Tổng quan về luận án

Biến đổi Fourier phân thứ (Fractional Fourier Transform – FrFT) lần đầu tiên được N. Wiener giới thiệu vào năm 1929, song phải đến năm 1980, V. Namias mới hệ thống hóa lý thuyết một cách toàn diện nhằm giải quyết các bài toán phương trình vi phân và đạo hàm riêng trong cơ học lượng tử [26]. Tiếp nối đó, A. Kerr [24] phát triển phép tính toán tử cho biến đổi này, trong khi suốt thập niên 1990, một khối lượng lớn nghiên cứu về toán tử Fourier phân thứ đã được công bố để giải quyết các vấn đề trong xử lý tín hiệu và quang học [1, 2, 25, 29, 32].

Mặc dù lý thuyết tích phân và hàm chập cho biến đổi Fourier cổ điển đã được xây dựng vững chắc, lý thuyết chập cho biến đổi Fourier phân thứ vẫn chưa đạt được độ sâu sắc và đa dạng tương đương, đặc biệt đại số Wiener của nó chưa được đặt nền móng đầy đủ. Các định nghĩa chập được L. Deng và cộng sự [13], D. Wei và cộng sự [42], A. Saxena [37] đề xuất mới được xây dựng yếu trong không gian L¹(ℝ) và đại số Wiener, còn thiếu tính nhất quán và chưa khai thác triệt để tiềm năng ứng dụng trong thiết kế bộ lọc và lấy mẫu tín hiệu.

Luận án tiến sĩ "Chập liên kết với biến đổi Fourier phân thứ và ứng dụng" (Pham Thi Thao, 2019, Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội) lấp đầy khoảng trống nghiên cứu này bằng cách xây dựng hệ thống các lớp chập mới cho biến đổi Fourier phân thứ với tính chất phân tích chặt chẽ và ứng dụng cụ thể vào xử lý tín hiệu hiện đại.

Câu hỏi nghiên cứu:

  1. Làm thế nào xây dựng các chập không có hàm trọng và chập có hàm trọng cho biến đổi Fourier phân thứ thỏa mãn công thức nhân tử hóa?
  2. Các bất đẳng thức Young đối với các chập mới có dạng tổng quát như thế nào trong các không gian hàm cụ thể Lᵖ(ℝ)?
  3. Các chập mới có thể ứng dụng vào bài toán khôi phục tín hiệu băng tần hạn trong miền Fourier phân thứ và thiết kế bộ lọc nhân như thế nào?

Khung lý thuyết tích hợp lý thuyết hàm suy rộng (không gian Schwartz, hàm Dirac delta), lý thuyết toán tử Fourier phân thứ (V. Namias, 1980), lý thuyết chập cổ điển và bất đẳng thức Young, lý thuyết lấy mẫu Shannon-Nyquist, và phân bố Wigner trong không gian pha thời gian-tần số.

Phạm vi nghiên cứu bao gồm biến đổi Fourier phân thứ với góc α ∉ πℤ, các chập liên kết trong không gian L¹(ℝ) và Lᵖ(ℝ), tín hiệu băng tần hạn trong miền Fourier phân thứ và lọc nhân trong miền này. Mô phỏng số được lập trình trên phần mềm Matlab.

Literature Review và Positioning

Dòng nghiên cứu thứ nhất tập trung vào định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier phân thứ: Bargmann (1961) và De Bruijn (1973) nghiên cứu các tính chất phổ quát; R. Khare (1974) mở rộng sang ứng dụng quang học; V. Namias [26] (1980) xây dựng lại toàn diện thông qua hàm Hermite và trị riêng; A. Kerr [24] tiếp tục phát triển phép tính toán tử. Quan trọng là biến đổi Fourier phân thứ là trường hợp đặc biệt của biến đổi hình t tuyến tính (Linear Canonical Transform – LCD), tạo ra mối liên hệ với nghiên cứu của Ding, Pei và các cộng sự.

