Handbook of Mathematics 6e - Cẩm nang Toán học nâng cao cho Kỹ sư và Sinh viên

Sổ tay Toán học 6e Bronshtein & Semendyayev. Cung cấp công thức, định nghĩa, bảng biểu toàn diện, thiết yếu cho sinh viên, kỹ sư, nhà khoa học.

• Tác giả: I. Bronshtein
• Chuyên ngành: Mathematics
• Đề tài: Handbook of Mathematics
• Loại tài liệu: Handbook
• Năm xuất bản: 2005
• Địa điểm: Frankfurt am Main

Tóm tắt

I. Giải mã Handbook mathematics 6e Sổ tay toán học cho kỹ sư

Cuốn Handbook of Mathematics 6e by Bronshtein and Semendyayev là một tài liệu tham khảo kinh điển, đóng vai trò nền tảng cho nhiều thế hệ kỹ sư, nhà khoa học và sinh viên kỹ thuật trên toàn thế giới. Xuất phát từ phiên bản gốc tiếng Nga, tác phẩm này đã được dịch và cải tiến qua nhiều phiên bản, nổi bật nhất là các ấn bản do Springer-Verlag phát hành. Phiên bản tiếng Anh thứ năm, dựa trên ấn bản tiếng Đức thứ sáu (2005), là một công trình đồ sộ được biên soạn lại và mở rộng đáng kể bởi Gerhard Musiol và Heiner Mühlig. Mục tiêu của họ là duy trì phong cách nguyên bản của các tác giả Ilya Bronshtein và Konstantin Semendyayev: "ngắn gọn, dễ hiểu, tiện dụng nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác toán học ở mức độ phù hợp với nhu cầu của kỹ sư". Đây không chỉ là một cuốn sách công thức đơn thuần mà là một sổ tay toán học cao cấp toàn diện, trình bày từ các lĩnh vực toán học cổ điển đến các chủ đề hiện đại có tầm quan trọng ngày càng tăng trong mô hình hóa khoa học kỹ thuật. Cuốn sách bao gồm các chương như Số học, Hàm số, Hình học, Đại số tuyến tính, và cả các lĩnh vực mới như Hệ thống động lực và Hỗn loạn, Tối ưu hóa, và Phân tích số. Với hơn một nghìn hình minh họa và nhiều bảng biểu, nó thực sự là một mathematical reference book không thể thiếu. Cuốn sách này, với mã ISBN 978-3-662-62963-7, đã trở thành một công cụ làm việc hiệu quả, giúp người đọc truy cập nhanh chóng thông qua cấu trúc rõ ràng và các chỉ dẫn trực quan.

1.1. Lịch sử hình thành từ Taschenbuch der Mathematik

Lịch sử của cuốn sách bắt nguồn từ tác phẩm gốc tiếng Nga của nhà toán học Ilya Bronshtein và kỹ sư Konstantin Semendyayev. Ban đầu, nó được thiết kế dành riêng cho các kỹ sư và sinh viên các trường đại học kỹ thuật. Tác phẩm nhanh chóng được đón nhận rộng rãi, vừa là sách tham khảo, vừa là giáo trình. Sau đó, sách được dịch sang tiếng Đức với tên gọi Taschenbuch der Mathematik và trở thành một tài liệu quen thuộc tại các nước nói tiếng Đức. Nhiều thế hệ kỹ sư và nhà khoa học tự nhiên đã sử dụng nó trong quá trình đào tạo và làm việc. Nhận thấy tiềm năng và giá trị của cuốn sách, nhà xuất bản Harri Deutsch đã ủy quyền cho Gerhard Musiol và Heiner Mühlig thực hiện một phiên bản sửa đổi và mở rộng đáng kể vào năm 1992, nhằm cập nhật các kiến thức thực tiễn hiện đại theo yêu cầu của đông đảo người dùng.

