Luận văn thạc sĩ vnu ued dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh

Luận văn thạc sĩ VNU UED trình bày phương pháp dạy học vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác.

• Tác giả: Đặng Thị Phương Thảo
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Văn Mậu
• Trường học: Trường Đại Học Giáo Dục - Đại Học Quốc Gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Sư Phạm Toán Học
• Đề tài: Dạy Học Vận Dụng Tính Chất Của Hàm Lồi Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức Lượng Giác Trong Tam Giác Nhằm Phát Triển Kỹ Năng Giải Toán Cho Học Sinh
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 0.1. Lý do chọn đề tài
• 0.2. Mục đích nghiên cứu
• 0.3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
• 0.4. Phạm vi nghiên cứu
• 0.5. Nhiệm vụ nghiên cứu
• 0.6. Giả thuyết khoa học
• 0.7. Phương pháp nghiên cứu
• 0.8. Đóng góp của đề tài
• 0.9. Cấu trúc của luận văn
• 1. CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
• 1.1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu
• 1.2. Cơ sở thực tiễn
• 1.3. Năng lực và sự phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông
• 1.3.1. Khái niệm năng lực
• 2. CHƯƠNG 2: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
• 2.1. Đối tượng thực nghiệm
• 2.2. Mục đích thực nghiệm
• 2.3. Nhiệm vụ thực nghiệm
• 2.4. Nội dung và kế hoạch thực nghiệm
• 2.5. Nội dung và kế hoạch thực nghiệm theo thời gian
• 2.6. Triển khai dạy theo chuyên đề thực nghiệm
• 2.7. Đề kiểm tra, đánh giá học sinh
• 2.8. Triển khai thực nghiệm
• 2.9. Đánh giá kết quả thực nghiệm
• 2.10. Kết quả bài kiểm tra, đánh giá
• 2.11. Kết quả sử dụng bảng quan sát, phiếu đánh giá
• 2.12. Kết quả phiếu điều tra ý kiến học sinh
• 2.13. Tổng hợp, phân tích số liệu và kết luận
• 3. CHƯƠNG 3
• KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• PHỤ LỤC

Tóm tắt

I. Tổng quan về phát triển kỹ năng giải toán qua bất đẳng thức lượng giác

Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh là một trong những mục tiêu quan trọng trong giáo dục hiện đại. Đặc biệt, việc áp dụng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Bài viết này sẽ khám phá cách thức mà bất đẳng thức lượng giác có thể được sử dụng để nâng cao kỹ năng giải toán cho học sinh.

1.1. Khái niệm về bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác là những mối quan hệ giữa các cạnh và góc của tam giác, thể hiện qua các biểu thức lượng giác. Việc hiểu rõ khái niệm này là bước đầu tiên để học sinh có thể áp dụng vào giải toán.

1.2. Tầm quan trọng của kỹ năng giải toán trong giáo dục

Kỹ năng giải toán không chỉ giúp học sinh trong môn Toán mà còn phát triển khả năng tư duy phản biện và giải quyết vấn đề trong cuộc sống hàng ngày. Việc rèn luyện kỹ năng này thông qua bất đẳng thức lượng giác sẽ tạo nền tảng vững chắc cho học sinh.

II. Những thách thức trong việc dạy học bất đẳng thức lượng giác

Dạy học bất đẳng thức lượng giác trong tam giác gặp nhiều thách thức, từ việc học sinh chưa nắm vững kiến thức cơ bản đến việc áp dụng các phương pháp giải khác nhau. Những khó khăn này cần được nhận diện và giải quyết để nâng cao hiệu quả dạy học.

2.1. Khó khăn trong việc hiểu và áp dụng bất đẳng thức

Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu rõ các khái niệm và cách áp dụng bất đẳng thức lượng giác. Điều này dẫn đến việc giải toán không hiệu quả và thiếu tự tin trong học tập.

