Chương 1 PHAN TÍCH KHÁI NIỆM VA VAI TRO CUA BANG BIEN THIÊN Trong chương nay, chúng tôi sé tim câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu sau : Q¡: BBT là gì ? Nó được dua vào trong tinh huống nào ở bậc đại học? Những kí hiệu trong BBT có liên quan đến những khái niệm toán học nào ? Có những chướng ngại nào liên quan đên việc lĩnh hội và sử dung BBT ? 1. Lý do tồn tại của BBT và những chướng ngại liên quan : Mỗi BBT gắn liền với hai khái niệm quan trong là hàm số và đồ thị hàm sé. Do đó để nghiên cứu về BBT cần thiết phải bắt đầu từ việc tìm hiểu về hai khái niệm đó. Tiếp đến chúng tôi xác định mối quan hệ giữa BBT với hai khái niệm đó và đưa ra lý do tồn tại và ý nghĩa của BBT.
Đồng thời xem xét có những chướng ngại nào liên quan việc hiểu và sử dụng BBT. Cụ thể chúng tôi sẽ cố gắng trả lời những câu hỏi sau : 1. Hai khái niệm hàm số và đồ thị có những đặc trưng cơ bản nao về mặt khoa học luận va sư phạm ? 2. BBT là gì ? Nó có vai trò và ý nghĩa thế nào đối với hai khái niệm trên ? Có những chướng ngại gi gây trở ngại cho việc hiểu và sử dụng BBT ? Kiểu sai lầm nào học sinh có thé gặp khi sử dụng BBT ? Dé tra lời cho những câu hỏi nêu trên chúng tôi đã tham khảo một số tài liệu sau : 1.
Lê Thị Hoài Châu (2002), “Lịch sử hình thành khái niệm hàm số”, Báo Toán học và Tuổi trẻ, (số 8/2002). Trần Anh Dũng (2005), Khái niệm liên tục một nghiên cứu khoa học luận và didatic, Luan văn thạc sĩ khoa học. Nguyễn Viết Đông (1998), Toán cao cấp tập 1, NXB giáo dục. Hoàng Quý, Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2010), Từ điển bách khoa phổ thông toán học 1, NXBGD.
Nguyễn Trường Sinh — Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT 5. Bùi Anh Tuan (2007), Biểu diễn đô thị hàm số và nghiên cứu đường cong qua phương trình của nó, Luận văn Thạc Sĩ.Lial (Fourth Edition, 1992), Finite Mathematics and Calculus with Applications, Harper Collins College Publishers. Finney Thomas (Second Edition, 1994), Calculus, Addison Wesley Publishing Company, New York. (2000) Un milieu graphique pour I’ apprentissage de la notion de fonction au lycée, Petit x, n° 58, 25-46.
Variables et fonctions, du collége au lycée : méprise dedactique ou quiproquo interinstitutionnel, Petit x, n° 67, 33-61. Về khái niệm hàm số Khái niệm hàm sô đóng một vai trò quan trọng trong toán học. Đặc biệt nó là một trong những đối tượng nền tang trong lĩnh vực nghiên cứu, phân tích toán học. Sự tiến triển lịch sử của khái niệm này thì phức tạp và đã được phân tích trong nhiều nghiên cứu.
Vì vậy, chúng tôi sẽ không trở lại vấn đề này, nhưng ở đây chúng tôi sẽ đưa ra dẫn chứng một sô tài liệu liên quan đên khái niệm hàm sô và quan niệm về nó đê xác định rõ hơn mục tiêu nghiên cứu của mình. Khái niệm hàm số được nêu trong Từ điển Bách khoa phổ thông toán học, [17-tr.324], như sau : “Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của toán học, biểu diễn sự phụ thuộc của những đại lượng biến thiên này đổi với những đại lượng biến thiên khác. Từ “đại lượng" trong định nghĩa ấy của hàm số được hiểu với ý nghĩa rất rộng. Đó có thể là danh số, là số trừu tượng, là một vài số (tức là điểm trong không gian) và - nói chung - là phan tử của một tập hợp bat ki’.
