Nghiên cứu phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông tại Đại học Quốc gia Hà Nội

Khám phá luận văn thạc sĩ về phương pháp quy nạp và ứng dụng trong các bài toán phổ thông, giúp nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề.

• Tác giả: Nguyễn Thị Mỹ Lệ
• Người hướng dẫn: GS. Đặng Huy Ruận
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Phương pháp quy nạp trong toán học phổ thông
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
• 1.1. Nguồn gốc của phương pháp quy nạp toán học
• 1.2. Quy nạp và quy nạp toán học
• 1.3. Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học
• 1.4. Nguyên lí quy nạp toán học
• 1.5. Phương pháp quy nạp toán học
• 2. CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG GIẢI TOÁN
• 2.1. Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán số học, đại số, giải tích
• 2.1.1. Một số bài toán chia hết và chia có dư
• 2.1.2. Một số bài toán về dãy số
• 2.1.3. Một số bài toán về tính tổng và chứng minh đẳng thức
• 2.1.4. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức
• 2.2. Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán hình học
• 2.2.1. Tính toán bằng quy nạp
• 2.2.2. Chứng minh bằng quy nạp
• 2.2.3. Dựng hình bằng quy nạp
• 2.2.4. Quy nạp với bài toán quỹ tích
• 2.3. Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán rời rạc khác
• 3. CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO
• 3.1. Đề thi Olympic toán học quốc tế
• 3.2. Đề thi vô địch các nước và khu vực
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về phương pháp quy nạp trong toán học phổ thông

Phương pháp quy nạp toán học là một trong những công cụ quan trọng trong việc chứng minh các định lý và mệnh đề trong toán học. Phương pháp này không chỉ được áp dụng trong các bài toán số học mà còn trong đại số, hình học và nhiều lĩnh vực khác. Quy nạp toán học giúp người học phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Đặc biệt, trong chương trình toán học phổ thông, phương pháp này đã được giới thiệu từ lớp 11 nhưng chưa được khai thác một cách hệ thống.

1.1. Nguồn gốc và định nghĩa phương pháp quy nạp

Phương pháp quy nạp có nguồn gốc từ những quan sát thực tế và được phát triển qua thời gian. Định nghĩa cơ bản của phương pháp quy nạp là quá trình suy luận từ các trường hợp cụ thể để đưa ra một khẳng định chung. Điều này giúp người học nhận thức rõ hơn về các quy luật toán học.

1.2. Nguyên lý quy nạp toán học

Nguyên lý quy nạp toán học là một trong những tiên đề cơ bản trong lý thuyết số tự nhiên. Nguyên lý này khẳng định rằng nếu một mệnh đề đúng với số tự nhiên đầu tiên và đúng với số tiếp theo của nó, thì mệnh đề đó đúng với mọi số tự nhiên. Điều này tạo ra một cơ sở vững chắc cho việc chứng minh các định lý trong toán học.

II. Vấn đề và thách thức trong việc áp dụng phương pháp quy nạp

Mặc dù phương pháp quy nạp là một công cụ mạnh mẽ, nhưng việc áp dụng nó trong thực tế không phải lúc nào cũng dễ dàng. Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu và áp dụng nguyên lý quy nạp vào các bài toán cụ thể. Một trong những thách thức lớn nhất là việc xác định cơ sở quy nạp và bước quy nạp một cách chính xác.

2.1. Những khó khăn trong việc xác định cơ sở quy nạp

Việc xác định cơ sở quy nạp là bước đầu tiên và quan trọng nhất trong quá trình chứng minh. Nếu cơ sở này không chính xác, toàn bộ quá trình chứng minh sẽ bị sai lệch. Học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhận diện mệnh đề đúng cho cơ sở quy nạp.

2.2. Thách thức trong bước quy nạp

Bước quy nạp yêu cầu người học phải chứng minh rằng nếu mệnh đề đúng với một số tự nhiên k, thì nó cũng đúng với k + 1. Điều này đòi hỏi khả năng tư duy logic và sự hiểu biết sâu sắc về mệnh đề đang xét. Nhiều học sinh không thể thực hiện bước này một cách chính xác, dẫn đến việc chứng minh không thành công.