1.2. Vai trò của Springer Verlag và các phiên bản cải tiến

Nhà xuất bản Springer-Verlag đóng vai trò quan trọng trong việc đưa cuốn sách tham khảo toán này đến với độc giả toàn cầu thông qua các phiên bản tiếng Anh. Phiên bản tiếng Anh thứ năm (Fifth English Edition) tương ứng với phiên bản tiếng Đức thứ sáu (2005) đã được cải tiến và mở rộng. Các chương sách không chỉ giữ lại tinh hoa từ các ấn bản trước mà còn được làm mới, cập nhật và bổ sung. Gerhard Musiol và Heiner Mühlig đã chú trọng đến các lĩnh vực toán học có tầm quan trọng trong mô hình hóa các quy trình kỹ thuật và khoa học hiện đại. Điều này biến cuốn sách thành một nguồn tài nguyên quý giá, vượt xa một cuốn cẩm nang thông thường, và trở thành một tài liệu học thuật đáng tin cậy cho bất kỳ ai làm việc với các ứng dụng của toán học.

II. Thách thức tra cứu toán kỹ thuật và giải pháp từ Bronshtein

Trong lĩnh vực kỹ thuật và khoa học ứng dụng, một trong những thách thức lớn nhất là tìm kiếm và áp dụng đúng các công thức toán học và phương pháp giải quyết vấn đề. Các kỹ sư và nhà nghiên cứu thường xuyên phải đối mặt với một khối lượng kiến thức toán học khổng lồ, từ giải tích, đại số tuyến tính đến các phương trình vi phân và xác suất thống kê. Việc tra cứu thông tin từ nhiều nguồn rời rạc, không nhất quán có thể dẫn đến sai sót và tốn nhiều thời gian. Hơn nữa, nhiều tài liệu toán học thường quá nặng về lý thuyết, tạo ra một khoảng cách lớn với ứng dụng thực tiễn. Cuốn Handbook of Mathematics 6e by Bronshtein and Semendyayev ra đời để giải quyết chính những vấn đề này. Nó không chỉ là một bảng tra cứu toán học mà còn là một hệ thống kiến thức được sắp xếp một cách logic và khoa học. Cuốn sách cung cấp một cái nhìn tổng quan nhưng chi tiết về các lĩnh vực toán kỹ thuật, giúp người dùng nhanh chóng tìm thấy công cụ cần thiết. Phong cách trình bày súc tích, tập trung vào ứng dụng giúp thu hẹp khoảng cách giữa lý thuyết và thực hành, biến các khái niệm toán học phức tạp trở nên dễ tiếp cận hơn. Cuốn sách này hoạt động như một cầu nối, cung cấp nền tảng vững chắc để giải quyết các bài toán kỹ thuật một cách hiệu quả và chính xác, là một sách toán cho kỹ sư thực thụ.

2.1. Khó khăn khi tìm kiếm công thức toán học đáng tin cậy

Một trong những khó khăn chính là việc xác định nguồn thông tin toán học đáng tin cậy. Internet chứa đựng vô số tài liệu, nhưng không phải tất cả đều chính xác hoặc được kiểm chứng. Các sách tham khảo toán truyền thống thì đôi khi đã lỗi thời hoặc không đủ bao quát các lĩnh vực mới. Kỹ sư cần một nguồn tài liệu duy nhất, toàn diện, nơi mọi công thức toán học và định lý đều được trình bày với độ chính xác cao. Handbook of Mathematics đáp ứng yêu cầu này bằng cách tổng hợp kiến thức từ các chuyên gia hàng đầu và được xuất bản bởi Springer-Verlag, một đơn vị uy tín trong giới học thuật.