Như vậy, chính sự phụ thuộc giữa các đại lượng biến thiên đã xây dựng nên các khái niệm hàm sô và biên sô. Các khái niệm này khá trừu tượng, phức tạp và LVThS. Nguyễn Trường Sinh — Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT tồn tại khắp nơi quanh ta như : Nhiệt độ của nước là đại lượng phụ thuộc vào điều kiện môi trường và khí hậu, hiệu điện thế giữa hai đầu dây dẫn là đại lượng phụ thuộc vào cường độ dòng điện đi qua dây dẫn, quãng đường di của một vật rơi tự do là đại lượng phụ thuộc vào thời gian, diện tích hình tròn là đại lượng phụ thuộc vào vào bán kính của đường tròn đó. Trong trường hợp đơn giản, khi đại lượng là số thực, khái niệm “hàm số” được quyền tự điển nói trên, [17-tr.324], định nghĩa như sau : “G74 sử với mỗi số x của tập hợp cho trước E các số thực, có tương ứng một số y, kí hiệu là y = f (x) (doc : y bang ef của x).
Như vậy, ta bảo rằng trong tập hop E, đã cho ham số y =f (x)”. Khái niệm về hàm số được hình thức hóa bằng liên kết mỗi phần tử của tập hợp này với một phần tử duy nhất của tập hợp khác. Phương pháp tiễn hành này khá mơ hò, chăng hạn như : không thể xác định được bản chất của biến số và hình thức liên kết giữa biến số với giá trị của hàm số như thế nào cả. Theo Comin (2005), phần lớn học sinh phổ thông chưa sẵn sàng tiếp nhận một cách dạy hình thức về khái niệm hàm số.
Vậy, cách tiếp cận nào sẽ đem lại hiệu quả tốt nhất có thé cho việc dạy học về hàm số ? Ở thời kỳ toán học Babylon, người ta tìm thấy các bảng bình phương, lập phương và nghịch đảo của các số tự nhiên mà theo quan điểm toán học hiện đại thì những bảng này định nghĩa các hàm số từ tập Ñ vào Ñ. Các bảng này cung cấp một số giá trị của các hàm f(n) = n’, f (n)= n°, f (n) =1 cÑ. Chúng là những n hàm không liên tục. Trong đó, f(n)=n’ và ƒ(n)= n` là những ham tăng trên N, 1 ` ` +9 ^ A ` z re TA x ` KR 2 Nà ` H (n) =— là hàm giảm trên N.
Như vậy, dù chưa có khái niém về hàm sô ở thời kỳ n nay nhưng khái niệm này đã tồn tại một cách không chính thức dưới dạng các bảng, và với góc nhìn của toán học hiện đại thì chúng là các bảng giá trị của hàm. Phạm vi của biến số được xác định rõ là tập hợp các số tự nhiên. Trường hợp mở rộng neR, các bang giá trị trên chỉ cung cấp một số giá trị hữu hạn, rời rạc và chưa thé hiện được sự biên đôi liên tục giữa các đại lượng trong ham. Nguyễn Trường Sinh — Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT Lý do nêu ra vấn đề trên là do chúng tôi tìm thấy đoạn trích dẫn liên quan đến bảng giá trị của hàm trong [17-tr.326] như sau : “Trong phương pháp cho hàm bằng bảng số, mỗi trị của đối số được xếp tương ứng với trị của hàm.
