Luận án tiến sĩ phân tích dao động phi tuyến bằng phương pháp trung bình có trọng số - Đặng Văn Hiếu, Học viện Khoa học và Công nghệ

Nghiên cứu luận án tiến sĩ về phương pháp phân tích dao động phi tuyến sử dụng tiếp cận trung bình có trọng số. Đánh giá ứng dụng và ưu điểm trong vật lý kỹ

• Tác giả: Đặng Văn Hiếu
• Người hướng dẫn: PGS. Ninh Quang Hải
• Trường học: Học viện Khoa học và Công nghệ
• Chuyên ngành: Cơ học
• Đề tài: Phân tích dao động phi tuyến bằng phương pháp trung bình có trọng số
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng quan về phân tích dao động phi tuyến bằng trung bình có trọng số

Phân tích dao động phi tuyến bằng phương pháp trung bình có trọng số là hướng nghiên cứu tiên tiến trong lĩnh vực cơ học vật rắn, nhằm khắc phục hạn chế của phương pháp trung bình cổ điển. Phương pháp này sử dụng trọng số điều chỉnh để cải thiện độ chính xác khi mô tả hành vi phi tuyến của hệ dao động. Các hệ dao động phi tuyến xuất hiện phổ biến trong kỹ thuật như dầm chịu tải trọng động, cấu trúc vi mô/nano hay hệ thống cơ khí phức tạp. Trung bình có trọng số giúp duy trì thông tin quan trọng bị mất đi trong trung bình cổ điển, đặc biệt hữu ích cho dao động phi tuyến mạnh. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương kết hợp trọng số điều chỉnh đã chứng minh hiệu quả trong việc đơn giản hóa bài toán phi tuyến thành bài toán tuyến tính tương đương, thuận lợi cho phân tích giải tích. Nghiên cứu này kế thừa và phát triển các công trình tiên phong của Azrar, Sedighi cùng các lý thuyết đàn hồi mở rộng như lý thuyết ứng suất cặp hay phi cục bộ.

1.1. Đặc trưng dao động phi tuyến và thách thức phân tích

Dao động phi tuyến thể hiện tính chất phức tạp như tần số phụ thuộc biên độ, hiện tượng cộng hưởng phi tuyến hay đa kỳ hạn. Khác biệt cơ bản so với dao động tuyến tính là sự không tuân theo nguyên lý chồng chất, khiến phương pháp giải tích truyền thống gặp khó khăn. Hệ phi tuyến thường biểu hiện đa dạng như dao động tự do, cưỡng bức hay hỗn loạn, đòi hỏi công cụ phân tích linh hoạt hơn. Phương pháp nhiễu hay khai triển tham số thường chỉ hiệu quả với phi tuyến yếu, trong khi phi tuyến mạnh đòi hỏi kỹ thuật cao hơn. Trung bình cổ điển thất bại khi giá trị trung bình bằng không, dẫn tới mất thông tin quan trọng về hành vi động lực học. Những thách thức này thúc đẩy nghiên cứu phương pháp trung bình có trọng số, đảm bảo khai thác triệt để đặc trưng phi tuyến của hệ.

1.2. Vai trò của trung bình có trọng số trong cơ học vật rắn

Trọng số trong phương pháp trung bình đóng vai trò như bộ lọc điều chỉnh, cân bằng giữa độ chính xác và khả năng giải tích. Khái niệm trọng số lần đầu được đề xuất bởi các nhà nghiên cứu như Mindlin và Aifantis thông qua lý thuyết độ dốc biến dạng, sau đó phát triển thành công cụ phân tích dao động. Khác với trung bình cổ điển, trọng số giúp tái hiện đặc trưng phi tuyến thông qua hàm trọng số điều chỉnh, đảm bảo giải pháp không mất mát thông tin quan trọng. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi phân tích dao động cưỡng bức phi tuyến hay hệ phi tuyến mạnh. Ứng dụng trong phân tích dầm micro/nano thể hiện ưu việt khi lý thuyết đàn hồi cổ điển thất bại do ảnh hưởng kích thước. Trung bình có trọng số trở thành cầu nối giữa giải tích và thực nghiệm, hỗ trợ tối ưu hóa thiết kế hệ cơ khí.

