CHƯƠNG I : NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ I. Tập mờ và các phép toán trên tập mờ Lý thuyết tập mờ được Zadeh thiết lập lần đầu năm 1965 trong [62] và được phát triển mạnh mẽ từ đó đến nay. Trong mục này chúng tôi chỉ trình bày một số khái niệm và phép toán cần thiết cho LA. Tập mờ Khái niệm tập mờ là một mở rộng của lý thuyết tập hợp cổ điển và được dùng trong lôgic mờ.
Theo đó, ngữ nghĩa của mỗi từ mờ được biểu diễn bằng một hàm từ tập vũ trụ U vào đoạn [0, 1] và hàm đó gọi là tập mờ trên U. Trong lý thuyết tập hợp cổ điển, quan hệ thành viên của các phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo kiểu nhị phân, một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc về tập hợp đó. Với tập mờ thì bất kỳ phần tử nào trong vũ trụ đều có thể thuộc về nó với mức độ thuộc được đo bởi một giá trị trong đoạn [0, 1]. [62] Cho U là vũ trụ các đối tượng.
Tập mờ A trên U là tập các cặp có thứ tự (x, A(x)), với A(x) là hàm từ U vào [0,1] gán cho mỗi phần tử x thuộc U giá trị A(x) phản ánh mức độ của x thuộc vào tập mờ A. Nếu A(x) = 0 thì ta nói x hoàn toàn không thuộc vào tập A, ngoài ra nếu A(x) = 1 thì ta nói x thuộc hoàn toàn vào A. Trong Định nghĩa 1.1, hàm còn được gọi là hàm thuộc (membership function). Một số hàm thuộc thông dụng trong ứng dụng của lý thuyết tập mờ: - Dạng tam giác: A(x) = max(min((x-a)/(b-a),(c-x)/(c-b)),1), - Dạng hình thang: A(x) = max(min((x-a)/(b-a),(d-x)/(d-c),1),1), - Dạng Gauss: A(x) = exp(-(c-x)2/(22)),.
là các tham số của hàm thuộc tương ứng. 18 Luan van Có nhiều dạng hàm thuộc để biểu diễn cho tập mờ A, mà trong đó dạng hình thang, hình tam giác và hình chuông là thông dụng nhất. Sau đây là một ví dụ về hàm thuộc được cho ở dạng hình thang. Cho A là một tập mờ, A có thể được biểu diễn dưới dạng hình thang với hàm thuộc liên tục A(x) như sau: xa 0, x a , axb b a A (x; a, b, c, d ) 1, b x c , xR d x , cxd d c xd 0, trong đó a, b, c, d là các số thực và a ≤ b ≤ c ≤ d.
Hình vẽ tương ứng của hàm thuộc A được mô tả như Hình 1.1: Tập mờ hình thang Các khái niệm, tính chất, phép toán trong lý thuyết tập kinh điển cũng được mở rộng cho các tập mờ [3][39][49][46][44]. Theo đó, các phép toán như t-norm, t-conorm, negation và phép kéo theo (implication),. trong lôgíc mờ được đề xuất, nghiên cứu chi tiết cung cấp cho các mô hình ứng dụng giải các bài toán thực tế. Các phép toán trên tập mờ 1) Phép khử mờ Trong điều khiển kỹ thuật, các dữ liệu vào và ra thường là các giá trị số.
Giá trị đầu vào được mờ hoá bằng các hàm đặc trưng. Giá trị đầu ra được 19 Luan van khử mờ dựa trên hàm đặc trưng đó. Có nhiều phương pháp để khử mờ, ở đây chúng tôi chỉ đề cập đến phương pháp khử mờ trong [52] của R. Giả sử A là một tập mờ trên vũ trụ U gắn với hàm thuộc , khi đó ta có công thức khử mờ theo tham số như sau: n x (x ) x * i 1 i i , 0, n (x i ) i 1 Một số dạng khử mờ được sử dụng khi U là tập số thực o = 1, ta có phương pháp trọng tâm.
o , x* được tính theo phương pháp cực đại., xk là các giá trị mà tại đó hàm đạt giá trị cực đại, khi đó: k x xi * i 1. k o Phương pháp điểm giữa x* = (x1 + xk)/2. Lưu ý rằng khi chọn phương pháp khử mờ chúng ta cần quan tâm đến phương pháp mờ hoá ban đầu. 2) Phép kết nhập Trong lập luận mờ đa điều kiện, phép kết nhập thường được dùng để tích hợp các điều kiện thành một đầu vào duy nhất để dễ dàng tính các quan hệ mờ.
Không có toán tử kết nhập phù hợp cho tất cả các bài toán nên khi chọn toán tử kết nhập chúng ta cần thử nghiệm trong các trường hợp cụ thể. Dựa vào các tính chất của các toán tử người ta chia thành các dạng như: t- chuẩn (t-norm), t-đối chuẩn (t-conorm) và toán tử trung bình (averaging operator). Một toán tử kết nhập n chiều Agg: [0,1]n → [0,1] thông thường thỏa các tính chất sau đây: i) Agg(x) = x, ii) Agg(0, …, 0) = 0; Agg(1, …, 1) = 1; iii) Agg(x1, x2,…, xn) Agg(y1, y2,…, yn) nếu (x1, x2,…, xn) (y1, y2,…, yn). 20 Luan van Lớp toán tử trung bình trọng số có thứ tự OWA (Ordered Weighted Averaging) được R.Yager đưa ra vào năm 1988 [51], các tính chất và công dụng đã được giới thiệu chi tiết, đầy đủ trong những năm tiếp sau.