2.2. Thiếu phương pháp dạy học hiệu quả

Giáo viên cần có những phương pháp dạy học tích cực và sáng tạo để giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và hiểu rõ hơn về bất đẳng thức lượng giác. Việc áp dụng các phương pháp này sẽ giúp học sinh phát triển kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.

III. Phương pháp dạy học hiệu quả để phát triển kỹ năng giải toán

Để phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh qua bất đẳng thức lượng giác, cần áp dụng các phương pháp dạy học tích cực và sáng tạo. Những phương pháp này không chỉ giúp học sinh hiểu bài mà còn kích thích sự hứng thú trong học tập.

3.1. Sử dụng tình huống thực tiễn trong dạy học

Việc đưa ra các tình huống thực tiễn liên quan đến bất đẳng thức lượng giác sẽ giúp học sinh thấy được sự ứng dụng của kiến thức trong cuộc sống. Điều này không chỉ làm tăng hứng thú mà còn giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn.

3.2. Khuyến khích học sinh tham gia thảo luận nhóm

Thảo luận nhóm là một phương pháp hiệu quả để học sinh trao đổi ý tưởng và giải quyết vấn đề cùng nhau. Qua đó, học sinh sẽ học hỏi được nhiều cách giải khác nhau và phát triển tư duy phản biện.

IV. Ứng dụng thực tiễn của bất đẳng thức lượng giác trong giáo dục

Bất đẳng thức lượng giác không chỉ là lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong giáo dục. Việc áp dụng các bất đẳng thức này trong các bài toán thực tế sẽ giúp học sinh phát triển kỹ năng giải toán một cách toàn diện.

4.1. Ứng dụng trong các kỳ thi học sinh giỏi

Bất đẳng thức lượng giác thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. Việc luyện tập với các bài toán này sẽ giúp học sinh nâng cao khả năng giải quyết vấn đề và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi.

4.2. Tích hợp vào chương trình học toán

Việc tích hợp bất đẳng thức lượng giác vào chương trình học toán sẽ giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về mối liên hệ giữa các kiến thức toán học. Điều này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển kỹ năng giải toán.

V. Kết luận và triển vọng tương lai trong dạy học bất đẳng thức lượng giác

Kết luận, việc dạy học bất đẳng thức lượng giác trong tam giác không chỉ giúp học sinh phát triển kỹ năng giải toán mà còn nâng cao khả năng tư duy và sáng tạo. Tương lai, cần tiếp tục nghiên cứu và áp dụng các phương pháp dạy học mới để nâng cao hiệu quả giáo dục.

5.1. Đề xuất các phương pháp dạy học mới

Cần nghiên cứu và đề xuất các phương pháp dạy học mới, phù hợp với nhu cầu và khả năng của học sinh. Việc này sẽ giúp nâng cao chất lượng dạy học và phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh.

5.2. Tăng cường hợp tác giữa giáo viên và học sinh

Sự hợp tác giữa giáo viên và học sinh là yếu tố quan trọng trong việc phát triển kỹ năng giải toán. Cần tạo ra môi trường học tập tích cực, nơi học sinh có thể tự do trao đổi và học hỏi lẫn nhau.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông và các kỳ thi Olympic toán học, các bài toán bất đẳng thức lượng giác trong tam giác luôn chiếm khoảng 15% đến 20% cấu trúc điểm phân hóa nâng cao. Tuy nhiên, có tới hơn 65% học sinh gặp khó khăn trong việc định hướng thuật giải, đặc biệt là các dạng bất đẳng thức không đối xứng có hệ số biến thiên phức tạp. Thực tế giảng dạy cho thấy các phương pháp biến đổi lượng giác truyền thống thường dẫn đến các biểu thức cồng kềnh, khiến người học dễ rơi vào bế tắc và khó hình thành tư duy khái quát.

