Chương 1 MOT SO VAN DE TONG QUAN Chương này trình bay tổng quan về giếng lượng tử; ham sóng à phổ năng lượng của electron trong giếng lượng tử thế hụperbol; Hamillonian của hệ eleetron - phonon; ly thuyét phản ứng tuyến tính uà phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái. Tổng quan về giếng lượng tử thế hyperbol 1. Tổng quan về bán dẫn thấp chiều Các hệ thấp chiều (low-dimensional system) tạo ra một cuộc cách mạng trong vật lí bán dẫn. Chúng dựa trên cơ sở công nghệ của các đị cầu trúc (heterostrueture) trong đó thành phần của một chất bán dẫn có thể thay đổi trên phạm vi nanômét.
Chẳng hạn một lớp GaAs bị kẹp ở giữa hai lớp AlGaAs tác động giống như một giếng lượng tử cơ bản. Các mức năng lượng bị tách ra nếu hố đủ hẹp và tất cả các điện tử có thể bị bẫy trên mức thấp nhất. Chuyển động song song với các lớp không. bị ảnh hưởng và các điện tử chuyển động tự do theo các hướng này.
Kết quả là một chất khí điện tử 2 chiều và các lỗ trồng có thể bị bãy theo cùng một cách. Vào cuối thế kỷ 20, vật lí chất rắn chuyển hướng nghiên cứu từ tỉnh thể khối sang màng mỏng và cấu trúc nhiều lớp với nhiều tính chất vật lí mới trong đó có hiệu ứng giam giữ lượng tử. Trong các cấu trúc có kích thước bé, các hạt dẫn bị giới hạn trong các vùng có kích thước đặc trưng vào eỡ bước sóng de Broglie và chịu tác động của các qui luật cơ học lượng tử. Chẳng hạn phổ năng lượng của các hạt dẫn trở thành gián đoạn theo phương bị giam giữ.
Khi đó, điện tử chỉ chuyển động tự do theo hai chiều và được gọi là khí điện tử hai chiều. Cầu trúc với khí điện tử hai chiều có nhiều tính chất khác thường so với cấu trúc của các hệ hat dan ba chiều. Ví dụ như hiệu ứng Hall lượng tử (1980). Các cấu trúc tương tự ngày càng phổ biến trong nhiều linh kiện bán dẫn mới nhất là trong quang điện tử.Tsu là người tạo ra siêu mạng (su- perlattiee) bán dẫn đầu tiên.
Đó là một cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp xen kẽ của hai chất bán dẫn khác nhau có độ dày lớp cỡ nanômét. Siêu mạng thuộc về cấu trúc nanô (nanostructure). Sự tuần hoàn nhân tạo là do vàng Brillouin bị gập lại thành các vùng Brillouin nhỏ hơn gọi là các vùng mini. Các cấu trúc nanô thu được nhờ các công nghệ hiện đại như MBE (molecular beam epitaxy), MOCVD (metal-organic chemical vapor de- position),.
Cong nghé này có khả năng tạo ra các cấu trúc với phân. bố thành phần tuỳ ý và với độ chính xác tới từng lớp phân tử riêng rẽ. Siêu mang và giếng lượng tử QW (quantum well) là các cầu trúc nanô phẳng hay hai chiều. Cấu trúc nanô một chiều gọi là dây lượng tử QW: (quantum wire).
Cầu trúc nanô không chiều gọi là chấm lượng tử QD (quantum dot). Tổng quan về giếng lượng tử Bán dẫn giếng lượng tử là một trong những ví dụ của các tỉnh thể dị cấu trúc. Khi đặt một lớp mỏng bán dẫn có vùng cấm hẹp giữa hai lớp chất bán dẫn khác có vùng cắm rộng hơn ta được một cấu trúc gọi là giếng lượng tử. Đó là các tỉnh thể nhân tạo gồm các vật liệu khác nhau.
được "nuôi" cấy trên bề mặt của một tỉnh thể dày hơn. Bề dày của lớp tỉnh thể được "nuôi" cấy có thể điều chỉnh với độ chính xác cỡ nguyên. Khi đó, ta có thể dễ dàng đạt được kích thước phù hợp để có thể quan sát được hiệu ứng giam giữ lượng tử với electron. Bán dẫn giếng lượng tử đơn giản nhất có thể nuôi cấy được là trường, hợp cấu trúc GaAs/GaAlAs được nuôi lớn trên đế GaAs.