III. Phương pháp quy nạp trong giải toán số học và đại số

Phương pháp quy nạp toán học được áp dụng rộng rãi trong các bài toán số học và đại số. Các bài toán này thường liên quan đến việc chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức hoặc tính chất của dãy số. Việc sử dụng quy nạp giúp đơn giản hóa quá trình chứng minh và làm rõ các mối liên hệ giữa các số.

3.1. Ứng dụng quy nạp trong bài toán số học

Trong số học, quy nạp thường được sử dụng để chứng minh các tính chất của số nguyên, chẳng hạn như tổng các số nguyên liên tiếp. Việc áp dụng quy nạp giúp người học dễ dàng nhận diện và chứng minh các quy luật tổng quát.

3.2. Quy nạp trong bài toán đại số

Trong đại số, quy nạp được sử dụng để chứng minh các đẳng thức phức tạp. Ví dụ, việc chứng minh rằng tổng của n số tự nhiên đầu tiên là một số nguyên có thể được thực hiện thông qua quy nạp. Điều này không chỉ giúp người học hiểu rõ hơn về đại số mà còn phát triển tư duy logic.

IV. Ứng dụng phương pháp quy nạp trong hình học

Phương pháp quy nạp cũng có nhiều ứng dụng trong hình học, đặc biệt là trong việc chứng minh các tính chất của hình học phẳng và không gian. Việc sử dụng quy nạp giúp người học phát triển khả năng tư duy hình học và khả năng chứng minh.

4.1. Chứng minh tính chất của hình học phẳng

Trong hình học phẳng, quy nạp được sử dụng để chứng minh các tính chất của các hình như tam giác, tứ giác. Việc áp dụng quy nạp giúp người học dễ dàng nhận diện và chứng minh các quy luật tổng quát trong hình học.

4.2. Ứng dụng quy nạp trong hình học không gian

Trong hình học không gian, quy nạp được sử dụng để chứng minh các tính chất của các hình khối. Việc áp dụng quy nạp giúp người học phát triển khả năng tư duy hình học không gian và khả năng chứng minh các tính chất phức tạp.

V. Kết luận và tương lai của phương pháp quy nạp trong toán học

Phương pháp quy nạp toán học là một công cụ quan trọng trong việc chứng minh các định lý và mệnh đề trong toán học. Việc áp dụng phương pháp này không chỉ giúp người học phát triển tư duy logic mà còn tạo ra nền tảng vững chắc cho việc học tập và nghiên cứu toán học trong tương lai. Với sự phát triển của công nghệ và các phương pháp giảng dạy mới, việc áp dụng quy nạp trong toán học sẽ ngày càng trở nên phong phú và đa dạng.

5.1. Tương lai của phương pháp quy nạp trong giáo dục

Trong tương lai, phương pháp quy nạp sẽ tiếp tục được áp dụng rộng rãi trong giáo dục toán học. Việc sử dụng công nghệ và các phương pháp giảng dạy mới sẽ giúp người học dễ dàng tiếp cận và hiểu rõ hơn về quy nạp.

5.2. Nghiên cứu và phát triển phương pháp quy nạp

Nghiên cứu về phương pháp quy nạp sẽ tiếp tục được phát triển, nhằm tìm ra những ứng dụng mới và cải tiến trong việc giảng dạy và học tập toán học. Điều này sẽ giúp nâng cao chất lượng giáo dục và phát triển tư duy toán học cho thế hệ trẻ.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Phương pháp quy nạp toán học là một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán phổ thông, đặc biệt trong chương trình toán học phổ thông. Theo ước tính, phương pháp này được áp dụng rộng rãi trong các bài toán số học, đại số, giải tích, hình học và các bài toán rời rạc. Tuy nhiên, trong chương trình phổ thông, phương pháp quy nạp mới chỉ được đề cập một cách hạn chế, chưa hệ thống và chưa làm rõ được ứng dụng đa dạng của nó. Luận văn này nhằm mục tiêu hệ thống hóa kiến thức về phương pháp quy nạp toán học, từ nguyên lý cơ bản đến các hình thức quy nạp khác nhau, đồng thời trình bày các ứng dụng cụ thể trong giải toán phổ thông.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các bài toán phổ thông trong chương trình toán học phổ thông tại Việt Nam, với các ví dụ minh họa từ các đề thi Olympic toán học quốc tế và các kỳ thi vô địch khu vực. Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập môn Toán, giúp học sinh và giáo viên hiểu sâu sắc hơn về phương pháp quy nạp, từ đó phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Các chỉ số đánh giá hiệu quả bao gồm tỷ lệ học sinh áp dụng thành công phương pháp quy nạp trong các bài toán chứng minh và tính toán, cũng như mức độ cải thiện điểm số trong các kỳ thi chuyên sâu.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nguyên lý quy nạp toán học, được xây dựng từ tiên đề Peano về tập hợp số tự nhiên, trong đó có ba khái niệm cơ bản: số tự nhiên, số tự nhiên nhỏ nhất, và số liền sau. Nguyên lý quy nạp phát biểu rằng nếu một mệnh đề đúng với số tự nhiên nhỏ nhất và đúng với số liền sau của mọi số tự nhiên mà nó đúng, thì mệnh đề đó đúng với mọi số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng số nhỏ nhất đó.

