Khóa luận: Bất đẳng thức hàm phân phối cho bài toán dữ liệu độ đo

Khóa luận toán tin: Xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối, ứng dụng giải bài toán dữ liệu độ đo. Nghiên cứu mới về tối ưu hóa và phân tích dữ liệu.

• Tác giả: Tran Cat Su
• Người hướng dẫn: Ts. Nguyễn Thành Nhân
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Giải tích Toán học
• Đề tài: Bất đẳng thức hàm phân phối cho bài toán dữ liệu độ đo
• Loại tài liệu: Khóa luận tốt nghiệp đại học
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• Lời cam đoan
• Lời cảm ơn
• Mục lục
• Giới thiệu
• 1. Kiến thức chuẩn bi
• 1.1. Một số không gian hàm cơ bản
• 1.2. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood
• 1.3. Ham phân phối trên các tập mức
• 1.4. Bổ đề phủ Vitali
• 2. Bất dang thức ham phan phối cho bài toán dữ liệu dang Divergence
• 2.1. Giá thiết cho bài toán chính quy nghiêm
• 2.2. Các kết quả chính
• 2.3. Bat đẳng thức ham phan phói cho bài toán dữ liệu dang Divergence
• 2.4. Danh giá chuẩn Lorentz cho bài toán dữ liêu Divergence
• 3. Bất đẳng thức phân phỗi cho bài toán dữ liêu độ đo
• 3.1. Giá thiết cho bài toán chính quy nghiêm
• 3.2. Một số bổ dé quan trọng
• 3.3. Bat đẳng thức hàm phan phối cho bài toán dữ liệu độ đo
• 3.4. Dánh giá chuẩn trên không gian Lorentz cho bài toán dit liệu đô đo
• 4. Ứng dung cho bài toán chính quy nghiêm
• 4.1. Ứng dung cho bài toán dif liêu dang Divergence
• 4.2. Ung dung cho bài toán dit liệu dang dé đo
• Kết luận
• Tài liệu tham khảo
• Danh sach ky hiéu

Tóm tắt

I. Hướng dẫn toàn diện về bất đẳng thức hàm phân phối độ đo

Bất đẳng thức hàm phân phối là một công cụ nền tảng trong lĩnh vực xác suất thống kê và giải tích hiện đại. Về bản chất, nó cung cấp một giới hạn trên cho xác suất mà một biến ngẫu nhiên sẽ vượt qua một ngưỡng giá trị nhất định. Thay vì tính toán xác suất chính xác, vốn có thể phức tạp hoặc bất khả thi, các bất đẳng thức này cho phép ước lượng một cách hiệu quả. Đây là chìa khóa để hiểu và kiểm soát sự không chắc chắn trong các hệ thống phức tạp. Nền tảng của các bất đẳng thức này bắt nguồn từ lý thuyết độ đo, một nhánh toán học cung cấp ngôn ngữ chính xác để định nghĩa tích phân và xác suất trên các tập hợp trừu tượng. Trong bối cảnh của khoa học dữ liệu, các bất đẳng thức này trở thành công cụ không thể thiếu để phân tích hiệu suất và độ tin cậy của thuật toán. Chúng giúp trả lời câu hỏi: "Với một mẫu dữ liệu hữu hạn, mô hình học được có khả năng hoạt động tốt trên dữ liệu mới đến mức nào?". Bài viết này sẽ đi sâu vào việc xây dựng và ứng dụng bất đẳng thức hàm phân phối cho một lớp bài toán đặc biệt quan trọng: bài toán dữ liệu độ đo. Đây là các bài toán mà dữ liệu đầu vào không phải là một hàm trơn tru mà là một độ đo, thường xuất hiện trong các phương trình đạo hàm riêng. Như được trình bày trong công trình của Trần Cát Sử (2022), việc sử dụng các bất đẳng thức này cho phép xây dựng một "thuật toán tổng quát" để chứng minh tính chính quy nghiệm, một vấn đề cốt lõi trong giải tích toán học. Phương pháp này kết nối các khái niệm trừu tượng như không gian Lorentz và toán tử cực đại Hardy-Littlewood với các ứng dụng thực tiễn trong phân tích thuật toán và học máy thống kê.