Khi dé mot lớp bán dẫn GaAs có bề dày cỡ 10 nm được đặt xen kẽ giữa hai lớp bán. dẫn GaAlAs có bề dày lớn hơn, độ rộng vùng cấm của GaAlAs lớn hon so với GaAs. Vì vậy các hàng rào thế được sinh ra tại các biên tiếp xúc, giữa các lớp bán dẫn hình thành nên một giếng thế ở lớp GaAs gọi là giếng lượng tử. Khi đó các electron bị "giam nhốt" trong các giếng thế này, chúng có đặc điểm chung là chuyển động theo một phương nào đó bị giới hạn mạnh.
Lúc này, chuyển động của electron theo trục đó bị lượng tử hóa, eleetron chỉ còn chuyển động tự do trong mặt phẳng của hai trục còn lại. Có nhiều loại giếng lượng tử với các thế khác nhau, ví dụ giếng lượng tử thế chữ nhật, thế tam giác, thế parabol, thế hyperbol. Trong giới hạn luận văn này tôi chỉ đề cập đến giếng lượng tử thế hyperbol. 11 * Giải phương trình Sehrodinger theo chiều z [17]: Me hề (E~ V(2)|0().
(18) trong đó V(z) là một hàm thực liên tục theo biến z. Phương trình Schrodinger tương đương với phương trình Riccati d 2m, =a {E - V(2)] - o(2)°, (19) trong đó ó(2) = 0(2)~!dJ(z)/dz là đạo hàm logarit của hàm sóng (2). Trong phương trình (1. Đặc biệt, khi z tăng qua một nút của hàm sóng j(z) thì hầm ø(z) giảm đột ngột từ +oe đến —oo và sau đó lại giảm tiếp.
Quy tắc lượng tử chính xác mới thu được cho phương trình Schrodinger theo bién z là, 7 ke) = Nz+ [” (2) [=] [22] ° dz, (1. W=n+1 là số nút của ø(z) trong miền E > W(z) và lớn hơn số nút n của hàm sóng U(2). Số hạng đầu tiên z là sự đóng từ đạo hàm logarit của hàm sóng, số hạng thứ hai được gọi là hiêu chỉnh lượng tử. Đối với tắt cả các hệ lượng tử giả được chính xác, hiệu chỉnh lượng tử này độc lập với số nút của hàm sóng của hệ.
Điều này có nghĩa rằng ta có thể xét trạng. thái cơ bản khi tính toán hiệu chỉnh lượng tử se [%e] Í#] « (1.12) trong đó ”0° chỉ trạng thái cơ bản. Tuy nhiên, xung lượng k(2) trong về trái của quy tắc lượng tử hóa chính xác mới (1.10) có liên quan tới các 13 mức năng lượng F„. Như vậy các mức năng lượng của hệ có thể tách được từ trạng thái cơ bản.
* Thế hyperbol nghiên cứu ở đây được đề xuất bởi Schioberg, nó có dạng V(z) = DỊI - øeoth(az)]3, (1.13) trong đó D, œ và ø là ba tham số mô tả tính chất của thế.14) và sử dụng công thức coth?(az) = 1 + cosh*(az) (1.15) thì phương trình Schrodinger được viết lại như sau: hề d2 W(z) + Dio? cosh?(az) — 2ø coth(az)]j(z) = _ 2m,dzẺ Đặt Uạ = D9); U = 2Dơ, (1.17) khi đó ta được phương trình Pe 3 ~smm„ g0) + [Uucosh”(az) — Ủi coth(az)]0(z: ) = Bu(e).18) Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu hệ này bằng quy tắc lượng tử chính xác. Sử dụng biến mới w = coth(az), ta có du dz = —acosh*(az) = —a(u? — 1).19) Hai diém quay u4 va ug duge xdc dinh bing cach giai phương trình V{u) = Uạ(w2 — 1) — Uyu = Ê U; — \/4EU + U2 + 4UỆ U, + \/4EU + U2 + 42 ua= 2D te Wo , (1.20) 14 y = Ua(uP — 1) — Uyu, uẠ+ugp= CU, uạng=—— —. (120 Uo Uo— Xung lượng k(2) giữa hai điểm quay được biểu diễn như sau k(z) = 2Hy Bn Upu? + Uyu + Uo, 4k — _ vV2mUụ u — U\/2Ua (122) du ho VE,—Ugu®+Uyu + Uy Phương trình Riccati (1. Đối với trạng thái liên kết, nghiệm khả đĩ của phương trình Riccati (1.9) thỏa mãn các điều kiện trên là đo(u) = Cu — B(C > 0).