2.2. Khoảng cách giữa lý thuyết và ứng dụng engineering mathematics

Nhiều giáo trình toán học tập trung sâu vào chứng minh lý thuyết mà ít đề cập đến cách áp dụng trong thực tế. Điều này tạo ra một rào cản cho sinh viên và kỹ sư khi cần vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề cụ thể trong engineering mathematics. Cuốn sổ tay của Bronshtein và Semendyayev được thiết kế đặc biệt để khắc phục nhược điểm này. Nó trình bày các khái niệm toán học theo hướng ứng dụng, đi kèm với các ví dụ, hình minh họa và bảng biểu, giúp người đọc không chỉ hiểu 'cái gì' mà còn hiểu 'làm thế nào' để sử dụng công cụ toán học đó trong công việc hàng ngày.

III. Cấu trúc toàn diện của Handbook mathematics 6e Bronshtein

Điểm mạnh vượt trội của Handbook of Mathematics 6e by Bronshtein and Semendyayev nằm ở cấu trúc nội dung toàn diện và logic. Cuốn sách được chia thành nhiều chương, bao quát gần như toàn bộ các lĩnh vực toán học quan trọng đối với kỹ sư và nhà khoa học. Nội dung không chỉ dừng lại ở các kiến thức nền tảng mà còn đi sâu vào các chuyên đề nâng cao, đáp ứng nhu cầu tra cứu từ cơ bản đến phức tạp. Các lĩnh vực toán học kinh điển như Số học, Hàm số, Hình học, Đại số tuyến tính, Giải tích vi phân, Giải tích tích phân, và Phương trình vi phân được trình bày một cách hệ thống. Mỗi chương được xây dựng để cung cấp một nền tảng lý thuyết vững chắc, theo sau là các công thức toán học quan trọng, các định lý và ví dụ minh họa. Bên cạnh đó, cuốn sách dành sự quan tâm đặc biệt cho các lĩnh vực toán học hiện đại đã và đang trở nên thiết yếu trong kỷ nguyên số. Các chương về Tối ưu hóa, Phân tích số, Hệ thống động lực và Hỗn loạn, Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học được bổ sung và cập nhật. Sự kết hợp giữa cổ điển và hiện đại làm cho cuốn sổ tay toán học cao cấp này trở thành một công cụ mạnh mẽ, giúp người dùng nắm bắt được bức tranh toàn cảnh của toán ứng dụng. Đây là một mathematical reference book đúng nghĩa, phục vụ cho cả mục đích học tập và nghiên cứu chuyên sâu.

3.1. Các lĩnh vực toán học kinh điển được hệ thống hóa

Cuốn sách dành phần lớn nội dung để hệ thống hóa các lĩnh vực toán học kinh điển. Các chương đầu tiên bao gồm "Số học", "Hàm số", "Hình học", "Đại số tuyến tính", "Đại số và Toán học rời rạc". Các phần tiếp theo đi sâu vào giải tích với "Phép tính vi phân", "Phép tính tích phân", "Phương trình vi phân". Mỗi chủ đề được trình bày rõ ràng, từ định nghĩa cơ bản đến các công thức phức tạp, giúp người đọc dễ dàng tra cứu và áp dụng. Phần phụ lục của sách là một bảng tra cứu toán học khổng lồ, chứa các chuỗi khai triển, tích phân bất định và xác định, các phép biến đổi tích phân và các phân phối thống kê, cực kỳ hữu ích cho công việc thực hành.

3.2. Chuyên đề toán học hiện đại và mô hình hóa ứng dụng

Để đáp ứng nhu cầu của khoa học kỹ thuật hiện đại, các tác giả Gerhard Musiol và Heiner Mühlig đã mở rộng đáng kể nội dung với các chuyên đề mới. Các chương như "Quy trình ngẫu nhiên và Chuỗi ngẫu nhiên", "Tính toán sai số", "Hệ thống động lực và Hỗn loạn", "Tối ưu hóa", và "Phân tích số" được đưa vào. Thậm chí, sách còn có một chương về "Sử dụng Máy tính" và "Hệ thống Đại số Máy tính", phản ánh tầm quan trọng của công nghệ tính toán trong toán học ứng dụng ngày nay. Những bổ sung này đảm bảo cuốn sách toán cho kỹ sư luôn phù hợp và cập nhật với xu hướng phát triển của khoa học và công nghệ.