1.1. Định nghĩa hàm phân phối tích lũy và vai trò cốt lõi

Hàm phân phối tích lũy (Cumulative Distribution Function - CDF), ký hiệu là F(x), của một biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x. Nó là một hàm không giảm, có giá trị từ 0 đến 1. Vai trò của CDF là vô cùng quan trọng vì nó mô tả đầy đủ phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên. Bất đẳng thức hàm phân phối tập trung vào phần "đuôi" của phân phối, tức là xác suất P(X > a), có thể được biểu diễn qua CDF là 1 - F(a). Việc chặn được giá trị của phần đuôi này chính là mục tiêu của các bất đẳng thức như Markov hay Chebyshev, giúp lượng hóa rủi ro và các sự kiện hiếm gặp.

1.2. Từ lý thuyết độ đo đến không gian xác suất hiện đại

Lý thuyết độ đo cung cấp một bộ khung toán học chặt chẽ để khái quát hóa các khái niệm về độ dài, diện tích và thể tích. Một không gian xác suất về cơ bản là một không gian độ đo mà tổng độ đo của toàn bộ không gian bằng 1. Trong không gian này, các sự kiện là các tập đo được, và xác suất của một sự kiện chính là độ đo của tập hợp đó. Sự kết nối này cho phép áp dụng các công cụ mạnh mẽ của giải tích thực, như tích phân Lebesgue, vào lý thuyết xác suất. Điều này đặc biệt hữu ích khi làm việc với các biến ngẫu nhiên liên tục hoặc các không gian phức tạp, nền tảng để giải quyết các bài toán dữ liệu độ đo.

1.3. Bối cảnh phương trình đạo hàm riêng và bài toán chính quy

Trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng (PDE), một trong những câu hỏi trung tâm là "bài toán chính quy nghiệm". Bài toán này tìm hiểu về các tính chất của nghiệm, chẳng hạn như tính trơn, tính bị chặn của đạo hàm. Một nghiệm "chính quy" hơn thường dễ phân tích và có ý nghĩa vật lý rõ ràng hơn. Theo nghiên cứu nền tảng, kỹ thuật bất đẳng thức hàm phân phối trên các tập mức được sử dụng để thu được so sánh trong không gian Lorentz, từ đó suy ra tính chính quy của gradient nghiệm. Đây chính là cầu nối giữa giải tích điều hòa và lý thuyết PDE, cho thấy sức mạnh của các công cụ giải tích trong việc giải quyết các vấn đề cấu trúc của nghiệm.

II. Giải mã thách thức của bài toán dữ liệu độ đo và sai số

Các mô hình toán học và thuật toán học máy thường đối mặt với một thách thức cơ bản: sự không chắc chắn và biến động vốn có trong dữ liệu. Bài toán dữ liệu độ đo làm trầm trọng thêm vấn đề này. Thay vì làm việc với các hàm mật độ xác suất liên tục, các nhà nghiên cứu phải xử lý các độ đo Radon, có thể bao gồm các điểm gián đoạn hoặc tập trung khối lượng xác suất tại các điểm rời rạc. Điều này khiến các công cụ giải tích cổ điển trở nên kém hiệu quả. Một trong những vấn đề trung tâm trong học máy thống kê là kiểm soát sai số tổng quát hóa – sự chênh lệch giữa hiệu suất của mô hình trên dữ liệu huấn luyện và trên dữ liệu chưa từng thấy. Một mô hình có sai số tổng quát hóa thấp được xem là đáng tin cậy. Các bất đẳng thức xác suất và bất đẳng thức tập trung chính là công cụ lý thuyết để thiết lập các giới hạn trên (upper bounds) cho sai số này. Chúng cho phép các nhà nghiên cứu đưa ra những tuyên bố chặt chẽ về hiệu suất của thuật toán chỉ dựa trên một mẫu dữ liệu hữu hạn. Ví dụ, bất đẳng thức Hoeffding có thể được sử dụng để chứng minh rằng sai số trung bình trên tập huấn luyện sẽ "tập trung" xung quanh sai số thực sự với xác suất cao khi kích thước mẫu đủ lớn. Việc hiểu và áp dụng các bất đẳng thức này là tối quan trọng trong việc phân tích thuật toán, đảm bảo rằng các kết luận rút ra từ dữ liệu không chỉ là do may mắn ngẫu nhiên. Chúng cung cấp sự đảm bảo toán học, một nền tảng vững chắc cho các quyết định dựa trên dữ liệu, đặc biệt là trong các lĩnh vực yêu cầu độ tin cậy cao.

2.1. Hạn chế của phương pháp cổ điển khi xử lý độ đo

Các phương pháp giải tích truyền thống thường giả định dữ liệu có tính trơn hoặc thuộc về các không gian hàm quen thuộc như không gian Lebesgue L^p. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế, đặc biệt là trong PDE, dữ liệu có thể là một độ đo, ví dụ như một nguồn điểm. Điều này đòi hỏi các công cụ mạnh hơn, chẳng hạn như không gian Lorentz và lý thuyết về toán tử cực đại, để có thể xử lý các điểm kỳ dị và sự tập trung của độ đo. Đây là lý do tại sao các kỹ thuật dựa trên lý thuyết độ đo lại trở nên quan trọng.