II. Phân tích bài toán dao động phi tuyến và giới hạn phương pháp truyền thống

Bài toán dao động phi tuyến trong cơ học vật rắn thường gặp dưới dạng hệ phương trình vi phân phi tuyến, mô tả chuyển động của vật thể chịu tác động phi tuyến. Các phương pháp truyền thống như phương pháp nhiễu hay cân bằng điều hòa chỉ hiệu quả với phi tuyến yếu, trong khi phi tuyến mạnh đòi hỏi kỹ thuật phức tạp hơn. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cổ điển thay thế hệ phi tuyến bằng hệ tuyến tính tương đương, nhưng thường dẫn tới sai lệch do mất thông tin phi tuyến quan trọng. Đặc biệt, khi giá trị trung bình cổ điển bằng không, giải pháp trở nên không chính xác, không phản ánh đúng hành vi động lực học. Giới hạn này thể hiện rõ trong phân tích dao động cưỡng bức hay hệ phi tuyến có độ cứng biến đổi. Nghiên cứu chỉ ra rằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cổ điển chỉ phù hợp với phi tuyến yếu, trong khi phi tuyến mạnh đòi hỏi phương pháp cải tiến. Chính vì vậy, trung bình có trọng số ra đời như giải pháp thay thế, khắc phục nhược điểm trên.

2.1. Hạn chế của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cổ điển

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cổ điển dựa trên tiêu chuẩn độ lệch trung bình bình phương, thay thế hệ phi tuyến bằng hệ tuyến tính tương đương. Tuy nhiên, phương pháp này thường bỏ qua đặc trưng phi tuyến quan trọng, dẫn tới sai lệch đáng kể. Đặc biệt, khi giá trị trung bình cổ điển bằng không, giải pháp trở nên vô nghĩa do mất hoàn toàn thông tin về hàm phi tuyến. Điều này gây khó khăn trong phân tích dao động cưỡng bức hay hệ phi tuyến mạnh. Sai lệch càng lớn khi biên độ dao động tăng, khiến phương pháp cổ điển không thể ứng dụng cho nhiều bài toán thực tế. Ngoài ra, phương pháp cổ điển không phản ánh đúng ảnh hưởng của kích thước trong cấu trúc micro/nano. Những hạn chế này thúc đẩy nghiên cứu phương pháp trung bình có trọng số, đảm bảo độ chính xác cao hơn.

2.2. Thách thức trong phân tích dao động cưỡng bức phi tuyến

Dao động cưỡng bức phi tuyến thể hiện tính chất phức tạp như hiện tượng cộng hưởng phi tuyến, đa kỳ hạn hay bão hòa biên độ. Phương pháp truyền thống thường thất bại trong việc mô tả chính xác hành vi này do không nắm bắt được tương tác phi tuyến giữa lực kích thích và hệ dao động. Đặc biệt, khi lực kích thích có tần số gần với tần số tự nhiên phi tuyến, hệ có thể biểu hiện hành vi hỗn loạn hay đa kỳ hạn. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cổ điển không đủ linh hoạt để xử lý những tình huống này, dẫn tới giải pháp không chính xác. Ngoài ra, ảnh hưởng của kích thước trong cấu trúc micro/nano càng làm phức tạp bài toán, đòi hỏi phương pháp phân tích tiên tiến hơn. Những thách thức này đòi hỏi sự kết hợp giữa lý thuyết đàn hồi mở rộng và phương pháp trung bình có trọng số.

III. Phương pháp trung bình có trọng số trong phân tích dao động phi tuyến

Phương pháp trung bình có trọng số cải tiến phương pháp tuyến tính hóa tương đương bằng cách bổ sung hàm trọng số điều chỉnh, khắc phục hạn chế của trung bình cổ điển. Hàm trọng số được xây dựng dựa trên đặc trưng phi tuyến của hệ, đảm bảo giải pháp phản ánh đúng hành vi động lực học. Phương pháp này thay thế giá trị trung bình cổ điển bằng tích phân có trọng số, trong đó trọng số điều chỉnh được xác định thông qua tiêu chuẩn tối ưu hóa. Quá trình phân tích bao gồm ba bước: xác định hệ số tuyến tính tương đương, xây dựng hàm trọng số và giải hệ tuyến tính tương đương. Phương pháp trung bình có trọng số đã chứng minh hiệu quả trong phân tích dao động phi tuyến của dầm, tấm hay cấu trúc micro/nano. Nó cho phép mô tả chính xác tần số dao động, biên độ hay hiện tượng cộng hưởng phi tuyến. Ngoài ra, phương pháp này tương thích với các lý thuyết đàn hồi mở rộng như lý thuyết ứng suất cặp hay phi cục bộ, hỗ trợ phân tích cấu trúc kích thước nhỏ.

