I. Mở đầu
Nghiên cứu thạc sĩ về hàm đa điều hòa và cực đại dưới thác được thực hiện nhằm mục đích trình bày các kết quả gần đây trong lý thuyết đa thế vị. Đề tài này không chỉ có tính thời sự mà còn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Mục tiêu chính là nghiên cứu độ đo Monge-Ampère của dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới. Đề tài này có thể giúp mở rộng hiểu biết về các hàm này trong không gian đa chiều, từ đó có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và phân tích hàm.
1.1. Lý do chọn đề tài
Lý do chọn đề tài này xuất phát từ sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết hàm đa điều hòa trong những năm gần đây. Các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng tồn tại nhiều ứng dụng thực tiễn của lý thuyết này trong các lĩnh vực như toán học ứng dụng, vật lý và khoa học máy tính. Đặc biệt, việc nghiên cứu cực đại của các hàm này có thể giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp trong phân tích hàm và hình học. Do đó, việc tìm hiểu sâu hơn về hàm đa điều hòa và các tính chất của nó là rất cần thiết.
II. Các kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày tổng quan về các kiến thức cần thiết để hiểu rõ hơn về hàm đa điều hòa và các khái niệm liên quan. Đầu tiên, cần nắm rõ các định nghĩa cơ bản về hàm đa điều hòa dưới và cực đại. Một hàm được gọi là đa điều hòa nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định trong không gian đa chiều. Các tính chất của hàm này sẽ được phân tích kỹ lưỡng, bao gồm nguyên lý cực trị và các điều kiện cần thiết để một hàm được coi là cực đại. Ngoài ra, chương này cũng sẽ đề cập đến toán tử Monge-Ampère và các ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu các hàm này.
2.1. Định nghĩa và tính chất của hàm đa điều hòa
Hàm đa điều hòa được định nghĩa là một hàm nửa liên tục trên một không gian tôpô. Các tính chất của nó bao gồm khả năng thỏa mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn. Điều này có nghĩa là nếu một hàm đa điều hòa dưới có giá trị lớn nhất trong một miền, thì hàm đó phải là hằng số. Các mệnh đề liên quan đến hàm đa điều hòa dưới sẽ được trình bày chi tiết, giúp người đọc hiểu rõ hơn về các điều kiện cần thiết để một hàm được coi là đa điều hòa.
III. Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu độ đo Monge-Ampère của dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa. Các kết quả gần đây của U. Zeriahi sẽ được trình bày, bao gồm các định lý và chứng minh liên quan đến dưới thác triển của các hàm này. Đặc biệt, chương này sẽ làm rõ mối liên hệ giữa hàm đa điều hòa và các miền siêu lồi, cũng như cách mà các hàm này có thể được mở rộng đến các miền lớn hơn. Việc nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể ứng dụng trong thực tiễn.
3.1. Độ đo Monge Ampère của dưới thác triển
Độ đo Monge-Ampère của dưới thác triển cực đại được xác định thông qua các hàm liên tục và các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính chất của nó. Các kết quả chứng minh cho thấy rằng nếu một hàm đa điều hòa dưới có độ đo Monge-Ampère bị chặn, thì nó sẽ có dưới thác triển đến một miền siêu lồi lớn hơn. Điều này mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết hàm đa điều hòa và có thể dẫn đến những ứng dụng mới trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.