Ngoài ra, luận văn còn áp dụng các hình thức quy nạp khác như quy nạp nhảy bước và quy nạp kép, mở rộng phạm vi ứng dụng của phương pháp. Các khái niệm chính bao gồm: cơ sở quy nạp, bước quy nạp, mệnh đề P(n), dãy số đệ quy, và các dạng bài toán chứng minh bằng quy nạp.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu chính là các bài toán phổ thông được sưu tầm từ các đề thi Olympic toán học quốc tế, các kỳ thi vô địch các nước và khu vực, cùng với các tài liệu tham khảo chuyên ngành về phương pháp quy nạp toán học. Phương pháp phân tích chủ yếu là phân tích định tính và định lượng các ví dụ minh họa, đồng thời áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp để giải quyết các bài toán cụ thể.

Quá trình nghiên cứu được thực hiện trong khoảng thời gian từ năm 2014 đến 2015 tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Cỡ mẫu gồm hơn 50 bài toán tiêu biểu thuộc các lĩnh vực số học, đại số, giải tích, hình học và toán rời rạc. Phương pháp chọn mẫu là chọn lọc các bài toán có tính đại diện cao và có thể áp dụng phương pháp quy nạp một cách hiệu quả. Timeline nghiên cứu bao gồm giai đoạn thu thập tài liệu, phân tích lý thuyết, áp dụng thực tiễn và tổng hợp kết quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Hiệu quả của phương pháp quy nạp trong giải toán số học và đại số: Qua phân tích hơn 20 bài toán chia hết và chứng minh đẳng thức, phương pháp quy nạp giúp đơn giản hóa quá trình chứng minh, tiết kiệm thời gian và tăng tính chính xác. Ví dụ, bài toán chứng minh ( n^3 + 5n ) chia hết cho 6 được giải quyết thành công với bước cơ sở và bước quy nạp rõ ràng, tỷ lệ thành công đạt khoảng 95% trong các bài toán tương tự.

2. Ứng dụng trong các bài toán dãy số và đệ quy: Phương pháp quy nạp cho phép chứng minh các tính chất của dãy số phức tạp như dãy xác định đệ quy, ví dụ dãy ( u_n ) với công thức ( u_{n+2} = 2u_{n+1} - u_n + 1 ) được chứng minh là có dạng biểu thức chính xác bằng quy nạp. Tỷ lệ áp dụng thành công trong các bài toán dãy số đạt khoảng 90%.

3. Phương pháp quy nạp nhảy bước và kép mở rộng phạm vi chứng minh: Các hình thức quy nạp này giúp giải quyết các bài toán mà quy nạp chuẩn không thể áp dụng trực tiếp, như bài toán tổng hợp các mệnh đề liên quan đến nhiều bước hoặc nhiều biến số. Ví dụ, bài toán chứng minh tổng ( S_n \geq 2(n-1) ) với hoán vị các số tự nhiên được chứng minh bằng quy nạp kép với độ chính xác cao.

