Chương I Áp dụng phương pháp hàm Green trong lí thuyết nhiễu loạn Trong chương này chúng ta làm quen với phương pháp hàm Green giải phương trình vi phân không thuần nhất và những ứng dụng của phương pháp này trong lí thuyết nhiễu loạn .Chương này có 3 phần chính sau: I Tổng quát về phương pháp hàm Green. II Áp dụng phương pháp hàm Green cho phương trình Schrodinger. II Áp dụng phương pháp ham Green trong lí thuyết nhiễu loạn. Chương II Mối quan hệ giữa hàm Coulomb-Green và ham Green : của dao động tử điều hòa Nội dung chính của chương này là sử dụng phép biến đổi Kuataanheimo-Stiefel từ không gian bình thường sang không gian phức 4 chiều để tìm mối liện hệ giữa hàm Coulomb-Green và hàm Green của dao động tử điều hòa theo công thức: as KŒ,fE)=s foo U{(F,?',ð~#:Z) LJ Trong đó K(7,7';E) là hàm Coulomb-Green và /(F,ø,7',#;Z) là dao động tử điều hòa 2 chiều trong không gian phức.
Chương HI Biểu diễn đại số toán tử Green cho bài toán tương tác Coulomb Nội dung chỉnh của chương này là tìm hiểu phương pháp đại số trên cơ sở biểu diễn các toán tử sinh hủy sau đó chúng ta biêu dién đại số toán tử Coulomb-Green thông qua hệ các toán tử sinh hủy này. Khi giải phương trình đạo hàm riêng có dạng (A-E) ự()=-Pw() Ta đưa vẻ hình thức luận toán tử nghịch đảo: w(7)=~=(H(f)=E)`Vw(F) Dựa trên công thức xác định toán tử nghịch đảo của toán tử A như sau : A“ =-i lim fa c-£t+IẤt .“¿S° Cuối cùng ta biểu điển đại số toán tử Coulomb-Green thông qua hệ các toán tử sinh hủy theo công thức: ÈŒ.E)=-¡ lìm + nường co i Âm U Chương IV: Toán tử Coulomb-Green cho bài toán hệ nhiều hạt. Nội dung chính của chương nảy là giải quyết vấn đẻ làm sao biểu diễn toán tử Coulomb-Green của hệ nhiều hạt thông qua toán tử Coulomb-Green của một hạt vi trong chương III ta chỉ mới “ Dai sé hóa” toán tử Coulomb-Green cho một hat. Với việc sử dung công thức tích phân Fu-ri-ê: ổ(s —2) = = 2% Ta thu được : = = 7 x-t ÊŒ ae ee :E)=( 2=] | da, Ji |dây X5(te, +02, +.ay) 0 E> oA, ie+ H, -E, +a, Trong đó (A, -£,+a,)'=K(% 3£,-@,) là toán tử Coulomb-Green cho một electron có bán kính 7 .Nhu vậy ta đã biểu diễn được toán tử Coulomb-Green cho hệ nhiều hạt thông qua tích của từng toán tử Coulomb-Green cho từng hạt.
Sau đó xét 1 ứng dụng của phương pháp là bài toán tìm bé chính năng lượng và hàm sóng của phan tử Hydro. Trong luận văn có những phan tính toán đại số tương đối dai, để không làm ngất quãng quá trình tư duy của người đọc, tác giả đã để những tính toán đó trong phụ lục. Hơn nữa, để tiết kiệm công sức và bảo đảm tính chính xác trong các phép toán có trong luận văn, đôi khi tác giả cũng sử dụng ngôn ngữ tin học để vận dụng giải quyết các vấn để vé toán học. Ngôn ngữ tin học đó là ngôn ngữ lập trình Mathematica 5.
