Tính Ổn Định Của Một Số Mô Hình Dịch Tễ Trong Môi Trường Ngẫu Nhiên

Khám phá luận văn thạc sĩ về tính ổn định của các mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên, ứng dụng trong nghiên cứu y tế và dịch bệnh.

• Tác giả: Trần Thu Ngà
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Hữu Dư
• Trường học: Đại Học Quốc Gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán Học
• Đề tài: Nghiên Cứu Tính Ổn Định Của Mô Hình Dịch Tễ Trong Môi Trường Ngẫu Nhiên
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Nghiên Cứu Mô Hình Dịch Tễ Ngẫu Nhiên 55 ký tự

Dịch tễ học là một lĩnh vực khoa học quan trọng, nghiên cứu về tình trạng sức khỏe và các yếu tố ảnh hưởng đến sức khỏe cộng đồng. Nó giúp xác định các yếu tố nguy cơ, phát triển phương thức điều trị và dự đoán sự lây lan của bệnh dịch. Với sự biến đổi khí hậu và ô nhiễm môi trường ngày càng gia tăng, việc nghiên cứu các mô hình dịch tễ trở nên cấp thiết hơn bao giờ hết. Các mô hình này giúp chúng ta hiểu rõ nguyên nhân và yếu tố góp phần tạo nên bệnh dịch, từ đó đưa ra các kế hoạch điều trị và phòng ngừa hiệu quả. Tuy nhiên, sự thay đổi của môi trường một cách ngẫu nhiên cũng tác động mạnh mẽ đến sự ổn định của các mô hình dịch tễ này.

1.1. Tầm Quan Trọng Của Dịch Tễ Học Trong Y Học 48 ký tự

Dịch tễ học không chỉ giới hạn trong thực hành ứng phó với các bệnh dịch bộc phát mà còn bao gồm cả lý thuyết thống kê, xây dựng mô hình toán học để dự đoán sức khỏe cộng đồng trong tương lai. Các nghiên cứu dựa trên quan sát và thí nghiệm, nhằm tìm ra mối liên hệ giữa căn bệnh và các yếu tố không thay đổi được như bẩm sinh, di truyền, và các yếu tố có thể “sửa chữa” như thực phẩm, môi trường. Nghiên cứu dịch tễ học đóng vai trò then chốt trong việc bảo vệ và nâng cao sức khỏe con người.

1.2. Ảnh Hưởng Của Biến Động Ngẫu Nhiên Đến Dịch Tễ 54 ký tự

Các yếu tố như biến đổi khí hậu, ô nhiễm môi trường, và các tác động khách quan, chủ quan khác có thể gây ra những biến động ngẫu nhiên trong quá trình lây lan và phát triển của bệnh dịch. Do đó, việc nghiên cứu tính ổn định của các mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên là vô cùng quan trọng. Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định của một số mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên thông qua các mô hình toán học, từ đó tìm ra các điều kiện thích hợp giúp kiểm soát được bệnh dịch.

II. Thách Thức Về Tính Ổn Định Mô Hình Dịch Tễ Hiện Nay 57 ký tự

Việc xây dựng các mô hình dịch tễ chính xác và tin cậy là một thách thức lớn. Các mô hình này phải có khả năng dự đoán chính xác sự lây lan của bệnh dịch trong môi trường phức tạp và biến động. Sai số trong dự báo có thể dẫn đến việc đưa ra các quyết định sai lầm trong việc phòng chống và kiểm soát dịch bệnh. Theo tài liệu gốc, việc nghiên cứu tính ổn định của mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên là rất quan trọng để có thể đưa ra các biện pháp ứng phó kịp thời và hiệu quả.

2.1. Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Tính Ổn Định 46 ký tự

Nhiều yếu tố có thể ảnh hưởng đến tính ổn định của mô hình dịch tễ, bao gồm biến động khí hậu, ô nhiễm môi trường, hành vi của con người và các yếu tố sinh học khác. Các yếu tố này có thể thay đổi một cách ngẫu nhiên, gây khó khăn cho việc dự đoán và kiểm soát dịch bệnh. Cần phải xây dựng các mô hình dịch tễ có khả năng thích ứng với sự thay đổi và đưa ra các dự báo chính xác trong môi trường ngẫu nhiên.

