MỞ ĐẦU Kết quả của luận án này được tổng hợp từ các bài báo [A1, A2, A3, A4] đã được công bồ trên các tạp chí ® Mathematical Methods in the Applied Sciences (ISI, Q1) ® Journal of Fixed Point Theory and Applications (ISI, O1) e Advances in Continuous and Discrete Models: Theory and Modern Ap- plications (Tên cũ: Advances in Difference Equations) (ISI, Q1) Bài báo [A1] nghiên cứu bài toán giá trị ban đầu cho phương trình Rayleigh- Stokes phi tuyến trong hai trường hợp: hàm nguồn Lipschitz toàn cục và hàm nguồn Lipschitz địa phương. Nhờ vào phép phân tích phổ (biểu diễn dang chuỗi trong không gian Hilbert), nguyên lý điểm bất động, và một sO không gian hàm thích hợp, nghiệm chỉnh toàn cục cho bài toán đã được thiết lập. Hơn nữa, bài báo đã chứng minh được sự tổn tại toàn cục nghiệm nhẹ (mild solution) và tính bùng nổ của của nó. Trong bài báo [A2], chúng tôi khảo sát phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến với các điều kiện phi địa phương.
Sự tổn tại, tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm nhẹ của bài toán được nghiên cứu trong một số không gian. Khi tham số tiến về 0, sự hội tụ của nghiệm nhẹ cũng đã được khảo sát. Bai báo [A3] khảo sát bài toán Rayleigh-Stokes phi tuyến với điều kiện tích phân phi địa phương. Sự tồn tại và duy nhất cho nghiệm nhẹ của bài toán cho 1 phương trình Rayleigh-Stokes với điều kiện tích phân phi địa phương đã được nghiên cứu trong bài báo này.
Tính không chỉnh cho nghiệm nhẹ của bài toán giá trị ban đầu cũng được khảo sát. Để chỉnh hóa nghiệm không chỉnh này, bằng phương pháp chặt cut Fourier, bài báo đã đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho bài toán, và khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa này. Bài báo [A4] khảo sát bài toán thuận cho phương trình giả Parabolic với đạo ham Caputo. Bài báo đã nghiên cứu tinh tôn tại và tính duy nhất của nghiệm nhẹ.
Trường hợp bài toán phi tuyến, tính chất nghiệm toàn cục với dữ liệu đầu ug € L2 đã được nghiên cứu. Trong trường hợp dữ liệu đầu up € L1, q # 2, bai báo đã khảo sát kết quả tồn tại địa phương. Công cụ chính được sử dụng ở đây là giải tích phi tuyến, định lí điểm bat động Banach và định lí nhúng Sobolev. 11 Lý do chọn đề tài Phương trình vi phân - đạo hàm riêng cấp không nguyên (FPDEs) (bao gồm đạo hàm không nguyên Riemann-Liouville và Caputo) và các vấn đề liên quan là một hướng nghiên cứu khá mới, một lĩnh vực có nhiều tiềm năng khai phá.
Dưới sự định hướng của Thầy hướng dẫn - PGS. Nguyễn Huy Tuấn, tôi đã chọn hướng nghiên cứu này để phát triển. Nhóm nghiên cứu của Thầy hướng dẫn có khá nhiều kết quả quan trọng và uy tín trong lĩnh vực này. Bên cạnh đó, Phương trình vi phân - đạo hàm riêng cấp không nguyên đóng một vai trò quan trọng trong việc mô tả trạng thái của các chất lưu - những chất khá phổ biến trong tự nhiên và trong đời sống thường ngày như: mật ong, kem đánh răng, bơ, sôcôla.
Ngoài ra FPDEs cũng là một công cu để mô tả những hiện tượng khuếch tán bat quy tắc. Do đó, tôi thay đây là một hướng nghiên cứu rất liên quan đến thực tế.2 Đối tượng nghiên cứu Luận án này tập trung nghiên cứu các bài toán sau đây * Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến. ® Bài toán phi địa phương cho phương trình Rayleigh-Stokes. * Bài toán Rayleigh-Stokes phi tuyến với điều kiện tích phân phi địa phương.
