Mở đầu cho chương này, chúng ta sẽ làm việc với một trường hợp đặc biệt với hệ số chặn, đơn, ngẫu nhiên, được gọi là mô hình thành phần sai lệch - trường hợp đặc biệt của mô hình hiệu quả hỗn hợp tuyến tính. Tiếp theo, các ước lượng của các hệ số hồi quy và các thành phần phương sai cũng như việc kiểm định giả thuyết cho các hệ số hồi quy sẽ được trình bày trong chương này. Mô hình hiệu quả hỗn hợp là những mô hình chứa cả hiệu quả ngẫu nhiên cũng như hiệu quả cố định.1 Mô hình các thành phần sai lệch Giả sử chúng ta quan tâm đến việc nghiên cứu đặc thù của các cá thể được chọn ngẫu nhiên từ một tổng thể. Không giống chương 2, chương 3 sẽ thảo luận các trường hợp biểu diễn αi như các biến ngẫu nhiên, thay cho các tham số cố định, chưa biết.
Bằng việc chứng tỏ αi được chọn ra từ một phân bố, chúng ta sẽ có thể đưa ra những kết luận về các đối tượng trong tổng thể mà không có mặt trong mẫu. 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Mô hình các thành phần sai lệch 16 2.1 Mô hình cơ bản và giả thiết Xét mô hình thành phần sai lệch như sau yit = αi + x′it β + εit .1) Thành phần sai lệch ở đây cũng giống như biểu diễn sai số của mô hình hiệu quả cố định. Tuy nhiên, số hạng αi được giả thiết như một biễn ngẫu nhiên và được gọi là một hiệu quả ngẫu nhiên.
Vì phương trình (2.1) vừa chứa cả hiệu quả ngẫu nhiên αi và hiệu quả cố định β nên phương trình thành phần sai lệch là một trường hợp đặc biệt của mô hình tuyến tính hỗn hợp. Trong mô hình này, ta giả thiết các αi là độc lập và cùng phân bố, với trung bình 0 và phương sai σα2. Hơn nữa, chúng ta giả thiết rằng, {αi } độc lập với các biến ngẫu nhiên sai số {εit } và xit là một vectơ các biến giải thích, β là vectơ cố định, các tham số tổng thể chưa biết. Các giả thiết của mô hình thành phần sai lệch R1.
{xit,1 , · · · , xit,K } là các biến phi ngẫu nhiên. {yit } là các biến ngẫu nhiên độc lập trên điều kiện {α1 , α2 , · · · , αn }. {yit } có phân bố chuẩn trên điều kiên {α1 , α2 , · · · , αn }. Eαi = 0, V arαi = σα2 và {α1 , α2 , · · · , αn } độc lập.
{αi } có phân bố chuẩn. Các giả thiết R1 - R5 giống như trong mô hình hiệu quả cố định. Sự khác biệt ở đây chính là chúng ta đặt điều kiện trên các số hạng đặc trưng đối tượng αi. Giả thiết R6 và R7 đưa ra các điều kiện cơ bản cho các số hạng đặc trưng đối tượng.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Mô hình các thành phần sai lệch 17 Tuy nhiên, các giả thiết R1 - R7 không đưa ra được biểu diễn quan sát được của mô hình vì chúng dựa trên các đại lượng không quan sát được {α1 , · · · , αn }. Chúng ta sẽ tổng kết các hiệu quả của các giả thiết này trên các biến quan sát được {xit,1 , · · · , xit,2 , yit }. Biểu diễn quan sát được của mô hình thành phần sai số RO1.
{xit,1 , · · · , xit,K } là các biến phi ngẫu nhiên. và Cov(yir , yis ) = σα2 với r khác s. {yi } là các biến ngẫu nhiên độc lập. {yi } có phân bố chuẩn.
Đối với các tình huống phức tạp hơn, chúng ta sẽ dùng khái niệm ma trận để mô tả các giả thiết này. Hàm hồi quy có thể được biểu diễn chặt chẽ hơn như sau E(yi /αi ) = αi 1i + Xi β, và như vậy Eyi = Xi β, (2.2) trong đó 1i là vectơ cột các số 1 với Ti hàng; Xi là ma trận mức Ti × K các biến giải thích, Xi = (xi1 , xi2 , · · · , xiTi )′. Biểu diễn cho E(yi /αi ) là một biểu diễn lại cho giả thiết R1 với khái niệm ma trận. Phương trình (2.2) thích hợp với công thức tính kì vọng của kì vọng có điều kiện vì Eyi = EE(yi /αi ) = Eαi 1i + Xi β = Xi β do Eαi = 0.
Với giả thiết RO3, chúng ta có V aryi := Vi = σα2 Ji + σ 2 Ii , (2.3) trong đó Ji là ma trận các số 1 mức Ti × Ti , Ii là ma trận đơn vị mức Ti × Ti. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Mô hình các thành phần sai lệch 18 2.2 Ước lượng bình phương nhỏ nhất tổng quát Phương trình (2.3) đã chỉ ra trung bình và phương sai của các đáp ứng và giả sử rằng các thành phần phương sai σα2 , σ 2 đã biết. Để ước lượng các hệ số hồi quy, phần này sử dụng phương trình bình phương nhỏ nhất tổng quát có dạng ! n X n X Xi′ Vi−1 Xi β= Xi′ Vi−1 yi.
i=1 i=1 Nghiệm của những phương trình này là những ước lượng bình phương nhỏ nhất tổng quát hay trong trường hợp này, chúng ta gọi là những ước lượng thành phần sai lệch của β, kí hiệu là bEC. Ước lượng này được biểu diễn dưới dạng Xn !−1 X n ξ ξi (2.4) ′ i ′ bEC = Xi Ii − Ji Xi Xi Ii − Ji yi , i=1 Ti i=1 Ti Ti σα2 trong đó đại lượng ξi = là hàm của các thành phần phương sai σα2 Ti σα2 + σ 2 và σ 2. Khi đó, phương sai của các ước lượng thành phần sai lệch được xác định như sau n X !−1 ξ i V arbEC = σ 2 Xi′ Ii − Ji Xi. i=1 Ti Để giải thích cho bEC , chúng ta đưa ra một dạng thay thế, tương đương với ước lượng hiệu quả cố định đã chỉ ra ở Chương 2.
Từ phương trình (1.4), ta có !−1 n X b= Xi′ Ii − Ti−1 Ji Xi Ii − Ti−1 Ji yi. i=1 Như vậy, chúng ta thấy rằng hiệu quả ngẫu nhiên bEC và hiệu quả cố định b xấp xỉ bằng nhau khi σα2 lớn hơn một cách đáng kể so với σ 2 .3 Kiểm định tính không thuần nhất Việc kiểm định tính không thuần nhất tương đương với việc kiểm định giả thuyết H0 : σα2 = 0. Mặc dù đây là một vấn đề khó cho trường hợp tổng quát, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Mô hình hiệu quả hỗn hợp 19 nhưng trong trường hợp mô hình thành phần sai lệch thì phương pháp kiểm định này vẫn được sử dụng.
Phương pháp kiểm định tính không thuần nhất 1. Chạy mô hình hồi quy cắt ngang yit = x′it β + εit để nhận được các phần dư eit. Với mỗi đối tượng, tính ước lượng của σα2 Ti ! 1 X si = Ti2 ei 2 − e2it , Ti (Ti − 1) t=1 −1 PTi trong đó ei = Ti t=1 eit. Tính thống kê kiểm định TS, Pn p !2 1 s i=1 i T (T i i − 1) TS = P n P Ti.
Bác bỏ giả thuyết H0 nếu TS vượt quá giá trị phân bố χ2 với bậc tự do 1.2 Mô hình hiệu quả hỗn hợp Ở phần trước, chúng ta đã được giới thiệu mô hình thành phần sai lệch, một trường hợp đặc biệt của mô hình hiệu quả hỗn hợp. Và phần này, chúng ta sẽ mở rộng mô hình thành phần sai lệch với các hệ số biến đổi, sự tương quan chuỗi và phương sai sai số thay đổi.1 Mô hình hiệu quả hỗn hợp tuyến tính Bây giờ chúng ta sẽ xét các hàm hồi quy điều kiện có dạng E(yit /αi ) = αi1 zit,1 + αi2 zit,2 + · · · + αiq zit,q + β1 xit,1 + β2 xit,2 + · · · + βK xit,K = zit′ αi + x′it β (2.1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Mô hình hiệu quả hỗn hợp 20 trong đó số hạng zit′ αi , αi = (αi1 , · · · , αiq ) chứa thành phần hiệu quả ngẫu nhiên; số hạng x′it β chứa thành phần hiệu quả cố định. Định nghĩa Zi = (zi1 , zi2 , · · · , ziTi ) là ma trận các biến giải thích mức Ti × q.
Khi đó dạng ma trận của phương trình (2.1) là E(yit /αi ) = Zi αi + Xi β.2) Giả sử rằng các hiệu quả đặc trưng đối tượng {αi } độc lập với trung bình Eαi = 0 và ma trận hiệp phương sai (mức q × q) V arαi = D xác định dương. Với giả thiết này thì các hiệu quả ngẫu nhiên có trung bình 0 và ta định nghĩa V ar(yi /αi ) = Ri , ma trận mức Ti × Ti. Các cột của ma trận Zi thường là tập con của ma trậnXi. Với các giả thiết này, chúng ta gọi mô hình (2.2) là mô hình hiệu quả hỗn hợp tuyến tính.
Các giả thiết của mô hình hiệu quả hỗn hợp tuyến tính R1. {xit,1 , · · · , xit,K } và {zit,1 , · · · , zit,q }là các biến không ngẫu nhiên. {yi } là các biến ngẫu nhiên độc lập đối với điều kiện {α1 , α2 , · · · , αn }. {yi } có phân bố chuẩn đối với điều kiện {α1 , α2 , · · · , αn }.
Eαi = 0, V arαi = D và {α1 , α2 , · · · , αn } độc lập. {αi } có phân bố chuẩn. Với các giả thiết R3 - R6, phương sai của mỗi đối tượng có thể được biểu diễn như sau V aryi = E(V ar(yi /αi )) + V ar(E(yi /αi )) = Zi DZi′ + Ri = Vi (τ ) := Vi LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Mô hình hiệu quả hỗn hợp 21 trong đó Vi (τ ) là ma trận hiệp phương sai của yi , phụ thuộc vào các thành phần phương sai τ.2 Mô hình tuyến tính hỗn hợp Trong phần 2.1, mô hình hiệu quả hỗn hợp tuyến tính, chúng ta đã giả thiết về sự độc lập giữa các đối tượng.
Giả thiết này không áp dụng được với tất cả các mô hình có các quan sát lặp đi lặp lại theo thời gian trên một đối tượng, vì vậy cần đưa ra một mô hình tổng quát - mô hình tuyến tính hỗn hợp. Phương trình của mô hình này có dạng y = Zα + Xβ + ε.