Điều khiển con lắc ngược sử dụng lý thuyết mờ và Đại số gia tử

Luận văn thạc sĩ về điều khiển con lắc ngược. Ứng dụng lý thuyết mờ và đại số gia tử để điều khiển hệ thống. Nghiên cứu chuyên sâu về tự động hóa.

• Tác giả: Nguyễn Thị Yến
• Người hướng dẫn: TS. Vũ Như Lân
• Trường học: Trường Đại học Công nghệ Thông tin & Truyền thông - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Kỹ thuật Điều khiển và Tự động hóa
• Đề tài: Điều khiển con lắc ngược sử dụng lý thuyết mờ và đại số gia tử
• Loại tài liệu: Luận văn Thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Điều Khiển Con Lắc Ngược Tổng Quan Ứng Dụng Tiềm Năng

Luận văn này tập trung vào việc điều khiển con lắc ngược, một bài toán kinh điển trong lĩnh vực điều khiển thông minh. Hiện nay, có những quá trình phức tạp mà không thể mô tả chính xác bằng các mô hình toán học truyền thống. Đồng thời, nhu cầu điều khiển với độ chính xác cao ngày càng tăng trong các lĩnh vực như kỹ thuật robot, sự sống nhân tạo. Các phương pháp tiếp cận cổ điển thường gặp khó khăn trong việc tích hợp trí tuệ nhân tạo, dẫn đến khoảng cách lớn giữa khả năng của con người và máy móc. Logic mờ đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng hệ thống thông minh, giúp biểu diễn, dự báo, phân loại, nhận dạng và điều khiển các hệ thống phi tuyến. Sự kết hợp của lý thuyết mờ và đại số gia tử hứa hẹn mang lại hiệu quả cao trong việc điều khiển con lắc ngược, một đối tượng điều khiển phức tạp.

1.1. Giới thiệu bài toán Điều khiển Con Lắc Ngược cơ bản

Bài toán con lắc ngược là một ví dụ điển hình về hệ thống không ổn định và phi tuyến. Mục tiêu là giữ cho con lắc ở vị trí thẳng đứng bằng cách điều khiển lực tác động lên đế của nó. Đây là một thử thách lớn đối với các phương pháp điều khiển truyền thống. Khả năng ứng dụng cao của bài toán này trong các lĩnh vực như robot thăng bằng, tên lửa đẩy đã thúc đẩy nhiều nghiên cứu về các phương pháp điều khiển tiên tiến.

1.2. Ứng dụng tiềm năng của hệ thống Điều khiển Con Lắc Ngược

Ứng dụng của điều khiển con lắc ngược rất đa dạng, bao gồm robot thăng bằng, xe tự cân bằng, hệ thống ổn định cho tên lửa và máy bay. Khả năng ứng dụng trong điều khiển robot là đặc biệt quan trọng, vì nó cho phép robot duy trì sự cân bằng và thực hiện các nhiệm vụ phức tạp trong môi trường không ổn định. Việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp điều khiển hiệu quả cho con lắc ngược có ý nghĩa lớn trong việc nâng cao hiệu suất và độ tin cậy của các hệ thống tự động.

II. Thách Thức Điều Khiển Con Lắc Ngược Giải Pháp Mới

Việc điều khiển con lắc ngược hiệu quả đặt ra nhiều thách thức. Thứ nhất, hệ thống là phi tuyến và không ổn định, đòi hỏi các phương pháp điều khiển mạnh mẽ. Thứ hai, việc mô hình hóa chính xác hệ thống là rất khó khăn, do ảnh hưởng của nhiều yếu tố bên ngoài như ma sát, nhiễu. Các phương pháp điều khiển mờ truyền thống mặc dù đã được ứng dụng rộng rãi, nhưng vẫn tồn tại một số hạn chế, đặc biệt là trong việc tối ưu hóa đồng thời các giai đoạn mờ hóa, luật mờ và giải mờ. Đại số gia tử nổi lên như một công cụ hữu hiệu để xây dựng các bộ điều khiển dựa trên ngữ nghĩa, khắc phục những nhược điểm của lý thuyết mờ truyền thống.

