Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Mối quan hệ giữa toán học với thực tiễn 1. Toán học nảy sinh từ thực tiễn và quay trở lại phục vụ thực tiễn Ăng – ghen đã chỉ rõ đối tượng của toán học thuần túy là những quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giới thực (theo Nguyễn Bá Kim [12], 2015). Những nghiên cứu về lịch sử toán học khẳng định: Nhu cầu thực tiễn làm nảy sinh toán học, và cũng là môi trường để vận dụng các kiến thức và PP toán học.
Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn cuộc sống đấu tranh để tồn tại và phát triển, con người đã phát hiện các yếu tố toán học mà ban đầu là các con số, phép tính, hình,. để hình thành và phát triển khoa học toán học (tham khảo [26]). Bản chất thực tiễn của toán học được thể hiện rõ ràng ở cách hiểu “Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và logic trong thế giới khách quan hay Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một hệ tiên đề” ([22]) Nhìn nhận từ góc độ DH môn Toán, Nguyễn Bá Kim ([12]) đã chỉ ra tính thực tiễn sâu sắc và tính trừu tượng cao độ là một trong hai đặc điểm chính của toán học. Toán học càng trừu tượng thì kiến thức và PP toán học càng tổng quát, nên phạm vi ứng dụng trong thực tiễn càng rộng lớn.
Theo Trần Kiều [11]: các ứng dụng toán học có thể chia làm hai loại: những ứng dụng trong nội bộ môn toán và ứng dụng trong các lĩnh vực ngoài toán học. Điều cần lưu ý là: Theo thời gian, càng về gần đây thì khoảng cách giữa lý thuyết toán học và ứng dụng thực tế của toán học càng rút ngắn lại, đồng thời ứng dụng của toán học trong thực tiễn ngày càng phong phú hơn (tham khảo [26]).59], khi tiếp cận vấn đề DH Toán gắn với thực tiễn, trên cơ sở phân tích mối liên hệ hai chiều giữa toán học và thực tiễn, Nguyễn Anh Tuấn đã làm rõ vai trò, chỉ ra cơ hội, yêu cầu và khả năng thực hiện giáo dục toán học gắn với thực tiễn. Theo khảo cứu một số công trình nghiên cứu trên thế giới của Hà Xuân Thành trong [21]: Ở những nước có nền giáo dục tốt trên thế giới đều chú trọng DH liên hệ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.vn c chặt chẽ với thực tiễn. Điều đó thể hiện không chỉ ở PPDH mà ngay từ việc đưa vào SGK nhiều bài tập có nội dung thực tiễn (gồm cả những bài tập lấy dữ liệu từ thực tế và bài tập sử dụng tình huống giả định; cả những bài tập kết nối môn Toán với các môn học khác trong nhà trường.
Cũng theo khảo cứu một số công trình nghiên cứu ở Việt Nam của Nguyễn Anh Tuấn trong [37, tr.59-60]: Các tác giả Bùi Huy Ngọc (2003), Nguyễn Ngọc Anh (2004), Phan Thị Tình (2013), Nguyễn Thị Tân An (2014), … với nhiều góc độ tiếp cận và mục đích khác nhau, nhưng đều tập trung xây dựng một số biện pháp thực hiện giáo dục toán học gắn với thực tiễn trong dạy học những nội dung cụ thể ở các cấp, bậc học; thông qua biện pháp bổ sung, sử dụng những ví dụ thực tiễn, khai thác lịch sử toán học, tập luyện năng lực mô hình hóa toán học, gắn toán học với thực tiễn đào tạo nghề ở trường đại học,. Ở những công trình kể trên, các tác giả đều cụ thể hóa, làm rõ hơn mối quan hệ chặt chẽ và nhiều mặt giữa toán học và thực tiễn, khẳng định sự cần thiết khai thác tốt sự gắn bó mật thiết giữa toán học và thực tiễn trong DH Toán. Toán học là khoa học công cụ đối với nhiều lĩnh vực khoa học khác Để giải quyết thực tiễn con người cần đến nhiều khoa học. Với đặc thù của mình, toán học đóng vai trò một khoa học công cụ - giúp cho loài người “phương tiện” hữu hiệu để nghiên cứu và giải quyết những vấn đề ở những khoa học khác - mà thực chất cuối cùng là phục vụ nhu cầu thực tiễn đời sống xã hội.
