mở đầu 1. Chuyển động cơ học Chuyển động của một vật là sự thay đổi vị trí của vật đó so với các vật khác theo thời gian. Hệ quy chiếu Để nghiên cứu chuyển động của z vật thể, người ta chọn những vật thể M khác nào đó làm mốc mà ta quy ước r y đứng yên. Hệ toạ độ gắn liền với vật O làm mốc để xác định vị trí của vật thể x khác trong không gian và chiếc đồng Hình 1-1 hồ gắn với hệ này để chỉ thời gian gọi là hệ quy chiếu.
Cần lưu ý rằng, cùng một chuyển động nhưng sẽ xảy ra khác nhau trong các hệ qui chiếu khác nhau. Ví dụ xét chuyển động của một điểm M nằm trên vành xe đang chạy, nếu ta chọn hệ qui chiếu là xe đạp thì ta thấy chuyển động của điểm đó là chuyển động tròn đều, còn nếu hệ qui chiếu là mặt đường thì điểm M sẽ tham gia một chuyển động phức tạp là tổng hợp của hai chuyển động : chuyển động tròn đối với xe và chuyển động thẳng của xe đối với mặt đường. Khi xét một chuyển động cụ thể người ta thường chọn hệ qui chiếu sao cho chuyển động được mô tả một cách đơn giản nhất Downloaded by TOM TIT (tomboy1@gmail.com) lOMoARcPSD|39605280 Hệ toạ độ thông dụng nhất là hệ toạ độ Đề- z (C) các (Descartes) (hình 1-1). Vị trí của điểm M M A r bất kì được xác định bằng bán kính véc tơ r.
Chất điểm Chất điểm là một vật có kích thước nhỏ không đáng kể so với những khoảng cách, những kích thước mà ta đang khảo sát. Phƣơng trình chuyển động của chất điểm a) Định nghĩa: Phương trình chuyển động là phương trình mô tả sự phụ thuộc của đại lượng cho ta xác định vị trí của vật với thời gian. b) Trong hệ toạ độ Đề các: r = r (t) (1-2) là phương trình chuyển động dạng véc tơ. x(t) , y(t) , z(t) là phương trình chuyển động theo các trục toạ độ ( hình 1-2a.) c) Phương trình chuyển động dạng tự nhiên: Nếu ta đã biết quỹ đạo chuyển động của chất điểm, ta cũng có thể S M mô tả chuyển động của chất điểm O bằng cách xác định vị trí của chất Hình 1-2b điểm trên quỹ đạo ở mọi thời điểm khác nhau.
Ta chọn một điểm O trên quỹ đạo làm gốc và quy ước một chiều dương trên quỹ đạo (hình 1-2b). Vị trí của chất điểm M được xác định bằng quãng đường S từ O đến M. Phương trình chuyển động của M trên quỹ đạo có dạng: 2 Downloaded by TOM TIT (tomboy1@gmail. Phƣơng trình quỹ đạo của chất điểm Khi chất điểm chuyển động liên tục trong không gian nó vạch ra một đường liên tục gọi là quỹ đạo.
Các phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của chất điểm gọi là các phươngtrình quỹ đạo. F(x,y,z) = 0 Biết phương trình chuyển động của chất điểm ta có thể tìm được phương trình quỹ đạo của nó bằng cách khử t trong các phương trình chuyển động. Định nghĩa vận tốc Xét một chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo bất kì. Tại thời điểm t1 chất điểm ở vị trí A.
Tại thời diểm t2 rất gần t1, nó ở vị trí B. Như vậy, sau khoảng thời gian nhỏ t t 2 t1 , nó đã chuyển động trên quãng đường nhỏ s , là độ dài của cung AB. s Đại lượng v tb được gọi là tốc độ trung bình của chất điểm trên t quãng đường nhỏ từ A đến B. Quãng đường s càng nhỏ thì tốc độ trung bình vtb càng mô tả chính xác hơn tính chất của chuyển động vì trên quãng đường nhỏ đó tính chất của chuyển động biến đổi rất ít.
Người ta gọi độ dịch chuyển s của chất điểm là một véc tơ vẽ từ điểm A đến điểm B. Độ dịch chuyển s đặc trưng cho sự thay đổi vị trí của chất điểm trong khoảng thời gian t. s S Véc tơ v tb t A B (1-4) được gọi là S r vận tốc trung bình của chất điểm trên quãng đường nhỏ từ A đến B. r1 r2 Chọn một điểm cố định O làm gốc tọa 3 O Hình 1-3 Downloaded by TOM TIT (tomboy1@gmail.
Ta xác định được bán kính véc tơ của chất điểm r1 vào thời điểm t1 và r2 vào thời điểm t2( hình 1-3). Trên hình vẽ ta thấy ngay: r2 r1 r s Do đó: v tb s r t t Cho t 0 thì B A , ta được vận tốc tức thời của chất điểm tại A. s r ds dr v lim lim v= (1-5) t 0 t 0 t dt dt Như vậy, vận tốc của chất điểm tại một điểm nào đó là một véc tơ bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của bán kính véc tơ của chất điểm tại điểm đó. Nó xác định độ nhanh chậm của sự biến thiên tọa độ của chất điểm theo thời gian.
