mở đầu cho sự phát triển của cơ học lượng tử. Planck được trao giải Nobel Vật lí vào năm 1918 do “đề xuất lí thuyết lượng tử năng lượng”. Vào năm 1905, Albert Einstein đã sử dụng giả thuyết của Planck để giải thích hiệu ứng quang điện [4], đó là hiện tượng electron được giải phóng từ bề mặt kim loại khi có ánh sáng thích hợp chiếu lên nó. Ông ấy cho rằng ánh sáng hành xử như một loạt các hạt có năng lượng riêng biệt …, được gọi là photon, năng lượng ấy phụ thuộc vào tần số của chúng.
Einstein cũng đề xuất thuyết tương đối, liên quan đến không gian và thời gian theo một cách mới. Thuyết tương đối của Einstein đã thay đổi cách chúng ta hiểu về không gian, 3 thời gian và vận tốc, mở ra một cánh cửa mới cho vật lí hiện đại. Einstein được trao giải Nobel năm 1921 “vì phát hiện ra hiệu ứng quang điện”. Vào năm 1913, Niels Bohr đưa ra mô hình nguyên tử giải thích được các đặc tính phổ hấp thụ và phát xạ của nguyên tử hydrogen [5], một bước quan trọng trong sự phát triển của cơ học lượng tử.
Mô hình này dựa trên ý tưởng rằng các electron trong nguyên tử chỉ có thể tồn tại ở những trạng thái năng lượng cụ thể, gọi là các trạng thái dừng. Khi các electron chuyển động giữa các trạng thái này, chúng sẽ phát xạ hoặc hấp thụ photon. Cũng trong năm 1913, Ernest Rutherford đã tiên đoán và mô tả bản chất của nguyên tử. Ông đã chứng minh rằng nguyên tử bao gồm một hạt nhân mang điện tích dương tập trung ở giữa, các electron quay quanh nó giống như các hành tinh quay quanh Mặt trời.
Ông cũng nhận ra rằng việc tập trung nhiều electron vào quỹ đạo cố định sẽ làm cho nguyên tử trở nên ổn định hơn. Đây là một cột mốc quan trọng trong lịch sử của cơ học lượng tử, đánh dấu bước đầu tiên trong việc xây dựng một lí thuyết toàn diện về sự tương tác giữa vật chất và năng lượng. Vào năm 1924, Louis de Broglie mở rộng ý tưởng về sự tồn tại của các quang tử, đưa ra giả thuyết rằng mọi vật chất đều có tính chất sóng. Một hạt có động lượng p và năng lượng E thì có bước sóng (gọi là bước sóng de Broglie) và tần số tương ứng: 𝜆 = ℎ/𝑝 và 𝑓 = 𝐸/ℎ Vào năm 1925, cơ học lượng tử tiếp tục phát triển và ghi nhận một số thành tựu đáng kể.
Đầu tiên là sự ra đời “nguyên lí bất định” (Uncertainty Principle) do Werner Heisenberg đề xuất. Nguyên lí này nói rằng không bao giờ có thể xác định cùng một lúc cả vị trí và động lượng của một hạt một cách chính xác. Nếu chúng ta biết vị trí của một hạt một cách chính xác, thì động lượng của nó sẽ trở nên không chắc chắn, và ngược lại. Cũng trong năm 1925, Erwin Schrödinger đưa ra phương trình mô tả sự lan truyền của sóng ánh sáng và cả lượng tử (vi hạt), được gọi là phương trình Schrödinger.
Phương trình này đã cung cấp cho chúng ta một cách tiếp cận toàn diện hơn trong cơ học lượng tử, giúp chúng ta dễ dàng mô tả và dự đoán hành vi của các hệ lượng tử, từ nguyên tử đến hạt nhân. Vào năm 1926, Erwin Schrödinger phát triển lí thuyết sóng, đây là một khuôn khổ toán học khác cho vật lí lượng tử sử dụng phương trình Schrödinger để mô tả sự tiến hóa 4 của các hàm sóng [6]. Schrödinger giới thiệu một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực lượng tử - khái niệm “chồng chất (superposition)”. Nó chỉ ra rằng một hệ lượng tử có thể tồn tại ở nhiều trạng thái đồng thời, cho đến khi một quá trình quan sát xác định trạng thái cuối cùng của nó.