2.2. Vấn đề sai số tổng quát hóa trong học máy thống kê

Sai số tổng quát hóa là thước đo khả năng của một mô hình trong việc dự đoán trên dữ liệu mới. Một mô hình phức tạp có thể hoạt động hoàn hảo trên dữ liệu huấn luyện (sai số huấn luyện bằng 0) nhưng lại thất bại thảm hại trên thực tế (sai số tổng quát hóa cao), một hiện tượng gọi là overfitting. Lý thuyết học thống kê sử dụng các bất đẳng thức tập trung để cung cấp các giới hạn xác suất cho sai số tổng quát hóa, liên kết nó với độ phức tạp của mô hình và kích thước của tập dữ liệu. Những giới hạn này là nền tảng lý thuyết cho các phương pháp điều chuẩn (regularization).

2.3. Sự cần thiết của các giới hạn trên trong phân tích thuật toán

Trong phân tích thuật toán, đặc biệt là các thuật toán ngẫu nhiên, việc biết được hiệu suất trong trường hợp xấu nhất hoặc hiệu suất trung bình là rất quan trọng. Các bất đẳng thức xác suất cung cấp các "giới hạn trên" (upper bounds) đáng tin cậy. Ví dụ, chúng có thể đảm bảo rằng với xác suất 99.9%, thời gian chạy của một thuật toán sẽ không vượt quá một giá trị nhất định. Những đảm bảo này quan trọng hơn nhiều so với việc chỉ biết giá trị kỳ vọng, vì chúng cho phép kiểm soát rủi ro và thiết kế các hệ thống có thể dự đoán được.

III. Phương pháp tiếp cận bài toán dữ liệu độ đo qua hàm phân phối

Để giải quyết bài toán dữ liệu độ đo, một phương pháp hiệu quả là sử dụng bất đẳng thức hàm phân phối. Cách tiếp cận này không so sánh trực tiếp chuẩn của các hàm số mà thay vào đó, nó so sánh "kích thước" của các tập mức (level sets) của chúng. Một tập mức của hàm f tại ngưỡng λ là tập hợp tất cả các điểm x mà tại đó |f(x)| > λ. Bằng cách chứng minh rằng tập mức của nghiệm (ví dụ: gradient của nghiệm) được kiểm soát bởi tập mức của dữ liệu, ta có thể suy ra các đánh giá chuẩn mạnh mẽ trong không gian Lorentz. Công trình của Trần Cát Sử (2022) đã hệ thống hóa phương pháp này bằng cách đặt ra các giả thiết đủ cho các hàm tổng quát U (đặc trưng cho nghiệm) và W (đặc trưng cho dữ liệu). Cụ thể, nghiên cứu này tập trung vào việc xây dựng các bổ đề để đạt được bất đẳng thức dạng: d_U(Ω, λ) ≤ C * d_W(Ω, cλ), trong đó d(Ω, λ) là độ đo của tập mức. Mấu chốt của phương pháp này là Bổ đề phủ Vitali (Vitali covering lemma), một công cụ kinh điển trong giải tích điều hòa. Bổ đề này đóng vai trò là cầu nối, cho phép chuyển từ một bất đẳng thức về độ đo của các tập mức (một so sánh điểm-điểm) sang một bất đẳng thức về chuẩn trong không gian Lorentz (một so sánh toàn cục). Cách tiếp cận này đặc biệt mạnh mẽ vì nó có tính tổng quát, có thể áp dụng cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng khác nhau chỉ bằng cách kiểm tra một vài giả thiết đủ. Nó thể hiện sự kết hợp tinh tế giữa lý thuyết độ đo, giải tích hàm và xác suất thống kê.

3.1. Kỹ thuật Good λ và vai trò của các tập mức

Kỹ thuật Good-λ, được giới thiệu lần đầu bởi Burkholder, là tiền thân của phương pháp hàm phân phối hiện đại. Ý tưởng là chia không gian thành các vùng "tốt" (good) và "xấu" (bad) dựa trên giá trị của một hàm. Vùng "xấu" là nơi hàm có giá trị lớn (tức là tập mức). Bằng cách chỉ ra rằng độ đo của vùng "xấu" của hàm đầu ra bị chặn bởi độ đo của vùng "xấu" của hàm đầu vào, ta có thể kiểm soát được hàm đầu ra. Phương pháp bất đẳng thức hàm phân phối là một cách hình thức hóa và tổng quát hóa ý tưởng này.