2.2. Hạn Chế Của Các Mô Hình Dịch Tễ Truyền Thống 53 ký tự

Các mô hình dịch tễ truyền thống thường dựa trên các giả định đơn giản về quá trình lây lan và phát triển của bệnh dịch. Tuy nhiên, trong thực tế, quá trình này có thể phức tạp hơn nhiều và chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố ngẫu nhiên. Điều này có thể dẫn đến sự sai lệch giữa dự báo của mô hình và tình hình thực tế. Vì vậy, cần phải phát triển các mô hình dịch tễ mới, có khả năng mô phỏng chính xác hơn quá trình lây lan và phát triển của bệnh dịch trong môi trường phức tạp.

2.3. Sai số trong dự báo dịch bệnh và hậu quả 50 ký tự

Sai số trong dự báo dịch bệnh có thể dẫn đến những hậu quả nghiêm trọng, bao gồm việc phân bổ nguồn lực không hiệu quả, đưa ra các biện pháp can thiệp không phù hợp và gây hoang mang trong cộng đồng. Một mô hình dịch tễ ngẫu nhiên chính xác sẽ giúp các nhà quản lý đưa ra các quyết định sáng suốt hơn, từ đó giảm thiểu tác động tiêu cực của dịch bệnh.

III. Phương Pháp Phân Tích Ổn Định Dịch Tễ Học Trong Môi Trường Ngẫu Nhiên 60 ký tự

Để giải quyết thách thức về tính ổn định mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên, cần áp dụng các phương pháp phân tích phù hợp. Một trong những phương pháp quan trọng là sử dụng phương pháp Lyapunov. Theo tài liệu gốc, phương pháp này cho phép đánh giá tính ổn định của hệ thống bằng cách xây dựng một hàm số có tính chất đặc biệt. Phương pháp khác là mô phỏng Monte Carlo, cho phép đánh giá sự biến động của hệ thống dưới tác động của các yếu tố ngẫu nhiên.

3.1. Ứng Dụng Phương Pháp Lyapunov Trong Dịch Tễ 48 ký tự

Phương pháp Lyapunov là một công cụ mạnh mẽ để đánh giá tính ổn định của các mô hình dịch tễ. Phương pháp này dựa trên việc xây dựng một hàm số Lyapunov, có giá trị giảm dần theo thời gian. Nếu tồn tại một hàm Lyapunov phù hợp, thì có thể kết luận rằng hệ thống là ổn định. Phương pháp Lyapunov đã được áp dụng thành công trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm cả dịch tễ học. Chi tiết về phương pháp Lyapunov có trong Chương 1 của tài liệu gốc.

3.2. Sử Dụng Phương Pháp Monte Carlo Để Mô Phỏng 50 ký tự

Phương pháp Monte Carlo là một phương pháp mô phỏng dựa trên việc sử dụng các số ngẫu nhiên. Phương pháp này có thể được sử dụng để đánh giá sự biến động của các mô hình dịch tễ dưới tác động của các yếu tố ngẫu nhiên. Bằng cách thực hiện nhiều lần mô phỏng với các bộ số ngẫu nhiên khác nhau, có thể ước tính được xác suất xảy ra của các sự kiện khác nhau. Điều này giúp đánh giá được tính ổn định của mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên.

IV. Nghiên Cứu Tính Ổn Định Mô Hình SIR Ngẫu Nhiên 53 ký tự

Mô hình SIR (Susceptible-Infected-Recovered) là một trong những mô hình dịch tễ cơ bản nhất. Mô hình này chia dân số thành ba nhóm: người có khả năng mắc bệnh (S), người đang mắc bệnh (I) và người đã khỏi bệnh (R). Nghiên cứu tính ổn định của mô hình SIR trong môi trường ngẫu nhiên là một bước quan trọng để hiểu rõ hơn về sự lây lan và phát triển của bệnh dịch. Theo tài liệu gốc, việc đưa các yếu tố ngẫu nhiên vào mô hình SIR có thể làm thay đổi đáng kể kết quả dự báo.

4.1. Ứng Dụng Mô Hình SIR Ngẫu Nhiên Vào Thực Tế 49 ký tự

Mô hình SIR ngẫu nhiên có thể được sử dụng để mô phỏng sự lây lan của nhiều loại bệnh dịch khác nhau, từ cúm mùa đến các bệnh truyền nhiễm nguy hiểm hơn. Bằng cách điều chỉnh các tham số của mô hình, có thể dự đoán được số lượng người mắc bệnh, thời gian đỉnh dịch và các biện pháp can thiệp hiệu quả. Điều này giúp các nhà quản lý đưa ra các quyết định sáng suốt hơn trong việc phòng chống và kiểm soát dịch bệnh.