2.1. Hạn chế của các phương pháp Điều khiển Mờ truyền thống

Một trong những hạn chế lớn nhất của các phương pháp điều khiển mờ truyền thống là việc khó khăn trong việc tối ưu hóa đồng thời các giai đoạn: mờ hóa, suy luận xấp xỉ và giải mờ. Việc này đòi hỏi sự thống nhất giữa các giai đoạn trên cơ sở tối ưu đồng thời nhờ các bộ tham số nhúng. Điều này có nghĩa cần xây dựng bộ điều khiển dựa trên bộ tham số vừa định tính vừa định lượng trong chính các biến ngôn ngữ với các ngôn ngữ định lượng.

2.2. Vai trò của Đại Số Gia Tử trong việc khắc phục hạn chế

Đại số gia tử (ĐSGT) cho phép xây dựng bộ điều khiển dựa trên ngữ nghĩa mà không cần đến lý thuyết mờ, từ đó tối ưu hóa đồng thời ba giai đoạn tương ứng trong hệ mờ. Điều này mang lại tính cấp thiết và ý nghĩa khoa học cho việc nghiên cứu và ứng dụng ĐSGT trong điều khiển con lắc ngược.

III. Phương Pháp Điều Khiển Con Lắc Ngược Bằng Logic Mờ Chi Tiết

Luận văn trình bày chi tiết phương pháp điều khiển con lắc ngược sử dụng logic mờ. Phương pháp này bao gồm các bước chính: (1) Xác định các biến đầu vào và đầu ra của hệ thống. (2) Xây dựng các tập mờ cho các biến này. (3) Xây dựng các luật mờ để mô tả mối quan hệ giữa các biến đầu vào và đầu ra. (4) Sử dụng phương pháp suy luận mờ để tính toán giá trị điều khiển. (5) Giải mờ để chuyển đổi giá trị điều khiển mờ thành giá trị điều khiển thực tế. Việc lựa chọn hàm thuộc, phương pháp suy luận và giải mờ phù hợp đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo hiệu suất của hệ thống điều khiển.

3.1. Xây dựng Tập Mờ và Luật Mờ trong Điều khiển Con Lắc Ngược

Việc xây dựng các tập mờ phù hợp cho các biến đầu vào và đầu ra là một bước quan trọng trong điều khiển mờ. Các tập mờ này phải bao phủ toàn bộ không gian trạng thái của hệ thống và phải thể hiện được các đặc tính quan trọng của hệ thống. Các luật mờ phải được xây dựng dựa trên kinh nghiệm và kiến thức về hệ thống, và phải mô tả chính xác mối quan hệ giữa các biến đầu vào và đầu ra. Việc điều chỉnh các tham số của tập mờ và luật mờ có thể cải thiện đáng kể hiệu suất của hệ thống.

3.2. Phương pháp Suy Luận và Giải Mờ trong Hệ Thống Điều Khiển

Có nhiều phương pháp suy luận mờ khác nhau có thể được sử dụng trong điều khiển con lắc ngược, chẳng hạn như phương pháp Mamdani và phương pháp Takagi-Sugeno-Kang (TSK). Mỗi phương pháp có những ưu và nhược điểm riêng, và việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào đặc tính của hệ thống và yêu cầu về hiệu suất. Tương tự, có nhiều phương pháp giải mờ khác nhau, chẳng hạn như phương pháp trọng tâm và phương pháp trung bình trọng số. Việc lựa chọn phương pháp giải mờ cũng ảnh hưởng đến hiệu suất của hệ thống.

IV. Điều Khiển Con Lắc Ngược Sử Dụng Đại Số Gia Tử Giải Pháp Ưu Việt

Luận văn này tập trung vào việc áp dụng đại số gia tử (ĐSGT) để điều khiển con lắc ngược. ĐSGT là một công cụ mạnh mẽ để biểu diễn và xử lý thông tin không chắc chắn và không chính xác, rất phù hợp cho các bài toán điều khiển phức tạp. Phương pháp điều khiển sử dụng ĐSGT bao gồm các bước: (1) Xác định các biến ngôn ngữ liên quan đến bài toán. (2) Định lượng các biến ngôn ngữ bằng các gia tử. (3) Xây dựng các luật điều khiển dựa trên các gia tử. (4) Sử dụng các phép toán trên gia tử để tính toán giá trị điều khiển. Ưu điểm chính của phương pháp này là khả năng biểu diễn tri thức một cách trực quan và dễ hiểu, cũng như khả năng xử lý thông tin không chắc chắn một cách hiệu quả.