Dòng nghiên cứu thứ hai về lý thuyết chập và tích phân: Zayed [46] (1998) đề xuất định nghĩa chập cho biến đổi Fourier phân thứ với công thức nhân tử hóa; Wei và cộng sự [42] (2009) xây dựng chập tổng quát thông qua hàm dịch chuyển y(t_θτ) sử dụng nhân của biến đổi; L. Deng và cộng sự [13] xây dựng chập cho LCD. A. Saxena [37] (2011) đề xuất công thức chập (x⊖y)(t) = ∫x(τ)y(t−τ)e^{iτ(τ−t)cotα}dτ thỏa mãn F_α(x⊖y)(u) = √(2π/(1−icotα)) · e^{−iu²cotα/2}·X_α(u)·Y_α(u). Tuy nhiên, các định nghĩa chập này còn thiếu hệ thống và độ sâu, cụ thể: Almeida [3] đòi hỏi điều kiện W∩L¹(ℝ) nhưng không tường minh, còn [42] và [13] xây dựng cho LCD tổng quát mà thiếu phân tích chi tiết cho FrFT.

Mâu thuẫn cốt lõi trong lĩnh vực: Quan điểm của Zayed [46] định nghĩa chập không có hàm trọng nhưng công thức nhân tử hóa chứa nhân tử e^{−iu²cotα/2} không thuần túy, trong khi quan điểm của Saxena [37] đạt công thức nhân tử hóa gọn hơn nhưng phụ thuộc vào phân bố Wigner phức tạp.

Dòng thứ ba về lấy mẫu và khôi phục tín hiệu trong miền Fourier phân thứ: Xia [45] lần đầu chứng minh định lý lấy mẫu cho tín hiệu băng tần hạn trong miền FrFT bằng phân tích tín hiệu thành tích của hàm chirp với tín hiệu băng tần hạn theo nghĩa thông thường, rồi áp dụng Shannon-Nyquist; Zayed và Garcia [47] (1999) đưa ra kết quả mới sử dụng biến đổi Hilbert cho phép lấy mẫu với tỷ lệ bằng nửa Nyquist; Tao và cộng sự [39] thảo luận tỷ lệ lấy mẫu tối ưu; Stern [38] mở rộng cho LCD.

So sánh quốc tế: Nghiên cứu của Pei và Ding (Đài Loan, 2000-2003) tập trung phát triển thuật toán số FrFT nhanh nhưng không đi sâu lý thuyết chập; Ozaktas, Zalevsky và Kutay (Thổ Nhĩ Kỳ, 2001) trong monograph "The Fractional Fourier Transform" phân tích toàn diện ứng dụng quang học nhưng lý thuyết chập còn sơ lược. Luận án nghiên cứu bổ sung khoảng trống này theo hướng phân tích toán học nghiêm ngặt.

Đóng góp lý thuyết và khung phân tích

Đóng góp cho lý thuyết

Đóng góp lý thuyết quan trọng nhất là xây dựng hệ thống lý thuyết chập mới cho biến đổi Fourier phân thứ, bao gồm ba lớp chính:

Lớp 1 – Chập không có hàm trọng (Định lý 2.1): Với f, g ∈ L¹(ℝ), chập được định nghĩa bởi $$\left(f \underset{F_\alpha}{\star} g\right)!\left(s/\sqrt{2}\right) = \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{\pi}}\int_{\mathbb{R}} e^{i(au^2+a(s-u)^2-as^2/2)} f(u)g(s-u),du$$ thỏa mãn công thức nhân tử hóa thuần túy F_αf⋆g = F_αf·F_αg. Đây là mở rộng của phép chập Fourier cổ điển với tính giao hoán và tính phân phối được chứng minh chặt chẽ.

Lớp 2 – Chập có hàm trọng dạng chirp: Mở rộng có hàm trọng e^{iaφ(t)} tích hợp tính chất hàm chirp (tuyến tính) x(t) = exp[iπ(χt² + 2ξt)], đặc biệt phù hợp với xử lý tín hiệu tần số biến thiên theo thời gian.

Lớp 3 – Chập có hàm trọng liên quan đến hàm Gauss và hàm Hermite: Sử dụng hàm Hermite φₙ(x) = e^{−x²/2}Hₙ(x) (với Hₙ(x) = (−1)ⁿeˣ² dⁿ/dxⁿ e^{−x²}) và hàm Gauss, lớp chập này kế thừa tính chất hệ hàm riêng F_αφₙ = e^{−inα}φₙ(x) của toán tử Fourier phân thứ, tạo cấu trúc đại số phong phú.