4.2. Phân Tích Độ Nhạy Mô Hình Dịch Tễ SIR 46 ký tự

Phân tích độ nhạy của mô hình dịch tễ SIR là một bước quan trọng để xác định các yếu tố có ảnh hưởng lớn nhất đến kết quả dự báo. Bằng cách thay đổi giá trị của các tham số trong mô hình và quan sát sự thay đổi của kết quả, có thể xác định được các yếu tố quan trọng nhất cần được kiểm soát. Điều này giúp các nhà quản lý tập trung nguồn lực vào các biện pháp can thiệp hiệu quả nhất.

V. Ứng Dụng Và Dự Báo Mô Hình Hóa Dịch Bệnh Ngẫu Nhiên 58 ký tự

Nghiên cứu tính ổn định của mô hình dịch tễ không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Các mô hình này có thể được sử dụng để dự báo sự lây lan của bệnh dịch, đánh giá hiệu quả của các biện pháp can thiệp và đưa ra các quyết định trong việc phòng chống và kiểm soát dịch bệnh. Tài liệu gốc nhấn mạnh rằng việc sử dụng các mô hình này cần được thực hiện một cách cẩn thận và có sự hiểu biết sâu sắc về các giả định và hạn chế của mô hình.

5.1. Ứng Dụng Mô Hình Vào Kiểm Soát Dịch Bệnh 44 ký tự

Các mô hình dịch tễ có thể được sử dụng để đánh giá hiệu quả của các biện pháp can thiệp khác nhau, chẳng hạn như tiêm chủng, cách ly và giãn cách xã hội. Bằng cách mô phỏng sự lây lan của bệnh dịch với các biện pháp can thiệp khác nhau, có thể xác định được biện pháp nào hiệu quả nhất và cần được ưu tiên thực hiện.

5.2. Dự Báo Dịch Bệnh Dựa Trên Dữ Liệu Ngẫu Nhiên 54 ký tự

Việc dự báo dịch bệnh dựa trên dữ liệu ngẫu nhiên là một thách thức lớn. Tuy nhiên, với sự phát triển của các phương pháp thống kê và mô phỏng, ngày càng có nhiều công cụ hỗ trợ việc dự báo dịch bệnh một cách chính xác hơn. Các mô hình dịch tễ có thể được sử dụng để ước tính xác suất xảy ra của các sự kiện khác nhau, chẳng hạn như số lượng người mắc bệnh, thời gian đỉnh dịch và nguy cơ bùng phát dịch bệnh.

5.3. Ảnh hưởng của nhiễu đến mô hình dịch tễ 44 ký tự

Nhiễu, hay các yếu tố ngẫu nhiên, có thể ảnh hưởng lớn đến độ chính xác của các mô hình dịch tễ. Việc xác định và giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu là rất quan trọng để cải thiện khả năng dự báo và đưa ra các quyết định hiệu quả.

VI. Kết Luận Về Mô Hình Dịch Tễ Trong Môi Trường Ngẫu Nhiên 58 ký tự

Nghiên cứu tính ổn định của mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên là một lĩnh vực quan trọng và đầy thách thức. Các kết quả nghiên cứu có thể được sử dụng để cải thiện khả năng dự báo và kiểm soát dịch bệnh. Tuy nhiên, cần phải tiếp tục nghiên cứu và phát triển các mô hình dịch tễ mới, có khả năng mô phỏng chính xác hơn quá trình lây lan và phát triển của bệnh dịch trong môi trường phức tạp.

6.1. Hướng Nghiên Cứu Tiềm Năng Trong Tương Lai 43 ký tự

Các hướng nghiên cứu tiềm năng trong tương lai bao gồm việc phát triển các mô hình dịch tễ tích hợp nhiều nguồn dữ liệu khác nhau, sử dụng các phương pháp học máy để cải thiện khả năng dự báo và đánh giá hiệu quả của các biện pháp can thiệp mới.

