Chương 1 TỔNG QUAN 1. Kết cấu tấm là một trong những kết cấu phổ biến trong tự nhiên. Ngoài ra, còn có vô số kết cấu tấm do chính con người tạo ra. Do có đặc trưng mỏng, nhẹ, khả năng chịu uốn, vượt nhịp lớn, nên tấm đã được ứng dụng rất nhiều vào các lĩnh vực xây dựng (sàn, tường, tôn, vách), cơ khí (tấm cách nhiệt, tua bin, lò phản ứng), hàng không (thân vỏ máy bay),… Khi tính toán tấm theo phương pháp giải tích thì chỉ phù hợp với các dạng tấm có điều kiện biên đơn giản.
Thực tế, người ta thường sử dụng phương pháp số để giải quyết các bài toán phức tạp. Một trong các phương pháp số để phân tích tấm đó là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) có một số hạn chế là như kỹ thuật rời rạc, tốc độ tính toán, chi phí tính toán, tốc độ hội tụ, … Ngày nay với tiến bộ khoa học máy tính làm cho tốc độ tính toán dễ dàng cải thiện được, bên cạnh đó những đóng góp cải thiện tính toán cũng đóng góp vai trò đáng kể cho việc tính toán tấm này. Khi mô hình tấm, người ta thường phân ra các loại như tấm mỏng, tấm dày, tấm 3D.
Để tính toán tấm mỏng, ta dùng lý thuyết tấm cổ điển (lý thuyết Kirchhoff- Love) [1]. Hạn chế lý thuyết tấm cổ điển là bỏ qua các biến dạng trượt, nên sẽ không cho kết quả chính xác đối với tấm dày. Khi sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất phân tích tấm dày [2], thường xảy ra hiện tượng “khóa cắt” (shear locking) làm kết quả thiếu chính xác với thực nghiệm. Hiện nay, có nhiều kỹ thuật khử hiện tượng “khóa cắt” như DSG, MIN, MITC, … Trong lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất, ta sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt để hiệu chỉnh ứng suất cắt giả định so với ứng suất cắt thực tế.
Tuy nhiên hệ số hiệu chỉnh cắt này thường khó xác định vì còn phụ thuộc nhiều yếu tố. 1 Luan van Để tránh hiện tượng “khóa cắt” và nâng cao độ chính xác của các công thức tính hiện tại, người ta đã thực hiện một số biện pháp làm trơn dựa trên cạnh, trên nút, trên ô như các các kỹ thuật ES-DSG, NS-DSG, CS-DSG…. Do đó, luận văn này trình bày một phương pháp để thiết lập phần tử tấm 3 nút có sử dụng kỹ thuật MITC3 để khử “khóa cắt” (shear locking) và làm trơn dựa trên cạnh biên (ES-MITC3). Ngoài ra còn có lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao để tính toán tấm, ưu điểm lý thuyết cắt bậc cao là không cần hệ số hiệu chỉnh cắt.
Hiện nay đã có nhiều lý thuyết cắt bậc cao như lý thuyết biến dạng cắt bậc ba của Reddy [3], lý thuyết biến dạng cắt hình sin của Arya [4],… 1. Tình hình nghiên cứu ngoài nước. Việc phân tích tĩnh, ổn định, dao động tự do của kết cấu tấm đóng một vai trò quan trọng trong dự báo ứng xử của kết cấu. Việc nghiên cứu trên tấm có thể được tìm thấy trên các tài liệu tổng quan [5, 6], và có sự đóng góp trong các lĩnh vực chuyên ngành đặc biệt bởi Leissa [7-9] và Liew [10, 11].
Trong ứng dụng thực tế, phần tử tấm Reissner-Mindlin bậc thấp được dễ chấp nhận do tính đơn giản và hiệu quả của nó. Tuy nhiên, các phần tử tấm bậc thấp này thường xuất hiện hiện tượng “khóa cắt”. Để loại trừ “khóa cắt”, các loại tích phân có lựa chọn đã được đề nghị [12-15]. Ý tưởng của sơ đồ này là tách năng lượng biến dạng thành 2 phần, một phần do uốn và một phần do cắt.
Ngoài ra để khử hiện tượng khóa cắt, tác giả Phill-Seung Lee, Klaus-Jurgen Bathe [16] đã phát triển phần tử tấm tam giác đẳng hướng 3-node và 6-node (MITC3, MITC6-a, MITC6-b) bước đầu đã cho những kết quả tốt. Tuy nhiên, cần có những nghiên cứu xa hơn để có thể ứng dụng rộng rãi kỹ thuật này trong phân tích kết cấu tấm. Gần đây, Liu [17] đã đề nghị một phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên biên (ES-FEM) cho phân tích tĩnh, tự do và dao động của các tấm 2D. Kết quả số có độ chính xác cao đã chứng minh rằng ES-FEM có cho ra kết quả tốt: (1) mô 2 Luan van hình ES-FEM thường được tìm thấy độ hội tụ cao và thậm chí nhiều chính xác hơn FEM sử dụng phần tử 4 cạnh (FEM-Q4) với cùng số lượng nút; (2) không có kiểu năng lượng ảo nào và do vậy phương pháp này làm việc tốt và ổn định theo thời gian hơn cho phân tích động và (3) khi làm theo phương pháp này thì đơn giản hơn, và hiệu quả tính toán tốt hơn FEM khi sử dụng cùng số nút.
