chương 1, 2, 3 và đề cập hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này. CƠ SỞ LÍ LUẬN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản của KGVT liên quan đến hai khái niệm tổng và giao của hai KGVT con được trình bày qua giáo trình FUNDAMENTALS OF LINEAR ALGEBRA của James B. Carrell (2005) và cơ sở lý thuyết về Khó khăn, Sai lầm, và Chướng ngại theo nhiều quan điểm khác nhau. Tổng và giao hai KGVT con được trình bày qua giáo trình FUNDAMENTALS OF LINEAR ALGEBRA 1.
Khái niệm tổng và giao hai KGVT con của một KGVT cho trước Trước hết, chúng tôi sẽ tìm hiểu khái niệm không gian vectơ, không gian vectơ con được trình bày như thế nào rồi từ đó chúng tôi sẽ tiến hành tìm khái niệm giao hai không gian vectơ con của một không gian vectơ cho trước. Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày phân tích cuốn FUNDAMENTALS OF LINEAR ALGEBRA (2005) vì đây là tài liệu được xuất bản rộng rãi và có nhiều giảng viên sử dụng tài liệu này làm tài liệu chính phục vụ cho công tác giảng dạy của mình. Theo cuốn FUNDAMENTALS OF LINEAR ALGEBRA (2005) : Giao của các KGVT con: Gọi V là không gian vectơ trên trường F với các không gian con W và Y. Cách đơn giản nhất để xây dựng một không gian con mới là lấy giao W Y.
Giao W Y của các không gian con W và Y của V cũng là một không gian con của V. Nói chung, giao của bất kỳ tập hợp nào của không gian con của V cũng là một không gian con Chứng minh: 14 Mệnh đề 5.16 là sự tổng quát hóa thực tế rằng không gian nghiệm của một hệ tuyến n tính thuần nhất là một không gian con của F. Không gian nghiệm là giao của một số n hữu hạn siêu phẳng trong F , và mỗi siêu phẳng được cho bởi một phương trình tuyến tính thuần nhất. Nhận xét: Qua các định nghĩa cũng như các mệnh đề được giới thiệu liên quan đến tổng, giao và tổng trực tiếp của các không gian vectơ con của một không gian vectơ trước đó, ở đây khái niệm giao của hai KGVT con đã được giới thiệu bằng cách dẫn dắt như là một ví dụ của KGVT con, tuy nhiên tác phẩm đã không giải thích nhiều về tính chất của nó cũng như không biểu diễn qua hình ảnh khiến người đọc khó hình dung mà được hiểu như là một KGVT con.
Tổng của các KGVT con: Một cách đơn giản khác để hình thành một không gian con mới là lấy không gian con được cho bởi W và Y. Điều này được định nghĩa như sau: Định nghĩa 5. Tổng của W và Y được xác định là tập hợp W Y w y | w W , y Y . Tổng quát hơn, chúng ta có thể hình thành tổng V1 .
Vk của một số không gian con (hữu hạn) tùy ý V1, V2 ,. Vk cũng có thể được viết là i 1 i k V hoặc đơn giản hơn là Vi ., Vk là không gian con của V thì i 1 i cũng là một k V không gian con của V. Trên thực tế, nó là không gian con nhỏ nhất của V chứa mọi Vi , i 1, k. Công thức giao Hausdorff Bây giờ chúng ta đi đến vấn đề người ta có thể nói gì về giao của hai không gian 4 5 con ba chiều của hoặc.
Nó chỉ ra rằng câu trả lời là hệ quả của một công thức cơ bản, mà người đọc có thể đã đoán được, đưa ra mối quan hệ giữa số chiều của tổng 15 W Y và số chiều của giao W Y , giả sử cả W và Y đều là không gian con của cùng một không gian vectơ hữu hạn chiều. Nếu W và Y là không gian con của không gian vectơ hữu hạn chiều V, thì dim W Y dim W dim Y dim W Y . Nếu W và Y là không gian con của không gian vectơ V hữu hạn chiều, khi đó dim W Y dim W dim Y dim V. Tổng trực tiếp Theo Công thức Giao Hausdorff, hai không gian con W và Y của V, giả sử rằng dim W Y 0 dẫn đến dim W Y dim W dim Y , và ngược lại.
Nhận xét này có liên quan đến định nghĩa sau đây. Ta nói rằng V là tổng trực tiếp của hai không gian con W và Y nếu V W Y và với v V bất kỳ, biểu thức v = w + y với w W và y Y là duy nhất. Nếu V là tổng trực tiếp của W và Y, ta viết V W Y. Tổng quát hơn, chúng ta nói rằng V là tổng trực tiếp của tập hợp các không gian con V1,., Vk nếu V Vi và với v V bất kỳ, biểu thức V Vi , trong đó mỗi vi Vi , là duy nhất.