6.2. Tầm Quan Trọng Của Liên Ngành Trong Dịch Tễ Học 52 ký tự

Để giải quyết các thách thức trong dịch tễ học hiện đại, cần có sự hợp tác chặt chẽ giữa các nhà khoa học từ nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm toán học, thống kê, sinh học, y học và khoa học xã hội. Sự hợp tác liên ngành sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về quá trình lây lan và phát triển của bệnh dịch và đưa ra các biện pháp phòng chống và kiểm soát hiệu quả hơn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THU NGÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.06 Hà Nội - 2015 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THU NGÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ Ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.06 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. Nguyễn Hữu Dư Hà Nội- 2015 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. Nguyễn Hữu Dư người thầy đáng kính đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt thời gian qua. Em xin phép được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô giáo, các anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Toán - Cơ - Tin học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp đỡ em trong thời gian em học tập, nghiên cứu tại trường. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Nguyễn Thanh Diệu đã giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy, cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng 07 năm 2015. Học viên Trần Thu Ngà 1 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Mục lục Mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Vi phân Itô và công thức Itô .1 Vi phân Itô .2 Công thức Itô tổng quát .2 Lý thuyết ổn định .2 Một số kết quả về tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên . 12 2 Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu loạn ngẫu nhiên 19 2.3 Phân tích tính ổn định của mô hình ngẫu nhiên .4 Phân tích tính ổn định của mô hình ngẫu nhiên có trễ .5 Mô phỏng số liệu . 33 2 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] 3 Tính ổn định toàn cục của mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu loạn ngẫu nhiên 39 3.2 Mô hình dịch ngẫu nhiên .3 Tính ổn định ngẫu nhiên của điểm cân bằng địa phương .4 Mô phỏng số liệu . 49 Kết luận 53 Phụ lục 54 Tài liệu tham khảo 55 3 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Mở đầu Dịch tễ học là khoa học nghiên cứu về tình trạng sức khỏe và các yếu tố liên quan ảnh hưởng đến tình trạng sức khỏe, giúp xác định các yếu tố nguy cơ của bệnh, phát triển và tối ưu hóa phương thức điều trị. Dịch tễ học có thể nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực từ thực hành: như trong thời kỳ có bệnh dịch bộc phát, ảnh hưởng trong môi trường sinh sống, . , đến lý thuyết: như thống kê, tạo mô hình toán học dự đoán sức khỏe cộng đồng trong tương lai, sự phát triển của bệnh dịch, triết học y tế, sinh học và tâm lý học . Nghiên cứu dịch tễ học dựa trên quan sát và thí nghiệm, mục đích là để tìm ra liên hệ giữa căn bệnh và các yếu tố không thay đổi được như bẩm sinh, di truyền và những yếu tố có thể "sửa chữa" như thực phẩm, môi trường, giáo dục, vi sinh học, tâm lý học, v. Ngày nay với sự biến đổi về khí hậu, tình trạng ô nhiễm môi trường . là một trong những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sự phát triển của các loại bệnh gây ảnh hưởng tới sức khỏe của con người. Vậy nên việc nghiên cứu các mô hình dịch tễ ngày càng phát triển, nó giúp tìm ra nguyên nhân và các yếu tố góp phần tạo nên bệnh dịch. Từ đó định nghĩa căn bệnh, liên hệ từ nguyên nhân đến triệu chứng và tạo kế hoạch điều trị hay phòng ngừa. Tuy nhiên việc biến đổi khí hậu hay tình trạng ô nhiễm môi trường, hoặc tác động khách quan cũng 4 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] như chủ quan . cũng gây những biến động. Do đó việc nghiên cứu tính ổn định của các mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên cũng không kém phần quan trọng. Ở đây luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định của một số mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên thông qua các mô hình toán học, từ đó tìm ra được các điều kiện thích hợp giúp để kiểm soát được bệnh dịch. Nội dung chính của luận văn là trình bày và làm rõ các kết quả của hai bài báo [11, 12]. Cấu trúc của luận văn bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nhắc lại một số khái niệm cơ bản của vi phân Itô, công thức Itô tổng quát, hai định lý của Lyapunov về tính ổn