3.2. Bổ đề phủ Vitali Cầu nối giữa tập mức và chuẩn Lorentz

Bổ đề phủ Vitali là một kết quả mạnh mẽ trong lý thuyết độ đo. Nó phát biểu rằng từ một họ các quả cầu bất kỳ, ta luôn có thể trích ra một họ con gồm các quả cầu rời nhau mà tổng độ đo của chúng "gần bằng" độ đo của hợp của họ ban đầu. Trong bối cảnh này, nó cho phép "tổng hợp" các thông tin cục bộ về các tập mức. Cụ thể, nếu một bất đẳng thức hàm phân phối đúng cục bộ trên các quả cầu nhỏ, Bổ đề phủ Vitali giúp chứng minh một bất đẳng thức chuẩn toàn cục trên không gian Lorentz, qua đó hoàn thành chứng minh về tính chính quy.

3.3. Xây dựng thuật toán tổng quát cho tính chính quy nghiệm

Một trong những đóng góp quan trọng của nghiên cứu được phân tích là đề xuất một "thuật toán tổng quát". Thay vì giải quyết từng bài toán PDE riêng lẻ, phương pháp này xác định ba giả thiết cốt lõi liên quan đến: (1) tính chất Reverse Hölder, (2) bất đẳng thức so sánh sai khác giữa nghiệm và nghiệm yếu, và (3) tính kiểm soát toàn cục của nghiệm bởi độ đo. Bất kỳ bài toán nào thỏa mãn ba giả thiết này đều có thể áp dụng trực tiếp kết quả về bất đẳng thức hàm phân phối để suy ra tính chính quy nghiệm. Điều này giúp tiết kiệm công sức và thống nhất nhiều kết quả nghiên cứu trước đó.

IV. Top các bất đẳng thức tập trung và ứng dụng thực tiễn

Các bất đẳng thức tập trung (Concentration Inequalities) là một họ các kết quả mạnh mẽ hơn các bất đẳng thức kinh điển như Markov và Chebyshev. Chúng cung cấp các giới hạn chặt hơn nhiều về xác suất một tổng các biến ngẫu nhiên độc lập lệch khỏi kỳ vọng của nó. Những bất đẳng thức này là xương sống của lý thuyết học thống kê hiện đại và có ứng dụng sâu rộng trong khoa học dữ liệu. Bất đẳng thức Hoeffding là một trong những công cụ phổ biến nhất, áp dụng cho các biến ngẫu nhiên bị chặn. Nó cho thấy xác suất sai lệch giảm theo hàm mũ với bình phương của độ lệch, một sự cải thiện đáng kể so với tốc độ giảm đa thức của Chebyshev. Trong học máy, nó được dùng để chứng minh sự hội tụ của sai số thực nghiệm về sai số kỳ vọng. Một công cụ mạnh mẽ hơn nữa là giới hạn Chernoff, áp dụng cho tổng các biến ngẫu nhiên độc lập và sử dụng kỹ thuật hàm sinh moment. Giới hạn Chernoff thường cho kết quả chặt nhất có thể, nhưng đòi hỏi kiến thức về hàm sinh moment của các biến. Các bất đẳng thức này không chỉ là công cụ lý thuyết. Chúng được sử dụng để phân tích thuật toán ngẫu nhiên, thiết kế các thử nghiệm A/B, và xác định kích thước mẫu cần thiết để đạt được một mức độ tin cậy thống kê nhất định. Chúng cho phép các nhà khoa học dữ liệu và kỹ sư học máy đưa ra các quyết định dựa trên bằng chứng định lượng, thay vì chỉ dựa vào trực giác.

4.1. Phân tích Bất đẳng thức Hoeffding cho các biến bị chặn

Bất đẳng thức Hoeffding cung cấp một giới hạn trên cho xác suất mà tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập, bị chặn trong một khoảng, lệch khỏi giá trị kỳ vọng của nó. Ưu điểm lớn của nó là sự đơn giản và không yêu cầu thông tin về phương sai của các biến, chỉ cần biết phạm vi của chúng. Trong học máy thống kê, nó được dùng để chặn sai số tổng quát hóa của các mô hình phân loại, cung cấp một sự đảm bảo lý thuyết cho hiệu suất của mô hình.