Lý thuyết được mở rộng so với công trình của Zayed [46] và Saxena [37] ở chỗ bất đẳng thức Young tổng quát được thiết lập cho cả ba lớp chập trong không gian Lᵖ(ℝ), Lᵍ(ℝ), Lʳ(ℝ) với 1/p + 1/q = 1/r + 1, tức là: ‖f⋆g‖ᵣ ≤ C·‖f‖ₚ·‖g‖ᵩ với hằng số C tường minh. Kết quả này xây dựng cấu trúc đại số Banach giao hoán trên L¹(ℝ) với phép toán chập mới, điều mà các công trình trước chưa đạt được đầy đủ.

Khung phân tích độc đáo

Khung phân tích tích hợp ba lý thuyết: (1) Lý thuyết hàm suy rộng (Schwartz, phân bố Dirac), (2) Lý thuyết biến đổi Fourier phân thứ và phân bố Wigner, (3) Lý thuyết chập Fourier cổ điển và bất đẳng thức Young. Phân bố Wigner W_x(t,f) = ∫x(t+τ/2)x*(t−τ/2)e^{−2πifτ}dτ đóng vai trò trung tâm trong phân tích tín hiệu thời gian-tần số, với tính chất W_{X_α}(u,v) = W_x(u·cosα − v·sinα, u·sinα + v·cosα) cho thấy biến đổi Fourier phân thứ tương đương phép quay góc α trong mặt phẳng Wigner.

Điều kiện biên được xác định rõ: kết quả áp dụng cho α ∉ πℤ (sinα ≠ 0); với α = π/2 biến đổi Fourier phân thứ trở thành biến đổi Fourier cổ điển; với α = 0 là toán tử đồng nhất; với α = ±π là toán tử hặn lẽ f(−x).

Phương pháp nghiên cứu tiên tiến

Thiết kế nghiên cứu

Triết học nghiên cứu theo chủ nghĩa thực chứng toán học (Mathematical Positivism) kết hợp với phương pháp phân tích hàm và lý thuyết toán tử, không sử dụng khảo sát hay dữ liệu thực nghiệm ngoài mô phỏng số. Thiết kế nghiên cứu thuần túy lý thuyết-tính toán, với ba hướng tương ứng ba chương của luận án, có cấu trúc deductive rõ ràng từ định nghĩa → định lý → chứng minh → ứng dụng.

Quy trình nghiên cứu

Phương pháp phân tích hàm: Sử dụng lý thuyết không gian Schwartz S(ℝ), không gian đối ngẫu S'(ℝ), các định lý biểu thị Riesz cho không gian Hilbert L²(ℝ) và định lý hội tụ Lebesgue. Phương pháp biến đổi tích phân phân kỳ (integral by parts), thay biến s := u + v, và công thức Mehler: $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{-in\alpha}H_n(p)H_n(x)}{2^n n!\sqrt{\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{1-e^{-2i\alpha}}}\exp!\left(\frac{2xpe^{-i\alpha}-e^{-2i\alpha}(x^2+p^2)}{1-e^{-2i\alpha}}\right)$$ được dùng để dẫn xuất biểu diễn tích phân của FrFT.

Phương pháp lý thuyết toán tử: Toán tử Fourier phân thứ F_α = e^{−iαA} với A = −(1/2)d²/dx² + (1/2)x² − 1/2, phân tích phổ qua hệ hàm riêng Hermite, và tính toán hàm trọng tường minh.

Phương pháp lấy mẫu-khôi phục: Chuỗi xung Dirac s_δ(t) = Σδ(t−nT) với biến đổi Fourier Fs_δ = (√2π/T)Σδ(f−2πn/T) là nền tảng; định lý Shannon-Nyquist được mở rộng cho tín hiệu x(t) thỏa mãn X_α(u) = 0 khi |u| > Ωₕ thông qua phân tích x(t) = e^{−iat²}g(t) với g băng tần hạn theo nghĩa Fourier cổ điển.

Tam giác hóa phương pháp: Kết hợp chứng minh lý thuyết (deductive proof), ví dụ minh họa tính toán tường minh, và mô phỏng số Matlab để xác nhận kết quả.

Data và phân tích

Mô phỏng số thực hiện trên Matlab với tín hiệu chirp x(t) = exp(−π(t−4)²) bị biến dạng bởi nhiễu động tính n(t) = exp[−iπt²]·rect(t/16), trong đó rect(t/16) = 1 khi |t| < 8 và = 0 khi |t| ≥ 8. Biến đổi Fourier phân thứ góc π/4 phân tách tín hiệu gốc và nhiễu trong miền FrFT, cho phép lọc bằng bộ lọc nhị phân đơn giản; biến đổi ngược F_{−π/4} phục hồi tín hiệu mong muốn với sai số MSE giảm đáng kể so với lọc trong miền Fourier thông thường.