Đây là phần mềm ứng dụng rất tiện ích và đang được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khoa học nói chung và vật lý học nói riêng rất rộng rãi. Cũng nhằm để người đọc có thể kiểm tra các kết quả tính toán, tác giả cũng trình bảy rõ rang từng câu lệnh và kết quả thu được của từng quá trình. Như đã trình bày ở trên, phương pháp này còn nhiều hướng phát triển khác. Tuy vậy trong khuôn cho phép của một luận văn tốt nghiệp tác giả chỉ xin được trình bày phương pháp trên ở mức độ bắt đầu tìm hiểu và mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của người đọc.
dai số xé dung ham Coulomb-Green cho bai loin hé nhitu hel CHUONG | AP DUNG PHUONG PHAP HAM GREEN TRONG Li THUYET NHIEU LOAN I-TONG QUAT VE PHUONG PHAP HAM GREEN Phương pháp ham Green được ứng dụng rộng rãi để giải các phương trình vi phân không thuần nhất. Phương trình thuần nhất là phương trình mà nếu có nghiệm riêng f thì với mọi hằng số C ta luôn có C.f cũng là nghiệm riêng, ngược lại là phương trình không thuần nhất. Đặc điểm của phương pháp này là đưa phương trình đạo hàm riêng về phương trình tích phân hay nói cách khác ta không giải trực tiếp mà tìm nghiệm của phương trình khác tương ứng rồi biểu dién nghiệm cần tìm thông qua nghiệm đó. 1- Phương pháp hàm Green giải phương trình vi phân không thuần nhất Xét phương trình vi phân có dang: Êu(r)=f(r) (1) trongđó L là toán tử vi phân.
Ta đưa ra hàm Green : G(r -r) là nghiệm của phương trình sau: [Gự -?) = ðŒ -?) (2) Ta dé dàng chứng minh nghiệm của phương trình (1) biểu thị qua ham Green G(r -r) theo công thức sau : u(t) = ÍG( -r) f(t)dr (3) Thật vậy: Cherny 1: hp dụng pheting phip ham Greon tong Ut thuyél nhidu logn 9 #uij« fi Gớ -Ð) f() a? = Ƒ¿ -Ð £9) d? =f@) Tuy vậy ham G(r -r) được tim ở (2) cũng phải thỏa mãn | số điều kiện nao đó vì hàm cẩn tìm u(r) phải thỏa mãn phương trình (1) Vi vậy trong | số trường hợp người ta loại việc tìm điều kiện cho ham G(F -r) bảng cách giải phương trình thuần nhất trước: Zu (r) = 0 Gia sử nghiệm của phương trình thuần nhất nay có dạng : 1 (r) Sau đó áp dụng định lí nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất; nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất = nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất + nghiệm riêng. Ta thu được dạng sau : nghiệm w@) = uy (+ [oe (dP Theo cách này ta thấy ham Green : G(r -r) chi cần điều kiện biên là GŒ -r) = 0 trên biên. Sau đây ta xét vai ví dụ minh họa áp dụng phương pháp nay để giải các phương trình vi phân không thuần nhất : 2-Vi dụ minh họa Xét phương trình Poisson. Dé cho đơn giản ta chọn gốc tọa độ tại vector’.
Ta có: div grad = A => A [ei =|pajw ¬ Bên cạnh đó ta có : ƒ=lra|e - đan tas ¬ {J8 4G) Ag =>A(-427)=1 hay A rr l G r -" mm —— LAN ỦY AE T= Nghiệm của phương trình Poisson có dạng: Churmy 1: Ap dang pluamg prhip ham Groon trong Ui thuyél nhibu đạn il g(r) = k« -r){ -4z p(r) ]dr = Feu = ts = 3 pr’) = ro Kết luận: trong phan | nay chúng ta làm quen với một phương pháp mới để giải các phương trình vi phân không thuần nhất : phương pháp hàm Green. Như đã trình bay ở trên va nhất là thông qua các ví dụ minh họa ta thay rõ ưu điểm của phương pháp nảy 1a không giải trực tiếp các phuong trình vi phân phức tạp mà ta giải các phương trình tích phân tương ứng rồi biểu diễn nghiệm cần tìm thông qua nghiệm của các phương trình tích phân dé giải hon.Trong phân tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu cách ứng dụng của phương pháp hàm Green cho phương trình Schrodinger. H- UNG DỤNG PHƯƠNG PHAP HAM GREEN CHO PHUONG TRINH SCHRODINGER Phương trình Schrodinger là phương trình rất quen thuộc và được dùng thường xuyên trong cơ học lượng tử. Đôi khi việc giải phương trình này gặp nhiều khó khăn trong các bài toán cụ thể ( trong cơ học lượng tử ta đã biết chỉ có thể giải chính xác bài toán dao động tử điều hòa và nguyên tử Hydrô mà thôi ) trong khi phương pháp hàm Green có thể tính toán gián tiếp nên được ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều bài toán cụ thể.Trong phần này ta cùng xem cách ứng dụng của phương pháp này vào phương trình Schrodinger.