4.2. Giới hạn Chernoff và kỹ thuật sinh hàm moment hiệu quả

Giới hạn Chernoff cung cấp các giới hạn giảm theo hàm mũ rất chặt cho các tổng của biến ngẫu nhiên độc lập. Kỹ thuật cốt lõi là áp dụng bất đẳng thức Markov cho hàm exp(tX), trong đó X là biến ngẫu nhiên và t là một tham số được tối ưu hóa. Kỹ thuật này, liên quan đến hàm sinh moment, cho phép khai thác thông tin chi tiết hơn về phân phối của các biến để có được giới hạn tốt hơn. Nó thường được sử dụng trong khoa học máy tính để phân tích các thuật toán ngẫu nhiên.

4.3. So sánh Bất đẳng thức Markov Chebyshev và Hoeffding

Bất đẳng thức Markov là cơ bản nhất, chỉ yêu cầu biết kỳ vọng và áp dụng cho các biến ngẫu nhiên không âm. Bất đẳng thức Chebyshev mạnh hơn, sử dụng cả kỳ vọng và phương sai để cung cấp giới hạn chặt hơn. Tuy nhiên, cả hai đều cho giới hạn giảm theo đa thức. Bất đẳng thức Hoeffding và các bất đẳng thức tập trung khác vượt trội hơn hẳn khi áp dụng cho tổng các biến độc lập, vì chúng cung cấp các giới hạn giảm theo hàm mũ, mô tả chính xác hơn hiện tượng "tập trung" của giá trị trung bình mẫu xung quanh giá trị trung bình thực sự khi kích thước mẫu tăng lên.

V. Kết luận và hướng phát triển của bất đẳng thức hàm phân phối

Nghiên cứu về bất đẳng thức hàm phân phối cho bài toán dữ liệu độ đo đã chứng tỏ là một hướng đi hiệu quả và đầy tiềm năng, kết nối các lĩnh vực toán học tưởng chừng xa rời như phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết học thống kê. Các kết quả tổng quát, như được trình bày trong công trình của Trần Cát Sử (2022), không chỉ thống nhất và mở rộng nhiều kết quả riêng lẻ trước đó mà còn cung cấp một "thuật toán chứng minh" có hệ thống. Phương pháp này, dựa trên việc kiểm tra các giả thiết đủ, cho phép áp dụng cho một loạt các bài toán chính quy nghiệm, từ dữ liệu dạng Divergence đến dữ liệu độ đo phức tạp. Sự thành công của phương pháp này nhấn mạnh tầm quan trọng của các công cụ từ giải tích điều hòa, như toán tử cực đại và Bổ đề phủ Vitali, trong việc giải quyết các vấn đề hiện đại. Tương lai của lĩnh vực này hứa hẹn nhiều phát triển thú vị. Một hướng đi là nới lỏng các giả thiết, đặc biệt là giả thiết Reverse Hölder (B1) và bất đẳng thức so sánh (B2), để bao quát một lớp các bài toán PDE rộng hơn nữa. Hướng khác là áp dụng các kỹ thuật tương tự vào các lĩnh vực mới như học máy thống kê và khoa học dữ liệu. Chẳng hạn, các bất đẳng thức tập trung có thể được tinh chỉnh để xử lý các cấu trúc dữ liệu phụ thuộc hoặc dữ liệu có đuôi nặng, những thách thức thường gặp trong phân tích dữ liệu thực tế. Cuối cùng, sự kết hợp giữa lý thuyết độ đo và lý thuyết thông tin có thể mở ra những hiểu biết mới về ước lượng mật độ và cấu trúc hình học của dữ liệu.

5.1. Tóm tắt đóng góp chính của phương pháp tiếp cận mới

Đóng góp chính là việc xây dựng một khuôn khổ tổng quát để chứng minh tính chính quy nghiệm. Thay vì các chứng minh đặc thù, phương pháp này cung cấp một bộ điều kiện kiểm chứng được. Nó đã thành công trong việc sử dụng hai toán tử cực đại cấp phân số M_α và M_β thay vì chỉ là toán tử Hardy-Littlewood kinh điển, đồng thời thiết lập mối quan hệ giữa các tham số α, β với các tham số của bài toán, làm cho kết quả trở nên linh hoạt và mạnh mẽ hơn.