định và một số kết quả ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên. ⋄ Chương 2: Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu ngẫu nhiên. Bệnh dịch lây truyền do vector (vector-borne disease) là bệnh gây ra bởi một loại vi khuẩn truyền nhiễm, được lây truyền khi một động vật chân đốt hút máu một động vật có xương sống đang bị nhiễm bệnh và lây truyền sang một cá thể dễ bị nhiễm bệnh. Từ góc nhìn của các bệnh truyền nhiễm, vector là cá thể truyền dẫn của các sinh vật gây bệnh có mang mầm bệnh từ một vật chủ khác. Các vector thường gặp nhất là động vật không xương sống thường là động vật chân đốt, động vật có xương sống (ví dụ như cáo, gấu trúc, chồn hôi), tất cả đều có thể truyền virus cho con người. Sức khỏe con người có thể bị ảnh hưởng hoặc trực tiếp qua các vết cắn, đốt, phá hoại của các mô) hoặc gián tiếp thông qua sự lây nhiễm bệnh. Đặc biệt là mô hình bệnh sốt rét, đã được nghiên cứu qua các mô hình xác định trong 5 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] nhiều tài liệu ([4, 7-10]). Trong chương này ta tập chung nghiên cứu mô hình dịch tễ ngẫu nhiên của bệnh do sinh vật sinh ra với cách thức truyền trực tiếp và điều chỉnh sự cản trở của nó. Chính xác hơn, ta mở rộng mô hình dịch tễ xác định bằng cách đưa ra các nhiễu ngẫu nhiên xung quanh điểm cân bằng địa phương. ⋄ Chương 3: Tính ổn định toàn cục của mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu ngẫu nhiên. Ở chương này, ta đi nghiên cứu tính ổn định toàn cục của điểm cân bằng địa phương trong mô hình SIR hai nhóm, bị nhiễu ngẫu nhiên xung quanh điểm cân bằng địa phương. Và chứng minh điểm cân bằng địa phương của mô hình bị nhiễu ngẫu nhiên là ổn định tiệm cận toàn cục ngẫu nhiên. Ngoài ra, ta thu được điều kiện ổn định bằng cách xây dựng các hàm Lyapunov. 6 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc trình bày các kết quả chính của luận văn.1 Vi phân Itô và công thức Itô Đầu tiên, ta nhắc lại khái niệm quá trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown tiêu chuẩn. 7 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Định nghĩa 1. Quá trình W = (Wt , t ∈ [0, T ]) xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P) được gọi là quá trình Weiner tiêu chuẩn (hay chuyển động Brown tiêu chuẩn) nếu: 1. (Wt ) là quá trình có số gia độc lập tức là t1 < t2 < t3 < t4 các biến ngẫu nhiên Wt4 − Wt3 và Wt2 − Wt1 độc lập. Biến ngẫu nhiên Wt − Ws , (0 ≤ s < t) có phân phối chuẩn N(0, t − s). Với hầu hết ω các quỹ đạo Wt (ω) là liên tục.1 Vi phân Itô Giả sử rẳng X = (Xt , t ∈ [0, T ]) có dạng Z t Z t Xt = X(r) + f (s, ω)ds + g(s, ω)dW (s) r r trong đó f ∈ N 1 (0, T ); g ∈ N 2 (0, T ) và với mọi (s, t) : 0 ≤ r < t ≤ T. Khi đó ta nói X có vi phân Itô dXt = f (t, ω)dt + g(t, ω)dWt và viết gọn là dX = f dt + gdW.2 Công thức Itô tổng quát Công thức Itô thực chất là một công thức đổi biến trong giải tích ngẫu nhiên., xd ) là các hàm liên tục xác định trên [0; T ] × Rd với các đạo hàm riêng ut , uxi , uxixj liên tục với mọi i, j ≤ d. Đặt X(t) = 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Xét hàm ngẫu nhiên Y = Y (t), t ∈ [0; T ] xác định bởi Y (t) = u(t, X(t)). Khi đó vi phân ngẫu nhiên d d d 1 XX h X i dY (t) = ut (t, X(t)) + uxi (t, X(t))fi (t) + uxi xj (t, X(t))gi (t)gj (t) dt 2 i=1 i=1 j=1 n ! X + uxi (t, X(t))gi (t) dW (t). i=1 Công thức trên được viết gọn dưới dạng: d d d X 1 XX dY (t) = ut (t, X(t))dt + uxi (t, X(t))dXi (t) + uxixj (t, X(t))gi(t)gj (t)dt 2 i=1 i=1 j=1 1.2 Lý thuyết ổn định 1.1 Hàm Lyapunov Xét hệ phương trình vi phân tổng quát có dạng:  x′ (t) = f (t, x(t)), t ≥ 0 (1. Ký hiệu H là tập các hàm liên tục tăng chặt a(. Với mỗi hàm V (t, x) : R+ × Rd → Rd , ta ký hiệu : D E Vf′ (t, x(t)) := Vt + Vx ; f (t, x(t)) , là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V (t, x(t)) dọc nghiệm x(t) của hệ (1. 9 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Định nghĩa 1. Hàm V (t, x) : R+ × Rd → R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 khả vi liên tục được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1. V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa : ∃a(. Vf′ (t, x(t)) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1. Xét hàm V (t, x) ∈ họ các hàm liên tục Ctx (Z0 ), trong đó Z0 = {0 < t < ∞, |x| < h}. Ta đưa ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và có dấu xác định. Hàm vô hướng thực liên tục V (t, x) được gọi là không đổi dấu (có dấu dương hoặc có dấu âm) trong Z0 nếu: V (t, x) ≥ 0(V (t, x) ≤ 0), với (t, x) ∈ Z0 .