Chương 1. DẠY HỌC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP Chương này hệ thống những nội dung kiến thức chính về mệnh đề tập hợp, đồng thời trình bày vị trí, vai trò của nội dung mệnh đề tập hợp trong chương trình Toán phổ thông cũng như mục đích, yêu cầu cần đạt khi dạy học nội dung này. Nội dung chương đi sâu hướng dẫn dạy học nội dung mệnh đề, tập hợp trong chương trình môn Toán trường phổ thông. HỆ THỐNG KIẾN THỨC VỀ MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP 1.
Mệnh đề a) Khái niệm Mệnh đề là một khẳng định hoặc đúng hoặc sai và không thể vừa đúng vừa sai. “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề đúng. “8 là một số nguyên tố” là mệnh đề sai. Mệnh đề toán học là mệnh đề khẳng định một sự kiện trong toán học.
“Số π là một số hữu tỉ”. “Tổng ba góc trong tam giác bằng 1800”. b) Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến là một câu chứa biến, với mỗi giá trị của biến ta được mệnh đề. Cho khẳng định “ n(n+1)= 0”.
Khi thay mỗi giá trị cụ thể của n vào khẳng định trên thì ta được một mệnh đề. Khẳng định có đặc điểm như thế được gọi là mệnh đề chứa biến. Chú ý: Mệnh đề chứa biến không phải là mệnh đề vì mệnh đề là khẳng định mang một trong hai giá trị chân lý đúng hoặc sai. Mệnh đề chứa biến là một khẳng định mà bản thân nó không có giá trị chân lý.
Giá trị chân lý của mệnh đề chứa biến chỉ được xác định khi biến được cho một giá trị cụ thể. c) Phủ định của một mệnh đề Phủ định của mệnh đề P ký hiệu là là một mệnh đề thoả mãn tính chất: P Đúng Sai 4 Sai Đúng Để phủ định mệnh đề P, thông thường ta thêm “không phải” hoặc “không” vào những vị trí phù hợp trong mệnh đề P để có câu tròn ý. d) Mệnh đề kéo theo Mệnh đề “ Nếu P thì Q ” gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu P Q. Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai.
Tóm tắt: P Q PQ Đúng Sai Sai Sai Sai Đúng Sai Đúng Đúng Đúng Đúng Đúng Ví dụ 1. Mệnh đề " 5 4 5 42 ” là mệnh đề đúng. Mệnh đề “ 5 2 ( 5)2 22 ” là mệnh đề sai. * Lưu ý: Định lý trong toán học là mệnh đề đúng có dạng P Q Trong đó: P : gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q ).
Q : gọi là kết luận (hay Q là điều kiện cần để có P ). “Nếu một tam giác có tổng bình phương độ dài hai cạnh bằng bình phương độ dài cạnh thứ 3 thì tam giác đó là tam giác vuông”. e) Mệnh đề tương đương Nếu cả hai mệnh đề P⇒Q và Q⇒P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Cách phát biểu khác: + P khi và chỉ khi Q.
+ P là điều kiện cần và đủ để có Q. + Q là điều kiện cần và đủ để có P. Tam giác ABC cân có một góc bằng 600 là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều. Tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc bằng tổng hai góc còn lại.
f) Ký hiệu , *) Kí hiệu Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x X. Khi đó khẳng định “ Với mọi x thuộc X, P(x) đúng” (hay “ P(x) đúng với mọi x thuộc X ”) (1) là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu với x0 bất kỳ thuộc X sao cho P(x0) là mệnh đề đúng. Kí hiệu đọc là “với mọi” *) Kí hiệu Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x X.
Khi đó khẳng định “Tồn tại x thuộc X , P(x) đúng” (2) là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu có x0 thuộc X sao cho P(x0) là mệnh đề đúng. Kí hiệu đọc là “tồn tại”. “Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0 ” là một mệnh đề, ta viết: “ x R : x 2 0 ” hay “ x 0, x R ”.
Mệnh đề “Có một số nguyên nhỏ hơn 0”, ta viết: “ x Z : x 0 ” g) Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu , Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P ( x ) ” Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P ( x ) ” Ví dụ 1. Cho x là số nguyên dương. P(x) : “ x chia hết cho 6” ; Q(x): “ x chia hết cho 3”. Ta có : P(10) là mệnh đề sai ; Q(6) là mệnh đề đúng; P ( x ) : “ x không chia hết cho 6” 6 Mệnh đề kéo theo P(x) Q(x) là mệnh đề đúng.
Khái niệm tập hợp Tập hợp (hay còn gọi l tập) là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa. Ta hiểu khái niệm tập hợp qua cách mô tả tập hợp. X là tập hợp các chữ cái của chữ ĐAI HOC HAI PHONG. Y là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 7.
