 điểm đã cho? 1.2ề Giải các phương trình a) A ị = 20 n; b) Á ị - aỊ, = 3; c) 3 + 42 = \ ị n .3ề Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau lấy từ năm chữ số 0, 2, 4. Một lớp có 50 học viên, cần chọn ra lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp phó vật chất. Nếu ai cũng có khả năng được chọn vào các chức vụ trên thì có bao nhiêu cách chọn? 1.
Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số khác nhau lấy từ sáu chữ số 0, 1,2, 3, 4, 5. Có 24 đội bóng tham gia thi đấu, hai đội phải đấu với nhau một lượt đi, một lượt về. Ban tổ chức phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? 12 l ễ7. Có 3 cụ ông, 2 cụ bà và 5 em bé ngồi quanh một bàn tròn.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các cụ ông ngồi cạnh nhau, các cụ bà ngồi cạnh nhau và các em bé cũng ngồi cạnh nhau? 1. Có 3 cặp vợ chồng đi xem văn nghệ và ngồi vào 6 ghế trên một hàng. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho vợ chồng luôn ngồi cạnh nhau? 1. Có 3 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển sách Sinh.
a) Có bao nhiêu cách xếp 14 quyển sách lên giá sách? b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho sách cùng môn học ở cạnh nhau? 1. Có bao nhiêu số có năm chữ số lấy từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 trong đó hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau? 1. Trong mặt phẳng có n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua 2 điểm trong số n điểm đã cho? l ễ12.
Cho đa giác lồi n đỉnh D], D2,. Có tất cả bao nhiêu đường chéo? l ế13. Có 12 điểm nằm trên một đường tròn. a) Hỏi có bao nhiêu tam giác nội tiếp đường tròn có đỉnh nằm trong số các điểm đã cho? b) Hỏi có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn có đỉnh nằm trong số các điểm đã cho? 1.14ề Một hộp đựng 6 bi trắng và 4 bi đen.
a) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi. b) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có 2 bi trắng. c) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó ít nhất có 2 bi trắng. d) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có nhiều nhất 2 bi trắng.
Có 10 người gồm 7 nam và 3 nữ. a) Có bao nhiêu cách chọn một uỷ ban gồm 3 người. b) Có bao nhiêu cách chọn để trong uỷ ban nói trên có một nữ. c) Có bao nhiêu cách chọn để trong uỷ ban nói trên có ít nhất một nữ.
13 CÁC KHÁI NIỆM CO BẢN VỀ XÁC SUẤT ■ §1. PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN Trong nghiên cứu tự nhiên và xã hội ta phải theo dõi các hiện tượng, phải cân, đong, đo, đếm, làm thí nghiệm. những việc này, trong điều kiện cho phép, phải lặp lại nhiều lần. Ta gọi chung các công việc này là phép thử.
Khi lặp lại phép thử ta thấy có phép thử luôn cho cùng một kết quả, thí dụ đun nước ở điều kiện cao độ và áp suất binh thường thì đến 100°c nước sẽ sôi, trứng gà trong đàn gà không có trống khi ấp sẽ không nở, hạt giống nếu xử lí ở nhiệt độ quá cao hoặc nồng độ hoá chất quá cao sẽ không nẩy mầm, lai cây đậu hoa vàng có cặp gen trội AA với cây đậu hoa trắng mang cặp gen lặn aa thì cây ở thế hệ Fị có hoa vàng,. , ta gọi đó là các kết quả tất yếu. Ngoài loại phép thử cho kết quả tất yếu ra còn có rất nhiều phép thử khi lập lại sẽ cho các kết quả khác nhau, số kết quả đó có thể hữu hạn, có thể vô hạn, có thể lấy các giá trị rời rạc hay liên tục, thí dụ sinh con có thể trai hay gái, ấp trứng có thể nở hoặc không, trồng 10 cây thì số cây sống có thể là 0, 1,. , 10, làm thí nghiệm có thể thành công hoặc thất bại, các phép thử có nhiều kết quả như trên được gọi là phép thử ngẫu nhiên.
Để đơn giản chúng ta tập trung vào loại phép thử ngẫu nhiên và gọi vắn tắt là phép thử, mỗi phép thử được thực hiện trong những điéu kiện nhất định, gọi là điều kiện đầu, và chỉ xét loại phép thử có thể lặp lại nhiều lần (về lí thuyết có thể lặp lại vô số lần) với cùng điểu kiện đầu. Kết quả của phép thử gọi là sự kiện sơ cấp hay biến cố sơ cấp (biến cố cơ bản) và kí hiệu là ej, e2,. Nếu biết hết các sự kiện sơ cấp thì có tập hợp Q (ej, e2, .), gọi là tập hợp các sự kiện sơ cấp. Sự kiện được kí hiệu bằng các chữ A, B, c ,.
và nếu tìm được nét chung của các sự kiện sơ cấp thuộc (hay họp thành) một sự kiện nào đó thì có thể đặt tên đầy đủ cho sự kiện đó. Gieo một con xúc xắc, sự kiện sơ cấp là ra mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sự kiện ra mặt chẵn A bao gồm ba sự kiện sơ cấp (2, 4, 6), sự kiện ra mặt lẻ B bao gồm ba sự kiện sơ cấp (1 ,3 , 5). Nếu gieo hai con xúc xắc thì các sự kiện sơ cấp là 36 cặp số (1, 2), ( l,3 ) ,.