Ví dụ điển hình của “chồng chất” là ví dụ "con mèo Schrödinger", một thí nghiệm tưởng tượng nhằm minh họa tính đồng thời của các trạng thái lượng tử. Erwin Schrödinger được trao giải Nobel vào năm 1933 đã công nhận sự đóng góp to lớn của ông vào lĩnh vực vật lí lượng tử và đã mở ra các hình thức mới của lí thuyết nguyên tử, đánh dấu một bước tiến quan trọng trong sự hiểu biết của con người về thế giới vô cùng nhỏ của nguyên tử và hạt nhân. Vào năm 1927, Paul Dirac đã thống nhất cơ học lượng tử trong một phương trình duy nhất, được gọi là phương trình Dirac, mô tả chính xác hành vi của các hạt như electron, proton, neutron, cũng như các hạt khác có spin bán nguyên. Dirac cũng dự đoán sự tồn tại của phản vật chất (antiparticle), điều này đã dẫn đến phát hiện của electron phản (positron) và khám phá của nhiều loại phản hạt khác nhau, mở ra một cánh cửa mới vào thế giới của vật lí hạt [7].
Paul Dirac được trao giải Nobel vào năm 1933. Vào năm 1928, Wolfgang Pauli đề xuất nguyên tắc loại trừ, trong đó nói rằng không thể có hai hạt lượng tử giống nhau (ví dụ như electron) chiếm cùng một trạng thái lượng tử trong một nguyên tử hoặc một phân tử. Điều này có nghĩa là mỗi trạng thái lượng tử chỉ có thể chứa tối đa một hạt với các thuộc tính lượng tử nhất định. Ngoài ra, Wolfgang Pauli cũng đã giới thiệu khái niệm về spin, một tính chất lượng tử mô tả sự quay của các hạt [8].
Pauli đã được trao giải Nobel vào năm 1945 "vì khám phá Nguyên tắc loại trừ", điều này là một sự công nhận rõ ràng về những đóng góp to lớn của ông vào lĩnh vực vật lí. Vào năm 1935, Albert Einstein, Boris Podolsky và Nathan Rosen đã xuất bản một bài báo, đặt ra thách thức lớn đối với sự hoàn thiện và nhất quán của lí thuyết cơ học lượng tử. Trong bài báo của họ, EPR đã đề xuất một thí nghiệm nổi tiếng, được gọi là "nghịch lí EPR" [9]. Thí nghiệm này liên quan đến một cặp các hạt bị rối và theo lí thuyết lượng tử, các hạt này sẽ giữ cho một trạng thái lượng tử chung sau khi chúng tách ra với một khoảng cách lớn.
EPR đã lập luận rằng nếu một trong những hạt này bị quan sát và đo lường, thông tin về trạng thái lượng tử của nó sẽ được xác định, và theo đó, trạng thái của hạt còn lại cũng 5 sẽ được xác định ngay lập tức, dù cho nó có ở một khoảng cách xa. Bài báo EPR đã chứng minh rằng vẫn còn những khía cạnh của cơ học lượng tử chưa được hiểu rõ hoặc chưa được giải thích một cách đầy đủ. Vào năm 1948, Richard Feynman đã phát triển giản đồ Feynman [10]. Giản đồ này là một công cụ mạnh mẽ trong vật lí lí thuyết, giúp biểu diễn và hiểu các quá trình tương tác giữa các hạt hạ nguyên tử một cách trực quan và hiệu quả.
Thay vì sử dụng các công thức toán học trừu tượng, giản đồ Feynman biểu diễn các quá trình này dưới dạng các biểu đồ hình vẽ, mô tả các hạt và đường đi của chúng thông qua không gian và thời gian. Feynman cũng đóng góp vào sự phát triển của điện động lực lượng tử (QED), đây là một thuyết trường lượng tử tương đối tính, nó miêu tả cách ánh sáng và vật chất tương tác với nhau. Feynman được trao giải Nobel năm 1965 về điện động lực lượng tử. Như vậy, trong khoảng bảy thập kỉ, cơ học lượng tử đã hình thành, phát triển và có những ứng dụng trong khoa học và đời sống.