¢ Bài toán thuận cho phương trình gia Parabolic với dao ham Caputo.3 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực phương trình vi phân - đạo hàm riêng, tập trung chính vào các phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên Riemann-Liouville và đạo hàm riêng cấp không nguyên Caputo.4 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài Đầu tiên, để tài nghiên cứu các bài toán, mô hình toán học liên quan đến các van dé liên quan đến các lĩnh vực sinh học, vật lý, hóa học. Cho nên, các kết quả nghiên cứu đạt được góp phần nào đó trong việc giải quyết một số bài toán ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Bên cạnh đó, việc khảo sát được tính chính quy, tính ổn định của nghiệm các bài toán này sẽ góp phần tích cực trong việc xây dựng các mô hình số hay mô hình mô phỏng các loại bài toán này. Bên cạnh đó, những kết quả đạt được của dé tài, néu được đăng trên những tạp chí có uy tín trên thé giới, thì nó sẽ góp phan nâng cao chất lượng nghiên cứu cũng như uy tín của cá nhân nghiên cứu sinh, nhóm nghiên cứu, và trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG TP.
Ngoài ra, quá trình nghiên cứu dé tài cũng có thể làm phát sinh những công cụ mới, phương pháp mới có thể ứng dụng trong các bài toán khác. Việc nghiên cứu dé tài cũng có thể nảy sinh các van dé liên quan để những người theo sau, những học viên cao học, nghiên cứu sinh. Chương 2 TỔNG QUAN Giải tích không nguyên khởi đầu ở thé ky XVII từ vẫn dé mà Guillaume de /Hôpital (1661-1704) đặt ra với Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), dao ` 1/2 , Ros A 2 VÀ. ~ ye ham 4 1/2 được xem xét như thé nào.
Cho đến nay, có nhiều định nghĩa tích phân,đạo hàm cấp không nguyên như: Riemann-Liouville, Caputo, Weyl, Hadamard. Trong những năm gần đây, giải tích không nguyên phát triển rat nhanh chóng và được nhiều nhà khoa học trên thé giới quan tâm: như Ste- fan Grigor evich Samko và cộng sự, Rudolf Gorenflo và cộng sự [4], Kenneth S Miller và cộng sự [5], Igor Podlubny [3]. Va phuong trinh vi phan - dao ham riéng cap không nguyên dang trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của toán học. Về mặt ứng dụng vào khoa học kỹ thuật, cũng như những ứng dụng trong thực tế, đạo hàm và tích phân là hai khái niệm đóng vai trò vô cùng quan trọng trong việc mô tả các van dé trong tự nhiên và trong khoa học kỹ thuật.
Các bài toán liên quan đến thực tế, các hiện tượng trong tự nhiên thường độ mô hình bởi những phương trình vi phân - đạo hàm riêng mà trong đó đạo hàm và tích phân đóng vai trò là những nhân tố chính. Tuy nhiên, có những vẫn đề không thể mô hình được với đạo hàm cấp nguyên như: mô tả tính nhớt đàn hồi của các chất lưu, các hiện tượng khuếch tán bất quy tắc (the constitutive relationship of fluid models, basic random walk models). May mắn thay, giải tích không nguyên (đạo hàm không nguyên, tích phân không nguyên, và các van dé liên quan) đã làm được điều đó. Với of ký hiệu cho dao hàm Riemann-Liouville hay Caputo, bậc a € (0,1) 5 theo biến thời gian, A là toán tử tuyến tính, không bị chặn, trù mật trên X, và F là một hàm cho trước.