5.2. Hướng nghiên cứu mở rộng trong lý thuyết học thống kê

Trong tương lai, các kỹ thuật từ bất đẳng thức hàm phân phối có thể được điều chỉnh để phân tích các thuật toán học sâu (deep learning). Việc hiểu rõ sự tập trung của gradient trong quá trình huấn luyện mạng nơ-ron là một bài toán mở quan trọng. Các công cụ từ lý thuyết độ đo có thể giúp mô tả không gian của các tham số mô hình, trong khi các bất đẳng thức tập trung có thể cung cấp các đảm bảo về sự hội tụ và sai số tổng quát hóa cho các kiến trúc mạng phức tạp.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. Kién thức chuẩn bj 11 i) £"(P) < e£"(B,(0)): ii) VEEN và ø € (0,r], nếu £"(Pñ B,(£)) > e£"(B,(£)) thì Q,(@) c 9. Khi đó tồn tại hang số C = C{n) > 0 sao cho L°(P) < Cz£"(©). 12 Chương 2 Bất đẳng thức hàm phân phối cho bài toán dữ liệu dạng Divergence 2.1 Giả thiết cho bài toán chính quy nghiệm Ô chương 2 này, mục tiêu của chúng tôi là di xây dựng một số bố đề để phục vụ cho việc xây dung ra một phương pháp chứng minh chung phục vu để khao sát tính chính quy nghiêm cho các bài toán có dữ liệu dang divergence qua dé thay được tính ứng dụng của bat dang thức phan ph6i trong việc đi kiểm tra tính chứng quy nghiệm.

đặt tién dé cho việc áp dung bắt dang thức hàm phan phối cho một bài toán tương tư những với dit liện độ đo. Dau tiên, chúng tõi sẽ trình bày một số điền kiện mà các hàm dai điện cho nghiệm và dữ liên théa man. Cho y > 1 và ham ¥ là ham khả tích địa phương trên ©+„/(} với € RE". Hàm 7⁄ được gọi là thỏa man Giả thiết 2.1 nêu tôn tại C = CÍn,+) > 0 sao cho: (f wearer).

<C'- Qe, fe) 1⁄(z)dz.1) TC) Gia thiết 2. Với rọ > cỗ định, hai hàm U,¥W được gọi là thỏa man Giả thiết 2.2 với số + € (0, +00] cho trước, nếu với mọi v € Q,r € (0 21, ta có thé tim được ham TỶ thỏa man Giả thiết 2.1 sao cho đánh giá sau luôn đúng với moi e € (0:1) f JU - Y|(z)dz < ef U({z)dz + C, 1 T(z)dz. Bắt ding thức hàm phân phổi cho bài toán dữ liệu dạng Divergence — 13 Giả thiết 2. Hai hàm U,W được goi là thỏa mãn Giả thiết 2.3 néu tén tại hàng sé C đương sao cho: U(z)dz < | tia.2 Các kết quả chính Bồ đề 2.

Choa € (0,n) và U,W € L'(Q; B+) thỏa mãn Giả thiết 2.3 vac, À > 0 sao cho VE(W, ec.5) trong đó Ty := diam(Q). Ap dụng tính bì chan của toán tử cực đại cấp phân số với s = 1, ta cô: dộ (2; ess") <e(((© `1) f vera)”" (2.6) Kết hợp với Giả thiết 2.7) Nhỡ vào điều kiên (2.4), ta tim được phan tử 2 € 2 sao cho Mu#(z¿) < ee,!A. Hơn nữa, theo định nghĩa toán tử cực đại cắp phan số Mu. ta lại có: J W(x)dz < Œ„Tạ" ƒ W(r)dz < Œ,Ty"^M,„W(zo) < Ca To? 22e.8) ta có được: ath di (\.z 5A) < C (:chMT SH Tạ", như vậy ta đã hoàn thành chứng minh Bốdé 2.

oO Chương 2. Bắt ding thức ham phan phổi cho bài toán dữ liệu dạng Divergence 14 Bé dé 2.9) Lai Khi đó với mại z € {Ú,zp) trong đó zạ đủ nhắ sao choc, “> 3” ta cá độ (n,@;e ®A) SS, gu (t,(©:= "7" A) (2.12) Nhờ vào giả thiết (2.9) ta tìm được một phan tử z¡ sao cho M, U(x) < A. e Với ? > ø, ta đánh giá Tƒ(|8J|?)(C) như sau: Dẫu tiên, ta có nhận xét sau: B. Từ đó, ta có thể đánh giá T? bằng cách làm trôi tích phân của U trên B,(¢} bởi tích phan của chính nó trên tập ÖØ„(z¡) bằng cách: TỆ(U)(C) = supz“ U(r}dr = sup THỜ ƒ U(r)dz r>e IB, fs) r>e BAS) Tae = sup (3r) of.