Từ những nền tảng ban đầu được đặt ra bởi các nhà khoa học như Max Planck, Albert Einstein và Niels Bohr, cơ học lượng tử đã phát triển mạnh mẽ và tạo ra những khám phá đáng kinh ngạc về bản chất của vật chất và năng lượng. Sự hiểu biết sâu sắc về cơ học lượng tử không chỉ mang lại những ứng dụng tiên tiến trong các lĩnh vực như điện tử, vật lí, hóa học, công nghệ thông tin, mà còn mở ra cánh cửa cho những tri thức mới mẻ và tiềm năng lớn trong tương lai. Không gian vector tuyến tính Để mô tả cơ học lượng tử, người ta dùng công cụ toán học mới, khác với công cụ toán học đã dùng để mô tả cơ học cổ điển. Đó là không gian vector làm công cụ biểu diễn các trạng thái lượng tử, mỗi vector biểu diễn mỗi trạng thái và toán tử hoạt động trong không gian này biểu diễn thay cho đại lượng trong hệ vật lí.
Các phần tử của không gian vector tuyến tính phức hữu hạn chiều ℋ được gọi là các vector, được kí hiệu |𝛼⟩ và gọi là 𝑘𝑒𝑡 (theo kí hiệu Dirac). Vector |𝛼⟩ được cho bởi một bộ 𝑛 số phức (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ), trong đó n là số chiều của không gian vector. Vector liên hợp phức với nó được kí hiệu là ⟨𝛼| = (|𝛼⟩)∗ và được gọi là 𝑏𝑟𝑎. Ta xét một số tính chất cơ bản trong không gian vector tuyến tính như sau: 6 Phép cộng các ket và bra được thực hiện như phép cộng hai vector, vì vector |𝛼⟩ = (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ) có bản chất như vector mà ta đã học, chỉ khác là ở đây là các 𝛼1 , … , 𝛼𝑛 số phức.
Vector 0 của không gian vector được xác định theo điều kiện sau: với bất kì vector |𝛼⟩ nào thuộc không gian vector ta có |𝛼⟩ + 0 = |𝛼⟩. Lưu ý rằng đối với vector 0, chúng ta không sử dụng ký hiệu ket, vì, như chúng ta sẽ thấy ở phần sau, |0⟩ kí hiệu cho một trạng thái của cơ sở tính toán. Chúng ta lưu ý rằng trong không gian vector 0|𝛼⟩ = 0; 1|𝛼⟩ = |𝛼⟩ và |𝛼⟩ − |𝛼⟩ = 0. Tập hợp các vector |𝛼1 ⟩, … , |𝛼𝑚 ⟩ ∈ ℋ được cho là độc lập tuyến tính nếu mối quan hệ 𝑐1 |𝛼1 ⟩ + ⋯ + 𝑐𝑚 |𝛼𝑚 ⟩ = 0 với 𝑐1 , 𝑐2 ,.
, 𝑐𝑚 là các số phức, thỏa mãn khi và chỉ khi 𝑐1 = 𝑐2 = ⋯ = 𝑐𝑚 = 0. Số chiều của không gian vector được cho bởi số cực đại của các vector độc lập tuyến tính. Một tập hợp các vector độc lập tuyến tính |𝛼1 ⟩, … , |𝛼𝑛 ⟩ ∈ ℋ trong không gian vector n-chiều được gọi là vector cơ sở. Khi đó bất kì mỗi vector có thể được khai triển thành tổ hợp các vector cơ sở {|𝛼1 ⟩, … , |𝛼𝑚 ⟩}, 𝑛 |𝛼⟩ = ∑ 𝑎𝑖 𝛼𝑖 𝑖=1 Sự kết hợp của ⟨𝛼| và |𝛽⟩ là ⟨𝛼||𝛽⟩, cũng được viết là ⟨𝛼|𝛽⟩ được gọi là tích trong của hai vector, với |𝛼⟩, |𝛽⟩ ∈ ℋ, được thực hiện: 𝑛 ⟨𝛼|𝛽 ⟩ = ∑ 𝛼𝑖∗ 𝛽𝑖 = ⟨𝛽|𝛼⟩∗ 𝑖=1 Một tập hợp gồm n vector |𝛼1 ⟩, |𝛼2 ⟩, … , |𝛼𝑛 ⟩ được gọi là trực chuẩn nếu ⟨𝛼𝑖 |𝛼𝑗 ⟩ = 𝛿𝑖𝑗 Với (i, j = l, 2,.