Xuất phát từ thực trạng trên, nghiên cứu tập trung giải quyết bài toán cốt lõi: Làm thế nào để hệ thống hóa phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, hàm lõm và lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc một, bậc hai nhằm tối ưu hóa quá trình chứng minh bất đẳng thức lượng giác, qua đó phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh. Mục tiêu cụ thể của đề tài là xây dựng hệ thống bài tập phân loại theo cấu trúc giải tích, thiết kế các tiến trình dạy học tích cực và kiểm chứng hiệu quả thông qua thực nghiệm sư phạm.

Phạm vi nghiên cứu được triển khai đối với chuyên đề bất đẳng thức lượng giác trong tam giác, thực hiện trên đối tượng giáo viên bồi dưỡng và học sinh giỏi khối 11 trong năm học 2018 – 2019 tại Trường Trung học phổ thông Giao Thủy và Trường Trung học phổ thông Giao Thủy B thuộc tỉnh Nam Định. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của công trình thể hiện ở việc cung cấp một bộ công cụ giải toán tường minh, giúp nâng tỷ lệ học sinh làm chủ phương pháp giải toán nâng cao lên trên 80% và giảm khoảng 40% thời gian tìm kiếm lời giải trong các bài toán cực trị hình học lượng giác.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu xây dựng trên nền tảng lý thuyết giải tích hiện đại kết hợp lý luận dạy học môn Toán định hướng phát triển năng lực, tập trung vào các trụ cột khoa học sau:

• Lý thuyết hàm lồi, hàm lõm và đạo hàm cấp hai: Định nghĩa tính lồi trên khoảng xác định thông qua bất đẳng thức cát tuyến và tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai. Hàm số có đạo hàm cấp hai không âm trên khoảng khảo sát là hàm lồi thực sự, cho phép thiết lập các đánh giá biên chính xác cho các hàm lượng giác cơ bản như hàm sin, cosin, tang và cotang.
• Lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc một và bậc hai: Ứng dụng định lý Lagrange mở rộng để khảo sát các hàm số có đạo hàm bậc nhất và bậc hai không đổi dấu, tạo nền tảng chứng minh các bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng có điều kiện góc tam giác.
• Bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức Karamata: Khung công cụ đại số - giải tích mạnh mẽ áp dụng cho bộ ba góc trong tam giác, kết hợp lý thuyết sắp thứ tự độ gần đều của dãy tam giác để so sánh độ lệch giữa tam giác tổng quát và tam giác đều.
• Khái niệm then chốt: Đề tài làm sáng tỏ 5 khái niệm trọng tâm bao gồm năng lực toán học, kỹ năng giải toán bốn bước theo tiếp cận của nhà toán học George Polya, tính lồi lõm của hàm lượng giác, độ gần đều của tam giác và phương pháp dạy học tích cực.

Phương pháp nghiên cứu

Để bảo đảm tính khách quan và độ tin cậy khoa học, quy trình nghiên cứu được thiết kế chặt chẽ qua các cấu phần thực nghiệm:

• Cỡ mẫu và chọn mẫu: Nghiên cứu lựa chọn cỡ mẫu gồm 80 học sinh khối 11 có học lực khá, giỏi môn Toán, chia đều thành hai nhóm tương đương: nhóm thực nghiệm gồm 40 học sinh và nhóm đối chứng gồm 40 học sinh tại hai trường Trung học phổ thông Giao Thủy và Giao Thủy B. Cùng với đó, 12 giáo viên chuyên môn giàu kinh nghiệm tham gia dự giờ và đánh giá chéo. Phương pháp chọn mẫu là chọn mẫu có chủ đích nhằm đánh giá chính xác tác động của can thiệp sư phạm lên đối tượng học sinh có tiềm năng bồi dưỡng học sinh giỏi.
• Nguồn dữ liệu: Dữ liệu thu thập từ kết quả hai bài kiểm tra định lượng độc lập, 80 phiếu khảo sát thái độ học tập của học sinh và 12 bảng tiêu chí quan sát kỹ năng giải toán do giáo viên trực tiếp chấm điểm.
• Phương pháp phân tích và lý do lựa chọn: Nghiên cứu sử dụng phương pháp thống kê toán học trong giáo dục, tính toán điểm trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên và lập đường lũy tích. Phương pháp này được lựa chọn vì phản ánh chân thực mức độ phân hóa nhận thức, cho phép kiểm định độ tin cậy của giả thuyết khoa học và loại bỏ các sai số ngẫu nhiên trong đánh giá sư phạm.
• Thời gian thực hiện: Tiến trình nghiên cứu và thực nghiệm được tiến hành liên tục trong thời gian 9 tháng, từ tháng 9 năm 2018 đến tháng 5 năm 2019.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Quá trình can thiệp sư phạm và phân tích dữ liệu kiểm tra mang lại những phát hiện định lượng nổi bật:

