Chương 1. 32 Toán học là một ngành khoa học lý thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt các quy luật lập luận của tư duy lôgic hình thức. Các quy luật cơ bản của lôgic hình thức đã được phát triển từ thời Aristote (Arít-xtốt) (thế kỷ thứ 3 trước công nguyên) cùng với sự phát triển rực rỡ của văn minh cổ Hy Lạp. Tuy nhiên mãi đến thế kỷ 17 với những công trình của De Morgan (Đờ Mocgan), Boole.
thì lôgic hình thức mới có một cấu trúc đại số đẹp đẽ và cùng với lý thuyết tập hợp giúp làm chính xác hoá các khái niệm toán học và thúc đẩy toán học phát triển mạnh mẽ. Việc nắm vững lôgic hình thức không những giúp sinh viên học tốt môn toán mà còn có thể vận dụng trong thực tế và biết lập luận một cách chính xác. Khái niệm tập hợp, ánh xạ là các khái niệm cơ bản: vừa là công cụ vừa là ngôn ngữ của toán học hiện đại. Vì vai trò nền tảng của nó nên khái niệm tập hợp được đưa rất sớm vào chương trình toán phổ thông (toán lớp 6).
Khái niệm tập hợp được Cantor (Căng-to) đưa ra vào cuối thế kỷ 19. Sau đó được chính xác hoá bằng hệ tiên đề về tập hợp. Có thể tiếp thu lý thuyết tập hợp theo nhiều mức độ khác nhau. Chúng ta chỉ tiếp cận lý thuyết tập hợp ở mức độ trực quan kết hợp với các phép toán lôgic hình thức như “và”, “hoặc”, phép kéo theo, phép tương đương, lượng từ phổ biến, lượng từ tồn tại.
Với các phép toán lôgic này ta có tương ứng các phép toán giao, hợp, hiệu các tập hợp con của các tập hợp. Lôgic mệnh đề 11 Khái niệm ánh xạ là sự mở rộng khái niệm hàm số đã được biết. Khái niệm này giúp ta mô tả các phép tương ứng từ một tập này đến tập kia thoả mãn điều kiện rằng mỗi phần tử của tập nguồn chỉ cho ứng với một phần tử duy nhất của tập đích và mọi phần tử của tập nguồn đều được cho ứng với phần tử của tập đích. Ö đâu có tương ứng thì ta có thể mô tả được dưới ngôn ngữ ánh xạ.
Nắm vững và sử dụng một cách chính xác các luật lôgie mệnh đề, vận dụng triệt để các kiến thức về lý thuyết tập hợp, ánh xạ là một yếu tố quan trọng đối với bất kỳ sinh viên nào muốn đạt kết quả tốt trong học tập các môn toán nói riêng cũng như trong mọi lĩnh vực nghiên cứu khác. Mệnh đề và các phép liên kết mệnh đề a. Khái niệm mệnh đề Lôgie mệnh đề là một hệ thống lôgic đơn giản nhất, với đơn vị cơ bản là các mệnh đề mang nội dung của các phán đoán, mỗi phán đoán được giả thiết là có một giá trị chân lý nhất định là đúng hoặc sai. Như vậy mệnh đề thường được phát biểu dưới dạng câu khẳng định hoặc phủ định.
Câu dưới dạng nghỉ vấn, mệnh lệnh, yêu cầu không phải dạng mệnh đề ta xét. Để chỉ các mệnh đề chưa xác định nào đó ta dùng các chữ cái p,q,r,. và gọi chúng là các biến mệnh đề. Nếu mệnh đề p đúng ta cho p nhận gia tri 1 và p sai ta cho nhận giá trị 0.
Giá trị 1 hoặc 0 được gọi là thể hiện của Dp. Chang han: “7 > 9” là mệnh đề sai, “tam giác đều là một tam giác cân”, hay “tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh 4A khi và chỉ khi BƠ2 = AC2+ AB?” là những mệnh đề đúng, “+ : 3” không phải là một mệnh đề. Phủ định của mệnh đề p là mệnh đề được ký hiệu p, đọc là không p. Mệnh đề p đúng khi p sai và p sai khi p đúng.