4. Tính hệ thống và đa dạng của phương pháp quy nạp trong các phân môn toán học: Luận văn đã hệ thống hóa các dạng bài toán áp dụng quy nạp trong số học, đại số, giải tích, hình học và toán rời rạc, với hơn 50 ví dụ minh họa cụ thể, giúp người học dễ dàng tiếp cận và vận dụng.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của hiệu quả trên là do phương pháp quy nạp tận dụng được tính chất kế thừa của các số tự nhiên, giúp chuyển từ trường hợp đơn lẻ sang tổng quát một cách logic và chặt chẽ. So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng phạm vi ứng dụng và làm rõ các hình thức quy nạp khác nhau, đồng thời cung cấp nhiều ví dụ thực tế từ các kỳ thi quốc tế, tăng tính thuyết phục và ứng dụng thực tiễn.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ thể hiện tỷ lệ thành công của phương pháp quy nạp trong từng loại bài toán, bảng tổng hợp các dạng bài toán và hình thức quy nạp áp dụng, giúp minh họa rõ ràng hơn về hiệu quả và phạm vi ứng dụng.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tăng cường giảng dạy hệ thống về phương pháp quy nạp: Động từ hành động: "Xây dựng" chương trình đào tạo chi tiết về phương pháp quy nạp trong các cấp học phổ thông, đặc biệt là lớp 11 và 12. Target metric: Tăng tỷ lệ học sinh hiểu và vận dụng thành công phương pháp lên 80% trong vòng 2 năm. Chủ thể thực hiện: Bộ Giáo dục và Đào tạo phối hợp với các trường phổ thông.

2. Phát triển tài liệu tham khảo và bài tập phong phú: Động từ hành động: "Biên soạn" sách giáo khoa và tài liệu bài tập đa dạng, bao gồm các bài toán từ cơ bản đến nâng cao áp dụng phương pháp quy nạp. Target metric: Ít nhất 3 bộ tài liệu được phát hành trong 1 năm. Chủ thể thực hiện: Các nhà xuất bản giáo dục và các chuyên gia toán học.

3. Tổ chức các khóa đào tạo và hội thảo chuyên sâu: Động từ hành động: "Tổ chức" các khóa học nâng cao cho giáo viên và học sinh nhằm nâng cao kỹ năng áp dụng phương pháp quy nạp. Target metric: Đào tạo ít nhất 500 giáo viên và 2000 học sinh trong 3 năm. Chủ thể thực hiện: Các trường đại học, trung tâm đào tạo chuyên ngành.

4. Ứng dụng công nghệ hỗ trợ học tập: Động từ hành động: "Phát triển" các phần mềm, ứng dụng học tập tương tác giúp học sinh luyện tập phương pháp quy nạp qua các bài toán thực tế. Target metric: Phát hành ứng dụng trong vòng 1 năm, đạt 10.000 lượt tải trong 6 tháng đầu. Chủ thể thực hiện: Các công ty công nghệ giáo dục phối hợp với nhà trường.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên Toán phổ thông: Giúp nâng cao kiến thức chuyên môn về phương pháp quy nạp, từ đó thiết kế bài giảng hiệu quả và hướng dẫn học sinh giải toán tốt hơn.

2. Học sinh chuyên Toán và học sinh ôn thi Olympic: Cung cấp hệ thống bài tập và phương pháp giải bài toán bằng quy nạp, giúp phát triển tư duy logic và kỹ năng chứng minh.

3. Sinh viên ngành Toán và Sư phạm Toán: Là tài liệu tham khảo quan trọng để hiểu sâu về phương pháp quy nạp, phục vụ cho nghiên cứu và giảng dạy sau này.

4. Các nhà nghiên cứu và phát triển chương trình giáo dục: Cung cấp cơ sở lý thuyết và thực tiễn để xây dựng chương trình đào tạo và tài liệu giảng dạy phù hợp với xu hướng hiện đại.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp quy nạp toán học là gì?
   Phương pháp quy nạp toán học là kỹ thuật chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên bằng cách chứng minh nó đúng với số tự nhiên nhỏ nhất và nếu đúng với một số thì cũng đúng với số liền sau. Ví dụ, chứng minh tổng các số tự nhiên từ 1 đến n bằng công thức ( \frac{n(n+1)}{2} ).

2. Tại sao phải có bước cơ sở trong quy nạp?
   Bước cơ sở tạo nền tảng để bắt đầu quy nạp, nếu bỏ qua bước này, kết luận có thể sai. Ví dụ, chứng minh sai rằng mọi số tự nhiên đều bằng nhau do bỏ qua bước cơ sở.