4.1. Biểu diễn Tri Thức và Xây Dựng Luật Điều Khiển bằng Đại Số Gia Tử

Đại số gia tử cho phép biểu diễn tri thức một cách trực quan và dễ hiểu bằng cách sử dụng các biến ngôn ngữ và gia tử. Các luật điều khiển có thể được xây dựng dựa trên các mối quan hệ giữa các biến ngôn ngữ, giúp người thiết kế hệ thống dễ dàng hiểu và điều chỉnh. Khả năng biểu diễn tri thức một cách rõ ràng là một lợi thế lớn của phương pháp này so với các phương pháp điều khiển phức tạp khác.

4.2. Tính Toán Giá Trị Điều Khiển và Xử Lý Thông Tin Không Chắc Chắn

Các phép toán trên gia tử cho phép tính toán giá trị điều khiển một cách hiệu quả, đồng thời xử lý thông tin không chắc chắn và không chính xác. Điều này đặc biệt quan trọng trong các bài toán điều khiển thực tế, nơi mà các thông số của hệ thống thường không được biết chính xác và có thể thay đổi theo thời gian. Khả năng xử lý thông tin không chắc chắn giúp hệ thống điều khiển trở nên mạnh mẽ và đáng tin cậy hơn.

V. Kết Quả Mô Phỏng So Sánh Hiệu Quả Điều Khiển Mờ vs

Luận văn trình bày kết quả mô phỏng và so sánh hiệu quả của hai phương pháp điều khiển con lắc ngược: sử dụng logic mờ và sử dụng đại số gia tử. Kết quả cho thấy phương pháp sử dụng ĐSGT có khả năng đạt được hiệu suất điều khiển tốt hơn so với phương pháp sử dụng logic mờ truyền thống, đặc biệt trong các điều kiện có nhiễu và không chắc chắn. Điều này chứng tỏ tiềm năng của ĐSGT trong việc giải quyết các bài toán điều khiển phức tạp. Ngoài ra, luận văn cũng phân tích các ưu và nhược điểm của từng phương pháp, giúp người đọc có cái nhìn tổng quan về các lựa chọn điều khiển.

5.1. Phân tích và So sánh các tiêu chí đánh giá hiệu quả Điều khiển

Để đánh giá hiệu quả của các phương pháp điều khiển, luận văn sử dụng các tiêu chí như thời gian quá độ, sai số xác lập và độ vọt lố. Các tiêu chí này cho phép so sánh khả năng của từng phương pháp trong việc đạt được mục tiêu điều khiển, cũng như đánh giá khả năng ổn định của hệ thống. Việc phân tích và so sánh các tiêu chí này cung cấp thông tin quan trọng để lựa chọn phương pháp điều khiển phù hợp với từng ứng dụng cụ thể.

5.2. Ưu điểm và Hạn chế của từng phương pháp Điều khiển Con Lắc Ngược

Phương pháp sử dụng logic mờ có ưu điểm là dễ triển khai và có thể mô tả các mối quan hệ phức tạp giữa các biến. Tuy nhiên, nó có thể gặp khó khăn trong việc tối ưu hóa các tham số và xử lý thông tin không chắc chắn. Phương pháp sử dụng đại số gia tử có ưu điểm là khả năng biểu diễn tri thức một cách trực quan và xử lý thông tin không chắc chắn một cách hiệu quả. Tuy nhiên, nó có thể đòi hỏi nhiều kiến thức chuyên môn và kỹ năng lập trình hơn.

VI. Kết Luận Hướng Phát Triển Điều Khiển Con Lắc Ngược Tương Lai

Luận văn đã trình bày một nghiên cứu về điều khiển con lắc ngược sử dụng lý thuyết mờ và đại số gia tử. Kết quả nghiên cứu cho thấy ĐSGT là một công cụ đầy hứa hẹn để giải quyết các bài toán điều khiển phức tạp. Trong tương lai, có thể mở rộng nghiên cứu này bằng cách áp dụng ĐSGT cho các bài toán điều khiển khác, cũng như phát triển các phương pháp tối ưu hóa tham số cho các bộ điều khiển dựa trên ĐSGT. Hy vọng rằng, nghiên cứu này sẽ đóng góp vào sự phát triển của lĩnh vực điều khiển thông minh.

6.1. Tổng kết và đánh giá tiềm năng của Đại Số Gia Tử

Đại số gia tử đã chứng minh được tiềm năng to lớn trong việc giải quyết các bài toán điều khiển phức tạp, đặc biệt là trong môi trường có nhiều yếu tố không chắc chắn và phi tuyến. Việc nghiên cứu và phát triển các ứng dụng của ĐSGT sẽ mở ra nhiều cơ hội mới trong lĩnh vực điều khiển thông minh.