3.1. Nguyên lý xây dựng hàm trọng số điều chỉnh

Hàm trọng số điều chỉnh được xây dựng dựa trên đặc trưng phi tuyến của hệ, nhằm tái hiện thông tin bị mất trong trung bình cổ điển. Trọng số được xác định thông qua tiêu chuẩn tối ưu hóa, đảm bảo giải pháp phản ánh đúng hành vi động lực học. Quá trình xây dựng bao gồm hai bước: xác định dạng hàm trọng số và tối ưu hóa tham số trọng số. Hàm trọng số thường có dạng mũ, đa thức hay hàm mũ kết hợp, tùy thuộc vào đặc trưng phi tuyến của hệ. Tham số trọng số được tối ưu hóa thông qua phương pháp gradient hay tối ưu hóa toàn cục. Nguyên lý này đảm bảo giải pháp không chỉ chính xác mà còn ổn định. Phương pháp này đã được áp dụng thành công trong phân tích dao động phi tuyến của dầm Euler-Bernoulli hay hệ vi mô.

3.2. Quy trình phân tích hệ dao động phi tuyến bằng phương pháp trung bình có trọng số

Quy trình phân tích bao gồm ba giai đoạn chính: chuẩn bị bài toán, xây dựng mô hình trung bình có trọng số và giải hệ tuyến tính tương đương. Ở giai đoạn đầu, hệ phi tuyến được mô tả bằng phương trình vi phân phi tuyến, kết hợp với điều kiện biên phù hợp. Giai đoạn hai xây dựng mô hình trung bình có trọng số bằng cách thay thế hệ phi tuyến bằng hệ tuyến tính tương đương, trong đó hệ số tuyến tính được xác định thông qua tiêu chuẩn độ lệch trung bình có trọng số. Giai đoạn cuối giải hệ tuyến tính tương đương bằng phương pháp giải tích hay số, thu được tần số dao động, biên độ hay đáp ứng động lực học. Phương pháp này đã chứng minh hiệu quả trong phân tích dao động phi tuyến của dầm chịu tải trọng động hay hệ vi mô chịu ảnh hưởng kích thước.

IV. Kết luận và ứng dụng của phương pháp trung bình có trọng số

Phương pháp trung bình có trọng số đã chứng minh là công cụ hiệu quả trong phân tích dao động phi tuyến, khắc phục hạn chế của phương pháp trung bình cổ điển và tuyến tính hóa tương đương truyền thống. Phương pháp này cho phép mô tả chính xác hành vi phi tuyến của hệ, bao gồm tần số dao động, biên độ hay hiện tượng cộng hưởng phi tuyến. Kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng trung bình có trọng số cải thiện đáng kể độ chính xác so với phương pháp cổ điển, đặc biệt trong phân tích dao động phi tuyến mạnh hay hệ vi mô. Phương pháp này đã được ứng dụng thành công trong phân tích dao động của dầm, tấm hay cấu trúc micro/nano, hỗ trợ tối ưu hóa thiết kế hệ cơ khí. Ngoài ra, phương pháp trung bình có trọng số tương thích với các lý thuyết đàn hồi mở rộng, mở rộng phạm vi ứng dụng trong cơ học vật rắn. Kết quả nghiên cứu được công bố trong các tạp chí chuyên ngành, khẳng định giá trị khoa học và thực tiễn của phương pháp.

