Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương này trình bay tổng quan các khái niệm cơ bản uề trạng thái kết hợp tà trạng thái nén. Sau đó, chúng tôi trình bay chi tiết các tính chất phí cổ điển cụ thể như tính chất nén tổng, nén hiệu, nén Hiller bậc cao, tính chất phén chùm va sự ti phạm bắt đẳng thức Cauchy-Schwarz. Trạng thái kết hợp 1. Định nghĩa Vào năm 1963, Glauber [12] và Sudarshan [22] đã đưa ra khái niệm về trạng thái kết hợp.
Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg. Trạng thái Fock IA trang thé riêng của toán tử số hạt nghĩa là ñ |n) = alan), s2 In) = ey l0). (1) Trang thai Fock [n) là trạng thái có số hạt xác định và được khái quát hóa lên từ trạng thái chân không. Trong đó, trạng thái chân không là trạng thái mà tại đó không có hạt nào được kích thích và được kí hiệu |0), với â|0) =0, an) = vVn|n =1), ai |n) = vn + 1Ịa +1).5) v6i a = rexp (ig) là tham số kết hợp, r và ¿ lần lượt là biên độ và pha kết hợp; toán tử âÏ, â lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của trường điện từ và chúng tuân theo hệ thức giao hoán (16) 'Từ đồng nhất thức Backer-Hausdorff exp( + B) = exp(Â) exp(B) esp(—2IÂ.7) trong d6 cde toan tit A,B không giao hoán với nhau hay giao hoán tử Â,B là toán tử Ở nào đó, tức là [ÍA.
Từ đó ta được Ô(a)(œ) == exp(aâÌ exp( — a*â ) (18) = exp(aat) exp(—a*@) exp (—} [aat, -a*a]). Mặt khác 11 {aat,-a*a] = ƒ, [a,á!] = |alÊ.10) Khai trién hai thita s6 dau exp(aa!) và exp(—a*â) theo chudi Taylor của hàm dạng e? ta được ay (at)? 2 3I (1.11) exp(—a*â) (112) Tác dụng toán tử dịch chuyển Ô() lên trạng thái chân không |0) của trường điện từ và sử dụng (1.12) chúng tôi được D(a) [0) = exp(aal!)exp(—a"a) exp(—F lal?) |0) "`. Bởi vì ™ So ea gy = Coe ey = 0), " vn! sàn âÌ)* |0) (1. n=0 = exp(=Slal’)> =o = exp(—slal? ) (115) =o trong đó |n)— a _|0) là các trang thai Fock.
Do các trạng thái Fock là một hệ co sở đủ nên khai triển trạng thái kết hợp |a) theo trạng thái Fock |n) được la) =exp(—5lal 8n ¬ In).16) m0 Vì trạng thái kết hợp |a) là hàm riêng bên phải của toán tử hủy â ứng với giá trị riêng œ hay |a) là trạng thái riêng của toán tử hủy photon với giá trị riêng là œ, ala) = ala).17) Lay lién hgp Hermite (1.17) ta được (@|a))* = (al a* = (a|âÌ, (1.17) có thể được chứng minh tường minh như sau ala) =aexp(—lal ay vat = =. no —vnh=1) = exp(—Flal Vos n=0 =ala). 13 Để làm rõ sự khác biệt giữa trạng thái Fock và trạng thái kết hợp, chúng tôi xét đến phương sai của trạng thái Fock (an?) =0, (1.19) còn đối với trạng thái kết hợp thì (A2) = la}. (120) Chúng tôi thấy rằng đối với trạng thái Foek |n) số hạt có thể đo một cách chính xác nhưng đối với trạng thái kết hợp |a) thì có sai số khi đo, cụ thể là sai số tỉ lệ với trung bình số hạt.
Trang thái kết hợp khác trạng thái Fock là vì trạng thái kết hợp chứa. một số photon không xác định và toán tử hủy không làm thay đổi trạng. thái này Như vậy, trạng thái kết hợp là trạng thái riêng của toán tử hủy thỏa.17) và toán tử hủy không làm thay đổi trạng thái này với a là số phức và exp (—}) là hệ số chuẩn hóa. Các tính chất của trạng thái kết hợp u rõ trạng thái kết hợp chúng tôi tiếp tục đưa ra những tính chất của trạng thái kết hợp như sau.
Tính chất 1: Phân bồ số hạt ở trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson. Do số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |a) là 14 (nr) = (a |Ala) (121) = (a ata| a) = |al? và phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp như trong (1.20) la ((Aa)) = (ta - @))?) = (Y= (ay? | A? Ja) — ((a A Ja)) ja) = ((a| aaa)? = lal? (al ai(ata + 1)@|a) — Ja|* #+ |a|?— niên suy ra (a) = (An), hay trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson. Mặt khác, xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |a) là Pín) = |ín | a)Ÿ 3n exp (-Ial). (122) That vay, tit (1.23) trong đó P(n) là ham phan bé Poisson, ham phan bé Poisson la ham phân bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn.
Trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển. 'Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp |a) là một tập hợp đủ = la) (alda = 1.24), ta được [Iaelta= [< Sản nộ 7 (ml da, (1.25) = m=0 trong đó œ = rexp(¿) là số phức bất kỳ. Chuyển sang tọa độ cực ta được đ?a = rdrde, do đó a cor hộ s2 28 ptm gi(n—m)e fi (ala? om [rar [te na |n) (mỊ.26) on với f el ™Pdy = 25 ny nOn suy ra fi (ala “nà hốe— ¬h) (n| 3 (1.27) MA tich phan Poisson J = f e~"r?"*!dr = 2 nén / la) (al@a = 7, hay ta có se)!) (ald?a = Sohn) (nl =L (128) n=0 16 Tinh chất 3: Các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa (a| a) = 1 nhưng chúng lại không trực giao với nhau, nghĩa là với a # đ thi (al 6) # 0. Thật vậy từ định nghĩa trạng thái kết hợp |a), ta có (129) niên ta có (a|) =exp = exp =exp = exp (1.31) Điều này cho thấy khi œ 4 8 thi exp (-Ia - 5Ú) # 0, nghĩa là các trang thái kết hợp không trực giao với nhau.