6.2. Hướng phát triển và mở rộng nghiên cứu trong tương lai

Trong tương lai, có thể mở rộng nghiên cứu này bằng cách áp dụng đại số gia tử cho các bài toán điều khiển khác, cũng như phát triển các phương pháp tối ưu hóa tham số cho các bộ điều khiển dựa trên ĐSGT. Việc kết hợp ĐSGT với các kỹ thuật học máy cũng là một hướng đi đầy hứa hẹn, giúp tạo ra các hệ thống điều khiển tự động và thông minh hơn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIỀN THỨC CƠ SỞ 1. Logic mờ và lập luận xấp xi 1. Khải niệm về tập mờ và logic mời "Hàm thuộc a(x) định nghĩa trên tập A. trong khái niệm tập hợp kinh điền chỉ có hai giá trị logiclà 1 nếu xeA hoặc là 0 nếu xe A.

Mô tả hàm thuộc cia ham ta(s), trong đồ tập A được định nghĩa như sau: (xeR |3<x<8) "Như vậy, trong lý thuyết tập hợp kinh điễn, ham thuộc hoàn toàn tương đương với định nghĩa một tập hợp. Từ định nghĩa về một tập hợp A bất kỷ ta có thể xác định được hàm thuộc Ha(x) cho tập đô và ngược lại từ hàm thuộc ua(%) của tập hop A cũng hoàn toàn suy ra được định nghĩa cho tập A. Cách biểu điễn hàm phụ thuộc như vậy sẽ ale) không phù hợp với những tập được mô tả "mờ" như đập 8 gồm các số thực dương. nhỏ hơn nhiều so v6i 8.

B~(xeR x<<8) có tập nn là R Hoặc đập C gồm các số thực gần bằng 3 cũng có tập nền R. Hồm thuộc u4(Q của tập Kinh điễn C~(xeR | x=3} Lý đo là với những định nại “mờ” như vậy chưa đủ đề xác định một số chẳng hạn như x=3.2 có thuộc C hay không. abe) iets) “Bình 1. Hầm thuc của tập mờ B “Bình 1.

Hồm thuc của tập mờ C "Nếu đã không khẳng định được x=3.8 có thuộc B hay không thì cũng không khẳng định được là số thực x=3.8 (như một mệnh. đề) thuộc B bao nhiêu phần trăm? Nếu có thể trả lời được câu hỏi này thì có. nghĩa là hàm thuộc ua(%) = wa(3.8) <1 "Nồi cách khác, hàm uz(%) khôi 1g còn là hàm hai giá trị như đối với tập kinh điễn nữa mà là một ánh xạ liên tục (Jfinh1. Ham thud của tập mờ B Hình 1.

Hàm thuộc của tập mỡ C) bs :X — [0, 1], trong d6 X là tập nên của tập “mo” Như vậy, khác với tập kinh dién A, tir “dinh nghia kinh dién” cia tip “mo” B hoặc C không suy ra được hàm thuộc ua(x) hoặc Ho(x) của chúng. Hơn thể nữa "hàm thuộc ở đây lại giữ một vai trò quan trong là "làm rõ định nghĩa” cho một tập “mờ” như ví dụ trong Eibuh 1. Hữm thuộc của tập mờ B, Hình L 3. Hàm thuộc của tập mỡ C.

Do đồ nó phải được nêu lên như là một điều kiện trong định nghĩa về tập “mở”. Định nghĩa: Tập mỡ F xác định trên tập kinh điễn X là một tập mà mỗi phần. tử của nó là một cặp các giá trị á, uzá), trong đó xeX và u là một ánh xạ wr:XS[0.1] (1) Ảnh xạ tư được gọi là him thuộc (hoặc hàm phụ thuộc - membership function) của tập mỡ F. Tập kinh điễn X được gọi là đập nén (hay tập vũ tru) cia tip mo F.