Phát hiện đột phá và implications

Những phát hiện then chốt

Phát hiện 1 – Bất đẳng thức Young tổng quát cho chập không có hàm trọng: Với 1/p + 1/q = 1/r + 1 và f ∈ Lᵖ(ℝ), g ∈ Lᵍ(ℝ), thì ‖f⋆g‖ᵣ ≤ C·‖f‖ₚ·‖g‖ᵩ với hằng số C tường minh phụ thuộc vào góc α. Điều này mở rộng kết quả Young cổ điển [6] cho biến đổi Fourier phân thứ và cho phép xây dựng đại số Banach giao hoán (L¹(ℝ), ⋆_{F_α}).

Phát hiện 2 – Công thức nghiệm hiện cho phương trình tích phân dạng chập: Các phương trình tích phân ∫K(t,s)f(s)ds = g(t) với nhân Hermite được giải tường minh thông qua kỹ thuật chập mới. Phương trình tích phân với nhân Hermite – lớp bài toán chưa có lời giải tường minh trước đây – nay có thể biểu diễn nghiệm qua chập Fourier phân thứ và phép nghịch đảo toán tử.

Phát hiện 3 – Định lý lấy mẫu và khôi phục cải tiến: Công thức khôi phục tín hiệu băng tần hạn trong miền FrFT góc α được chứng minh và minh họa số. Công thức của Zayed và Garcia [47] (1999) được mở rộng thông qua kỹ thuật chập mới, giảm yêu cầu tính toán so với phương pháp biến đổi Hilbert nguyên gốc.

Phát hiện 4 – Thiết kế bộ lọc nhân trong miền Fourier phân thứ: Bộ lọc nhân trong miền FrFT được xây dựng thông qua chập trong miền thời gian, với thời gian tính toán O(N logN) – tương đương bộ lọc Wiener trong Fourier cổ điển nhưng hiệu quả hơn cho tín hiệu không dừng. Mô phỏng Matlab xác nhận phân tách tín hiệu gốc và nhiễu khi hai thành phần chồng lấp hoàn toàn trong cả miền thời gian và miền tần số cổ điển, với α = π/4 là góc tối ưu cho trường hợp minh họa.

Phát hiện phản trực giác: Một tín hiệu băng tần hạn theo nghĩa Fourier phân thứ góc α khẳng định không thể là tín hiệu băng tần hạn theo nghĩa FrFT góc β ≠ ±α + nπ (n nguyên). Điều này dẫn đến kết luận đã biết nhưng được chứng minh nghiêm ngặt: một tín hiệu không thể đồng thời là thời gian hạn và băng tần hạn.

Implications đa chiều

Lý thuyết: Các kết quả bổ sung vào lý thuyết đại số Banach (không gian Lᵖ với phép toán chập mới), lý thuyết phân tích Fourier (mở rộng công thức Parseval và bất đẳng thức Young cho biến đổi phân thứ), và lý thuyết toán tử tích phân (nghiệm tường minh cho lớp phương trình nhân Hermite).

Thực tiễn: Bộ lọc nhân FrFT với thời gian O(N logN) có khả năng thay thế bộ lọc Wiener thích nghi O(N²) trong xử lý tín hiệu radar, watermarking, nhận dạng mẫu và mạng nơ ron học sâu xử lý tín hiệu chirp. Góc α tối ưu hóa MSE có thể được lựa chọn theo phân bố Wigner của tín hiệu cụ thể.

Chính sách: Kết quả có thể ứng dụng trong thiết kế hệ thống radar hiện đại (xử lý xung chirp) và hệ thống thông tin quang học, với hàm ý cho đầu tư nghiên cứu hạ tầng tính toán hiệu năng cao.

Limitations và Future Research

Hạn chế 1: Lý thuyết chập được xây dựng chủ yếu trong L¹(ℝ) và Lᵖ(ℝ) với p hữu hạn; không gian L^∞(ℝ) và các không gian hàm có trọng Sobolev chưa được nghiên cứu đầy đủ.

Hạn chế 2: Mô phỏng số giới hạn ở các ví dụ tín hiệu chirp tuyến tính và hàm Gaussian; chưa kiểm nghiệm trên dữ liệu thực nghiệm thu thập từ hệ thống radar hoặc quang học.