Hệ quả của sự không trực giao là bất kì trạng thái kết hợp nào cũng có thể được khai triển theo các trạng. 17 thái kết hợp khác [7|. Nghĩa là, la)= =z [ Io) (al a") 2a =2 | #ala) sat Loe _lp gIalŸ+efatre Ln = gla).— (139) Nên ta có thể kết luận rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành hệ đủ. Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất định nhỏ nhát, nghĩa là (aa)S3\ ) (A2)//A22\— ) “1:1 (133) Thật vậy, với toán tử tọa độ và xung lượng được định nghĩa như sau giá! +â), iy =8).36) ALS 18 Phương sai của toán tử ê từ (1.37) và phương sai của toán tử 2 từ (1.38) Ta thấy từ (1.
hay ta có (A2 »?) ) (A2)(cape) ) =“1s:2 (139) Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bất định Heisenberg.39) được gọi là giới hạn lượng tử chuẩn. Như vậy, các trạng thái kết hợp là các trạng thái cho phép thực hiện các phép đo đồng thời £ và Ð với sai số nhỏ nhất. Và đây cũng là tính chất quan trọng nhất. Trạng thái nén Vào năm 1970, Stoler [23] đã đưa ra các khái niệm về trạng thái nén và năm 1979 Hollenhorst [14] đã đặt tên chúng.
Trạng thái nén đã được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987 [19]. Từ hệ thức bất định Heisenberg với hai toán tử A,B lần lượt là các toán tử biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A, Ø. Theo cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật 19 lý không đo được đồng thời thì hai todn tit A,B khong giao hoán với nhau, nghĩa là [4,8] = AB-BA=C.40) Hệ thức bất định trong trạng thái bất kỳ |¿) của hệ (es9(aø9>1\(13)[=5) - am 4 'Trong đó, phương sai (A4) là đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được A quanh giá trị trung bình lượng tử (4) cha dai lugng A = ((aa)') = (4 - (4) ) với ((4)) = (yl Aly).42) Cu thé eee và Ô~ (1)?thì é=|#.43) Đối với trang thai Fock |n) ta có (nl (9?) In) = cn (( pms )) im? =i (n| (a! +a)"|n) — giới (at +4) [ny]? =} ((n| ai? jn) + (n| a? In) + (n] ata |n) + (n| aat |n)) ~ 2 ((nlâ! In) + (nla|m))Ÿ Je +n+1) =F 2n +1).44) 20 Tuong tu on (ayo =r ((2)') me ((P)) "= () - (8) 2 =- ; {n| (at — â)Ÿ In) + in (ất — â) In]? =- ; ((n] a? |r) + (n]@ In) = (| In) — (n| aa |n)) In) — (n|@|n))? 1 ==Cn=n=1) ~11 (ðn +1).46) Đối với trạng thái kết hợp (a|(AX)?la) = (al (AP)? a) = 3.47) ta thấy rằng nếu ở trạng thái kích thích các trạng thái Fock luôn thỏa mãn hệ thức bất đình Heisenberg hay luôn thể én dau lớn hơn trong hệ thức bất định Heisenberg, còn trạng thái kết hợp thì đấu bằng xảy ra. Suy ra các trạng thái kết hợp được gọi là trạng thái độ bất định tối thiểu.
Bên cạnh đó, xem xét hệ thức bất định Heisenberg ta thay ring cơ lượng tử chỉ áp đặt sự bát định lên tích của thăng giáng (A4) (Aø)). Hệ thức này hoàn toàn không vi phạm nếu một trong hai thăng giáng là bé và thăng giáng kia rất lớn. Một 2 trạng thái được gọi là nén với lại lượng A nếu thỏa mãn (a4) < LOL - KL (1.48) 4 2 vi LO! bị độ bắt định ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Nên một trạng thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn thì trạng thái đó gọi là trạng thái nén.
Trạng thái nén lý tưởng là trạng thái mà các thăng giáng lượng tử bằng giới hạn lượng tử chuẩn. Các tính chất phi cổ điển 1. Tính chất nén tổng Xét trường hợp nén tổng hai mode được đưa ra bởi Hillery [13]. Nén tổng hai mode nghĩa là chúng ta có hai photon, một photon có tần.
số œ và một photon có tần số œ„ kết hợp thành một photon có tần số We = Wa + Wh. Toán tử nén tổng được định nghĩa như sau Vs = ; (ca! + e 1940), 2 Vos) = 5 1 (cloatst + c169a8), (149) với âÌ, â và ñÌ, Ð lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của mode ø và mode b. Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán [Yoñữ,.50) “ trong đó Ay = a4, Ay, = b' 1a todn tit sé hat ciia mode a va mode b. Hơn nữa, chúng luôn thỏa mãn hệ thức bất dinh Heisenberg AfAf(„.51) Một trạng thái được gọi là trạng thái nén tổng hai mode néu trung bình trong trạng thái đó thỏa mãn bất đẳng thức sau ¬.
Đây chính là điều kiện để chúng tôi khảo sát tính chất nén tổng hai mode của trạng thái hai mode SU(1,1) thém mét photon chin trong chương hai.