Chương 1: Các giản đồ phân kỳ một vòng. Chương này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.1 giới thiệu van tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả các quá trình vật lý.2 dành cho việc trình bày các ham Green cua photon, electron, va ham đỉnh trong QED. Phân tích các bậc phân kỳ trong QED ở bậc thấp nhất được trình bầy ở mục 1. Phương pháp cắt xung lượng lớn được giới thiệu và các ví dụ minh họa.
Chương 2: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp cắt xung lượng lớn. Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng phương pháp cắt xung lượng lớn trong QED.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai của photon — giản đồ năng lượng riêng của photon.2 xem xét giản đồ năng lượng riêng của electron.3 xem xét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất. Đồng nhất thức Ward —Takahashi được chứng minh bằng đồ thị ở mục 2. Chương 3: Túi chuẩn hóa điện tích và khối lượng trong QED.
Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron.2 dành cho việc tái chuẩn hóa khối lượng.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh. Chứng minh một cách định tính: trong việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, các tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý và khối lượng vật lý của electron.4 trình bay việc chứng minh việc tái chuẩn hóa trong gần đúng một vòng QED. Phan két luận: Tóm tắt lại các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương tự. Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ don vi nguyên tử h = c = 1 va metric gid Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [8]) tất cả bốn 1 thành phần véctơ 4 - chiều ta chọn là thực A = (A "A) gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các chỉ số m= (0.
12, 3),và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4 - chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên. CHUONG 1 CAC GIAN DO PHAN KY MOT VONG Trong chương này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, các giản đồ phân kỳ thường gặp trong gần đúng một vòng. S - ma trận và giản đồ Feynman Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố của S — ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng đầu và các trạng thái cuối của quá trình vật lý: S =7 exp(iò L„@xPx) q.D Trong d6L, (x) = N V "(x)A,,(x)) =eN (v (x)g”y (x)A,(x)) la Lagrangian của tương tác điện từ, ey là điện tích “trần” của electron.
Mỗi đỉnh tương tác sẽ có ba đường vào ra, trong đó có một đường photon, hai đường elecfron hay positron. n ¥ 2 Str dung phép khai trién ham mii e* = a ¬ =l+z+ ot. ta có thê viết n=0T1 * * biểu thức S — ma trận (1.1) đưới dạng: s=s9+ 0+ gÉ+ = i) (1.2) ; x 4 x 4 4 = 1+ iT OL,,)d x + a 0 Lin Lim xảy +. Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn đưới đạng: </|S|i>= d,+ iQp) đÍ(P,- P.)M,, (13) Ở đây < ¿| và < ƒ | là các véctơ trạng thái đầu và cuối của hệ, Mƒ,„, là biên độ xác suất đời chuyển, có ý nghĩa trong việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã hay thời gian sống của hạt.
Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn năng xung lượng của quá trình vật lý. Thay công thức (1.2) vào < ƒ|Š |i> ta có: <f|Slir>a< flsOlir + < flsOlir + </|sf|¡> +. =< fllli> +iT < f| QL,,@)d*x |i> + (1. Sử dụng khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta có thể viết được các biêu thức tường minh cho từng số hạng của khai triển nhiễu loạn cho các quá trình như sau: tán xạ của electron (hay posifron) với trường điện từ ngoài, tán xạ electron (hay posifron) với nhau, tán xạ Comptfon — tan xa photon trén electron, hay sw huy cap electron — positron va qua trinh tan xa khong dan tinh,.
Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng: Hạt và trạng thái của Thừa số trong yếu tố ma TT ag Yêu tô giản đô nó trận Electron ở trạng thái đầu (2 p - u'(p) —_—_ = T= = Electron ở trạng thái cuối one => Hm = 10 Positron 6 trang thai dau Positron 6 trang thai cuôi Photon ở trạng thái 1 1,. _ VW đâu hay hay ở trạng thái 3 D mm (k ) “ (2p)? 2k cudi can us cố ext XW The điện từ ngoài At (k) Chuyên động của S(p)= : 1 - th 2 electron tir 1® 2 (hay (2p) pom ———. ˆ =——-P positron theo chiêu _~_! ptm 4 2 2 ngược lại 2® I) (2p) p-m 2 m k Chuyên động photon D™(k) = § TL ^^ Axðẽ giữa hai đỉnh (2p ) ke ự ự ụ k Đỉnh cùng với chỉ số lấy tông m 1. Hàm Green và hàm đỉnh 11 Trong QED các giản đồ Feynman sau đây: e_ Các phần năng riêng của photon e_ Các phần năng lượng riêng của của electron e Các phần đỉnh e Phan tan xa photon — photon diễn ta sự tương tác của hạt với chân không vật lý.