4.1. Những đóng góp chính của luận án

Luận án đóng góp quan trọng vào lĩnh vực phân tích dao động phi tuyến thông qua phát triển phương pháp trung bình có trọng số. Đóng góp đầu tiên là xây dựng nguyên lý xây dựng hàm trọng số điều chỉnh, đảm bảo giải pháp phản ánh đúng hành vi phi tuyến. Đóng góp thứ hai là phát triển quy trình phân tích hệ dao động phi tuyến bằng phương pháp trung bình có trọng số, hỗ trợ phân tích đa dạng hệ cơ học. Đóng góp thứ ba là chứng minh hiệu quả của phương pháp trong phân tích dao động phi tuyến của dầm, tấm hay cấu trúc micro/nano. Ngoài ra, luận án cung cấp cơ sở lý thuyết và thực nghiệm cho nghiên cứu tiếp theo, mở rộng ứng dụng phương pháp trong cơ học vật rắn. Những đóng góp này được công bố trong các tạp chí chuyên ngành, khẳng định giá trị khoa học của luận án.

4.2. Triển vọng ứng dụng trong kỹ thuật và công nghệ

Phương pháp trung bình có trọng số hứa hẹn ứng dụng rộng rãi trong phân tích và thiết kế hệ cơ khí, đặc biệt trong lĩnh vực vi cơ điện tử hay hệ thống cơ khí tiên tiến. Nó hỗ trợ tối ưu hóa thiết kế cấu trúc chịu tải trọng động, giảm thiểu rủi ro hỏng hóc do dao động phi tuyến. Trong lĩnh vực vi cơ điện tử, phương pháp này giúp phân tích dao động của cấu trúc micro/nano, hỗ trợ thiết kế linh kiện vi cơ. Ngoài ra, phương pháp trung bình có trọng số có thể tích hợp vào phần mềm mô phỏng cơ học, hỗ trợ kỹ sư trong phân tích hệ thống phức tạp. Triển vọng ứng dụng trong giáo dục và nghiên cứu cũng rất rộng mở, khi phương pháp này trở thành công cụ giảng dạy và nghiên cứu trong lĩnh vực cơ học vật rắn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1. Giới thiệu về dao động phi tuyến và một số phương pháp giải tích gần đúng 1. Giới thiệu về dao động phi tuyến Chúng ta biết rằng dao động phi tuyến là một hiện tượng hay gặp trong nhiều lĩnh vực. Dao động phi tuyến có thể xảy ra trong nhiều hệ thực từ những hệ có kích thước vĩ mô (macro) đến những hệ có kích thước vi mô (micro/nano).

Với kích thước vĩ mô, đó là dao động của các máy móc, các cây cầu, các tòa nhà cao tầng, các phương tiện giao thông,.Còn với kích thước vi mô, có thể kể đến đó là dao động của các ống nano các bon, các hệ vi cơ điện tử (Micro-/Nano-electromechanical systems - MEMS/NEMS),.Thông thường, một hiện tượng dao động thường được mô tả về mặt toán học bởi một hoặc một hệ phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo hàm riêng. Khi phương trình vi phân hoặc đạo hàm riêng mô tả dao động của hệ là phi tuyến, ta nói dao động là phi tuyến. Dao động tuyến tính thực tế chỉ là sự lý tưởng hóa của một dao động phi tuyến mà chúng ta gặp trong thực tế và kỹ thuật. Một ví dụ đơn giản nhất về dao động đó là chuyển động của con lắc toán học bao gồm một vật (kích thước rất nhỏ) với khối lượng m được buộc vào đầu một sợi dây với chiều dài L, đầu còn lại của sợi dây được buộc vào điểm cố định (Hình 1.

Khi đó, phương trình chuyển động của con lắc được cho bởi:   2 sin   0, 2  L / g (1. Con lắc toán học 6 Trong phương trình (1.1),  là góc lệch giữa sợi dây và phương thẳng đứng và g là gia tốc trọng trường. Rõ ràng phương trình (1.1) là phương trình vi phân phi tuyến. Dao động tuyến tính của con lắc toán học là sự lý tưởng hóa của dao động phi tuyến được mô tả bởi phương trình (1.1) khi ta xem xét chuyển động nhỏ quanh vị trí cân bằng θ = 0.

