CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GI ~. BÀI ,> GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Góc lượng giác và số đo của góc lượng giác Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov.
Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Øm quay quanh diém O, theo một chiêu nhât định tu Ou dén Ov thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia dau Ou, tia cudi Ov va ki hiéu là (Ou, Ov). Quy ước chiêu quay ngược với chiêu quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiêu quay cùng chiêu kim đông hô là chiêu âm. Số đo của góc lượng giác cé tia dau Ou, tia cuối Ov duoc kí hiệu là sd{Ou, Ov).
Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn Để đo góc, ta dùng đơn vị độ và đơn vị rađian. ° Quan hệ giữa d6 va radian: 1° =—“rad: 1rad = (=) 3 180 1 Một cung của đường tròn bán kính và có số đo œ rad thì độ dài /= Rơ. Trên đường tròn lượng giác, ta biểu diễn một góc lượng giác có số đo bằng a (d6 hoac radian) bang cach chon tia dau la tia OA va tia cudi la tia OM, voi điêm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ(OA,OM)=ơ. Điêm M được gọi là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo a.
Các giá trị cosa, sinc, tanc, cota được gọi là các giá trị lượng giác của œ. sinœ, cosơœ xác định với mọi giá trị của œ; tanœ xác định khi œ z $e km (keZ}, cotơ. xác định khi œ z km (k € Z). Quan hệ giữa các giá trị lượng giác a) Các công thức lượng giác cơ bản sin? œ + cos? œ = 1; 1+ tan? œ = (=zã+*~=?]} cos’ a 2 1+ cot? «= (a# kn, k eZ); tanc.coter= 1a, kez), Sinˆ œ b) Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt Góc đối nhau (œ và —œ): COS(—œ) = COS œ Sin(—œ) = —sinœ tan(—ơœ) = —†an œ cof(—œ) = —cota Góc bù nhau (œ Và r— œ.
sin| —— œ |= cosơ cos| —— ơ | = sina tan| = — «| = cota cot =-«|= tana 2 2 Góc hơn kém nhau x (a va + œ): Sin(r+ œ) = —sine †an(x + œ) = tanơœ COS(Tr + œ) = —COSơ. a) Đồi từ độ sang rađian các số đo sau: 30°; 80°30. 5m b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: Š :375._% _ 16%" 180 6 60) 180 360 6 b) Ta có: cu mi 2180 = 112,5°: 8 8 1 3 ặ 3,75 = 37s. a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 2 b) Xác định điểm 8 trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng =.
a 2 c) Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng =. Giai Đề xác định điểm M trén đường tròn lượng giác biêu diễn góc lượng giác ơ, ta thực hiện như sau: Chọn điểm A(10) làm điểm đầu của cung tròn. Xác định điểm cuối M của cung tròn theo chiều ngược chiêu kim đông hồ nêu œ dương, hay theo chiều kim đồng hồ nếu œ âm, sao cho góc AOM = d. Điểm M, N và B được xác định trong Hình 1.
Cho góc lượng giác có số đo bằng =. a) Xác định diém N trén đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho. b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho. Giải a) Điểm ÁN trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo = được xác định như trong Hình 1.
b) Từ đường tròn lượng giác và định nghĩa của các giá trị lượng giác, ta có cos— 4n_ = -—; 1. Tính các giá trị lượng giác của góc œ, biết sinœ = š và 90° < œ< 180. Mặt khác, từ sin” œ + cos” œ = 1, suy ra cosa = -j1— Sin? œ = —, mm. 49 i 7 : sa Do d6, tana = SIN va cota = 1 ——— 1 __ 6 cosơ 3y5 “a5 tana 2 2 ` 3/5 Chú ý.
Khi tính giá trị của một góc lượng giác thuộc một miền cho trước, cần xét dấu của giá trị lượng giác trong miền đã cho. Sau đó, sử dụng các công thức lượng giác cơ bản đề tính các giá trị lượng giác còn lại. Bằng cách sử dụng giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt, hãy tính: a) cos =r. b) cot(-675° ); c) sin 4 3 Giải.
Ta Có: 8) cos -15x = COS—— 15% = cos| ( 3x =) + —— | =—c0S—— ( ) ~_ = —. = cos| z— —— | = cos— V2 4 4 4 4 2 b) cot(-675°) = cot(45° — 720°) = cot 45° = 1. c) sini = sin| 32+ en 7 —sin 2% =-—sin at —sin= = ` 3 3 3 3 3 2 C. Hoàn thành bảng sau: Số đođộ | 20° ? 150° 500° 2 ? Số do 2 1tr 2 2 oon in radian ` ø ' : 6 15 1.
Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm Q biểu diễn các góc lượng giác có sô đo sau: aya c) 270”; d) -418°. Một đường tròn có bán kính 20 m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có sô đo là: 2n as b) 36°. Tinh cac gia tri lượng giác còn lại của góc x.
Cho sina + cosa = /m. a) sinacosa; b) sin?a+cos*a _c) sint'a+cos*a. Chứng minh các đẳng thức sau: a) cos” x - sin* x = 2cos’ x - + b) tan? x — sin? x = tan? x - sin? x: c) (sinx + cosx)? + (sinx —cosx)? = 2. Rút gọn biểu thức A = 2cos* x — sin’ x + sin? xcos? x + 3sin? x.
Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây. a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây. b) Tính quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là 860 mm. Kim giờ dài 6 cm và kim phút dài 11 cm của đồng hồ chỉ 4 giờ.
Hỏi thời gian it nhất để 2 kim vuông góc với nhau là bao nhiêu? Lúc đó tổng quãng đường hai đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu? ~. BÀI > CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ cos(a — b) = cosacosÐ + sina sinb cos(a + b) = cosacosÐ - sina sinb sin(a — b) = sinacosb — cosasinb sin(a + b) = sinacosb + cosasin b Công thức cộng tan(a— b) = tana—tanb _ 1+†anatanb tan(a+ b) †ana + tanb 1— tanatanb (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa). sin2a = 2sinacosa cos 2a = cos’ a- sin’ a Công thức nhân đôi = 2cos?a - 1= 1- 2sin? a 2tana cosacosb = 2|9osia — b)+ cos(a + b)] Công thức biến đổi „.
4 tích thanh tong sinasinb = gleos(a — b)-cos(a+ b)] sinacosb = 2lsin(a —b)+ sin(a + b)]. J+V_ -V cosu + cosv = 2cos €0S——— „+ V uv ˆ. oh cosu —cosv =—2sin sin Công thức biến doi 2 tông thành tích. „(+ V u-v sinu + sinv = 2sin——cos 5 3 : ut u-Vv sinu — sinv = 2cos “sind.
Không dùng máy tính, hãy tính: a) cos165°; b) tan, 12 Giải cos(165” ] = cos(120” 4 45°) = cos 120° cos 45° — sin120° sin 45° - 1⁄2 V8 V2 _ v2+V 2°22 2 2 347 ¿ i É *) tan +fanT Ba 4 (v3 +4) tan— = tan) = + — | = ——*—+_ = — = = -2- 12 3.4 1 tan tan 1-3 1-3 Vi du 2. Tinh giá trị của các biểu thức sau: A=cos75°.cos15°; B= sin cos. Giai A=cos7& -cos15° == Chú ý. Khi tính giá trị của các biểu thức lượng giác có chứa các góc không đặc biệt, ta thường khai thác mối quan hệ giữa các góc trong biểu thức (tổng, hiệu) để tìm mối tương quan và sử dụng các công thức lượng giác để đưa về trường hợp các góc lượng giác đặc biệt.
Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức sau aT i On sin= + sin— A=—2 9 cos= + cos 2 9 9 Giai To. On t 2n 1 Sin— + sin— 2sin—cos— sin— A=—9—_9. t Sn Tt 2n T7 COS— + COS—— 2cos—cos— cos — g 9 3 9 3 Vidu 4. Biét sina = 3 va Ss a < x.
Hãy tính các giá trị lượng giác của góc 2a. Giải DOs < arc me NEN COs tele Vay cosa = -Vt—sin?a = 1-3 = 282 Ta có: sin2a = 2sinacosa = 2- [-22) 3 A Av? 3.9 2a == cos* 2 a—sin’ain2a = — cos af. ol ©] 9 tan2a = sina _-8⁄2.7_ AV cot 2a = i z 2 cos 2a 9. Để xác định giá trị lượng giác của một góc lượng giác a có điều kiện, đầu Tiên ta dựa vào điều kiện để suy ra dấu của các giá trị lượng giác, sau đó áp dụng các công thức góc nhân đôi/công thức hạ bậc đề tính các giá trị lượng giác của góc 2a, = C.
Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc 105° 1. Cho cos2x = —Â, với Z« x« 5 10 Tinh sin x, cos x, sÍx dy =) cos( -3). Chứng minh đẳng thức sau sin' a + cos° a = 1~ Lsin2 2a = Š + -Ìcos4a, 2 4 4 1. Tính giá trị của các biểu thức sau: a)A= sing —sin.
sin ; b) B = sin6° sin42° sin 66° sin78°. Chứng minh rằng: a) cosa-—sina = {2œs 2 + |: b) sina+ x3cosa =2sin (s + 3 1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có sinA+ sinB+sinC = 4coscos 2 cos©. 2 2 2 ~-~ BÀ >» HẦM SỐ LƯỢNG GIÁC A.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1s Hàm số chan, ham sé lé Cho hàm số y = #x) có tập xác định D. — Ham s6 y = x) la hàm só lẻ nếu với mọi xeÐ ta có -xeÐD và f(-x) = F(X). — BO thi cla ham sé chan nhan truc Oy lam truc déi xứng, còn đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toa d6 O làm tâm đối xứng. — Để vẽ đồ thị của hàm số chẵn (tương ứng, hàm số lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của nó ở bên phải trục Oy sau đó lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục Oy (tương ứng, qua gốc toạ độ O) là được đồ thị trên toàn tập xác định.
Hàm số tuần hoàn — Hàm số y = #x) có tập xác định Ð gọi là hàm só tuần hoàn nếu tồn tại số T z0 sao cho với mọi x c Ð, ta có: 11 e x4+TeDvax-TeDdD. Số dương 7 nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên (nếu tồn tại) được gọi là chu Ki của hàm số tuần hoàn đó.