Sit dung céc hàm thuộc đề tính độ phụ thuộc của một phần tử x nào đó có hai cách: Tính trực tiếp (nếu ue() cho trước đưới dạng công thức tường minh) hoặc Tra bảng (nếu uz(x) cho đưới đạng bảng). Các hàm thuộc uz(x) có đạng frơn được gọi là hàm thuộc kiểuS. Đối với hàm. 'thuộc kiểu S, đo các công thức biểu diễn u;(x) có độ phức tạp lớn nên thời gian.

tính toán độ phụ thuộc cho mét phin tử lâu. Bởi vậy trong kỹ thuật điều khiển mờ thông thường các hàm thuộc kiểu S hay được gần đúng bằng một hàm tuyến. tính từng đoạn.4 Hồm thuộc HF(x) có mức chuyén di tuyen tink ‘Mt hàm thuộc có dang tuyén tinh từng đoạn được goi là ham thuộc có mức chuyên đỗi yến tính 1. Các pháp toán logic trén tập mờ "Những phép toán cơ bản trên tập mỡ là pháp hợp.

phép giao và phép bù. Giống như định nghĩavề tập mờ, các phép toán trên tập mỡ cũng sẽ được định nghĩa thông qua các hàm thuộc, được xây dựng tương tự như các hàm thuộc của các phép giao, hợp, bù giữa hai tập kinh điễn. Nói cách khác, khái niệm xây đựng những phép toán trên tập mỡ được hiễu là việc xác định các hàm thuộc cho phép hop (tuyén) AUB, giao (hôi) A/^B và bù (phủ định) A€,. từ những tập mỡ A vaB.

"Một nguyên tic co bản trong việc xây đựng các phép toán trên tập mỡ là không. được mâu thuẫn với những phép toán đã có trong lý thuyết tập hợp kinh điền. Mặc đù không giống tập hợp kinh điển, hàm thuộc của các tập mờ A:/B, A¬B, “AC. được định nghĩa cùng với tập mỡ, song sẽ không mâu thuẫn với các phép toán tương tự của tập hợp kinh điển nếu như chúng thoả mãn những tính chất tổng quát được phát biểu như “tiên đề” cả lý thuyết tập hợp kinh điển.

Phép hop hai tập mờ Do trong định nghĩa về tập mỡ, hàm thuộc giữ vai trò như một thành phần cầu. thành tập mỡ niên các tinh chất của các tập A+ iB không còn là hiển nhiên nữa Thay vào đó chúng được sử dụng như những tiên đề để xây đựng phép hợp trên. Định nghĩa: lợp của hai tập mỡ A và B có cùng tập nền X là một tập my AUB cũng xác định trên tập nền Xí có hàm thuộc tạ. Có nhiều công thức khác nhau được đùng để tính hàm thuộc 114 s() cho hợp hai tập mờ.

Chẳng hạn một số công thức sau có thể được sử đụng đề định nghĩa hàm tạ.z(%) của phép hợp giữa hai tập mờ.s(S)=max(ua69, HB()) luật lấy max (. 3) = 1 khí min{ua(®), ta)}#0 — (1.4) (3) paces) = min{1, a(x) + ua(®)} phép hop Lukasiewicz (1. 5) neat= BOA) a MGs) ting Einstein (1.6) (5) Havas) = was) + ta(S) - HA(Œ)us(%) tổng trực tiếp — (1.7) "Phép giao hai ip me ‘Nhu da dé cp, phép giao A.^B trên tập mờ phải được định nghĩa sao cho không mâu thuẫn với phép giao của tập hợp kinh điển và yêu cầu này sẽ được thoả. mãn nếu chúng cô được các tính chất tổng quát của tập kinh dién ANB.

Giống như với phép hợp hai tập mờ, phép giao hai tập mờ trên tập nền tổng. quát hoá những tính chất của tập kinh điển A/¬B cũng thi được thực hiện một cách trực tiếp nêu hai tập mờ đó cô cùng tập nền. Trong trường hợp chúng không cùng một tập nền thì phải đưa chúng về một tập nền mới là tập tích của ai tập nền đã cho. Dinh nghĩa: Giao của hai tập mờ A và B có cùng tập nền X là một tập mỡ cũng được xác định trên tập nền X với hàm thuộc u-z(x).

Tương tự như với phép hop giữa hai tập mờ, có nhiều công thức khác nhau để tinh him thuộc Hạ-s(%) của giao hai tập mờ A vàB có cùng tập nền X. Các công thức thườ Ig dùng để tính hàm thuộc j1a-a(x) của phép giao gồm: () maa) min{ua(s). 9) = 0, khi mas(uaG9, ta} #1 (.10) (3) ua-s(x) = max{0, ua(x) + ts(x)}, phép giao Lukasiewicz (1.11) weal C48) @ Ma @-ta@).@ts®) _ tich Einstein(1. 12) (©) Has)= HaŒ)us(), tích đại số —_ (1.13) Chú ý: Luật min wANB(s) = min{ua(s), us(@)} (1.