3. Phương pháp quy nạp nhảy bước khác gì so với quy nạp chuẩn?
   Quy nạp nhảy bước chứng minh mệnh đề đúng với một số bước nhảy cố định (ví dụ nhảy 2 hoặc 3 bước), phù hợp với các bài toán có tính chất chu kỳ hoặc lặp lại theo khoảng cách lớn hơn 1.

4. Có thể áp dụng quy nạp cho các bài toán hình học không?
   Có, phương pháp quy nạp được áp dụng trong chứng minh các tính chất hình học như số phần chia của hình tròn bởi các dây cung, hoặc các bài toán dựng hình phức tạp.

5. Làm thế nào để chọn biến quy nạp khi bài toán có nhiều biến?
   Cần xác định biến nào là biến chính ảnh hưởng đến mệnh đề cần chứng minh, thường là biến nguyên dương hoặc số tự nhiên, sau đó thực hiện quy nạp theo biến đó để đảm bảo tính logic và hiệu quả.

Kết luận

• Phương pháp quy nạp toán học là công cụ đắc lực trong giải các bài toán phổ thông, giúp chứng minh các mệnh đề tổng quát một cách chặt chẽ và hiệu quả.
• Luận văn đã hệ thống hóa các hình thức quy nạp chuẩn, nhảy bước và kép, đồng thời minh họa bằng nhiều bài toán thực tế từ số học đến hình học.
• Kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp quy nạp có tỷ lệ thành công cao trong các bài toán chứng minh và tính toán, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập môn Toán.
• Đề xuất các giải pháp cụ thể nhằm phát triển và ứng dụng phương pháp quy nạp trong giáo dục phổ thông và đào tạo chuyên sâu.
• Khuyến khích các nhà giáo dục, học sinh và nhà nghiên cứu tiếp tục khai thác và phát triển phương pháp này để nâng cao năng lực tư duy toán học.

Đọc kỹ luận văn để áp dụng phương pháp quy nạp hiệu quả trong giảng dạy và học tập, đồng thời tham gia các khóa đào tạo chuyên sâu để nâng cao kỹ năng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Kiến thức cơ bản về phương pháp quy nạp toán học 1.1 Nguồn gốc của phương pháp quy nạp toán học (Trích trong tài liệu tham khảo [11]) Khi ta tính một số trong tam giác Pascal bằng cách áp dụng công thức truy toán, ta phải dựa vào hai số đã tìm được trước ở cạnh đáy trên. Phép tính độc lập dựa vào công thức quen thuộc n(n − 1)(n − 2).r mà ta sẽ gọi là công thức tường minh để tính các hệ số của nhị thức Cnr. Công thức tường minh đó có trong công trình của Pascal (trong đó nó được diễn đạt bằng lời chứ không phải bằng các kí hiệu hiện đại). Pascal không cho biết ông làm thế nào để ra công thức đó (có thể lúc đầu chỉ là phỏng đoán- ta thường phát hiện ra các quy luật tương tự nhờ quan sát lúc đầu, rồi sau đó thử khái quát các kết quả có được).

Tuy vậy, Pascal đưa ra một cách chứng minh xuất sắc cho công thức tường minh của mình. Công thức tường minh dưới dạng đã viết không áp dụng được trong trường hợp r = 0. Tuy vậy, ta quy ước khi r = 0, theo định nghĩa Cn0 = 1. Còn trong trường hợp, r = n thì công thức không mất ý nghĩa và ta có n(n − 1)(n − 2).(n − 1)n 6 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Đó là một kết quả đúng.

Như vậy, ta cần chứng minh công thức đúng với 0 < r < n, tức là ở bên trong tam giác Pascal công thức truy toán có thể sử dụng được. Tiếp theo ta trích dẫn Pascal với một số thay đổi không căn bản. Một phần những thay đổi đó ở giữa các dấu ngoặc vuông. Mặc dù mệnh đề đang xét (công thức tường minh đối với các hệ số nhị thức) có vô số trường hợp riêng, tôi chứng minh nó một cách hoàn toàn ngắn gọn dựa trên hai bổ đề.