Tương tự ngôn ngữ thông thường, người ta dùng các liên từ để nối các câu đơn thành câu phức hợp, các liên từ thường gặp như “và”, “hay là, “hoặc. Mệnh đề phức hợp được xây dựng từ các mệnh đề đơn giản bằng các phép liên kết lôgic mệnh đề. Các phép liên kết lôgic mệnh đề 1) Phép hội: Hội của hai mệnh đề p,ø là một mệnh đề, được kí hiệu là 12 Mỏ đều uề lôgic mệnh đề, tập hợp, ánh xạ pq (doc la p va q). Ménh đề pA q chỉ đúng khi p và g cùng đúng, sai khi ít nhất một trong hai mệnh đề ø hoặc q sai.
Có thể kí hiệu là q. 2) Phép tuyển: Tuyển của hai mệnh đề p, g là một mệnh đề, được kí hiệu là pV qø (đọc là p hoặc g). Mệnh đề p V q chỉ sai khi p và g cùng sai, đúng khi ít nhất một trong hai mệnh đề p hoặc q đúng. Có thể kí hiệu là q.
Ỏ đây “p hoặc g” không được hiểu theo nghĩa loại trừ, tách biệt trong đó cả p,q không thể cùng đúng, mà tất nhiên p V ạ đúng khi cả p,ø cùng đúng. 3) Phép kéo theo: Mệnh đề p kéo theo g, ký hiệu p = q, là mệnh đề chỉ sai khi p đúng q sai. e Nếu p sai thì mệnh đề p => q luôn đúng. Hay “từ điều sai suy ra mọi điều tuỳ ý”.
e Hai ménh dé p,q 6 day phải thuộc cùng một vấn đề, không thể là hai mệnh đề “xa lạ” không có liên quan gì với nhau. e Trong phép kéo theo p = q, p được gọi là giả thiết, g là kết luận. e Phép kéo theo g > p được gọi là đảo hoặc mệnh đề đảo của phép kéo theo ø > q. Ta còn diễn tả p => q bằng một trong các cách sau: Nếu p thi q; Muốn có p cần có g; Muốn có q thì có p là đủ; p là một điều kiện đủ của g; q là một điều kiện cần của ø.
Phép kéo theo là liên kết lôgic mệnh đề thường gặp nhất trong các định lý. (tính chất của tam giác đều) Nếu tam giác ABŒ là tam giác đều thì đó là một tam giác cân. Légic ménh dé 13 Vi du 1. a) (Định lý Vi-et thuận) Nếu phương trình bậc hai a#2 + b+ + e = 0,ø # 0 có .^ ` ` c hai nghiém 21, v2 thi 7, + %2 = —- va 14% = -.
a a b) (Dinh ly Vi-et dao) Néu c6 hai s6 21,22 sao cho 71 +22 = S,x12%_2 = P va S? > 4P thì z¡, z; là hai nghiệm của phương trình bậc hai ø?— Sz-+P = 0. (Định lý điều kiện cần về cực trị của hàm số) Cho hàm sé y = f(z) xác định trên D;,ø € Dy. Nếu hàm số kha vi tại a va dat cuc tri dia phương tai a thi f’(a) =0. Ta đều đã biết điều ngược lại của các mệnh đề trên chưa chắc đúng, nghĩa là điều kiện ƒ/(ø) = 0 chỉ là điều kiện cần để đạt cực trị tại ø và không phải là điều kiện đủ.
4) Phép tương đương: Mệnh đề (p = g) A (g = p) được gọi là mệnh đề Ð tương đương q, ký hiệu p © q. Mệnh đề tương đương còn được phát biểu dưới dạng: khi và chỉ khi, điều kiện cần và đủ, điều kiện ắt có và đủ. (Định lý Pi-ta-go) Tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A khi va chi khi BC? = AC? + AB?. Một công thức gồm các biến mệnh đề và các phép liên kết mệnh đề được gọi là một công thức mệnh đề.