Khi đó, ta có thể sử dụng xấp xỉ: sin    (1.2) Với xấp xỉ (1.2), phương trình (1.1) trở thành phương trình tuyến tính như sau:   2  0 (1.3) Một hiện tượng dao động xuất hiện trong mạch điện gồm một cuộn tự cảm L và tụ điện với điện dung C như mô tả trong Hình 1. Phương trình dao động của mạch điện có dạng: d 2 i  0 (1.4) dt 2 C trong đó,  là từ thông, i là cường độ dòng điện, ta biết rằng: i  a   b 3 (1. Mạch điện với cuộn cảm và tụ điện Thay quan hệ (1.5) vào phương trình (1.4), ta được phương trình dao động xuất hiện trong mạch điện như sau: d 2 1 2   a  b3   0 (1.6) dt C Rõ ràng, phương trình (1.6) cũng là phương trình vi phân phi tuyến. Hay một ví dụ về hiện tượng dao động của cấu trúc ở quy mô vi mô đó là dao động của ống nano các bon truyền tải chất lỏng (carbon nanotubes conveying fluid), dịch chuyển ngang của ống nano các bon được mô tả bởi phương trình sau đây [3]: 7 4w 2w  EA L  w 2   2 w 2  w 2 2w EI 4  (m  m f ) 2  kw      dx  2  m f V  2m f V 0 x t 2 L   0    x  x x 2 t x (1.

Mô hình ống nano truyền tải chất lỏng Trong phương trình (1.7), w là dịch chuyển ngang của ống nano, E là mô đun đàn hồi của ống nano, A là diện tích mặt cắt ngang của ống, L là chiều dài của ống, I là mô men quán tính của diện tích mặt cắt ngang của ống, m là khối lượng trên một đơn vị chiều dài của ống, mf là khối lượng trên một đơn vị chiều dài của chất lỏng trong ống, V là vận tốc của chất lỏng và k là hệ số nền đàn hồi tuyến tính. Khác với các phương trình (1.6), phương trình (1.7) là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Đối với dao động tuyến tính, nghiệm của bài toán thỏa mãn nguyên lý chồng chất nghiệm và nghiệm giải tích chính xác dễ dàng tìm được. Còn đối với dao động phi tuyến, việc tìm nghiệm chính xác là rất khó và chỉ có thể thực hiện được đối với một lớp rất nhỏ của bài toán này.

Các phương pháp số được xem là một công cụ khá hữu hiệu để phân tích đáp ứng của các bài toán dao động phi tuyến. Tuy nhiên, đặc trưng quan trọng nhất của bài toán dao động phi tuyến đó là quan hệ biên độ - tần số của dao động không thể tìm được nếu sử dụng các phương pháp số. Sự phát triển của các phương pháp giải tích gần đúng đã cho chúng ta một công cụ hiệu quả để có thể quan sát được đầy đủ đáp ứng của bài toán dao động phi tuyến. Một số phương pháp giải tích để tìm nghiệm gần đúng của bài toán dao động phi tuyến sẽ được giới thiệu trong phần dưới đây.

Một số phương pháp giải tích gần đúng Sự phát triển của các phương pháp giải tích gần đúng cho ta một công cụ hữu hiệu để có thể quan sát được đầy đủ một hiện tượng dao động phi tuyến. Có rất nhiều phương pháp giải tích gần đúng khác nhau để tìm nghiệm của bài toán dao động phi tuyến, dưới đây liệt kê một số phương pháp giải tích gần đúng điển hình: 1. Phương pháp nhiễu Phương pháp nhiễu (the perturbation method) dựa trên việc giả thiết nghiệm của phương trình vi phân là tổng của một vài số hạng đầu tiên trong khai triển tiệm cận. Các phương pháp nhiễu cổ điển được giới thiệu trong các sách về dao động phi tuyến [4, 5, 6 - 9].

Hạn chế của các phương pháp nhiễu cổ điển là nghiệm giải tích thu được chỉ chính xác đối với các bài toán phi tuyến yếu. Một số phát triển của phương pháp nhiễu có thể kể đến đó là phương pháp nhiễu tham số (the Parameterized Perturbation method) [10], phương pháp nhiễu đồng luân (the Homotopy Perturbation method) [11], phương pháp nhiễu lặp (the Iteration Perturbation method ) [12], các phương pháp này được đề xuất bởi J. Nghiệm xấp xỉ bậc cao của dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ được tìm bởi Beléndez và cộng sự [13] nhờ cải tiến phương pháp nhiễu đồng luân sửa đổi. Độ chính xác của nghiệm của bài toán dao động phi tuyến đã được cải thiện đáng kể khi sử dụng các phương pháp nhiễu tham số, nhiễu đồng luân và nhiễu lặp.