Bắt ding thức hàm phân phổi cho bài toán dữ liệu dạng Divergence — l5 e Với? € (0,ø} ta đánh giá M&(U7)}(¢) như sau: MỆ(U)(€) = sup r® f Xøz„(@U(z)dz < Ma(xø,„(U)(€)- G<r<g các) (3.14) Kết hợp các đánh giá (2. Mặt khác, Ve € {0, 2p) eer > 3" ta dễ thay “{ {c < ®,(© : T8(U)(Q > ca} ) =0, Từ day, kết hợp với đánh giá (2.12) ta được tị (ele) 2A) < đc gu (MEE A), như vậy ta đã có được điều phải chứng mình. Xét yw € (1, +%],+ € (1,^øÌ,œ € Ũ =) va hai ham U,% thỏa man Giả thiết 2.2 với số yy € (1, +00]. Khi đó với mọi ¢ vở cho ey > 3", thôa man VE{U, A} NACE) # 0 và VIC, cco 1A) NDE) # Ú, (2.15) với€ EN vag, A> 0 thì ta sẽ có bat đẳng thức sau đây: độ (0,(e;zA) < Ceo", (2.

Nếu B„„(€) C 2 thì ta chon R = 22 và v = ¢. Ngược lại, nếu Öạ„(€)n QC # Ú thì ta chon R = do và v € AN sao cho |€ — | = dist(£€, Ø9) < 2ø. Theo cách chon # và v như trên ta luôn có Øz„(£) C Brlv). Nhờ vay, ta có thể đánh giá về trái của (2.16) bằng cách áp dung Bồ dé 2.2 vớiz ~®” > 3" như sau: độ (9 s(6);£— "rmA) < đề, 2ø (9 ;(;< A).

Bắt đẳng thức hàm phân phổi cho bài toán dữ liệu dạng Divergence — 16 Mặt khác, áp dung bat dang thức tam giác ta luôn có Ư < C(|U = 1| + ¥), vì vay: di (Q6): PA) < e B v ( M ieE l> E A ) + Be 2s ạ|0—VỊ (n,©:c 58A) : (2.17) Đề tiếp tục đánh giá hai biểu thức ở về phải của (2.17) ta tiếp tục sừ dụng tính bị chan của toán tử cực đại cắp phan số lan lượt với s = 1 và s = 7 > 1. Dau tiên, ta viết lai đánh giá (2.17) duéi dang chứa tích phan trung bình như sau: =.18) nay Vì hầm ¥ théa man Giả thiết 2.1 nên ta có nhận xét sau: 1 Ũ Marae) <C ƒ V{(z)d(z).19) Bee) Bogle) Với 1 < + <~%, áp dung bat dang thức Hilder, ta có đánh giá: 1-> wa na) ( / " `) » + fet {z)|*d(z ) < ( f o s + =Ũ YGjJ»4ø)) : (L"(Balv))'TM, Balv) từ day, dan đến 4 ede Ũ reairac) S (f Wsj"a(9) Bulw) Briv) (2.20) ta có: i wera sc (f | viento) 2 2 1 ) Bún) Beale) cLí. Bắt đẳng thức hàm phân phối cho bài toán dữ liệu dang Divergence — 1T Mặt khác, từ giả thiết (2.15) ta có thể tim được hai phần tử zị, z¿ € 2,{¢) thỏa mãn M,„U(z¡} <= À và M,¥(22) < ze;7?A. Bên cạnh đó, ta day bao hàm thức sau: Borlv) C Bsp(U) C Đan, ¿(s\) 1 Bsn+¿(22) C Barsel2zi) 1 Bịn; ;(22).

Từ đó, ta có được đánh giá sau: Dosen Cems L°(Barlv) Ja, et Xưởng, on 1 < 2*(4R)-®M,U(z¡) < 2°R-^A. Tức là ta đã có được bat đẳng thức sau: f U(z)d(z) < 2"R~*À.22) Bogle) Một cách tương tự, ta cô 1 <2"——_a_- *{z)d(x} < 2"(4R)-°MaW (21) < 2*R—®ec, “LẠ. Nghĩa là ta đã đánh giá được f 1⁄'(z)d{+) < 2"R-^ze,"lÀ, (223) Bale) Dựa vào (2.23} ta suy ra: † | — |(z)d(z) < 2*(e + e£c.24), ta rút ra kết luận: độ (9©: ®A) <€ (22) Rˆ+C re + ae R". nay Chọn ¢ để e~ = > 3" và ec„~! € (0; 29) thì ta được (2.

oO Chương 2. Bắt đẳng thức ham phân phỗi cho bài toán dữ liệu dạng Divergence 18 2.3 Bất đẳng thức ham phan phối cho bài toán dữ liệu dang Divergence Dinh ly 2. s) và hai ham U,V thỏa man Giả thiết 2.2 với số xạ và Giả thiết 2. Khi đó tồn : ai ég € (0:1) sao cho độ (268): e537) < Œcd)(Q;À) + đ&(Q;ec, 1A), (2.25) với moi À > 0 và e € (0; eq}.