IV. Phương pháp trình bày khoa học của Handbook mathematics 6e

Một trong những yếu tố làm nên thành công của Handbook of Mathematics 6e by Bronshtein and Semendyayev chính là phương pháp trình bày khoa học và thân thiện với người dùng. Các tác giả đã duy trì một phong cách nhất quán: "ngắn gọn, dễ hiểu, tiện dụng, nhưng có độ chính xác toán học cao". Điều này có nghĩa là mỗi khái niệm, định lý và công thức đều được diễn giải một cách trực tiếp, tránh những lối viết hàn lâm, phức tạp không cần thiết. Cuốn sách được thiết kế để phục vụ mục đích tra cứu nhanh. Cấu trúc rõ ràng, hệ thống chỉ mục chi tiết và các tab màu giúp người dùng định vị thông tin cần tìm một cách hiệu quả. Hơn 1000 hình ảnh minh họa và 142 bảng biểu đóng vai trò quan trọng trong việc trực quan hóa các khái niệm trừu tượng, giúp người đọc nắm bắt vấn đề nhanh hơn. Thay vì chỉ liệt kê các mathematical formulas and tables, cuốn sách còn giải thích ngữ cảnh và điều kiện áp dụng của chúng. Sự kết hợp giữa tính chính xác, sự súc tích và thiết kế trực quan làm cho cuốn sách tham khảo toán này trở nên vượt trội so với các tài liệu khác. Dù là bản in truyền thống hay phiên bản ebook toán học, trải nghiệm người dùng luôn được đặt lên hàng đầu, giúp giảm thiểu thời gian tra cứu và tối đa hóa hiệu quả công việc.

4.1. Thiết kế trực quan Bảng biểu hình minh họa và chỉ mục

Để nâng cao hiệu quả tra cứu, cuốn sách sử dụng rất nhiều yếu tố thiết kế trực quan. Các bảng biểu được trình bày rõ ràng, tổng hợp các thông tin quan trọng như đơn vị vật lý trong Hệ SI, các hằng số toán học, khai triển chuỗi, và tích phân. Hình minh họa được sử dụng để làm rõ các khái niệm hình học, đồ thị hàm số và các cấu trúc phức tạp. Hệ thống chỉ mục (index) cuối sách cực kỳ chi tiết, cho phép người dùng tìm kiếm theo từ khóa một cách nhanh chóng. Các tab màu phân chia các chương lớn cũng là một đặc điểm thiết kế thông minh, giúp việc lật giở và định vị nội dung trở nên dễ dàng hơn bao giờ hết.

4.2. Phong cách Hemingway Ngắn gọn chính xác và dễ hiểu

Phong cách viết của cuốn sách có thể ví như phong cách Hemingway trong văn học: sử dụng câu ngắn, rõ ràng và đi thẳng vào vấn đề. Các tác giả tránh sử dụng các cấu trúc câu phức tạp và thuật ngữ khó hiểu khi không cần thiết. Mục tiêu là truyền tải thông tin toán học một cách chính xác nhất trong một hình thức cô đọng nhất. Triết lý này giúp cuốn sổ tay toán học cao cấp không chỉ dành cho các chuyên gia mà còn dễ tiếp cận với sinh viên và những người mới bắt đầu tìm hiểu về một lĩnh vực toán kỹ thuật cụ thể. Sự cân bằng hoàn hảo giữa tính chính xác học thuật và sự đơn giản trong trình bày là chìa khóa tạo nên giá trị bền vững của tác phẩm.

