I. Khám phá Hàm f đa điều hòa dưới và Toán tử Monge Ampère
Lý thuyết đa thế vị (pluripotential theory) là một lĩnh vực cốt lõi trong giải tích phức nhiều biến, cung cấp nền tảng cho việc nghiên cứu các đối tượng hình học phức tạp. Trọng tâm của lý thuyết này là hàm đa điều hòa dưới (plurisubharmonic functions - PSH), một sự mở rộng tự nhiên của khái niệm hàm điều hòa dưới trong không gian nhiều chiều phức. Các hàm này không nhất thiết phải trơn và có thể có các kỳ dị, nhưng chúng nắm giữ những thông tin quan trọng về cấu trúc của không gian. Một công cụ không thể thiếu để phân tích các hàm PSH là Toán tử Monge-Ampère phức. Toán tử này, ký hiệu là (dd^c u)^n, cho phép định nghĩa một độ đo Borel dương, gọi là đo độ Monge-Ampère, từ một hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương. Phép đo này mô tả sự phân bố 'độ cong' hoặc 'khối lượng' của hàm số. Sự tương tác giữa các hàm đa điều hòa dưới và toán tử Monge-Ampère phức đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu sâu rộng, kết nối giải tích với hình học phức và hình học Kähler. Các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực này, đặc biệt là việc giải phương trình Monge-Ampère phức, có ứng dụng trực tiếp trong việc chứng minh các giả thuyết quan trọng và xây dựng các metric đặc biệt, như metric Kähler-Einstein. Luận án này tập trung vào một sự mở rộng của lý thuyết cổ điển: Lý thuyết F-đa thế vị, dựa trên một cấu trúc tôpô tinh tế hơn gọi là F-tôpô, nhằm xử lý tốt hơn tính không liên tục của các hàm PSH. Nghiên cứu này không chỉ làm sâu sắc thêm hiểu biết về cấu trúc của các hàm PSH mà còn góp phần phát triển các kỹ thuật giải quyết phương trình đạo hàm riêng phức trong bối cảnh tổng quát hơn.
1.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới
Một hàm u: Ω → [−∞, +∞) trên một miền mở Ω ⊂ Cⁿ được gọi là hàm đa điều hòa dưới nếu nó là nửa liên tục trên và thu hẹp của nó trên bất kỳ đường thẳng phức nào cũng là một hàm điều hòa dưới. Các hàm này đóng vai trò tương tự như các hàm lồi trong giải tích thực. Một tính chất quan trọng là lớp các hàm PSH đóng dưới phép lấy cận trên của một họ hữu hạn và giới hạn của một dãy giảm. Tuy nhiên, một thách thức lớn là các hàm PSH không phải lúc nào cũng liên tục theo tôpô Euclid thông thường. Ví dụ, hàm f(z) = Σ (1/j²) log|z - a_j| là một hàm đa điều hòa dưới nhưng không liên tục. Vấn đề này đã thúc đẩy sự phát triển của F-tôpô, tôpô yếu nhất làm cho mọi hàm đa điều hòa dưới trở nên liên tục. Trong lý thuyết F-đa thế vị, khái niệm hàm F-đa điều hòa dưới được định nghĩa trên các tập F-mở, một sự tổng quát hóa tự nhiên cho phép nghiên cứu các hàm này trong một cấu trúc linh hoạt hơn.
1.2. Giới thiệu Toán tử Monge Ampère phức dd^c u ^n
Đối với một hàm đa điều hòa dưới u bị chặn địa phương, toán tử Monge-Ampère phức (dd^c u)^n được định nghĩa một cách chặt chẽ nhờ công trình tiên phong của Bedford và Taylor. Định lý Bedford-Taylor chỉ ra rằng toán tử này có thể được mở rộng từ các hàm trơn đến các hàm PSH bị chặn, và kết quả là một độ đo Borel dương. Độ đo này không có khối lượng trên các tập đa cực, là những tập 'nhỏ' trong lý thuyết đa thế vị. Toán tử dd^c là một toán tử vi phân phức, với d^c = i(∂̄ - ∂). Phép toán (dd^c u)^n = dd^c u ∧ ... ∧ dd^c u (n lần) tạo ra một (n, n)-form, tương ứng với một độ đo. Việc định nghĩa này mở ra khả năng nghiên cứu phương trình Monge-Ampère phức (dd^c u)^n = µ, nơi µ là một độ đo cho trước. Nghiên cứu phương trình này là trung tâm của nhiều bài toán trong hình học phức và lý thuyết thế vị.