Hạn chế 3: Điều kiện biên α ∉ πℤ (sinα ≠ 0) loại trừ các trường hợp giới hạn α → 0 và α → π không được xử lý liên tục trong một số định lý chập có hàm trọng, mặc dù giới hạn liên tục được đảm bảo ở cấp độ toán tử.

Hạn chế 4: Chưa đặt kết quả trong ngữ cảnh biến đổi hình t tuyến tính (LCD) tổng quát với bốn tham số (a, b, c, d), mà chỉ dừng ở trường hợp hai tham số của FrFT.

Hướng nghiên cứu tương lai:

  1. Mở rộng lý thuyết chập sang không gian hàm có trọng và không gian Modulation để áp dụng trong phân tích đa phân giải.
  2. Phát triển chập cho biến đổi hình t tuyến tính tổng quát (LCD với bốn tham số), hợp nhất các kết quả của [13] và [42].
  3. Xây dựng thuật toán FrFT nhanh rời rạc (DFrFT) dựa trên cấu trúc chập mới, tối ưu cho ứng dụng thời gian thực.
  4. Ứng dụng lý thuyết chập FrFT trong mạng nơ ron tích chập phân thứ (Fractional Convolutional Neural Network) cho phân loại tín hiệu phi dừng.
  5. Nghiên cứu biến đổi wavelet phân thứ và lý thuyết chập tương ứng để giải quyết bài toán nén tín hiệu y sinh.

Tác động và ảnh hưởng

Về tác động học thuật, luận án đóng góp vào ít nhất ba dòng tài liệu quốc tế: lý thuyết biến đổi Fourier phân thứ, lý thuyết chập và đại số Banach, và lý thuyết lấy mẫu tín hiệu. Các kết quả đăng trong tạp chí quốc tế ISI có tiềm năng được trích dẫn trong các nghiên cứu về xử lý tín hiệu số nâng cao, đặc biệt trong bối cảnh ứng dụng AI và học sâu xử lý tín hiệu ngày càng mở rộng.

Về tác động ngành: các lĩnh vực viễn thông (xử lý chirp trong 5G/radar), y sinh (phân tích EEG/ECG phi dừng), và mật mã học (watermarking dựa trên FrFT) đều có thể hưởng lợi từ bộ công cụ chập mới với độ phức tạp O(N logN). Trong bối cảnh radar hiện đại sử dụng xung chirp làm tín hiệu cơ sở, bộ lọc FrFT hiệu quả có ý nghĩa kinh tế-quốc phòng rõ ràng.

Đối tượng hưởng lợi

Nghiên cứu sinh và nhà toán học: Luận án cung cấp khung lý thuyết chặt chẽ cho việc xây dựng chập trong các không gian hàm tổng quát, với phương pháp chứng minh chi tiết có thể tái sử dụng cho các biến đổi phân thứ khác (Laplace, Hartley, Mellin phân thứ). Đặc biệt, kỹ thuật đặt P_{(a,b)}(x,y) := ax² − 2abxy + ay² để đơn giản hóa ký hiệu là một đóng góp phương pháp luận có thể nhân rộng.

Kỹ sư xử lý tín hiệu: Công thức bộ lọc nhân trong miền FrFT với thời gian tính toán O(N logN) và ví dụ Matlab minh họa tường minh cung cấp nền tảng triển khai thực tế cho hệ thống nhúng và xử lý thời gian thực.

Nhà nghiên cứu quang học và radar: Định lý lấy mẫu cải tiến cho tín hiệu băng tần hạn trong miền FrFT mở ra khả năng giảm tỷ lệ lấy mẫu xuống nửa Nyquist (theo Zayed-Garcia [47]) nhờ kết hợp biến đổi Hilbert, tiết kiệm băng thông đáng kể trong hệ thống thực.

Nhà hoạch định chính sách R&D: Kết quả chứng minh rằng đầu tư vào toán học ứng dụng thuần túy (lý thuyết biến đổi phân thứ) tạo ra công cụ trực tiếp cho kỹ thuật tín hiệu hiện đại, ủng hộ chính sách tài trợ nghiên cứu cơ bản định hướng ứng dụng.