• Gia tăng điểm số và phổ điểm khá giỏi: Ở bài kiểm tra số 1, điểm trung bình của nhóm thực nghiệm đạt 7,45 điểm so với 6,20 điểm của nhóm đối chứng. Đến bài kiểm tra số 2, khoảng cách tiếp tục gia tăng khi nhóm thực nghiệm đạt điểm trung bình 8,35 điểm, vượt trội hơn 1,65 điểm so với nhóm đối chứng (đạt 6,70 điểm). Tỷ lệ học sinh đạt điểm giỏi từ 8,0 trở lên ở nhóm thực nghiệm đạt 67,5%, cao hơn gấp đôi so với tỷ lệ 30,0% ở nhóm đối chứng.
• Nâng cao tốc độ và độ chuẩn xác trong xử lý bài toán: Khoảng 85% học sinh nhóm thực nghiệm nắm vững quy trình bốn bước chuyển đổi bất đẳng thức lượng giác sang việc xét tính lồi của hàm số trên các khoảng xác định. Trong khi đó, chỉ có 37,5% học sinh nhóm đối chứng giải quyết thành công các bài toán dạng không đối xứng.
• Cải thiện tư duy tự học và sáng tạo: Kết quả điều tra ý kiến ghi nhận 92,5% học sinh thuộc nhóm thực nghiệm cảm thấy tự tin và hứng thú với chủ đề bất đẳng thức lượng giác, tăng hơn 45% so với mức độ yêu thích được ghi nhận trong đợt khảo sát trước thực nghiệm.

Thảo luận kết quả

Sự vượt trội của nhóm thực nghiệm bắt nguồn từ việc thay đổi căn bản cách tiếp cận bài toán. Thay vì để học sinh mò mẫm các hằng đẳng thức lượng giác phức tạp, giáo viên đã trang bị tư duy giải tích thông qua việc quy bài toán về việc xét dấu đạo hàm cấp hai $f''(x)$ và sử dụng bất đẳng thức Jensen hoặc Karamata. Cách làm này giúp học sinh nhìn thấu bản chất biến thiên của hàm số trong tam giác.

So với các công trình nghiên cứu trước đây (chẳng hạn như luận văn của tác giả Lê Thị Bình năm 2018 hay Nguyễn Đình Thọ năm 2014) vốn chỉ tập trung vào khía cạnh toán học giải tích thuần túy trên bất đẳng thức đại số, nghiên cứu này đã tích hợp thành công giữa lý thuyết toán học chuyên sâu với phương pháp sư phạm phát triển kỹ năng cho học sinh phổ thông.

Trong báo cáo thực nghiệm, các dữ liệu định lượng được trực quan hóa qua hệ thống bảng thống kê tần số điểm số và biểu đồ đường lũy tích. Khi quan sát biểu đồ đường lũy tích của hai bài kiểm tra, đường lũy tích của nhóm thực nghiệm luôn nằm lệch hẳn về phía bên phải và phía dưới so với đường lũy tích của nhóm đối chứng. Điều này minh chứng một cách khoa học rằng số lượng học sinh đạt điểm trung bình và yếu ở nhóm thực nghiệm giảm thiểu rõ rệt, trong khi mật độ học sinh đạt điểm 8, 9 và 10 tăng vọt.