V. Ứng dụng thực tiễn Handbook mathematics 6e cho kỹ sư

Giá trị của Handbook of Mathematics 6e by Bronshtein and Semendyayev không chỉ nằm trên lý thuyết mà còn được thể hiện rõ nét trong ứng dụng thực tiễn. Đây là công cụ không thể thiếu trên bàn làm việc của các kỹ sư, nhà vật lý, nhà khoa học dữ liệu và sinh viên các ngành kỹ thuật. Trong thực tế, kỹ sư thường xuyên phải giải quyết các bài toán liên quan đến mô hình hóa hệ thống, phân tích tín hiệu, tối ưu hóa quy trình sản xuất hay thiết kế kết cấu. Cuốn sách này cung cấp đầy đủ các công cụ toán học cần thiết, từ phương trình vi phân để mô tả các hệ thống động lực, đến các phép biến đổi Fourier để phân tích tần số, hay các phương pháp trong đại số tuyến tính để giải các hệ phương trình lớn. Thay vì phải tìm kiếm rời rạc, người dùng có thể tìm thấy mọi thứ trong một nguồn tài liệu duy nhất. Đối với sinh viên, đây là một sách tham khảo toán vô giá, giúp củng cố kiến thức đã học trên lớp và là nguồn tra cứu đáng tin cậy khi làm bài tập lớn hay đồ án tốt nghiệp. Cuốn sách giúp họ kết nối lý thuyết đã học với các bài toán engineering mathematics thực tế, chuẩn bị hành trang vững chắc cho sự nghiệp sau này. Tóm lại, tác phẩm của Bronshtein và Semendyayev đã chứng tỏ vai trò là một trợ thủ đắc lực, giúp tăng tốc độ làm việc và nâng cao độ chính xác trong nghiên cứu và phát triển.

5.1. Tài liệu tham khảo không thể thiếu cho sinh viên nhà nghiên cứu

Đối với sinh viên và các nhà nghiên cứu, cuốn sách này đóng vai trò như một thư viện toán học thu nhỏ. Khi thực hiện một dự án nghiên cứu, việc nhanh chóng tiếp cận được một công thức, một định lý hay một phương pháp giải là cực kỳ quan trọng. Cuốn mathematical reference book này giúp họ tiết kiệm thời gian, tập trung hơn vào việc phân tích và sáng tạo. Thư mục tài liệu tham khảo mở rộng ở cuối sách cũng là một nguồn tài nguyên quý giá, chỉ dẫn người đọc đến các công trình nghiên cứu sâu hơn nếu cần.

5.2. Hỗ trợ kỹ sư giải quyết các bài toán kỹ thuật thực tế

Một kỹ sư cơ khí cần tính toán độ bền vật liệu, một kỹ sư điện cần phân tích mạch điện, hay một kỹ sư phần mềm cần xây dựng thuật toán tối ưu - tất cả đều cần đến toán học. Handbook of Mathematics cung cấp một bộ công cụ đa dạng. Ví dụ, chương về "Phân tích số" đưa ra các phương pháp giải gần đúng phương trình, rất hữu ích khi không có lời giải giải tích. Chương về "Lý thuyết xác suất và Thống kê" là nền tảng cho việc kiểm soát chất lượng và phân tích dữ liệu. Cuốn sách toán cho kỹ sư này thực sự là một người bạn đồng hành đáng tin cậy trong mọi dự án kỹ thuật.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Muehlig Handbook of Mathematics www. Muehlig Handbook of Mathematics 5th Ed. With 745 Figures and 142 Tables 123 www. Gerhard Musiol Prof.

Heiner Muehlig Based on the 6th edition of Bronshtein/Semendyayev/Musiol/Muehlig “Taschenbuch der Mathematik”, 2005. Published by Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main. Library of Congress Control Number: 2007930331 ISBN 978-3-540-72121-5 Springer Berlin Heidelberg New York This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broad- casting, reproduction on microfilm or in any other way, and storage in data banks.

Duplication of this publication or parts thereof is permitted only under the provisions of the German Copyright Law of September 9, 1965, in its current version, and permission for use must always be obtained from Springer. Violations are liable for prosecution under the German Copyright Law. Springer is a part of Springer Science+Business Media springer.com © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 The use of general descriptive names, registered names, trademarks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use.