Chứng minh, Dau tiên, ta sẽ chứng minh bat dang thức san đây: f° (¥. — (226) Dé chứng minh bắt đẳng thức trên, ta cin sử dung bổ đề phủ Vitali với hai tap con của Ø được định nghĩa như sau: P= Vo (0,27 SA) nVs(M,ee,"'A) nữ, hay và Q:=V„(U. Đầu tiên ta dé thấy nếu P rỗng thì (2.26) hiển nhiên đúng. Do đó ta chỉ can xót trường hợp P # Ú.5) trong Bé dé 2.1 mà ta có điển kiện 2) của bổ để phủ Vitali, cụ thể là: LP) < độ (0e SA) <c c2)” co, TA) ”” £"(B,(0)) < eL"(B,(0)).27) Tiếp theo, điều kiên ii} sẽ được chứng minh bằng phan chứng.

Cụ thé, giả sử Np (E}N Q7 # 0, với € € @ và ø € (0,r], ta sẽ chỉ ra rằng: LP B,&)) < s£"(B,(6))- (228) Chương 2. Bắt ding thức ham phan phổi cho bài toán dữ liệu dạng Divergence — 19 Thật vay, trong trường hợp PN B,(€) = Ú ta có điều phải chứng minh, do dé ta có thé giả sử Ð f1 Ø;(£) # 0. Sử dụng đánh giá (2.16) trong Bồ dé 2.3, ta có đánh giá sau: =C [ela + c| £"(Ba(€)) < s£"(B,(€)).29) ta thấy rằng (( = ) ) = £!+zrẺT vac, > 1. Do đồ 2 các bắt đẳng thức này cũng đúng cho mọi ¢ € (0,29) với 29 đủ nhỏ để Cog? « 1 và ¥ n-ay eo >3.

Vậy theo bổ dé phủ Vitali, ta có £"{P) < Cz£"(Ø). Mat khác, ta lại có nhận xét Va (U: c7 257A) n9 = PU (YEW, cơT!À) NM), thay vào (2.26) ta được: fheay độ (Q,(€);<- 5 ) < Czdÿ(Q;À) + a3 (Qs ec.~«{— và hoàn thành chứng minh Dinh lí 2.4 Đánh giá chuẩn Lorentz cho bai toán dữ liệu Divergence Dinh lý 2. Cho + > 1 và a € | 5) hai hàm U, € L'(Q,R*) thỏa man Giả +. Khi đó với mọi o < q < - và Ú < s < +00 ta cá: n= ay M3 € L7"(0) > MU e L**(Q), dé chứng minh cho mệnh đề trên ta sẽ di chứng minh tồn tai một hang số C = Cín,*+,a, q, s) dương sao cho: IM.ey SC UMaMl ence: (2.

Nhờ vào Dinh lý 2.1 ta tìm được za đủ nhỏ sao cho với mọi £ € (0; sa} và A> O, ta có: độ (0,©:-®EA) < Ced9(Q; A) + đặ(Q: ec. Bắt ding thức ham phan phổi cho bài toán dữ liệu dang Divergence 20 Do A > 0 tùy ý nên ta có thế đổi biến A thành JA và lúc này chuẩn của M,U trong không gian L7*(Q) có thể viết lại dưới dang: IMU leony = đ°4 [ [A4§(9,ais—A W6 >> 0.32), ta có: lIM„Ull;.33) ^ Vái 0 < s < œ và Ú < g< , ta có thể chọn ¢ € (0,zạ} trong (2 33) để n—-ay’ a(t = not) 1 cs ~2 Khi đó ta có được đánh giá chuẩn Lorentz (2.30) trong trường hợp 0 < s < oo. Ta cũng có kết luận tương tu cho trường hợp s = +. Như vậy ta đã hoàn thành chứng mình Định lí 2.

L] Toàn bộ kết quả được xây dựng và trình bay trong chương 2 này đã được tôi thực hiện trước day dưới sự hướng dan của TS. Nguyễn Thành Nhãn và đã được Trường Đại học Su Phạm phê duyệt và đăng trên tap chí khoa học của trường [11]. 21 Chương 3 Bất dang thức phân phối cho bai toán dữ liệu độ đo 3.