Đề xuất và khuyến nghị

Nhằm nhân rộng hiệu quả của phương pháp dạy học vận dụng tính chất hàm lồi, nghiên cứu đưa ra 4 giải pháp hành động cụ thể:

• Xây dựng và chuẩn hóa hệ thống bài tập chuyên đề phân tầng: Tổ chuyên môn Toán tại các trường trung học phổ thông cần thiết kế ngân hàng 100 bài toán bất đẳng thức lượng giác phân theo 4 mức độ nhận thức (nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao), tích hợp đầy đủ các bài toán đối xứng và không đối xứng có hướng dẫn sử dụng hàm lồi. Thời gian hoàn thành trong quý I năm 2021.
• Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề: Giáo viên bộ môn Toán cần áp dụng triệt để phương pháp dạy học nêu vấn đề và gợi mở vấn đáp, tổ chức cho học sinh làm việc nhóm 100% trong các tiết học chuyên đề nâng cao, chuyển từ việc cung cấp lời giải sẵn sang rèn luyện tư duy phân tích giả thiết và định hướng thuật toán. Mục tiêu nâng tỷ lệ học sinh chủ động giải toán lên trên 75%.
• Ứng dụng công nghệ và phần mềm toán học trực quan: Nhà trường và giáo viên cần đưa các phần mềm hình học động như GeoGebra vào giảng dạy để mô phỏng trực quan đồ thị hàm lồi, hàm lõm và độ biến thiên của các góc tam giác. Chỉ tiêu đạt 100% bài giảng chuyên đề có sử dụng hình ảnh trực quan sinh động trong năm học tiếp theo.
• Tổ chức các khóa bồi dưỡng nghiệp vụ chuyên sâu cho giáo viên: Sở Giáo dục và Đào tạo phối hợp với các trường đại học sư phạm mở các đợt tập huấn định kỳ 6 tháng một lần, trang bị phương pháp sư phạm dạy học chuyên đề giải tích nâng cao cho ít nhất 150 giáo viên cốt cán trên toàn tỉnh.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Nội dung và kết quả của luận văn mang lại giá trị ứng dụng thiết thực cho 4 nhóm đối tượng chính:

• Giáo viên dạy Toán trung học phổ thông và giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi: Cung cấp tài liệu tham khảo chuẩn mực về phương pháp luận, giáo án mẫu và hệ thống bài tập có lời giải chi tiết phục vụ trực tiếp công tác bồi dưỡng đội tuyển thi học sinh giỏi các cấp.
• Học sinh lớp 10, 11, 12 chuyên Toán và học sinh ôn thi học sinh giỏi: Giúp người học làm chủ phương pháp sử dụng hàm lồi, nâng cao năng lực tự học, tự tin xử lý các bài toán bất đẳng thức lượng giác phức tạp trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và kỳ thi Olympic.
• Sinh viên ngành Sư phạm Toán và học viên cao học: Là tài liệu chuyên khảo giàu giá trị về mặt phương pháp dạy học bộ môn Toán, cung cấp quy trình nghiên cứu thực nghiệm sư phạm mẫu mực từ khâu xây dựng giả thuyết đến xử lý số liệu thống kê.
• Cán bộ quản lý giáo dục và chuyên viên phụ trách chuyên môn: Cung cấp cơ sở thực tiễn để định hướng đổi mới sinh hoạt tổ nhóm chuyên môn, xây dựng khung chương trình chuyên đề tự chọn nâng cao chất lượng giáo dục mũi nhọn tại địa phương.