Các giản đồ này liên quan đến việc tính các số hạng bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể hơn là tính hàm Green của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong lý thuyết tương tác giữa trường electron — positron với trường điện từ. Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của nó là giản đồ liên kết mạnh! của một hạt. Hàm Green của photon, được xác định bằng công thức: G„(x- y)= ¿< 07 Ñ @)A,0)90> (1.5) Trong d6|0> là véctơ trạng thái chân không của các trường tương tác, còn A(x) va A (y) la cac toan tir trường điện từ trong biéu dién Heisenberg Ham Green cua photon (1.5) cé thé duge biéu dién bang tổng các giản đồ sau: noo = ww ewan) + ware aire Ww + - Om) -O+ DD - (Oo 12 Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không Hàm Green của electron, được xác định tương tự bằng công thức sau: G„(x- y)=¡< 0|T §,@œ)y,0)8|0> (1.6) Trong đó y (x), y ,0) là các toán tử trường electron — positron trong biểu diễn Heisenberg. Hàm Green của electron có thê được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau: Hình 1.
Các đồ thị đễ cho hàm truyền đây đủ của electron và phần năng lượng riêng Hàm đỉnh được cũng được xác định bằng: G,,, @xy)=< OF 4, @)y, @)y,0)0> d2) Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng : ote oth a 13 Hình 1. Đỉnh riêng đầy đủ G" và sơ đồ xương L`”.Các đường ngoài bị bỏ đi Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc chung chúng ta phải lay tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản đồ. Tất cả các tích phân này đều có dạng: J= òÒ FŒ,p;.p,„) là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số đường xung lượng trong. Tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của fermion - “hà x 1 eR qua , electron ta có hàm truyén S ~—, tuong ứng với mỗi đường xung lượng trong của “Hà x 1 photon ta cé ham truyen D ~ pm Tagoi: FF: số đường xung lượng trong của electron.: số đường xung lượng ngoài của electron.
F, : số đường xung lượng trong cua photon. N >: số đường xung lượng ngoài của phofon. Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trong bằng số đỉnh: = v, đồng thời lưu ý hai điểm sau: 14 + Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tông số đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó nối với hai đỉnh: v=2F +N, (1.9) + Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh bằng một nửa số đường xung lượng electron: v=2F+N, (1.10) ta thu được: F = —v- —N (1. Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào ra phải tuân theo định luật bảo toàn năng xung lượng.
Định luật này được thể hiện ở dạng của hàm delta. Theo tính chất của hàm delta: of (p)4p,ip = f(p,) thi số biến độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống. Nếu có n đường trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là (n-1), va số biến sẽ tiếp tục giảm đi. Tổng số đường trong là (' + #).
Vậy số các biến độc lập sẽ là: K,=Œ~+ F„)- (n- 1) (1.13) ` TÔ T2 2b T1 Do § ~— và D ~—, bac luỹ thừa của mẫu sẽ là: P P K,=2F +F, (1.14) ta thu được: K,=iv- N -ˆN +] (1. ) Với K, là số biến độc lập, K„ là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính: d1p“ y= 5! P) (1.17) (?) ? Đưa vào tham số mới: K = K,- 4K, (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu được: 3 K==N+N-4 (1.19) 2 ° , Từ tham số này ta có thể đưa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17): +Nếu K > 0:tích phân này hội tụ. +NếuK £ 0: tích phân này phân kỳ. - K = 0: phan ky logarit.
- K = - 1: phan ky tuyén tinh. - K = - 2: phan ky bac hai. - K = - 3: phan ky bac ba. Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED, các giản đồ Feynman tiêu biểu chứa phân kỳ có dạng cho dưới đây: 16 k Tu NT P p-k ? Hình 1.
Giản đồ năng lượng Hình 1. Giản đỗ năng lượng riéng cua electron riéng cua photon Hình 1. Giản đồ đỉnh bậc 3 Hình 1. Quá trình tán xạ ` ánh sáng — ánh sáng + Tính toán bậc phân kỳ của các giản đô trên: Hình 1.4: Số đường phôtôn ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc phân kỳ là: K = - 1P.
Phân kỳ tuyến tính.5: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc phan ky la:K = - 2B Phân kỳ bậc hai.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bac phân ky la: K = 0B Phan kp loga.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc phan ky la:K = OB Phan ky loga.