chương 1 gồm bốn phần chính: 1. Một số khái niệm xác suất có liên quan. Xích Markov thời gian rời rạc. Lý thuyết hàng đợi và mạng hàng đợi.
Tình hình nghiên cứu trong nước và ngoài nước về mạng hàng đợi. Một số khái niệm xác suất có liên quan Trong mục này luận án trình bày về một số khái niệm xác suất cơ bản có liên quan đến luận án ([5], [10], [44]). Biến ngẫu nhiên Xét không gian xác suất (,,P) và không gian đo ( ,) với là - trường Borel trên đường thẳng thực .1 Mỗi ánh xạ đo được X: (,)→( ,) được gọi là một đại lượng ngẫu nhiên một chiều (hoặc đôi khi người ta còn gọi là một biến ngẫu nhiên). Để ký hiệu biến ngẫu nhiên, người ta có thể viết X() (với ) hoặc viết X.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2 Xét biến ngẫu nhiên X, với x hàm số F(x) = [X < x]. được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Để ký hiệu hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X, người ta thường viết FX(x) và để đơn giản người ta viết F(x). Hàm phân phối F(x) có các tính chất sau: (i) 0 < F(x) <1 x.
(iii) Liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm. x →− →+ Các phân phối đối với các loại biến ngẫu nhiên: Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x 1, x2 ,.}, khi đó hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là 7 F ( x) = pi , xi x trong đó pi =[X= xi] với i=1,2,. Nếu tồn tại hàm f : → 0, + ) sao cho: x F ( x) = f ( t )dt , x. − thì biến ngẫu nhiên X có phân phối liên tục tuyệt đối và f là hàm mật độ phân phối xác suất của X.
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Giả sử X= X() là biến ngẫu nhiên.3 Nếu tồn tại đại lượng : E ( X ) = xi pi nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc. i + E ( X ) = xf ( x ) dx nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, − thì đại lượng đó được gọi là kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên X. Với kỳ vọng của X có hàm phân phối F ( x) , đôi khi người ta viết E ( X ) = xdF ( x ) .4 Nếu tồn tại đại lượng DX = E ( X − E ( X ) ) , 2 thì đại lượng đó được gọi là phương sai của biến ngẫu nhiên X. Đối với phương sai của biến ngẫu nhiên X đôi khi người ta còn ký hiệu là VarX.
Người ta cũng có công thức tính phương sai khác là DX = EX2 − ( E ( X ) ) .5 Xét k + , đại lượng + EXk được gọi là moment bậc k (cấp k). k + E X k được gọi là moment tuyệt đối bậc k. + E X − EX k được gọi là moment trung tâm tuyệt đối bậc k. Nếu các đại lượng đó tồn tại.
Một số đại lượng ngẫu nhiên quan trọng (thường dùng) - Phân phối nhị thức: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n, p ( n + , p ( 0,1) ) nếu X có miền giá trị S = {0, 1,…, n} và X = k = Ckn pk (1 − p )n −k , k S.1) Khi đó X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n, p hay nói gọn, X có phân phối B(n, p) (còn viết X ~ B(n, p)). Đặc biệt nếu X ~ B(1, p) thì X được gọi là có phân phối Bernoulli. - Phân phối Poisson: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số (> 0) và được ký hiệu là X ~ P() nếu X có miền giá trị S = = {0, 1, 2,…} và k e− X = k = , k = 0, 1… (1.2) k! - Phân phối đều: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều và được ký hiệu là X~U(a; b) nếu hàm mật độ của nó có dạng 1 nÕu a x b, f (x) = b − a .3) 0 nÕu x a;b 9 Hàm phân phối đều có dạng 0 nÕu x < a x −a F(x) = nÕu a x b .4) 1 nÕu x b - Phân phối mũ: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với tham số (> 0) nếu hàm mật độ của nó có dạng e−x nÕu x > 0 f (x) = .5) 0 nÕu x 0 Hàm phân phối mũ có dạng 1 − e−x nÕu x > 0 F(x) = .6) 0 nÕu x 0 - Phân phối Gamma: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối gama với các tham số , p (, p > 0) và được ký hiệu là X ~ G(, p) nếu hàm mật độ của nó có dạng p x p −1e− x nÕu x 0 f ( x) = ( p ) , (1. p −1 − x Phân phối mũ là trường hợp đặc biệt của phân phối Gama khi p = 1.