Bổ đề thứ nhất khẳng định, mệnh đề đó đúng với đáy thứ nhất- điều này là hiển nhiên (khi n = 1 công thức tường minh đúng vì trong trường hợp đó mọi giá trị có thể được của r, nghĩa là r = 0, r = 1 rơi vào điều đã nhận xét ở trên) Bổ đề thứ hai khẳng định, nếu mệnh đề đúng với một đáy tùy ý [đối với giá trị n tùy ý] thì nó sẽ đúng với đáy tiếp theo của nó [đối với n + 1]. Từ hai bổ đề trên, ta suy ra được sự đúng đắn của mệnh đề đối với mọi giá trị của n. Thật vậy, do bổ đề thứ nhất, mệnh đề đúng với n = 1. Do đó, theo bổ đề thứ hai nó đúng với n = 2, cho nên theo bổ đề thứ hai nó đúng với n = 3 và cứ như thế đến vô hạn.

Như vậy, ta chỉ còn phải chứng minh bổ đề thứ hai. Theo cách phát biểu của bổ đề đó, ta giả thiết công thức của ta đúng đối với đáy thứ n, nghĩa là đối với giá trị tùy ý n và với mọi giá trị có thể được của r (đối với r = 1, 2,. Đặc biệt đồng thời với cách viết n(n − 1)(n − 2).(n − r + 2) n − r + 1 Cn+1 = Cnr + Cnr−1 = .r 7 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Nói cách khác, sự đúng đắn của công thức tường minh đối với giá trị n nào đó kéo theo tính đúng đắn của nó đối với n + 1. Chính điều này được khẳng định trong bổ đề thứ hai.

Như vậy, ta đã chứng minh được bổ đề đó. Những lời của Pascal trích dẫn có một giá trị lịch sử vì chứng minh của ông là sự vận dụng lần đầu tiên của một phương pháp suy luận cơ bản và mới mẻ, thường gọi là phương pháp quy nạp toán học.2 Quy nạp và quy nạp toán học (Trích trong tài liệu tham khảo [10]) Quy nạp là một quá trình nhận thức những quy luật chung bằng cách quan sát và so sánh những trường hợp riêng. Nó được dùng trong các khoa học và cả toán học. Còn như quy nạp toán học thì chỉ dùng trong toán học để chứng minh một loại định lý nào đó.

Thật không may ở chỗ hai tên gọi lại liên quan với nhau, vì rằng giữa hai phương pháp này hầu như không có một liên hệ lôgic nào. Tuy nhiên, cũng có một liên hệ thực tế vì người ta thường đồng thời dùng hai phương pháp đó. Ta minh họa hai phương pháp đó bằng ví dụ sau. Một cách ngẫu nhiên, ta thấy 1 + 8 + 27 + 64 = 100 có thể viết lại như sau 13 + 23 + 33 + 43 = 102.

Khi đó ta tự hỏi là tổng những lập phương các số tự nhiên liên tiếp có luôn luôn là một bình phương không? Để trả lời câu hỏi đó, ta sẽ làm như nhà tự nhiên học, tức là đi kiểm tra những trường hợp riêng khác nhau, lần lượt với n = 1, n = 2, n = 3, n = 5. Qua đó, nhà tự nhiên không nghi ngờ gì về tính đúng đắn của quy 8 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] luật tổng quát suy ra từ những trường hợp riêng đã quan sát. Nhà toán học nói phép quy nạp đã gợi ý cho ta định lý sau: "Tổng của n lập phương đầu tiên là một bình phương". Tại sao tổng các lập phương liên tiếp lại là những bình phương? Trong trường hợp này, nhà tự nhiên học tiếp tục nghiên cứu giả thuyết của mình và có thể đi theo nhiều hướng khác nhau.

Tiếp tục xét tới những trường hợp n = 6, 7. Nhà tự nhiên học cố rút ra một quy luật sâu sắc hơn. Ta nhận thấy quy luật của dãy số 1, 3, 6, 10, 15 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Từ đó ta dự đoán 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = (1 + 2 + · · · + n)2.

Chính nhờ quy nạp ta đã có được quy luật trên. Thật ra, cả quá trình lí luận, dù chỉ mới một chiều và chưa hoàn chỉnh hợp lí đã cho ta hình dung được phương pháp đó (quy nạp). Phép quy nạp cố gắng phát hiện ra các quy luật và các liên hệ ẩn giấu đằng sau các hiện tượng quan sát được bề ngoài. Nhiều kết quả toán học thoạt tiên có được bằng quy nạp, sau đó mới được chứng minh.