Trong trường hợp này, chúng ta viết k V vi. Giả sử V là hữu hạn chiều. Khi đó điều kiện cần và đủ để V W Y là V W Y vaø W Y 0. Hơn nữa, V W Y khi và chỉ khi V W Y và dim V dim W dim Y.
Giả sử V là hữu hạn chiều và V1,., Vk là các không gian con của V k sao cho V Vi. Khi đó V ik1 Vi khi và chỉ khi dim V i 1 dim Vi. Các khái niệm liên quan đến tổng và giao hai KGVT con của một KGVT cho trước Không gian vectơ Định nghĩa 4. Gọi F là một trường và V là một tập hợp.
Giả sử rằng có một phép toán nhị phân trên V được gọi là phép cộng gán cho mỗi cặp phần tử a và b của V cho một tổng duy nhất a b V. Cũng giả sử rằng có một phép toán thứ hai, được gọi là phép nhân vô hướng, gán cho bất kỳ r F và bất kỳ a V cho một tích vô hướng duy nhất ra V. Giả sử rằng phép cộng và phép nhân vô hướng cùng thỏa mãn các tiên đề sau. (1) Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán.
Tức là a b b a với mọi a, b V. (2) Phép cộng vectơ cũng có tính chất kết hợp. Tức là, a b c a b c với mọi a, b, c V. (3) Có một đồng nhất cộng 0 V sao cho 0 a a với mọi a V.
(4) Với mọi a V,1a a , trong đó 1 là một phần tử của F. (5) Với mọi phần tử v của V, tồn tại một phần tử -v sao cho v v 0. Do đó −v là một vectơ đối của v. (6) Phép nhân vô hướng có tính chất kết hợp.
Nếu r, s F và a V , thì rs a r sa . (7) Phép nhân vô hướng có phân phối. Nếu r, s F và a, b V , thì r a b ra rb và r s a ra sa. Khi đó V được gọi là không gian vectơ trên F.
Trong không gian vectơ, chỉ có thể có một vectơ không. Hơn nữa, vectơ đối của một vectơ luôn là duy nhất. Trong không gian vectơ V, 0v 0 với mọi v V và r 0 0 với mọi r. Ví dụ cơ bản về không gian vectơ là n , tập tất cả (có thứ tự) n bộ số thực.
Bởi một bộ n, chúng có nghĩa là một dãy bao gồm n số thực.n bộ giá trị của chúng, thường sẽ được biểu thị bằng các chữ cái in đậm và được viết dưới dạng các cột như r1 r r 2 ., rn của một n-bộ số thực r được gọi là các phần tử của nó, ri là phần tử thứ i. Điều quan trọng cần nhớ là thứ tự của các phần tử rất quan trọng: Ví dụ: 1 2 2 3 3 1 Phép cộng và phép nhân vô hướng được thực hiện theo thứ tự của các phần tử: a1 b1 a1 b1 a2 b2 a2 b2 ab . n n n n a b a b và a1 ra1 a2 ra2 ra r . n n a ra 18 Không gian vectơ con Định nghĩa 4.
Gọi V là một không gian vectơ tùy ý trên một trường F. Một tập con W khác rỗng của V được gọi là không gian con tuyến tính của V, hoặc đơn giản là một không gian con, với hai điều kiện sau: (i) a b W với mọi a, b W , và (ii) ra W với mọi r F. Rõ ràng, mọi không gian con của không gian vectơ đều chứa vectơ 0 .Trong thực tế, bản thân {0} là một không gian con, được gọi là không gian con tầm thường. Một không gian con W của V là một không gian vectơ trên F theo đúng nghĩa của nó., vk là các vectơ trong V, và gọi W là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của v1,.
Khi đó W là một không gian con của V. Không gian con của V bao gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của v1,., vk được gọi là cơ sở của v1,. Chúng ta biểu thị không gian con này bằng tập v1,. Ví dụ: x, y, z 3 của một phương trình tuyến tính thuần nhất T Các nghiệm ax by cz 0 , với a, b, c tạo thành không gian con P của 3 bao gồm tất cả các vectơ trực giao với a, b, c .
Thực tế rằng P là một không gian con tuân theo các tính T chất của tích bên trong: tổng của hai nghiệm bất kỳ cũng là một nghiệm, và bất kỳ tích vô hướng nào của một nghiệm cũng là một nghiệm.