I. Tổng quan về luận án
Luận án "Tính toán Cohomology và bài toán phân loại các đại số Lie, đại số Lie siêu phương" nghiên cứu về lý thuyết Lie, tập trung vào việc phân loại các lớp đại số Lie khả giải, đại số Lie siêu phương và tính toán cohomology trên các lớp này. Luận án tiếp cận vấn đề phân loại theo cả hướng chiều và cấu trúc, cụ thể là phân loại các đại số Lie khả giải thực có đại số dẫn xuất có chiều hoặc chiều dư nhỏ. Luận án đã đạt được một số kết quả tích cực như phân loại hoàn toàn lớp đại số Lie khả giải thực có chiều n+1 với đại số dẫn xuất có chiều n (ký hiệu Lie(n+1, n)), chứng minh bài toán phân loại đại số Lie khả giải thực có chiều n+2 với đại số dẫn xuất có chiều n (ký hiệu Lie(n+2, n)) là một bài toán "wild", và phân loại một lớp con đặc biệt của Lie(n+2, n) khi tính "wild" bị phá vỡ. Ngoài ra, luận án cũng mô tả cohomology của tất cả các đại số Lie khả giải có đại số dẫn xuất một chiều và tính toán số Betti cho đại số Lie Diamond tổng quát. Luận án có ý nghĩa khoa học và đóng góp nhất định cho lý thuyết Lie nói riêng, và Đại số, Hình học, Tôpô nói chung.
II. Phân loại đại số Lie khả giải
Luận án trình bày phương pháp hiệu quả để phân loại đại số Lie khả giải thực có chiều (n+1) với đại số dẫn xuất có chiều dư 1, dựa trên việc phân loại đầy đủ các đại số Lie lũy linh có chiều n. "Đối với một đại số Lie lũy linh a có chiều n bất kỳ, bài toán phân loại tất cả các đại số Lie trong Lie(n+1, n) với đại số dẫn xuất đẳng cấu với a tương đương với bài toán phân loại các đạo hàm ngoài trong không gian cohomology thứ nhất H¹(a, a) thỏa mãn các điều kiện tương đương trong Mệnh đề 1.1, chính xác đến đồng dạng tỉ lệ bởi nhóm tự đẳng cấu của a." Luận án cũng chứng minh bài toán phân loại Lie(n+2, n) là "wild" và phân loại một lớp con của lớp này (ký hiệu Liead(n+2, n)) khi tính "wild" bị phá vỡ, tức là khi cặp đạo hàm mở rộng có ít nhất một đạo hàm trong. Việc chứng minh tính "wild" của bài toán phân loại Lie(n+2,n) cho thấy sự phức tạp của vấn đề này.
III. Tính toán Cohomology
Luận án mô tả đầy đủ cohomology của tất cả các đại số Lie khả giải có đại số dẫn xuất một chiều. "Các số Betti của đại số Lie lớp Lie(n,1) được mô tả như sau: (i) b₁(aff(R)) = 1, b₂(aff(R)) = 0." Ngoài ra, luận án cũng tính toán số Betti cho đại số Lie Diamond tổng quát bằng cách áp dụng phương pháp của Pouseele liên quan đến mở rộng của đại số Lie một chiều bởi đại số Lie Heisenberg. "Định lý 1.7: Với các ký hiệu trên, các số Betti của đại số Lie Diamond được mô tả như sau: (i) Nếu k = 0, 1, 2n+1 hoặc 2n+2 thì bₖ(g₂ₙ₊₂) = 1." Việc tính toán cohomology và số Betti cung cấp thông tin quan trọng về cấu trúc của các đại số Lie này.
IV. Đại số Lie siêu phương và ứng dụng
Luận án cũng nghiên cứu các lớp đại số Lie siêu phương khả giải, tức là các đại số Lie khả giải được trang bị một dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến và không suy biến. Luận án mô tả không gian đạo hàm phản đối xứng và tính toán rõ ràng số Betti thứ hai của các đại số Lie khả giải có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng 7. "Định lý 2.1: Không gian của các đạo hàm phản đối xứng và số Betti thứ hai của đại số Lie phương khả giải bảy chiều được mô tả trong bảng sau: ..." Ngoài ra, luận án cũng tính toán rõ ràng số Betti thứ hai của đại số Lie lũy linh kiểu Jordan. Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học trong nước và quốc tế, thể hiện sự đóng góp của nghiên cứu này cho cộng đồng toán học.