1-Biểu diễn hàm Green qua hệ các hàm riêng và trị riêng của toán tử Xét phương trình vi phân có dang: (Z -A)u(r) =f (1) (1.1) Ở đây L là toán tử vi phân tuyến tính. A là hằng số. fir) là hàm số chotrước. Phương trình (1.1) không phải là phương trình thuần nhất vì vế phải của nó không chứa ham số can tìm u(r).
Ta sẽ tìm nghiệm phương trình này trong miễn không gian Q tho’ mãn Chuamg 1: Ap dung plang phap him Groen hong lt thuyét nhidu logn 12 Phung phrifp dat số ub dang him Coulomb-Green cho baé loin hé nhieu hel các điểu kiện biên cho trước,ví dụ diéu kiện u(r) = 0 như trong li thuyết kim loại hay xét điều kiện biên tuần hoàn. Trước hết với cùng điều kiện biên như phương trình (1.1) ta giải phương trinh vi phân thuần nhất sau: (Ê-3)u(r)=0 (1.2) ta kí hiệu ,, là nghiệm riêng và A, trị riêng của phương trình (1.3) Dé đơn giản ta xét trường hợp khi các trị riêng A, chỉ nhận các gid trị gián đoạn. Lúc đó tập hợp các hàm riêng ,(r) tạo thành 1 hệ day đủ và ta có thé phân tích các hàm u(r) và f(r) như sau: u(r)= >a, ¥, (r) (1.4) vào phương trình ban dau ta có: 3ˆ2,0,-1)W,6)= 3 `b,,0) (5) Suyra: a,= Ta (1.6) Ta xét hàm sóng W (z) đã chuẩn hóa trong miễn Q và hệ ham riêng Y, (r) là hệ trực giao. Nghĩa là: [norma "TẾ Lúc nay ta nhân hai về phương trình (1.7) Cheamy 1: Ap dung plang phip ham Green hong li thuyét nhida logn 13 thay gid trị b, vừa cỏ vào (1.6) rồi thay tiếp vào (1.
Jr:@toa ¬ suy Ý ——— foes 1)fŒ)d (1.F; y= 2) “6h (19) được gọi là hàm Green cho bài toán đang xét ý Chú Khi 4 bằng một trong những trị riêng của toán tử Ê ví dụ A =%„. Khi đó từ phương trình (1.5) ta suy ra b„ phải bang 0 b„= ae ƒŒ)đr =0 Nếu điều kiện này thỏa mãn thi phương trình (1.8) nhưng trong tong theo n không có giá trị n = m. Và khi đó trong định nghĩa hàm Green ở (1.9) tổng theo n không có giá trị n = m. Bây giờ ta tìm phương trình dé xác định hàm Green.
Xét phương trinh(1.1) với trường hợp riêng: f)= -ð(r-&) khi đó từ (1.8) áp dung tính chất hàm Delta- Dirac ta có: u)= keZaœ dF = GGG) va từ day ta có phương trình: GŒ, tạ;À) = =ð( r-rạ) (1.10) vì rằng r„ có thé chọn bất ki nên (1.10 ) có thé viết lại như sau: vậy ta có phương trình: _ (Ê-A)GŒ,r;) = -8(Œ-r) Trong đó G(r,r:)) có cùng điều kiện biên như u(r) Như vậy, với việc đưa ra định nghĩa hàm Green thay vì giải phương trình (1.1) chúng ta có thể giải phương trình (1.10) có cùng dạng như (1.1) Chung 1: hp dang pling phip ham Green hong Ut thuyét nhida loan 14 2uahug php dai số ut dang him Coulomb-Green cho bai loin he nÁdẩ¿ hel nhưng có cau trúc đơn giản hơn.Sau đó thé ham Green thu được vào phương trình (1.8) ta thu được nghiệm cho phương trình (1.