Bất kì ai trong cuộc sống của mình và cộng đồng đều cần sử dụng kiến thức và PP toán học để giải quyết những vấn đề do thực tiễn đặt ra. Vì vậy, họ có nhu cầu học môn toán; sử dụng toán như công cụ trong lao động, học tập môn học khác, trong nghiên cứu khoa học,. Đồng thời, những kiến thức và PP toán học đã có cũng lại là “công cụ” để con người sử dụng khi tiếp tục nghiên cứu, phát triển toán học. Theo Nguyễn Bá Kim [12], “Do tính trừu tượng cao độ mà Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng vào rất nhiều ngành khoa học: Vật lí học, Hoá học, Ngôn ngữ học, Thiên văn học, Địa lí, Sinh học, Tâm lí học v.
và trở thành một công cụ có hiệu lực của các ngành đó”. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.vn c Như vậy, ứng dụng của toán học rất đa dạng, phong phú trong thực tiễn. Điều đó khẳng định vai trò to lớn của toán học đối với cuộc sống con người. Mô hình và phương pháp mô hình hóa 1.
Một số khái niệm 1. Mô hình a) Một số quan niệm và biểu đạt khác nhau về mô hình: - Theo [24, tr.107]: Khách thể T là mô hình của khách thể X đối với một hệ thống H các đặc trưng nào đó, nếu T được xây dựng hoặc chọn để bắt chước X theo những đặc trưng đó. - Còn theo Blum, Ferry (2009) trong [32, 45-58] thì mô hình là một “vật” hay “hệ thống” làm đại diện hoặc là vật thay thế cho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm. - Theo Jonathan Borwein, Keith Devlin (2009), [34, tr.347] thì diễn đạt mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu.
Như vậy, mô hình được mô tả như một "vật" dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của sự vật (hoặc hệ thống sự vật) thực tế. Tức là mô hình xem như là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc) nhằm một mục đích nào đó. Cũng cần lưu ý rằng: Mô hình có thể ở dạng đồ vật cụ thể, nhưng cũng có thể ở dạng hình ảnh, sơ đồ,. thậm chí được biểu đạt một cách trừu tượng hơn thông qua sự mô tả.
(chẳng hạn mô hình kinh tế, mô hình tài chính, mô hình chính trị, .) Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến (toàn bộ) sự vật thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó. b) Đặc trưng của mô hình: - Mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (chọn tính chất nào là cơ bản là do con người), tức là mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc (thể hiện được những tính chất và mối quan hệ chủ yếu). - Mô hình là sản phẩm của quá trình trừu tượng hóa những đối tượng cụ thể nên mang tính khái quát, lí tưởng (thậm chí có cả những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn!); Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.vn c - Mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một số mặt nào đó của vật gốc nên không thể thay thế hoàn toàn vật gốc.
- Mô hình không phải là bất biến do nó phản ánh thực tiễn luôn vận động và biến đổi. Mô hình hóa trong toán học a) Mô hình toán học Trong toán học, một mô hình toán học (hiểu theo nghĩa rộng) là mô hình trừu tượng ở đó người ta sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả một hệ thống nào đó trong hiện thực khách quan (tham khảo [14]). Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác (dẫn theo Nguyễn Danh Nam [14]). Mô hình toán học (nghĩa rộng) được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (như Vật lý, Sinh học, Kĩ thuật điện tử, .) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế học, Xã hội học, Khoa học chính trị,.
Tiếp cận mô hình theo nghĩa hẹp, Berinderjeet Kaur (2010) trong [29, tr.56] cho rằng: Mô hình toán học còn có thể là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng,. Xem xét từ phạm vi dạy học Toán, chúng tôi thấy: Bên cạnh cách hiểu mô hình toán học như trên, cụm từ “mô hình toán học” hay còn gọi đơn giản là “mô hình” đôi khi được GV dùng theo nghĩa hẹp: chỉ đơn giản là một mô hình vật chất dưới dạng đồ dùng DH Toán cụ thể hoặc phần mềm toán học (trừu tượng) để phản ánh những đối tượng toán học cụ thể như mặt phẳng, đường thẳng, đồ thị hàm số, khối đa diện,. Khi đó, cái cụ thể thể hiện ở mô hình này sẽ phản ánh một phần những yếu tố của loại mô hình toán học trừu tượng, tổng quát kể trên. Để phân biệt với đồ dùng DH (trong đó có cả mô hình thu gọn, .) ở môn học khác, GV cũng cần chú ý rằng: Trong toán học, với đặc thù trừu tượng cao độ của khoa học này, cho dù có ở dạng đồ vật cụ thể, sử dụng ngôn ngữ toán học hay là mô hình ảo trên máy vi tính.
để mô tả về đối tượng toán học thì mô hình thực chất cũng chỉ mang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.vn c tính tượng trưng. Bởi lẽ, mọi đối tượng trong toán học mà mô hình phản ánh cũng đã là trừu tượng hoàn toàn, kể cả con số, hình, đồ thị,. đều không phải là những đối tượng có thật trong thực tế; trong khi ở Vật lý, Hóa học, Sinh học,. thì mô hình (kể cả thu gọn) hầu hết lại phản ánh sự vật, hiện tượng có thật trong cuộc sống.
b) Mô hình hóa Theo nghĩa tiếng Việt, MHH được hiểu là hoạt động chuyển về dạng “mô hình”.