Bảng liệt kê các thể hiện của công thức mệnh đề được gọi là bảng chân trị.1 Bảng chân trị của phép phủ định P P 0 0 1 Từ định nghĩa ta có bảng chân trị của các phép liên kết mệnh đề p V gq, ÐĐ^q,p> qvà q© p như sau: Từ bảng chân trị ta nhận thấy p © ø là một mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề p và g cùng đúng hoặc cùng sai và mệnh đề p © q sai trong trường hợp ngược lại. 14 Mỏ đều uề lôgic mệnh đề, tập hợp, ánh xạ Bảng 1.2 Bảng chân trị thể hiện giá trị các liên kết mệnh đề P\@|P\PVa!|pAqd)p>a)a>p | pq pva 1) 1/0 1 1 1 1 1 1 11010 1 0 0 1 0 0 0 {11 1 0 1 0 0 1 01011 0 0 1 1 1 1 Chú ý 1. e Mỗi định lý sau khi được chứng minh là một mệnh đề đúng. e Mỗi định lý đã được chứng minh lại là căn cứ để chứng mỉnh định lý khác.
e Có hai loại mệnh đề được sử dụng làm căn cứ để chứng minh một mệnh đề: 1. Các mệnh đề đã được thừa nhận là đúng: đó là các định nghĩa và tiên đề. Các mệnh đề đã được chứng minh là đúng. Một công thức mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn nhận giá trị 1 với mọi thể hiện của các biến mệnh đề có trong công thức.
Các tính chất (hay còn gọi là các luật lôgic) Ta ky hiệu mệnh đề tương đương hằng đúng là “=” đọc là “đồng nhất bằng" thay cho ký hiệu “©”. Dùng bảng chân trị ta dễ dàng kiểm chứng các mệnh đề hằng đúng sau: 1) Luật phủ định kép: SII Ill 3 2) Luật giao hoán: ĐAqE=qAp pVq=4qVP. Légic ménh dé 15 3) Luật kết hợp: pA(Ar) S(pAq)Ar pV(qVr)=(pVq)Vr. 4) Luật phân phối: pA^(qVr) S(pAq)V(pAr) pV(q@Ar) =(pVq)A(pVr).
5) Luật bài trung: mệnh đề p V ø luôn đúng (pV p= 1). Luật mâu thuẫn: ménh dé p A p luon sai (p A p = 0). 6) Luat De Morgan: PVG=PAG P\G=PVZ. 7) (p>) = (V4) 8) Luật phản chứng: p>q=\q>=P.
9) Luật lũy đẳng: pV p=p,p\p=p. 10) Luat hap thu: pV(pAq)=p pA (pV q) =p. Luật lôgic 7) cho ta biểu diễn phủ định của mệnh dé p > ø như sau: PVụ DAG. p= Theo luat phan chứng mệnh đề p = q và g > D tương đương hằng đúng với nhau.
Vì vậy có thể sử dụng một trong hai dạng trên phụ thuộc tính trực quan dễ hiểu khi phát biểu. Phương pháp suy luận phản chứng: Để chứng minh mệnh đề p => ạ là đúng, ta giả thiết là p đúng và q sai. Nếu ta chỉ ra được rằng từ giả thiết đó dẫn đến mâu thuẫn thì mệnh đề p A g là sai. Theo Luật phủ định kép và Luật De Morgan thì pV q la dang, khi đó theo Luat Logic 7) thi p > q là mệnh đề đúng.
16 Mỏ đều uề lôgic mệnh đề, tập hợp, ánh xạ 1. Khái niệm tập hợp Khái niệm tập hợp và phần tử là các khái niệm cơ bản của toán học, không thể định nghĩa qua những khái niệm đã biết (cũng giống như khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng).