Đặt vấn đề Giả sử có một vùng khoáng sàng đã đƣợc thăm dò và xác định đƣợc chiều dài theo phƣơng là S thoả mãn điều kiện So < S < 2So Trong đó: So - Kích thƣớc theo phƣơng tối ƣu của ruộng mỏ đƣợc xác định theo phƣơng C3 C2 pháp nghiên cứu ở mục 4. (với So = ) nC1 C1 Vấn đề đặt ra là: "Vùng khoáng sàng này sẽ thiết kế cho một mỏ khai thác có chiều dài theo phƣơng của ruộng mỏ là S hay chia khoáng sàng thành hai ruộng mỏ, mỗi ruộng mỏ có chiều dài theo phƣơng là S/2. Giải quyết vấn đề Để giải quyết vấn đề đặt ra cần xác định tổng chi phí để khai thác một tấn than theo hai trƣờng hợp (khi số tầng khai thác nhƣ nhau và số tầng khai thác khác nhau) làm tiêu chuẩn để so sánh. Tổng chi phí để khai thác một tấn than có quan hệ kích thƣớc của ruộng mỏ đƣợc biểu diễn qua hàm chi phí có dạng chung nhƣ kết quả đã nghiên cứu là: C 2 C3 C f(s,n) = C1S + C 4 n 5 C6.
S nS n - Trƣờng hợp 1:Giả sử trong hai phƣơng án nêu trên có số tầng khai thác là nhƣ nhau. Khi đó chi phí để khai thác một tấn than khi so sánh chỉ phụ thuộc vào S các số hạng tự do trong hàm sẽ không cần xét đến trong biểu thức. Vì vậy hàm chi phí để so sánh giữa hai phƣơng án sẽ có dạng: C2 C3 f(s,n) = C1S + S nS Khi chiều dài theo phƣơng của ruộng mỏ là S hàm chi phí sẽ là: C2 C3 f(s,n) = C1S + S nS Khi chiều dài theo phƣơng của ruộng mỏ là S/2 hàm chi phí sẽ là: s C1S 2C2 2C 3 f( , n ) = 2 2 S nS So sánh chi phí theo hai phƣơng án trên. s C 2 C 3 C 1 S 2C 2 2C 3 Nếu f(s,n) > f( , n ) thì: C 1S + + > + + 2 S nS 2 S nS C3 C2 Khi đó: S > 2.S o thì nên chia khoáng sàng thành hai ruộng mỏ để khai thác mỗi ruộng mỏ có chiều dài theo phƣơng là S/2.
s - Nếu f(s,n) f( ,n) tƣơng tự ta tính đƣợc S < 2 .So thì khoáng sàng đƣợc 2 khai thác bằng một ruộng mỏ với chiều dài theo phƣơng của ruộng mỏ là S s - Nếu f(s,n) = f( ,n ) tức là S = 2 .So thì chi phí để khai thác một tấn than 2 theo hai phƣơng án là nhƣ nhau việc lựa chọn phƣơng án cần xét đến các điều kiện 85 biên (điều kiện biện có thể là việc tổ chức sản xuất, khả năng áp dụng các thiết bị tiên tiến vào sản xuất. - Trƣờng hợp 2: Giả sử trong hai phƣơng án có số tầng khai thác khác nhau + Phƣơng án 1: Khoáng sàng do một mỏ đảm nhận khai thác với chiều dài theo phƣơng của ruộng mỏ là S ta biết đƣợc số tầng tối ƣu của phƣơng án này là: C3 C5 n,o = (nhƣ đã nghiên cứu ở 4.3) C 4 S C4 Khi đó hàm chi phí dùng để so sánh có dạng: C2 C3 C3 C C5 f (s,n,o) = C1S + C4 5 S C3 C C4 S C4 C5 C S.C 4 + Phƣơng án 2: Khoáng sàng đƣợc chia thành hai ruộng mỏ, mỗi ruộng mỏ có S chiều dài theo phƣơng là lúc đó số tầng tối ƣu của phƣơng án này là: 2 2C3 C5 n,,o = C 4 S C4 Khi đó hàm chi phí đem ra so sánh có dạng: s ,, C S 2C 2C3 2C3 C5 C5 f( ,n o) = 1 2 C4 2 2 S 2C3 C5 C4 S C4 2C3 C5 S C4 S C4 C4 S C4 Thực hiện so sánh chi phí giữa hai phƣơng án: s Nếu f(s,n,o) > f( n,,o) thì chia khoáng sàng thành hai ruộng mỏ 2 s Nếu f(s,n,o) < f ( n,,o) thì chia khoáng sàng đƣợc khai thác thành một ruộng 2 mỏ. s Nếu f(s,n,o) = f ( n,,o) lựa chọn chia một ruộng mỏ hay chia hai ruộng mỏ tuỳ 2 thuộc vào điều kiện biên. Xác định kích thƣớc hợp lý của ruộng mỏ khi biết công suất và tuổi mỏ 4.Xây dựng hàm mục tiêu Trong một mỏ đƣợc mở vỉa với một sơ đồ mở vỉa nào đó trong một điều kiện địa chất cụ thể tƣơng ứng với công suất (A ; T/năm) và tuổi mỏ (T ; năm) đã xác 86 định.
Bài toán đặt ra là cần xác định kích thƣớc theo phƣơng (S) và kích thƣớc theo hƣớng dốc (H) hợp lý của ruộng mỏ theo điều kiện thiết kế. Do đã biết công suất (A) và tuổi mỏ (T) nên có thể tính đƣợc trữ lƣợng công nghiệp của ruộng mỏ.c; tấn Trong đẳng thức trên có hai đại lƣợng cần tìm là n và S nên có thể biểu thị đại lƣợng cần tìm này theo đại lƣợng cần tìm kia. Nhƣ vậy tổng chi phí để khai thác một tấn than đƣợc biểu diễn bằng một hàm số có một biến số. Do số tầng n là một số nguyên dƣơng nên sẽ biểu thị S theo n sẽ thuận tiện cho việc tính toán.
AT Tức là: S ; mét nhpc Trong hàm mục tiêu biểu diễn mối quan hệ giữa tổng các chi phí để khai thác một tấn than với kích thƣớc của ruộng mỏ có dạng tổng quát (theo biểu thức 4.15) C 2 C3 C f(s,n) = C1S + C 4 n 5 C 6 S nS n Thay giá trị S trong đẳng thức trên vào hàm mục tiêu thì hàm mục tiêu có dạng AT C. C 6 3 AT hpc n AT C 2 hpc Đặt: C 4 + a AT C1AT C5 + b hpc C 3 hpc C6 + c AT Thay các giá trị a, b, c vào hàm ta đƣợc hàm mục tiêu có dạng: b f ( n) a n c (4.20) n b Nếu n = no để hàm số: f (n0 ) a n0 c đạt giá trị cực tiểu thì n=no là giá n0 trị của số tầng tối ƣu cần tìm. Khảo sát hàm mục tiêu Đặc điểm của hàm số f(n) là giá trị của biến số (n) là giá trị rời rạc (có giá trị nguyên dƣơng) vì vậy không thể dùng phƣơng pháp giải tích toán học thông thƣờng để khảo sát cực tiểu của hàm để xác định no (số tầng tối ƣu ) mà phải tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phƣơng pháp giải hàm số nguyên trong các trƣờng hợp sau: Trƣờng hợp 1: Giả sử f(n) có giá trị nhỏ nhất với n = n0 = 1, tức là các giá trị của n > 1 hàm tăng dần theo sự tăng của biến số (n) nhƣ hình 4. Vì vậy ta có: f(n = 1)< f (n = 2) b Khi đó: a + b + c < 2a + +c 2 b → 2 a Tƣơng quan này là tiêu chuẩn để xác định giá trị hàm f (n) đạt giá trị nhỏ nhất khi n = n0 = 1 (tức là f(n=1)min) Hình 4.
Trƣờng hợp số tầng tối ƣu n0 =1 Trƣờng hợp 2: Giả sử hàm f(n) có hai giá trị nhỏ nhất khi n = n0, = 1 và n =no,, = 2 đồ thị của hàm đƣợc biểu diễn nhƣ trên hình 4. Trong trƣờng hợp này ta có f(n = 1) = f(n = 2) b Khi đó: a+b+c = 2a + +c 2 b → 2 a 88 Tƣơng quan này là tiêu chuẩn để xác định giá trị của hàm f(n) đạt giá trị cực tiểu khi n = no, = 1 và n = no,, = 2 (tức là f(n = 1) = f(n = 2) min). Hàm có nghiệm kép. Trƣờng hợp số tầng tối ƣu n0 =1 và n0 = 2 Trƣờng hợp 3: Giả sử hàm f(n) lúc đầu có giá trị giảm dần theo sự tăng dần của biến n đến khi n = no hàm có giá trị nhỏ nhất sau đó hàm lại tiếp tục tăng với mọi n> no.
Vì vậy giá trị tối ƣu của n là giá trị n = no. Đồ thị của hàm đƣợc biểu diễn nhƣ hình 4.6 Từ đồ thị của hàm ta có hệ bất phƣơng trình: f (no + 1) - f (no) > 0 f (no - 1) - f (no) > 0 Hình 4. Trƣờng hợp số tầng tối ƣu n = n0 Thay giá trị đƣợc hệ bất phƣơng trình nhƣ sau: b b a(nO - 1) + - an0 - 0 n0 1 n0 b b a(nO +1 ) + - an0 - 0 no 1 n0 89 b + no - no2 > 0 a b - no - n o 2 < 0 a Giải hệ bất phƣơng trình trên loại trừ các giá trị âm vì không phù hợp với ý nghĩa thực tiễn, biểu thị giá trị nghiệm trên trục thu đƣợc miền giá trị nghiệm: 1 1 b 1 1 b Giá trị tối ƣu của n trong khoảng từ no, = đến no,, = + + 2 4 a 2 4 a 1 1 b 1 1 b Nếu lấy hiệu số giữa hai giá trị này no,, - no, = + =1 2 4 a 2 4 a Từ đó thấy trong khoảng từ n0' đến n0'' sẽ có ít nhất một số nguyên. Số nguyên đó là giá trị no tối ƣu cần tìm.
Số nguyên này sẽ là số nguyên lớn hơn và liền kề với 1 1 b 1 1 b no, = hoặc giá trị nguyên nhỏ hơn và liền kề với no,, = . 2 4 a 2 4 a 1 1 b Trong trƣờng hợp nếu no, = - là một số nguyên thì hàm f(n) có 2 giá 2 4 a 1 1 b trị nhỏ nhất (hàm có nghiệm kép) là chính nó bằng đúng giá trị n0' và 2 4 a 1 1 b n0'' no' 1 . 2 4 a Đồ thị của hàm biểu diễn nhƣ hình 4. Trƣờng hợp số tầng tối ƣu là nghiệm kép 90 b Nhận xét: Khi tìm giá trị tối ƣu no của hàm số f(n) = a.n c theo phƣơng n b pháp giải hàm nguyên thực chất là khảo sát tỉ số a b Nếu < 2 thì hàm cực tiểu tại n = n0 =1 a b Nếu = 2 thì hàm cực tiểu tại hai giá trị của n = n0’ = 1 và n = n0’’ = 2 (hàm a có nghiệm kép).