Trong đề tài này đề xuất một phương pháp kết hợp kỹ thuật làm trơn dựa trên cạnh sử dụng phần tử MITC3 để phân tích kết cấu tấm. Trên cơ sở đó, kế thừa các thành quả của các tác giả đi trước, với thực tiễn hiện nay, đề tài luận văn này là: “PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM BẰNG PHẦN TỬ BIẾN DẠNG TRƠN ES- MITC3 “. Tình hình nghiên cứu trong nước. Song song với các nghiên cứu ở nước ngoài, một số nghiên cứu trong nước cũng đã đề cập đến vấn đề phân tích kết cấu tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn.
Sau đây là một số nghiên cứu trong nước. Phùng Văn Phúc, và các cộng sự [18] nêu lên phân tích tĩnh và dao động của vật liệu composite và tấm nhiều lớp bởi phương pháp DSG3 dựa trên cạnh biên sử dụng phần tử 3 nút dựa theo lý thuyết nhiều lớp (ES-DSG3). Nguyễn Thời Trung và các cộng sự [19] nêu lên phương pháp phần tử tấm 3 nút Mindlin (MIN3) dựa trên biên cho phân tích tấm tĩnh và dao động tự do (ES- MIN3). Phan Dao và các cộng sự [20] đưa ra phân tích tĩnh và dao động tự do của kết cấu tấm composite nhiều lớp có chứa lớp áp điện bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM).
Các nghiên cứu trong nước về phương pháp phần tử hữu hạn trơn về phân tích kết cấu tấm chưa nhiều và chưa có nghiên cứu nào đề cập đến phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên nút sử dụng phần tử MITC3 (ES-MITC3). Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu xây dựng phần tử tấm phẳng 3 nút sử dụng kỹ thuật MITC3 trên trường biến dạng trơn trên cạnh (ES-MITC3) với hy vọng cải thiện độ chính xác hơn so với phần tử MITC3 thông thường. Nhiệm vụ của đề tài.
Xây dựng lý thuyết. Lập trình trên phần mềm Matlab. Tính toán các ví dụ số để kiểm tra lý thuyết và chương trình. Đánh giá và phân tích các công thức vừa tìm được.
Cơ sở lý luận và phương pháp nghiên cứu. Để thực hiện đề tài này, tác giả sử dụng phương pháp sau: là phương pháp nghiên cứu lý thuyết, sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất kết hợp với kỹ thuật MITC3 và kỹ thuật làm trơn trên cạnh. Lý thuyết tính toán sau khi thiết lập sẽ được lập trình bằng phần mềm Matlab để tính toán một số bài toán ví dụ số minh họa của kết cấu tấm. Kết quả mô phỏng số của các bài toán điển hình về kết cấu tấm sẽ được so sánh với kết quả của các nghiên cứu trước đó để đánh giá tính hiệu quả và chính xác của nghiên cứu này.
4 Luan van Chương 2 LÝ THUYẾT TẤM BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT 2. Giả thuyết: Lý thuyết tấm biến dạng cắt (shear deformation theories of plates) [2], hay còn được gọi là lý thuyết tấm dày (thick plate) chịu uốn, hoặc còn gọi là lý thuyết tấm Reissner-Mindlin do Levy-Reissner-Hencky-Mindlin thực hiện, dựa trên giả thiết của 2 tác giả Reissner-Mindlin, giống giả thiết lý thuyết dầm Timoshenko chịu cắt [21]. Trong đó, điều kiện: tấm dày là tỉ lệ h/a ≥ 1/20 (với: h = chiều dày tấm; a = kích thước nhỏ nhất chiều dài mặt trung bình tấm), tấm mỏng là tỉ lệ h/a < 1/20. Giả thiết: Đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sau khi biến dạng sẽ chuyển vị võng xuống một đoạn w(x, y) và góc xoay βx, βy.
Trường chuyển vị: Trong lý thuyết tấm Mindlin-Reissner, khi tấm phẳng chịu tải trọng phân bố q thì đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình tấm sau khi biến dạng sẽ chuyển vị võng xuống 1 đoạn thẳng w theo phương z (trong đó w là 1 hàm phụ thuộc x, y) và 2 chuyển vị góc xoay βx, βy (là 2 góc xoay của đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm lần lượt quay quanh trục y, x). Cả 3 thành phần này (w, βx, βy) được biểu diễn như Hình 2. 5 Luan van x,u y F z,w E B H h/2 A F' G D w h/2 Z E x C w E' B' A y,v w v D H' H A' G' u D' D C' w yz y w xz y x x Hình 2.1: Trường chuyển vị trong tấm.1) w(x, y,z)= w(x, y) Với: u, v là chuyển vị thẳng theo phương x, y. Trường biến dạng: Từ trường chuyển vị (2.1), ta có trường biến dạng: u x x x z x v y z y y y z 0 u v x y (2.2) xy y x z x y u w w xz x z x x v w w yz z y y y Trong đó: εx, εy, εz là các biến dạng dài theo phương x, y, z γxy, γyz, γzx là các biến dạng trượt trong mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz 2.
Trường ứng suất: x xz xy x y yz yx y Hình 2.2: Các thành phần ứng suất của tấm 7 Luan van Dựa vào định luật Hooke, theo lý thuyết ứng suất phẳng, từ trường biến dạng (2.2) cho ra trường ứng suất: x 1 2 x y E y 1 2 x y E Z 0 E (2.3) xy 2(1 ) xy E xz 2(1 ) xz E yz 2(1 ) yz Trong đó: σx, σy, σz là các ứng suất pháp theo phương x, y, z. τxy, τxz, τyz là các ứng suất tiếp trên mặt có vectơ pháp tuyến là trục x, y, z. E là module đàn hồi khi kéo nén của vật liệu. ν là hệ số poisson.
Khi đó, trường ứng suất (2.