Typesetting: Typesetting by the authors Production: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Cover: WMXDesign GmbH, Heidelberg Translation: Gabriela Szép, Budapest Printed on acid-free paper 62/3180/YL - 5 4 3 2 1 0 www.com Preface to the Fifth English Edition This fth edition is based on the fourth English edition (2003) and corresponds to the improved sixth German edition (2005). It contains all the chapters of the both mentioned editions, but in a renewed revised and extendet form. So in the work at hand, the classical areas of Engineering Mathematics required for current practice are presented, such as \Arithmetic", \Functions", \Geometry", \Linear Algebra", \Algebra and Discrete Mathematics", (including \Logic", \Set Theory", \Classical Algebraic Structures", \Finite Fields", \Elementary Number Theory", "Cryptology", \Universal Algebra", \Boolean Algebra and Swich Al- gebra", \Algorithms of Graph Theory", \Fuzzy Logic"), \Di erentiation", \Integral Calculus", \Dif- ferential Equations", \Calculus of Variations", \Linear Integral Equations", \Functional Analysis", \Vector Analysis and Vector Fields", \Function Theory", \Integral Transformations", \Probability Theory and Mathematical Statistics". Fields of mathematics that have gained importance with regards to the increasing mathematical mod- eling and penetration of technical and scienti c processes also receive special attention.

Included amongst these chapters are \Stochastic Processes and Stochastic Chains" as well as \Calculus of Er- rors", \Dynamical Systems and Chaos", \Optimization", \Numerical Analysis", \Using the Com- puter" and \Computer Algebra Systems". The chapter 21 containing a large number of useful tables for practical work has been completed by adding tables with the physical units of the International System of Units (SI). Dresden, February 2007 Prof. Gerhard Musiol Prof.

Heiner Muhlig From the Preface to the Fourth English Edition The \Handbook of Mathematics" by the mathematician, I. Bronshtein and the engineer, K. Semendyayev was designed for engineers and students of technical universities. It appeared for the rst time in Russian and was widely distributed both as a reference book and as a text book for colleges and universities.

It was later translated into German and the many editions have made it a permanent xture in German-speaking countries, where generations of engineers, natural scientists and others in technical training or already working with applications of mathematics have used it. On behalf of the publishing house Harri Deutsch, a revision and a substantially enlarged edition was prepared in 1992 by Gerhard Musiol and Heiner Muhlig, with the goal of giving "Bronshtein" the mod- ern practical coverage requested by numerous students, university teachers and practitioners. The original style successfully used by the authors has been maintained. It can be characterized as \short, easily understandable, comfortable to use, but featuring mathematical accuracy (at a level of detail consistent with the needs of engineers)".

Since 2000, the revised and extended fth German edition of the revision has been on the market. Acknowledging the success that \Bronstein" has experienced in the German-speaking countries, Springer-Verlag Heidelberg/Germany is publishing a fourth English edition, which corresponds to the improved and extended fth German edition. The book is enhanced with over a thousand complementary illustrations and many tables. Special functions, series expansions, inde nite, de nite and elliptic integrals as well as integral transformations See Preface to the First Russian Edition www.com VI and statistical distributions are supplied in an extensive appendix of tables.

In order to make the reference book more e ective, clarity and fast access through a clear structure were the goals, especially through visual clues as well as by a detailed technical index and colored tabs. An extended bibliography also directs users to further resources. We would like to cordially thank all readers and professional colleagues who helped us with their valu- able statements, remarks and suggestions on the German edition of the book during the revision pro- cess. Special thanks go to Mrs.

Gabriela Szep (Budapest), who made this English debut version possible. Furthermore our thanks go to the co-authors for the critical treatment of their chap- ters. Dresden, June 2003 Prof. Gerhard Musiol Prof.