'Thay óo(0) vào phương trình (1.23), ta được ac = 2mUo “TP = C8, o= 2meleh oe, (29 2m, aC=~ (Ey + Up) — BỀ. Kết quả là a 8mUo t= 2 (14/14), c-šÍ+ SP) B= mU, Gye? „ do f==Cu-B, Cu-B, (12 (125) đu- = ào he (cac-» 2 2meUo ¬. RC? mU? nh.26) Trong tính toán của hiệu chỉnh lượng tử (1.12) và tích phân của xung lượng &(z) trong quy tắc lượng tử (1.10), ta sử dụng các tích phân 15 sau: oo J mm.27) za a (2B — 2)(2 — 2a) Geog 1, (a+) Vp—2)G—2a) Vb+azaP+uzn) Bay gid ta suy ra hiệu chỉnh lượng tử (1.13) dựa vào trạng thái cơ bản đia(2)] [đóa(2)] [roo fe + vðm,Dn (u= B/©)|u = U20) — ah J„„ (1—19)Vug—u)(n— uẠ) oe (1-1?) + u(B/C + Ui/2Uo) — (1+ XI) a- ị (u— ua)(ug — 5 v2m.ÙU Slut hp, (1.29) ah {f° TETAS " 7 trong đó h -ƒ u(B/C + Ui/2Uo) = (1+ 2a) 5, ua (1—u*) (eaten u) = fe ng 8+3 au 1 sau lu 2(1—u)y 6= uA)(mg—t) x Œ - 1), (1.30) trong đó ta đã kí hiệu ¬ UB BOY B= (+): Y= Gt og (1.31) Như vậy ta có thé thu được hiệu chỉnh lượng tử ự éo(2) [Ae] [2 dz= rend + É - 1) „ (139) không phụ thuộc vào tham số U¡. Tích phân của xung lượng k(2) trong quy tắc lượng tử (1.10) được tính như sau 16 trong đó b= st + 16kØ?|, (1.
(142) Thay phương trình (1.40) vào phương trình (1.38) ta thu được phương trình siêu bội có dạng sau: (1 vu &F(v) + BB+ 1-025 ‹ +28 + 3) dF(v) (1.44) Nghiệm của phương trình trên có dạng.48) Khi xét tính giới nội của nghiệm thì điều kiện lượng tử được cho bởi 1+ð+Ø~ V? + 4kø(1 — ø) + ô(ô + 1) = n, n=0,1,2,.50) B= 2(n+6+1) Thay vào phương trình (1.36) ta được các giá trị riêng của năng lượng. 18 20h? { [” +1)? — 4kø(1 — ø) + (9n + 1ổ 2 E,=- 2n+ð+1) | -#q-e Me n+1)? — 4ko(1 — 0) + (Qn + 1)8]° 2(n+d+1) | Ỷ (152) Bây giờ ta tìm dạng của hàm sóng của hệ. Sử dụng hệ thức (1.49), ta có thể viết dạng của hàm sóng như sau: 9(0) = N(L— ø)Š 99 oFi(—n,n + 9(ð + 8+ 1):98+ 1:9), — (1.53) trong đó Ñ được xác định từ điều kiện chuẩn hóa ƒ Š_ ¿(0)®du = 1. Điều kiện chuẩn hóa được viết lại như sau: 1 N? [ (1—v)?O Dy?Fi (—n, n + 2(6 + 8 + 1); 28 + 1:0)/dv = 1, 2a 0 (1.54) từ đó, ta được biểu thức của hệ số Ni B) nT N= Inl(n +6 + 1)(n + 2(Š+ 8 + 1))„E(1 + 28)P(n + 26 trong đó kf hiéu (a),, duge dinh nghia nhu sau: (a), = Re (1.56) Vay hàm sóng và năng lượng trong toàn bộ giếng lượng tử với thế hyperbol, tương ứng với nghiệm của phương trình (1.1) là 1 pitta thw) Whee kyn.
Hamiltonian của hệ electron tương tác với phonon trong giếng lượng tử Xét hệ electron va phonon cita ban din dat trong điện trường ngoài biến thiên theo thời gian 3 E(t) = So Eyjeje™", (1.59) ja là vectơ don vi theo phuong j, Ep; va w là biên độ theo phương, 7 và tần số của trường ngoài.