Lớp toán tử này có tính chất trọng số thứ tự nên giá trị được tích hợp luôn nằm giữa hai phép toán logic là phép tuyển “OR” và phép hội “AND”. Trong luận án này, khi cần thiết kết nhập các mệnh đề, chúng tôi sử dụng toán tử trung bình có trọng số. i 1 Dễ dàng nhận thấy phép kết nhập trung bình có trọng số nằm giữa hai phép toán lấy max và min nên quá trình tính toán trung gian trong lập luận xấp xỉ, khi sử dụng toán tử kết nhập trung bình có trọng số để kết nhập các tri thức và dữ liệu thì không sợ mắc phải sai lầm logic hoặc sai số quá lớn. Trước khi kết nhập các tri thức, dữ liệu phải được chuyển đổi về dạng số.
3) Phép kéo theo mờ Toán tử kéo theo mờ là sự mở rộng của phép kéo theo trong logic hai trị để biểu diễn mệnh đề điều kiện “If X is A then Y is B”. Trước tiên, xét mệnh đề điều kiện “If XA then YB” trong logic hai trị, ở đây A, B là các tập con tương ứng của U, V mà X, Y nhận giá trị trong đó. Điều kiện này là sai nếu như “XA” mà “YB”, ngoài ra được xem là đúng. Vì vậy mệnh đề điều kiện “If.” có thể biểu diễn bởi quan hệ ( A B) ( AV ), ở đây A là phần bù của A trong V.
Mở rộng cho A, B là các tập mờ trong không gian U, V. Khi đó mệnh đề điều kiện sẽ là “If X is A then Y is B”. Tương tự như trên nó sẽ được biểu diễn bằng một quan hệ mờ trong U×V , tức là một tập con mờ của U×V. Như đã biết trước đây, phép “OR” được mô hình bởi t-conorm S, còn tích Decac mô hình bởi t-norm T.
Vì vậy, tập con mờ ( A B) ( AV ) có hàm thuộc là: 21 Luan van (x, y) (A (x) B ( y)) ((1 A (x)) 1) , trong đó là ký hiệu của phép min còn là ký hiệu của phép max và giá trị 1 có thể giản ước. Một cách tổng quát khi và tương ứng là các phép t-norm và t- conorm bất kỳ, ( A B) ( AV ) có hàm thuộc là: (x, y) S(T ( A (x), B ( y)), N ( A (x))) Nếu J là hàm chỉ giá trị chân lý của mệnh đề điều kiện, tức là J là ánh xạ đi từ tích [0,1] × [0,1] vào [0,1], thì ta có: (x, y) = J(A(x), B(y)), với J(a, b) = S[T(a, b),N(a)]. Chúng ta dễ dàng kiểm tra các điều kiện biên sau: J(0, 0) = J(0, 1) = J(1, 1) = 1 và J(1, 0) = 0. Một hàm J : [0,1]×[0,1] [0,1] bất kỳ thỏa mãn điều kiện biên trên được gọi là toán tử kéo theo mờ.
Phép kéo theo có ý nghĩa rất quan trọng trong việc xây dựng các phương pháp lập luận xấp xỉ. 4) Phép hợp thành các quan hệ mờ Quan hệ mờ là sự mở rộng của khái niệm quan hệ thông thường trong toán học. Quan hệ mờ cho phép chúng ta biểu thị mối quan hệ giữa các đối tượng một cách mềm dẻo hơn, chẳng hạn nó có thể biểu diễn cho một các phát biểu “A trẻ hơn B khá nhiều”, “x rất lớn so với y”,. Như chúng ta đã biết, một quan hệ thông thường của các tập U và V là một tập con của U×V và do đó ta có thể mở rộng thành quan hệ mờ của U và V.
Một quan hệ mờ R là một tập con mờ của U×V, tức là: R : U×V [0,1] với R(x, y) chỉ cho mức độ cặp (x, y) thỏa hay thuộc vào quan hệ R. Ví dụ với quan hệ R = “x nhỏ hơn y khá nhiều” thì R(10, 15) = 0.4 được hiểu là mệnh đề khẳng định “10 nhỏ hơn 15 khá nhiều” có độ tin cậy là 0. 22 Luan van Cho R1 và R2 là các quan hệ mờ tương ứng trên U×V và V×W. Phép hợp thành (R1oR2) của R1 và R2 là quan hệ mờ trên U×W với hàm thuộc được xác định như sau: (R1 R2 )(x, z) Sup yV Min(R(x, y), R2 ( y, z)).
1 Tổng quát hơn là: (R R )(x, z) Sup yV T (R (x, y), R ( y, z)) 1 2 1 2 với T là một t-norm bất kỳ, Sup là supremum. Quan hệ mờ là cơ sở quan trọng để biểu diễn toán tử kéo theo mờ cũng như ứng dụng trong việc hợp thành các luật suy diễn mờ. Biến ngôn ngữ Nói một cách đơn giản như Zadeh đã từng nói, một biến ngôn ngữ là biến mà “các giá trị của nó là các từ hoặc câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngôn ngữ nhân tạo”. Ví dụ như khi nói về chiều cao của con người ta có thể xem đây là biến ngôn ngữ có tên gọi CHIỀU_CAO và nó nhận các giá trị ngôn ngữ như “cao”, “rất cao”, “trung bình”, “thấp”….
Đối với mỗi giá trị này, chúng ta sẽ gán cho chúng một hàm thuộc. Giả sử lấy giới hạn của chiều cao thông thường trong khoảng [140cm, 190cm] và giả sử rằng các giá trị ngôn ngữ được sinh bởi một tập các luật. Khi đó, một cách hình thức, chúng ta có định nghĩa của biến ngôn ngữ sau đây: Định nghĩa 1.