Heiner Muhlig Co-authors Some chapters and sections originated through a cooperation with the co-authors. Chapter or Section Co-author Spherical Trigonometry (3. Nickel , Dresden Spherical Curves (3. Marsolek, Berlin Logic (5.2), Classic Algebraic Structures (5.3), Applications of Groups, Rings and Fields, Vektor Spaces (besides 5.6), Boolean Algebra and Switch Algebra (5.

Brunner, Dresden Groups Representations, Applications of Groups (5. Reif, Dresden Elementary Number Theory (5. Baumann, Dresden Fuzzy{Logic (5. Grauel, Soest Non-Linear Partial Di erential Equations, Solitonen (9.

Ziesche, Dresden Linear Integral Equations (11. Steinert, Dusseldorf Functional Analyzis (12. Weber, Dresden Elliptic Functions (14. Fleischer , Moscow Dynamical Systems and Chaos (17.

Reitmann, Dresden, St. Petersburg Computer Algebra Systems (19. Flach, Dresden www.com Contents VII Contents List of Tables XL 1 Arithmetic 1 1.1 Elementary Rules for Calculations .1 Natural, Integer, and Rational Numbers .2 Irrational and Transcendental Numbers .2 Methods for Proof .2 Indirect Proof or Proof by Contradiction .3 Sums and Products .4 Powers, Roots, and Logarithms .2 Algebraic Expressions in Detail .6 Integral Rational Expressions .1 Representation in Polynomial Form .5 Determination of the Greatest Common Divisor of Two Polynomials 14 1.1 Reducing to the Simplest Form .2 Determination of the Integral Rational Part .3 Decomposition into Partial Fractions .4 Transformations of Proportions .1 De nition of a Finite Series .4 Special Finite Series .1 Arithmetic Mean or Arithmetic Average .2 Geometric Mean or Geometric Average .com VIII Contents 1.5 Relations Between the Means of Two Positive Values .1 Calculation of Interest or Percentage .2 Calculation of Compound Interest .2 Equal Principal Repayments .2 Future Amount of an Ordinary Annuity .3 Balance after n Annuity Payments .2 Properties of Inequalities of Type I and II .1 Triangle Inequality for Real Numbers .2 Triangle Inequality for Complex Numbers .3 Inequalities for Absolute Values of Di erences of Real and Complex Numbers .4 Inequality for Arithmetic and Geometric Means .5 Inequality for Arithmetic and Quadratic Means .6 Inequalities for Di erent Means of Real Numbers .9 Cauchy{Schwarz Inequality .11 Generalized Chebyshev Inequality .3 Solution of Linear and Quadratic Inequalities .4 General Case for Inequalities of Second Degree .1 Imaginary and Complex Numbers .2 Equality of Complex Numbers .3 Trigonometric Form of Complex Numbers .4 Exponential Form of a Complex Number .5 Conjugate Complex Numbers .3 Calculation with Complex Numbers .1 Addition and Subtraction .com Contents IX 1.4 General Rules for the Basic Operations .5 Taking Powers of Complex Numbers .6 Taking of the n-th Root of a Complex Number .6 Algebraic and Transcendental Equations .1 Transforming Algebraic Equations to Normal Form .2 Systems of n Algebraic Equations .3 Superuous Roots .2 Equations of Degree at Most Four .1 Equations of Degree One (Linear Equations) .2 Equations of Degree Two (Quadratic Equations) .3 Equations of Degree Three (Cubic Equations) .4 Equations of Degree Four .5 Equations of Higher Degree .3 Equations of Degree n .1 General Properties of Algebraic Equations .2 Equations with Real Coecients .4 Reducing Transcendental Equations to Algebraic Equations .5 Equations with Hyperbolic Functions .1 Notion of Functions .1 De nition of a Function .3 Functions of Several Variables .7 Functions and Mappings .2 Methods for De ning a Real Function .1 De ning a Function .2 Analytic Representation of a Function .3 Certain Types of Functions .5 Representation with Even and Odd Functions .4 Limits of