Cho X là một không gian Banach, xét phương trình 9#u(£) + Au(t) = F(t,u(t)), O<t<T.1) Khi X là một không gian Banach tổng quát, phương trình cùng với điều kiện (0) = uo € X được gọi là bài toán thuận cho phương trình tiến hóa cấp không nguyên. Đầu thé ky XXI, các bài toán này đã được nhiều nhà toán học quan tâm, tiêu biểu như: Yong Zhou I6], Krishnan Balachandran (71, Rong- Nian Wang [8]. Khi X là không gian Hilbert hay Sobolev theo biến không gian x € O với QO C Rể (d > 1), ví dụ như L2(O), H$(O), LP(O), W$P(O) (s € R, p > 1), và A = L với L là toán tử elliptic xác định đương trên O (xem [9]), phương trình (2.1) trở thành phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên a € (0, 1) u(x,t) + Lu(x,t) = F(x,t,u(x,t)), x€0,0<t<T.2) Phuong trinh được gọi là phương trình khuếch tán với dao ham cấp không nguyên. Phương trình này cùng với các điều kiện biên (Dirichlet, Neu- mann, Robin, hoặc Wentzell), điều kiện về thời gian (điều kiện đầu, điều kiện cuối), và một số giả thiết trên hàm nguồn F cũng được nhiều nhà toán học quan tâm như: Yury Luchko [10], Kenichi Sakamoto [9] , Alexandre Nolasco Carvalho [11], Ciprian G.1 Tình hình nghiên cứu trên thé giới ¢ Đối với đạo hàm Riemann-Liouville - Fetecau trong công bố năm 2001 đã dùng biến đổi Fourier sin để xác định trường vận tốc tương ứng với dòng chảy của một tam phẳng chuyển động đột ngột trong chất lưu cấp hai.
Nghiệm cho phương trình Rayleigh-Stokes trong trường hợp này cũng đã được tác giả đưa Ya. Shen đã cũng đã dùng biến đổi Fourier sin và thêm biến đổi Laplace để nghiên cứu bài toán Rayleigh-Stokes với chất lưu bậc hai tổng quát. — Zierep năm 2007 đã nghiên cứu về sự cân bằng năng lượng cho bài toán Rayleigh-Stokes đối với chất lỏng Maxwell kết hợp với điều kiện ban đầu, điều kiện biên. Xue trong bài báo đã chỉ ra nghiệm chính xác cho trường vận tốc và nhiệt độ của bài toán này.
Khan trong bài báo [16] năm 2010 sử dụng biến đổi Fourier và biến đổi Laplace để đưa ra nghiệm chính xác cho mô hình dong chảy dao động của chất lưu Burger với đạo hàm không nguyên. - Trong việc sử dụng phương pháp số để tiếp cận các bài toán liên quan đến đạo hàm Riemann-Liouville, thì E. Bazhlekova là một đại diện tiêu biểu. Trong công trình năm 2015, tác giả này đã dùng một vài phương pháp số như Galerkin, Euler để nghiên cứu bài toán Rayleigh-Stokes với chất lưu bậc hai tổng quát.
- Kế đến là M. Dehghan năm 2017 đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu cho phương trình này. Bên cạnh đó, tác giả còn đưa ra một số so sánh giữa phương pháp số này so với một vài phương pháp số khác. Agarwal trong đã nghiên cứu cho việc mở rộng đạo hàm không nguyên Riemann-Louville.
- Một số kết quả về tính chỉnh toàn cục va địa phương cho phương trình Rayleigh-Stokes nửa tuyến tính trên IR đã được khảo sát bởi Jia Wei He trong nam 2021. Bên cạnh đó, nhóm tac giả nay cũng đưa ra các kết quả về sự kéo dài hoặc bùng nổ của nghiệm. - Trong bài báo năm 2022, Jing Na Wang đã nghiên cứu phương trình Rayleigh-Stokes với hàm nguồn phi tuyến. Các kết quả về tồn 7 tại, duy nhất nghiệm, tính phụ tuộc liên tục với dữ liệu đầu vào cũng như sự kéo dài hay bùng nổ của nghiệm nhẹ bài toán đã được xem xét trong bài báo này.
© Đối với đạo ham Caputo: - Trong một công bố năm 2012 về bài toán Cauchy với đạo hàm Caputo , M. Feckan đã chỉ ra một số công thức nghiệm trong một vài công bố trước đó là chưa đúng và đưa ra công thức nghiệm cho một số trường hợp.