Tuy nhiên, một nhược điểm của các phương pháp nhiễu đó là sự phức tạp trong thủ tục tìm nghiệm đặc biệt là đối với những hệ dao động mà số hạng phi tuyến có dạng phức tạp (dạng hữu tỉ hoặc với số mũ hữu tỉ) [13]. Phương pháp cân bằng điều hòa Phương pháp cân bằng điều hòa (the Harmonic Balance method) được biết đến như là phương pháp Fourier-Galerkin, dựa trên việc khai triển nghiệm của bài toán dao động phi tuyến dưới dạng chuỗi Fourier, phương trình vi phân được đưa về một hệ các phương trình đại số để tìm đáp ứng biên độ - tần số của bài toán dao động. Phương pháp cân bằng điều hòa được sử dụng phổ biến để phân tích các bài toán dao động phi tuyến tiền định của hệ một bậc tự do, chẳng hạn như Mickens và cộng sự [14, 15]. Các bài toán dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ được nghiên cứu bởi Mickens sử dụng phương pháp cân bằng điều hòa [16 - 19].

Hu và Tang [20] sử dụng 9 phương pháp cân bằng điều hòa để phân tích dao động Duffing – điều hòa. Razzak [21] đã áp dụng phương pháp cân bằng điều hòa để tìm nghiệm xấp xỉ bậc cao của dao động phi tuyến với lực phục hồi có dạng hữu tỉ và vô tỉ. Beléndez và cộng sự [22] đã phân tích dao động phi tuyến của một khối lượng gắn vào một sợi dây đàn hồi được kéo căng sử dụng phương pháp cân bằng điều hòa, phương trình chuyển động của hệ là phương trình vi phân phi tuyến với lực phục hồi có dạng vô tỉ. Nghiệm xấp xỉ cho các hệ dao động bảo toàn được đưa ra bởi Beléndez và cộng sự sử dụng phương pháp cân bằng điều hòa sửa đổi [23].

Stupnicka [24] đã nghiên cứu bài toán cộng hưởng kết hợp của hệ dao động phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động tham số sử dụng phương pháp cân bằng điều hòa. Nghiệm xấp xỉ bậc cao của các hệ dao động phi tuyến mạnh một bậc tự do được tìm bởi Hosen và cộng sự [25] sử dụng phương pháp cân bằng điều hòa sửa đổi. Wu và cộng sự [26] đã phân tích dao động Duffing dạng giếng đôi nhờ kết hợp phương pháp Newton và phương pháp cân bằng điều hòa. Với xấp xỉ bậc nhất, phương pháp cân bằng điều hòa cho kết quả thường không chính xác.

Những xấp xỉ bậc cao hơn đã cải thiện đáng kể sự chính xác của phương pháp này, tuy nhiên với xấp xỉ bậc cao hơn đòi hỏi phải giải một hệ khá phức tạp các phương trình đại số để tìm tần số của bài toán dao động [21, 25]. Phương pháp khai triển tham số Phương pháp khai triển tham số (the Parameter Expansion method) có thể biết đến như là phương pháp tham số bookkeeping (the Bookkeeping Parameter method) [27] và phương pháp Lindstedt–Poincare sửa đổi (the modified Lindstedt–Poincare method) [28-30] được giới thiệu bởi J. Các phương pháp này dựa trên việc khai triển các tham số trong phương trình vi phân, thay vì tần số phi tuyến, thành chuỗi lũy thừa của các tham số mở rộng để tránh sự xuất hiện của các số hạng trường kỳ (secular terms), từ đó quan hệ biên độ - tần số của dao động có thể thu được. Ozis và Yildirm [31] đã tìm nghiệm xấp xỉ của dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ sử dụng phương pháp Lindstedt–Poincare sửa đổi.

Phương pháp khai triển tham số chỉ thích hợp đối với những hệ phi tuyến với lực phục hồi có dạng đa thức; còn đối với những hệ phi tuyến với lực phục hồi có dạng hữu tỉ và vô tỉ, phương pháp khai triển tham số thường ít được sử dụng bởi sự phức tạp của phương pháp này trong thủ tục tìm nghiệm. Phương pháp năng lượng Trong các phương pháp năng lượng, phương pháp cân bằng năng lượng (the Energy Balance method - EBM) là phương pháp được sử dụng phổ biến, phương pháp này được giới thiệu bởi J.