Hai tập hợp X và Y trong ví dụ trên được minh họa bởi một đường cong khép kín mà ta gọi là Biểu đồ Ven. X Y ĐAIHO 01234 CPNG 56 Hình 1. Biểu đồ Ven minh họa tập hợp Phần tử a của tâp hợp X được kí hiệu a X , còn được gọi a thuộc tập hợp X. Phần tử b không của tập hợp X được kí hiệu b X, còn được gọi b không thuộc tập hợp X.
Trong lí thuyết tập hợp, người ta thừa nhận có tập hợp không chứa một phần tử nào cả, được gọi là tập hợp rỗng và kí hiệu . Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x 2 1 0 là tập hợp rỗng. b) Cách mô tả tập hợp * Liệt kê các phần tử của tập hợp bằng cách viết các phần tử của chúng ở giữa dấu { }. X = {0; 5; 10; 15} là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 17 và chia hết cho 5.
7 Y = {1; 2} là tập hợp các nghiệm của phương trình x 2 3 x 2 0. Z = {0; 1; 2; 3; 4;…; 99} là tập hợp 100 số tự nhiên đầu tiên. * Nêu tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp. Không phải mọi tập hợp đều liệt kê rành mạch được các phần tử theo thứ tự nào đó.
Chẳng hạn, tập hợp các số thực từ 1 đến 2 là không liệt kê được. Khi đó, chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng ở giữa dấu { }, mà nhờ chúng, ta có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không. A là tập hợp các số thực từ 1 đến 2 được mô tả: A x R |1 x 2 c) Tập con Tập A được gọi là tập con của tập B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B và kí hiệu A B. Cách gọi: A là tập con của tập B; B Tập A bị chứa trong tập B; A Tập B chứa tập A và còn được kí hiệu B A.
Biểu đồ Ven Chú ý: - A B (x A x B) ; minh họạ A B - Nếu A B và B C thì A C (Tính bắc cầu); - Với mọi tập A ta đều có: A A; - Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp: A ( A). d) Hai tập hợp bằng nhau Cho hai tập hợp A và B. Nếu A B và B A thì ta gọi hai tập A và B bằng nhau và kí hiệu A = B. Biểu đồ Ven minh họa A = B 8 Ví dụ 1.
e) Các phép toán trên tập hợp - Giao của 2 tập hợp: A B x | x A và x B x A Như vậy: x A B x B Hình 1. Biểu đồ Ven minh họa A B x A - Hợp của 2 tập hợp: A B x | . x B x A Như vậy: x A B x B Hình 1. Biểu đồ Ven minh họa A B - Hiệu của 2 tập hợp: A \ B x | x A và x B.
Biểu đồ Ven minh họa A \ B Nếu A B thì B \ A gọi là phần bù của A trong B và kí hiệu C BA. Biểu đồ Ven minh họa C BA 9 Ví dụ 1. Cho 2 tập hợp: A [1;5); B (4;7]. NỘI DUNG MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG 1.
Vị trí, vai trò của nội dung mệnh đề tập hợp trong chương trình toán phổ thông Trong chương trình Toán lớp 10, chuyên đề Mệnh đề - Tập hợp là chuyên đề đầu tiên. Đây được coi là chuyên đề nền tảng, như những viên gạch đầu tiên cho các phát biểu và chứng minh Toán học sau này. Ví dụ, tập nghiệm của phương trình, chứng minh điều kiện cần, điều kiện đủ, chứng minh các phát biểu tương đương, phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Kiến thức của chuyên đề này sẽ xuất hiện hầu hết ở khắp mọi nơi trong chương trình học, không chỉ lớp 10.
HS cần học chắc, hiểu tường minh, rõ ràng những khái niệm cơ bản này, để từ đó có thể hiểu cặn kẽ các phát biểu, các yêu cầu phải làm, và làm cơ sở cho việc trình bày đúng, đủ, chặt chẽ, rõ ràng những gì được yêu cầu. Yêu cầu cần đạt khi dạy học nội dung mệnh đề, tập hợp ở trường trung học phổ thông Nội dung mệnh đề, tập hợp được dạy trong chương trình Toán lớp 10, với nội dung và yêu cầu cần đạt như sau [1]: Bảng 1. Yêu cầu cần đạt nội dung Mệnh đề, tập hợp Nội dung Yêu cầu cần đạt Mệnh đề toán học. - Thiết lập và phát biểu được các mệnh đề toán học, bao Mệnh đề phủ định.
gồm: mệnh đề phủ định; mệnh đề đảo; mệnh đề tương Mệnh đề đảo. đương; mệnh đề có chứa kí hiệu ꓯ, ꓱ; điều kiện cần, điều Mệnh đề tương kiện đủ, điều kiện cần và đủ. Điều kiện - Xác định được tính đúng/sai của một mệnh đề toán học cần và đủ. trong những trường hợp đơn giản.