Sự kiện "Có mặt 6" bao gồm 11 sự kiện sơ cấp: (1, 6), (2, 6),. Sự kiện "Tổng số điểm trên hai con xúc xắc là 10" gồm ba sự kiện sơ cấp (4, 6), (5, 5), (6, 4)ễ Sự kiện "Điểm trên hai con xúc xắc bằng nhau” bao gồm 6 sự kiện sơ cấp (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5,5), (6, 6). Chúng ta tóm tắt sơ đồ theo dõi một phép thử: Cho điều kiện đầu, tiên hành một phép thủ ta được một kết quả, gọi kết quả đó lả một sự kiện sơ cấp. Lặp lại (tiến hành lại phép thử trong cùng diều kiện đầu như.
phép thử trước) ta được sự kiện sơ cấp có thể giống sự kiện sơ cấp cũ hoặc khác. Tập hợp tất cả các sự kiện sơ cấp được gọi là không gian các sự kiện sơ cấp Í1 Một tập hợp con của ũ được gọi là một sự kiện, như vậy mỗi sự kiện bao gồm một sô'sự kiện sơ cấp. Có hai sự kiện đặc biệt: sụ kiện tứ yếu là tập hợp Q và sự kiện không thể (hay bất khả) là tập rỗng 0 , tức là tập hợp không bao gồm một sự kiện sơ cấp nào. XÁC SUẤT Theo dõi nhiều lần một phép thử và các sự kiện liên quan đến phép thử ta thấy có sự kiện hay xuất hiện, hay xảy ra, có sự kiện ít xuất hiện, ít xảy ra, sự kiện tất yếu luôn xảy ra còn sự kiện không thể không bao giờ xảy ra.
Thí dụ gieo một con xúc xắc, sự kiện ra mặt chẵn và sự kiện ra mặt lẻ có mức độ xuất hiện như nhau, sự kiện "ra số chia được cho 3" ít xuất hiện hơn, sự kiện ra mặt 6 lại còn ít xuất hiện hơn nữa. Sự kiện "ra một sô' ít hơn 7" là sự kiện tất yếu, còn sự kiện "Ra một số lớn hơn 6" là sự kiện không thể. Như vậy trong một phép thử mỗi sự kiện có một mức độ (hay khả năng) xuất hiện mà chúng ta muốn đánh giá (hay đo) bằng một con số. 15 Nếu đối với sự kiện A ta tìm được con số đánh giá mức độ xuất hiện thì sẽ gọi số đó là xác suất của sự kiện A và kí hiệu là p(A).
Để thống nhất thang điểm đánh giá chúng, ta chọn xác suất là một số nằm giữa 0 và 1. Thí dụ gieo xúc xắc, nếu con xúc xắc là một hình lập phương cân đối và làm bằng chất liệu đồng đều thì xác suất ra mặt chẵn bằng xác suất ra mặt lẻ và bằng—, còn xác suất "ra môt số chia hết cho 3" l à—, xác suất "ra mặt 6" l à—, 2 3 6 xác suất của sự kiện tất yếu là 1 còn xác suất của sự kiện không thể là 0. Khi điểu kiện đầu thay đổi thì xác suất có thể thay đổi, thí dụ con xúc xắc không cân đối hoặc chất liệu không đồng đều, chỗ nặng, chỗ nhẹ thì các xác suất nói trên không còn đúng nữa. Như vậy với điều kiện đầu cụ thể, khi tiến hành phép thử mỗi sự kiện có một mức độ hay khả năng xuất hiện và sô' đo (hay đánh giá) khả năng xuất hiện dó được gọi là xác suất của sự kiện.
Xác suất của sự kiện A, kí hiệu p(A), được chọn sao cho: 0<P(A)<1 (2. CÁCH TÍNH XÁC SUÂT Có rất nhiều cách tính xác suất, có cách tính chặt chẽ theo hệ tiên đề giúp xây dựng xác suất thành một ngành toán học với lí thuyết và ứng dụng phong phú, có cách tính trực quan hơn và dựa vào các môn học khác như tính xác suất theo Cơ học, theo Hình học, theo Đại số,. Trong sách này chúng ta dùng hai cách tính xác suất: cách tính thống kê và cách tính đồng khả năng. Cách tính thông kê Xác định điều kiện đầu xong ta lặp lại phép thử nhiểu lần, càng nhiều càng tốt, ghi lại số lần thử n và số lần có sự kiện A, gọi là tần số n(A).
Tần suất của sự kiện A, kí hiệu là f(A) được tính theo công thức f(A) =níAl (2.2) n Tần suất không phải là xác suất nhưng nếu không có cách nào khác để tính xác suất thì lấy tần suất f(A) làm xác suất p(A). 16 Nếu có điều kiện làm hàng loạt phép thử và tính tần suất của sự kiện A trong các loạt đó, người ta thấy tần suất khá ổn định (khác nhau rất ít) và thường dao động quanh một sô' xác định. Khi số phép thử tăng lên (và khá lớn) thì biên độ (sai khác giữa tần suất và số nói trên) có khuynh hướng nhỏ dần và càng ngày càng ít xuất hiện các biên độ lớn. Số xác định nói trên được lấy làm xác suất.
Cách tính thống kê đơn giản, cho kết quả dễ hiểu, dễ giải thích, phù hợp với thực tế nhưng không chính xác và không thể dùng để tính xác suất trong những trường hợp phức tạp hoặc các trường hợp không thể trực tiếp lặp lại phép thử.