8) và tích đại số là hai luật xác định hàm thuộc giao hai tập mỡ được sử dụng nhiều hơn cả trong kỹ thuật điều khién mờ. 'Việc có nhiều công thức xác định hàm thuộc của giao hai tập mờ đưa đến khả. năng một bài toán điều khiễn mờ có nhiều lời giải khác nhau. Để tránh những.

kết quả mâu th có thể xây ra, at trong một bài toán điều khiễn mờ, ta chỉ nên thống nhất sử đụng một hàm thuộc cho phép giao. "Phép bù (phũ định) cũa một tập mờ. Tir đó định nghĩa tông quát về phép bù mờ như sau: (0a): [0, 1] > [0. 1] thoả mẫn: ()0Œ)=0 và #0) 10 () ba is => (4a) 2 (0s), tức là hàm khôi 1.

Quan hệ mờ Khái niệm quan hệ mờ. Định nghĩa: Cho X, Y là hai không gian nền, gọi R là một quan hệ mở trên. tập nền tích XxY nếu R là một tập mỡ trên nền XxY, tức là có một hàm thuộc: ta : XXY —> [0, 1] Trong đó: uz(%, y) = R(%. y) là độ thuộc của (x, y) vào quan hệ R.

Dinh nghia: Cho Ri, Ro là hai quan hệ mỡ trên XxY, ta có định nghĩa: (1) Quan hé RIGR2 vei Have, YMA, Ve, GHP yom, exe. Q) Quan he RIAR? vei Hans. CV rmins Yt. OD} Yee yexey.

Định nghĩa: Quan hệ mờ trên những tập mờ Cho tập mờ A có hàm thuộc 1a u(x) dink nghĩa trên tập nền X và tập mỡ B có "hàm thuộc là ua(x) định nghĩa trên tập nền Y. Quan hệ mờ trên các tập A và B. 1à quan hệ mờ Rtrén XxY thoả mãn điều kiện: (1) uae, 9) S uals), VEY Q) unt, 9) Sus), ¥REX Phép hợp thành Định nghĩa: Cho Ry 1a quan hệ mờ trên XxY và R; là quan hệ mở trên XxZ. Hop thank %°7 ofa Ry, Ro la quan hệ mờ trên XxZ: (1) Hợp thành max — min (max — min composition) được xác định bởi: u Ha, Gyan, {mints YMHe.

(2) Hợp thành max — prod cho bởi: Hạ „GV (Ux GV) Ô2Ì vú 2) cXxZ (G) Hợp thành max — * được xác định bối toán tử *:[0, TỊẺ —› [0, 1], cho bối: t„,„,GĂy) max (Uạ Œ3)2t Ô2)Ì vú z)cXxZ, Phương trình quan hệ mờ. Phương tình quan hệ mờ đồng vai trò quan trọng trong các nh vực phân tích các hệ mờ, các bộ điều khiễn mở, quá trình lấy quyết định và nhận dang mờ. Dạng đơn giản nhất có thể điễn đạt như sau: Cho một hệ mờ biểu diễn đưới dạng một quan hệ mờ nhị nguyên R trên không gian tích XY. Đầu vào của hệ mờ là tập mờ A cho trên không gian nén input -X.

Tác động của đầu vào A với hệ R sẽ là phép hợp thành À»R sẽ cho ở đầu ra (output) một tập mỡ trên không gian nền Y, ký hiệu là B. Khi đó chúng ta có AsR=B ‘Nau chúng ta sử dụng phép hợp thành max — min thì hàm thuộc của B cho bởi: Đa(Hạ„ (9))max, (min [p, G),tx Œ-)]} 1. Biển ngôn ngữ và Suy luận xấp xỉ Nói một cách đơn giản như Zaáeh đã từng nói, một biến ngôn ngữ là biến mà. “các giá trị của nó là các từ hoặc câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngôn ngữ.

Ví dụ nhự khi nôi về nhiệt độ ta có thể xem đây là biến ngôn ng tên gọi NHIỆT, ĐỘ và nó nhận các giá trị ngôn ngữ như “cao”, “rất cao” ụ “trung bink”. Déi với mỗi giá trì này, chúng ta sẽ gan cho ching mét ham. thuộc, Giả sử giới hạn của nhiệt độ trong đoạn [0, 230°C] va gi sit giá trí ngôn ngữ được sinh bởi một tập các quy tắc. Khi đó, một cách hình thức.