- Phân phối Erlang: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Erlang với các tham số k, λ (λ>0, k +) và được ký hiệu là X ~ Er(k,λ) nếu hàm mật độ của nó có dạng k xk −1e− x f ( x, k , ) = víi x 0, 0 .8) Hàm phân phối Erlang có dạng 10 e− x ( x ) n k −1 F ( x, k , ) = 1 − . Quá trình Markov Trong mục này luận án trình bày về một số khái niệm về quá trình Markov liên quan đến luận án ([9], [10], [34], [36]). Các định nghĩa và một số tính chất ban đầu Định nghĩa 1. Quá trình ngẫu nhiên Ánh xạ X : → được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu + ( + = 0, + ) ) và với mỗi t thì X ( t , ) là một biến ngẫu nhiên.
Nếu là tập có lực lượng không quá đếm được, khi đó X ( t , ) là quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và nếu là 0,T ( T 0 ), khi đó X ( t , ) là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục. Quá trình ngẫu nhiên thường được ký hiệu X ( t , ) hoặc X t ( ) hoặc X (t ). Tính Markov Giả sử X t ( ) là quá trình ngẫu nhiên.11) s =s Quá trình ngẫu nhiên X ( t ) được gọi là xích Markov nếu X ( t ) có tính Markov và không gian trạng thái E của X ( t ) không quá đếm được.7 là định nghĩa tổng quát về tính Markov cho mọi quá trình ngẫu nhiên. Đối với quá trình ngẫu nhiên X ( t ) với thời gian rời rạc và có 11 không gian trạng thái E không quá đếm được, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa sau về tính Markov của quá trình X ( t ) : Định nghĩa 1., X (tn−1 ) = in−1, X (tn ) = in = X (tn+1) = j | X (tn ) = in thỏa mãn với bất kỳ t0 t1 .
Tính Thuần nhất Nếu p ( s, i, t, j ) = p ( s + h, i, t + h, j ) , i, j E; s t + và h 0 thì quá trình ngẫu nhiên X ( t ) được gọi là quá trình thuần nhất. Xích Markov thời gian rời rạc - Ma trận xác suất chuyển trạng thái của xích Markov: Ký hiệu p ( n, i, n + 1, j ) = ( X n+1 = j | X n = i ) khi đó Pn+1 = p ( n, i, n + 1, j )i , jE là ma trận xác suất chuyển trạng thái tại bước n + 1 của xích Markov X n n=0,1,. Ma trận Pn+1 có các tính chất sau: (i) 0 p ( n, i, n + 1, j ) 1. jE Ma trận có các tính chất như trên được gọi là ma trận ngẫu nhiên.
Ký hiệu Pn( m) = p ( n, i, n + m, j )i , jE với p ( n, i, n + m, j ) = ( X n+m = j | X n = i ) là xác suất chuyển từ trạng thái i tại bước n sang trạng thái j tại bước n + m .12) kE 12 Phương trình (1.12) được gọi là phương trình Chapman-Kolmogorov. Biểu diễn dưới dạng ma trận ta có: Pn(l + m) = Pn(l ) Pn(+ml ) .13) - Phân phối xác suất của trạng thái xích Markov: Ký hiệu ( n) = ( (jn) ) jE với (jn) = ( X n = j ) là phân phối xác suất của trạng thái xích Markov X n n=0,1,. tại bước n và (0) = ( (0) j ) jE là phân phối xác suất của trạng thái ban đầu của xích Markov X n n=0,1,.14) n 0, m 1 Như vậy mô hình xích Markov thời gian rời rạc là bộ ba ( X , , P ) , n = 1, 2,. , trong đó: n (0) n (i) ( X n ) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.
(ii) (0) là phân phối xác suất của trạng thái ban đầu. (iii) Pn là ma trận xác suất chuyển trạng thái tại bước n. - Phân phối dừng và phân phối giới hạn của trạng thái xích Markov thuần nhất thời gian rời rạc: Ký hiệu P( n) = ( pij( n) )i , jE với pij( n) = ( X n+m = j | X m = i ) là xác suất chuyển trạng thái của xích Markov từ trạng thái i sang trạng thái j sau n bước. là xích Markov xác định trên không gian trạng thái hữu hạn E với ma trận xác suất chuyển trạng thái P = ( pij )i , jE .15) i , jE thì tồn tại các số j ( j E ) sao cho j 0 =1 (1.16) jE j và với mỗi j E lim pij( n ) = j .17) n → (ii) Ngược lại, nếu tồn tại các số j ( j E ) thỏa mãn điều kiện (1.17) thì tồn tại n0 + thỏa mãn (1.