Câu hỏi chuyên sâu

1. Đóng góp lý thuyết độc đáo nhất? Xây dựng cấu trúc đại số Banach giao hoán (L¹(ℝ), ⋆_{F_α}) với bất đẳng thức Young tổng quát ‖f⋆g‖ᵣ ≤ C·‖f‖ₚ·‖g‖ᵩ trong Lᵖ(ℝ)⋆Lᵍ(ℝ) ⊆ Lʳ(ℝ). Điều này mở rộng lý thuyết đại số Banach của Gelfand và lý thuyết chập Young cổ điển [6] sang lớp toán tử Fourier phân thứ.

2. Đổi mới phương pháp? So với Zayed [46] dùng tính toán tích phân trực tiếp và Saxena [37] dùng hàm dịch chuyển phức tạp y(t_θτ), luận án sử dụng đặt biến s := u+v cùng tính chất nhân tử hóa F_αf⋆g = F_αf·F_αg – một công thức nhân tử hóa thuần túy mà Zayed và Saxena chưa đạt được. Kỹ thuật ký hiệu Ech₋₁(t) := e^{iat²} và Ech₋₂(t) := e^{−iat²/2} chuẩn hóa phép tính, giảm độ phức tạp ký hiệu đáng kể.

3. Phát hiện bất ngờ nhất? Tín hiệu băng tần hạn trong miền FrFT góc α với θ_h ≠ 0 không thể là băng tần hạn theo FrFT góc β ≠ ±α + nπ, một kết quả thoạt nhìn mâu thuẫn với tính liên tục của tham số α nhưng thực chất phản ánh tính không giao hoán của phép quay trong không gian pha Wigner.

4. Khả năng tái lập? Toàn bộ chứng minh lý thuyết được trình bày chi tiết từng bước trong ba chương. Mã Matlab cho mô phỏng lọc nhiễu (tín hiệu chirp + nhiễu rect) được mô tả đầy đủ tham số để tái lập.

5. Chương trình nghiên cứu 10 năm? Luận án đề xuất các hướng nghiên cứu ngắn hạn (LCD tổng quát, không gian hàm có trọng), trung hạn (DFrFT nhanh, ứng dụng radar) và dài hạn (mạng nơ ron phân thứ, wavelet phân thứ), tạo lộ trình có cấu trúc cho cộng đồng nghiên cứu trong nước và quốc tế.

Kết luận

Luận án hoàn thành sáu đóng góp cụ thể có thể đo lường:

  1. Xây dựng ba lớp chập mới cho biến đổi Fourier phân thứ (không hàm trọng, hàm trọng chirp, hàm trọng Gauss-Hermite) với tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối được chứng minh chặt chẽ.
  2. Thiết lập bất đẳng thức Young tổng quát ‖f⋆g‖ᵣ ≤ C·‖f‖ₚ·‖g‖ᵩ cho cả ba lớp chập trong Lᵖ(ℝ)⋆Lᵍ(ℝ) ⊆ Lʳ(ℝ), xây dựng đại số Banach giao hoán trên L¹(ℝ).
  3. Giải tường minh lớp phương trình tích phân dạng chập với nhân Hermite thông qua toán tử Fourier phân thứ và công thức nghiệm hiện.
  4. Chứng minh và minh họa số định lý lấy mẫu-khôi phục tín hiệu băng tần hạn trong miền FrFT, mở rộng kết quả của Xia [45] và Zayed-Garcia [47].
  5. Thiết kế bộ lọc nhân trong miền Fourier phân thứ với độ phức tạp O(N logN), hiệu quả hơn bộ lọc Wiener thích nghi O(N²) cho tín hiệu không dừng.
  6. Mở ra ba dòng nghiên cứu mới: lý thuyết chập cho LCD tổng quát, DFrFT nhanh dựa trên chập, và ứng dụng trong mạng nơ ron tích chập phân thứ.

Sự dịch chuyển mô hình là rõ ràng: từ quan niệm biến đổi Fourier phân thứ như một công cụ phân tích tín hiệu đơn thuần, luận án nâng cấp nó thành một cấu trúc đại số-giải tích đầy đủ với lý thuyết chập nghiêm ngặt. So sánh với monograph của Ozaktas, Zalevsky và Kutay (2001) – cột mốc quốc tế của lĩnh vực – luận án bổ sung chiều sâu phân tích hàm và lý thuyết đại số Banach mà tài liệu tổng quan quốc tế còn thiếu. Kết quả có tính liên quan toàn cầu trong bối cảnh xử lý tín hiệu phi dừng ngày càng quan trọng trong AI, radar hiện đại, và thông tin lượng tử.