Functions .1 De nition of the Limit of a Function .2 De nition by Limit of Sequences .3 Cauchy Condition for Convergence .4 In nity as a Limit of a Function .5 Left-Hand and Right-Hand Limit of a Function .6 Limit of a Function as x Tends to In nity .7 Theorems About Limits of Functions .8 Calculation of Limits .9 Order of Magnitude of Functions and Landau Order Symbols .5 Continuity of a Function .1 Notion of Continuity and Discontinuity .2 De nition of Continuity .3 Most Frequent Types of Discontinuities .4 Continuity and Discontinuity of Elementary Functions .5 Properties of Continuous Functions .4 Inverse Trigonometric Functions .6 Inverse Hyperbolic Functions .4 Polynomials of n-th Degree .5 Parabola of n-th Degree .1 Special Fractional Linear Function (Inverse Proportionality) .2 Linear Fractional Function .3 Curves of Third Degree, Type I .4 Curves of Third Degree, Type II .5 Curves of Third Degree, Type III .1 Square Root of a Linear Binomial .2 Square Root of a Quadratic Polynomial .6 Exponential Functions and Logarithmic Functions .5 Generalized Error Function .6 Product of Power and Exponential Functions .1 De nition and Representation .2 Range and Behavior of the Functions .2 Important Formulas for Trigonometric Functions .com Contents XI 2.1 Relations Between the Trigonometric Functions of the Same Angle (Addition Theorems) .2 Trigonometric Functions of the Sum and Di erence of Two Angles 79 2.3 Trigonometric Functions of an Integer Multiple of an Angle .4 Trigonometric Functions of Half-Angles .5 Sum and Di erence of Two Trigonometric Functions .6 Products of Trigonometric Functions .7 Powers of Trigonometric Functions .3 Description of Oscillations .1 Formulation of the Problem .2 Superposition of Oscillations .3 Vector Diagram for Oscillations .4 Damping of Oscillations .8 Inverse Trigonometric Functions .1 De nition of the Inverse Trigonometric Functions .2 Reduction to the Principal Value .3 Relations Between the Principal Values .4 Formulas for Negative Arguments .5 Sum and Di erence of arcsin x and arcsin y .6 Sum and Di erence of arccos x and arccos y .7 Sum and Di erence of arctan x and arctan y .8 Special Relations for arcsin x arccos x arctan x .1 De nition of Hyperbolic Functions .2 Graphical Representation of the Hyperbolic Functions .3 Important Formulas for the Hyperbolic Functions .1 Hyperbolic Functions of One Variable .2 Expressing a Hyperbolic Function by Another One with the Same Argument .3 Formulas for Negative Arguments .4 Hyperbolic Functions of the Sum and Di erence of Two Arguments (Addition Theorems) .5 Hyperbolic Functions of Double Arguments .6 De Moivre Formula for Hyperbolic Functions .7 Hyperbolic Functions of Half-Argument .8 Sum and Di erence of Hyperbolic Functions .9 Relation Between Hyperbolic and Trigonometric Functions with Com- plex Arguments z .2 Determination of Area Functions Using Natural Logarithm .3 Relations Between Di erent Area Functions .4 Sum and Di erence of Area Functions .5 Formulas for Negative Arguments .com XII Contents 2.11 Curves of Order Three (Cubic Curves) .2 Witch of Agnesi .12 Curves of Order Four (Quartics) .1 Conchoid of Nicomedes .3 Pascal's Limacon .2 Prolate and Curtate Cycloids or Trochoids .4 Hypocycloid and Astroid .5 Prolate and Curtate Epicycloid and Hypocycloid .4 Evolvent of the Circle .15 Various Other Curves .16 Determination of Empirical Curves .1 Curve-Shape Comparison .3 Determination of Parameters .2 Useful Empirical Formulas .4 Rational Linear Function .5 Square Root of a Quadratic Polynomial .6 General Error Curve .7 Curve of Order Three, Type II .8 Curve of Order Three, Type III .9 Curve of Order Three, Type I .