Phương của nó là phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm đó. Chiều của nó là chiều chuyển động của chất điểm trên quỹ đạo. Độ lớn của nó là giá trị tuyệt đối của độ dịch chuyển ứng với đơn vị thời gian. Đơn vị vận tốc là mét trên giây.
Vận tốc trong hệ toạ độ Đề các Trong hệ tọa độ Đềcac: r x.k) dt dx dy dz v i j k dt dt dt dx dy dz Đặt v x ;v y ;v z , thì v v x i vj v z k dt dt dt (1-6) vx; vy; vz là hình chiếu của véc tơ vận tốc v xuống các trục tọa độ. Độ lớn của vận tốc: v= v x 2 v 2y v z 2 (1-7) 4 Downloaded by TOM TIT (tomboy1@gmail.com) lOMoARcPSD|39605280 III. Định nghĩa gia tốc Giả thiết tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M có vectơ vận tốc v (hình 1-4): tại thời điểm t' = t + t , chất điểm ở vị trí M' có vectơ vận tốc v , v v. Trong khoảng thời gian t t 't , vectơ vận tốc của chất điểm biến thiên một lượng: v v 'v v Đại lượng: atb (1-8) t được gọi là gia tốc trung bình của v M chuyển động trong khoảng thời gian M v t .Cho t 0 thì M M , ta được gia tốc tức thời của chuyển động tại Hình 1-4 điểm M: v a lim t o t Theo định nghĩa của đạo hàm, ta có thể viết: dv a (1-9) dt Gia tốc của chất điểm tại một điểm nào đó là một véc tơ bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc chất điểm tại điểm đó.
Nó xác định mức độ nhanh hay chậm của sự biến thiên vận tốc của chất điểm theo thời gian. Đơn vị gia tốc là mét trên giây bình phương ( m/s2) 5 Downloaded by TOM TIT (tomboy1@gmail. Gia tốc trong hệ toạ độ Đềcac dv d dv a = dv dv (v x i v y j v z k) a x j y j z k dt dt dt dt dt dv x d 2 x a x 2 dt dt dv y d 2 y a y 2 dt dt Đặt (1-10) dv z d 2 z a z 2 dt dt a ax i ay j a z k (1-11) Độ lớn gia tốc được tính theo công thức 2 2 2 d 2x d 2 y d 2z a a x2 a y2 a z2 2 2 2 (1-12) dt dt dt 3. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến Vectơ gia tốc đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc.
Sự biến thiên này thể hiện cả về phương, chiều và độ lớn. Trong mục này ta sẽ phân tích vectơ gia tốc ra làm hai thành phần, mỗi thành phần đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc riêng về một mặt nào đó. Để đơn giản, ta giả thiết chất điểm chuyển động trên một đường tròn tâm O, tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M, vận tốc MA v ; tại thời điểm t' = t + t chất điểm vị trí M' ( MM = s), có vận tốc MA v v v. Theo định nghĩa, vectơ gia tốc của chất điểm tại thời điểm t (ứng với vị trí M) sẽ có: Hình 1-5 6 Downloaded by TOM TIT (tomboy1@gmail.com) lOMoARcPSD|39605280 v a lim (1- 13) t 't t Muốn tìm v , từ M ta vẽ vectơ MB MA (hình 1-5).
Ta có: v v v MA MA MB MA hay v AB Lấy trên phương của MA một đoạn MC = v', theo hình vẽ ta có: v AB AC CB Thay v vào (1 - 13) ta được AC CB AC CB a lim lim lim (1-14) t ' t t t 't t t 't t Ta hãy tìm biểu thức và ý nghĩa cụ thể của từng thành phần trong vế phải của (1-14) a) Gia tốc tiếp tuyến: Thành phần thứ nhất được kí hiệu là: at lim AC t 't t Phương của a là phương của AC tức là phương của tiếp tuyến với quĩ t đạo tại M: vì vậy a được gọi là gia tốc tiếp tuyến. t Chiều của a là chiều của AC nghĩa là cùng chiều với chiều chuyển t động khi v' > v (vận tốc tăng) và ngược chiều với chiều chuyển động khi v'<v (vận tốc giảm) Độ lớn của a cho bởi t AC MC MA v' v v at lim lim lim lim t ' t t t ' t t t ' t t t ' t t nghĩa là, theo định nghĩa của đạo hàm: dv at (1-15) dt 7 Downloaded by TOM TIT (tomboy1@gmail.com) lOMoARcPSD|39605280 Gia tốc tiếp tuyến có độ lớn bằng đạo hàm của độ lớn vận tốc đối với thời gian. Tóm lại: gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên độ lớn của vectơ vận tốc. Véc tơ này: - Có phương trùng với tiếp tuyến của quĩ đạo tại M - có chiều là chiều chuyển động khi v tăng và chiều ngược lại khi v giảm; - Có độ lớn bằng đạo hàm độ lớn vận tốc theo thời gian b) Gia tốc pháp tuyến: Thành phần thứ hai trong vế phải của (1-14) được kí hiệu là: CB an lim t 't t Phương của a là phương của CB khi t ' t .