Câu hỏi thường gặp

• Phương pháp hàm lồi có áp dụng được cho mọi bài toán bất đẳng thức lượng giác không?
  Phương pháp phát huy hiệu quả tối đa đối với các biểu thức có thể quy về dạng tổng hoặc tích các hàm lượng giác đơn biến trên khoảng từ 0 đến pi. Với các bài toán chứa tích phức tạp, học sinh chỉ cần lấy logarit tự nhiên để chuyển về dạng tổng hàm lồi, giúp lời giải ngắn gọn hơn khoảng 50% so với biến đổi đại số thuần túy.
• Bất đẳng thức Jensen và Karamata đóng vai trò gì trong cấu trúc luận văn?
  Bất đẳng thức Jensen là công cụ hạt nhân để giải quyết các bất đẳng thức lượng giác dạng đối xứng thông qua giá trị trung bình các góc. Trong khi đó, bất đẳng thức Karamata kết hợp với khái niệm độ gần đều của tam giác được sử dụng để chinh phục các bài toán không đối xứng có sự sai khác giữa các góc.
• Vì sao đề tài lại lựa chọn thực nghiệm trên học sinh khối 11?
  Chương trình Toán lớp 11 là thời điểm học sinh đã hoàn thiện kiến thức về lượng giác lớp 10 và bắt đầu tiếp cận sâu về đạo hàm, tính đơn điệu của hàm số. Đây là giai đoạn lý tưởng nhất để tích hợp công cụ giải tích vào việc giải quyết các bài toán hình học lượng giác nâng cao.
• Làm thế nào để học sinh nhận diện một bài toán nên dùng tính chất hàm lồi?
  Dấu hiệu nhận biết rõ nét nhất là khi bài toán xuất hiện tổng các hàm số lượng giác cùng dạng của ba góc A, B, C trong tam giác. Nếu đạo hàm cấp hai của hàm thành phần giữ nguyên dấu dương hoặc âm trên khoảng xét, việc áp dụng trực tiếp tính lồi lõm sẽ cho ra kết quả ngay lập tức.
• Đề tài có đóng góp mới nào so với các tài liệu tham khảo hiện hành?
  Khác với các tài liệu luyện thi thường chỉ liệt kê bài tập và lời giải mẫu, công trình này đã chuẩn hóa quy trình sư phạm bốn bước, gắn kết chặt chẽ giữa tri thức giải tích nâng cao với việc phát triển kỹ năng tư duy hai chiều và năng lực tự học của học sinh.

Kết luận

• Hệ thống hóa toàn diện cơ sở lý luận về hàm lồi, hàm lõm, lớp hàm đơn điệu liên tiếp và ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác.
• Xây dựng hệ thống chuyên đề bài tập phong phú, phân loại chặt chẽ từ dạng đối xứng đến không đối xứng phục vụ bồi dưỡng học sinh giỏi.
• Thiết kế tiến trình dạy học tích cực bốn bước giúp học sinh phát triển tư duy logic và kỹ năng giải toán độc lập.
• Kiểm chứng thực nghiệm sư phạm khẳng định tính khả thi vượt trội với điểm số trung bình thực nghiệm đạt 8,35 điểm (cao hơn đối chứng 1,65 điểm).
• Đóng góp nguồn học liệu chuẩn mực, thúc đẩy đổi mới phương pháp giảng dạy môn Toán theo định hướng phát triển năng lực người học.

Đóng góp lớn nhất của luận văn là đã chuyển hóa một công cụ giải tích cao cấp thành phương pháp sư phạm trực quan, dễ tiếp cận cho học sinh phổ thông. Kế hoạch tiếp theo trong giai đoạn 2021 – 2023 là mở rộng phạm vi ứng dụng phương pháp hàm lồi sang các lớp bài toán hình học không gian và đa giác nội tiếp. Các thầy cô giáo và các em học sinh hãy chủ động tải tài liệu chuyên đề, áp dụng ngay quy trình giải toán bằng hàm lồi vào các buổi học nâng cao để tối ưu hóa hiệu quả học tập môn Toán.