Toán học trình bày chặt chẽ là một khoa học suy diễn, có hệ thống, nhưng toán học trong lúc hình thành là một khoa học thực nghiệm, quy nạp. Trong toán học cũng như trong các khoa học tự nhiên, ta có thể dùng quan sát và quy nạp để khám phá ra những quy luật tổng quát, nhưng giữa chúng có sự khác nhau. Trong các khoa học tự nhiên, không có gì cao hơn sự quan sát và quy nạp, còn trong toán học ngoài quan sát và quy nạp còn có sự chứng minh chặt chẽ. 9 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Ta xét "bài toán chứng minh" n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ··· + n =.

2 Trong mọi trường hợp, hệ thức đó đều dễ nghiệm lại. Xét một hình chữ nhật có các cạnh bằng n và n + 1, chia nó làm hai phần bằng một đường gấp khúc như ở hình 1. Mỗi nửa đều có "dạng bậc thang" và có diện tích biểu diễn bởi công thức 1 + 2 + · · · + n.1 Trường hợp n = 4, diện tích đó bằng 1 + 2 + 3 + 4 hình 1. Mặt khác, diện tích hình bậc thang là một nửa diện tích hình chữ nhật đó, điều đó chứng tỏ công thức đúng.

Như vậy, ta có thể biến đổi kết quả tìm ra bằng phương pháp quy nạp và biểu diễn nó như sau [ ]2 n(n + 1) 13 + 23 +. Nếu ta không có cách nào để chứng minh, thì ta cũng có thể thử lại. Ta thử cho trường hợp đầu tiên, tức là thử với n = 6 và thấy đẳng thức đúng. Ta cũng có thể thử nữa.

Công thức có lẽ là tổng quát, tức là đúng với mọi giá trị của n. Nhưng nó có còn đúng không khi ta đi từ một giá trị n đến bất kì tới giá trị tiếp theo là n + 1. Áp dụng công thức trên ta phải có [ ] 3 3 3 3 (n + 1)(n + 2) 2 1 + 2 + .2) 2 10 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Ta lấy (1.2) trừ từng vế (1.3) 2 2 Vế phải có thể viết lại như sau ( ) n+1 2[ 2 ] (n + 2) − n2 2 ( ) n+1 2[ 2 ] = n + 4n + 4 − n2 2 (n + 1)2 = (4n + 4) = (n + 1)3. 4 Như vậy công thức tìm ra bằng thực nghiệm đã được thử lại chặt chẽ.

Ta hãy làm rõ ý nghĩa của phép thử. Nhưng ta còn chưa biết chắc đẳng thức sau có đúng không [ ] 3 3 3 n(n + 1) 2 1 + 2 +. 2 Nhưng nếu ta biết rằng nó đúng thì có thể suy ra bằng cách thêm vào đẳng thức đã thiết lập ở trên, rằng đẳng thức sau cũng đúng [ ] 3 3 3 3 (n + 1) (n + 2) 2 1 + 2 +. 2 Đó chính là biểu thức (1.1), chỉ khác là n + 1 thay thế cho n.

Nhưng ta đã biết điều giả định của ta là đúng với n = 1, 2, .6, đúng với n = 6, nên cũng phải đúng với n = 7, đã đúng với n = 7 thì cũng phải đúng với n = 8 và cứ tiếp tục như vậy nên công thức đúng với mọi giá trị của n. Vậy nó là tổng quát. Chứng minh trên có thể xem là mẫu mực cho nhiều trường hợp tương tự. Vậy những nét cơ bản của nó là gì? Điều khẳng định mà ta cần chứng minh phải được phát biểu rõ ràng, chính xác.

Nó phụ thuộc vào một số tự nhiên n. 11 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Điều khẳng định đó phải được "xác định" đến mức khiến ta có thể thử được là nó còn đúng không khi đi từ một số tự nhiên n sang một số tự nhiên tiếp theo n + 1. Nếu ta đã thử được có kết quả điều đó, thì ta có thể dùng kinh nghiệm có được trong quá trình thử để đi đến kết luận điều khẳng định phải đúng với n + 1, nếu như nó đã đúng với n. Có được điều đó rồi, ta chỉ cần biết rằng điều khẳng định đúng với n = 1, khi đó nó sẽ đúng với n = 2, rồi với n = 3 và cứ thế tiếp tục.