Phương pháp cho hàm này thường dùng trong các trường hợp mà miễn xác định gồm một số hữu han trị số (bảng giá các mặt hang, bảng kết quả xổ số, v. Như vậy, đỗi với một hàm, một bảng giá trị đưa ra một mẫu các cặp giá trị được tạo thành bởi một giá trị của biến số với giá trị hàm tương ứng. Vì vậy, nó biểu hiện một phần (trừ trường hợp rất đặc biệt của một hàm chỉ gồm một tập hợp hữu hạn các cặp giá trỊ) của tương ứng giữa biến và ảnh của nó. Do đó, nó cung cấp cái nhìn hữu hạn cho cái gì đó (sự biến thiên liên tục) thường là vô hạn.
Ngoài ra, một bảng giá trị không có lý do gì để chứa các giá trị đặc biệt như giá tri cực đại, gia tri cực tiểu. Trong nghĩa này, bang giá tri biểu hiện hàm số theo một cách rất riêng và tùy tiện. Tóm lại, một bảng giá trị không cho phép xác định hàm số của nó. Trong công trình nghiên cứu của mình, Comin (2005) đã nêu lại khái niệm về hàm số của Leibniz (1646-1716), chữ “Hàm số” chỉ một mối quan hệ giữa các đại lượng biến đổi được liên kết với nhau theo một quy luật.
Với cách tiếp cận này, hàm số là sự kết hợp của hai tập hợp được mô hình hóa băng một đồ thị, loại bỏ sự gò bó giữa hai đại lượng. Vậy, liệu có thể xác định được hàm số từ đồ thị của nó ? 1. Về khái niệm đồ thị Khái niệm về đồ thị được trích từ [17-tr.356] như sau : “Đồ thị của một hàm là tập hợp các điểm của mặt phẳng có tọa độ vuông góc (x, y) trong do y= ƒ (x) là ham của x trong miễn xác định E của hàm. Ở đây y= f (x) là hàm của một biến x” Phương pháp cho hàm số bằng đồ thị khá phổ biến và được sử dụng rộng rãi trong thực tiễn.
Chăng hạn, người ta thường nghiên cứu sự biến thiên của một đại lượng này theo một đại lượng khác từ nhữngđường cong ghi nhận được bằng các dụng cụ riêng. Nguyễn Trường Sinh — Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT Nói về ứng dụng của đồ thị, Tự điển bách khoa phé thông Toán học (tập 1) trang 361 có viết : “Đồ thi của hàm thường được sử dụng để giải gan đúng các phương trình (thí dụ, f(x) =0 6 cdc diém X,,X, và x;, x.13), các hệ phương trình và bắt phương trình. Thí dụ, khi giải phương trình dạng f (x) =g (x), nguoi ta dung đồ thị các ham y = f (x) và y=g (x). Hoành độ các giao điểm cua hai đô thị là nghiệm của phương trình (x.
Các phan nào của trục Ox, mà đồ thị y=f (x) nam cao hơn đồ thị y=g (x), chính là nghiệm cua bat dang thức f (x) > g(x); trén h.14, do la cac khoang (x,. Tuy rang ching ta chỉ giải được gần đúng các phương trình và bat phương trình khi sử dung đồ thị của các hàm số nhưng dẫu sao những kết quả có được cũng khá quan trọng. Hơn nữa đồ thị phản ánh trực quan dáng điệu định tính của hàm, và vì vậy nó được xem là phương tiện quan trọng đề nghiên cứu hàm. Đề vẽ đồ thị của hàm s6, [8-tr.161] đưa ra quy trình sau : “Việc khảo sát hàm số thường theo trình tự sau đây : 1.
Tim tập xác định của ƒ 2. Xét chiêu biến thiên : tìm khoảng tăng, giảm của hàm số 3. Xét khoảng lôi, lõm (nếu can thiết), điểm uốn (nếu có) 5. Lập bảng biến thiên 7.
Vẽ đồ thị Trong nhiều trường hợp, dé việc khảo sát được đơn giản, người ta còn chú ý phát hiện các đặc điểm cua hàm số như tinh chăn lẻ, tuần hoàn. ” Như vậy, dé vẽ đồ thi của ham số cần thực hiện các bước theo trình tự trên.