II. Thách thức của kỳ dị hàm và phương trình Monge Ampère phức
Một trong những thách thức lớn nhất trong việc nghiên cứu phương trình Monge-Ampère phức là sự hiện diện của các kỳ dị. Các hàm đa điều hòa dưới (PSH) không bị chặn thường có các tập kỳ dị phức tạp, nơi hàm nhận giá trị −∞. Việc hiểu và kiểm soát hành vi của toán tử Monge-Ampère gần những kỳ dị này là cực kỳ quan trọng. Kỳ dị của hàm đa điều hòa dưới có thể được đo lường định lượng bằng số Lelong, một công cụ đo mật độ kỳ dị tại một điểm. Khi giải phương trình (dd^c u)^n = µ, nếu độ đo µ có khối lượng tập trung tại một số điểm, nghiệm u có thể sẽ phát sinh kỳ dị tại đó. Hơn nữa, tính không liên tục của các hàm PSH trong tôpô Euclid thông thường gây khó khăn cho việc áp dụng các công cụ giải tích hàm tiêu chuẩn. Để khắc phục điều này, lý thuyết F-đa thế vị được phát triển dựa trên F-tôpô. Trong khuôn khổ này, các hàm F-đa điều hòa dưới được định nghĩa và chúng liên tục theo F-tôpô, loại bỏ được vấn đề không liên tục. Tuy nhiên, việc chuyển các kết quả từ lý thuyết cổ điển sang lý thuyết F-đa thế vị không phải lúc nào cũng đơn giản. Cần phải xây dựng lại các công cụ cơ bản như nguyên lý so sánh, các định lý hội tụ và định nghĩa toán tử Monge-Ampère cho các hàm F-đa điều hòa dưới, như đã được thực hiện bởi El Kadiri và Wiegerinck. Luận án này giải quyết trực tiếp những thách thức này bằng cách nghiên cứu nghiệm yếu của phương trình trong các miền F-siêu lồi bị chặn, một lớp miền tổng quát hơn các miền siêu lồi cổ điển.
2.1. Phân tích các kỳ dị của hàm đa điều hòa dưới
Việc phân tích kỳ dị của hàm đa điều hòa dưới là một chủ đề trung tâm. Một hàm PSH có thể có kỳ dị dạng điểm, đường cong hoặc các tập phức tạp hơn. Công cụ cơ bản để định lượng các kỳ dị này là số Lelong. Số Lelong của hàm u tại điểm a, ký hiệu ν(u, a), đo lường mật độ của 'khối lượng' Monge-Ampère gần điểm a. Một kết quả kinh điển của Siu cho thấy tập hợp các điểm có số Lelong lớn hơn một hằng số dương là một tập giải tích con. Điều này tạo ra một mối liên kết sâu sắc giữa giải tích phức và hình học đại số. Trong bối cảnh giải phương trình (dd^c u)^n = µ, các kỳ dị của nghiệm u có liên quan chặt chẽ đến các kỳ dị của độ đo µ. Việc hiểu rõ cấu trúc của các tập kỳ dị là rất cần thiết cho lý thuyết chính quy, nhằm xác định điều kiện để nghiệm của phương trình trở nên trơn hơn.
2.2. Sự cần thiết của Lý thuyết F đa thế vị và F tôpô
Như đã đề cập, các hàm PSH không liên tục theo tôpô Euclid. H. Cartan và B. Fuglede đã giới thiệu khái niệm tôpô 'fine' và 'plurifine' (F-tôpô) để giải quyết vấn đề này. F-tôpô là tôpô yếu nhất trên Cⁿ làm cho tất cả các hàm đa điều hòa dưới đều liên tục. Điều này cho phép áp dụng các định lý giải tích mạnh mẽ hơn. Lý thuyết F-đa thế vị, được phát triển bởi El Marzguioui, Wiegerinck và các cộng sự, xây dựng một lý thuyết song song với lý thuyết đa thế vị cổ điển nhưng dựa trên F-tôpô. Trong lý thuyết này, các khái niệm như hàm F-đa điều hòa dưới, miền F-siêu lồi, và toán tử Monge-Ampère cho các hàm F-đa điều hòa dưới được định nghĩa. Cách tiếp cận này tỏ ra hiệu quả trong việc xử lý các bài toán mà tính liên tục là yếu tố quan trọng, ví dụ như nghiên cứu sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère và tính ổn định của nghiệm.
III. Phương pháp tìm nghiệm yếu phương trình Monge Ampère phức
Việc giải phương trình Monge-Ampère phức MA(Ω, µ), tức là tìm hàm u thỏa mãn NP(dd^c u)^n = µ, đòi hỏi các phương pháp giải tích tinh vi, đặc biệt khi tìm kiếm nghiệm yếu (không nhất thiết trơn). Luận án tập trung vào việc tìm nghiệm trong các lớp hàm Cegrell trên các miền F-siêu lồi bị chặn. Các lớp Cegrell, ký hiệu là E_p(Ω) và F(Ω), là các không gian hàm PSH có năng lượng Monge-Ampère hữu hạn và thỏa mãn các điều kiện biên nhất định. Việc phân loại nghiệm theo các lớp này giúp kiểm soát tốt hơn các kỳ dị và hành vi của chúng. Phương pháp chính để chứng minh sự tồn tại nghiệm là phương pháp xấp xỉ. Người ta xây dựng một dãy các bài toán 'dễ hơn' có nghiệm trơn, sau đó chứng minh rằng dãy nghiệm này hội tụ đến một nghiệm yếu của bài toán ban đầu. Một công cụ quan trọng trong quá trình này là nguyên lý so sánh, cho phép so sánh hai hàm PSH dựa trên các độ đo Monge-Ampère của chúng. Luận án này mở rộng nguyên lý so sánh cho các lớp Cegrell của hàm F-đa điều hòa dưới. Kết quả chính của nghiên cứu là chứng minh được sự tồn tại nghiệm cho bài toán MA(Ω, µ) trên một miền F-siêu lồi bị chặn Ω, với điều kiện đủ cho độ đo µ là ∫_Ω (−ψ)dµ < +∞, trong đó ψ là một hàm F-đa điều hòa dưới âm. Điều kiện này yếu hơn các điều kiện đã biết trước đây trong lý thuyết cổ điển, cho thấy sức mạnh của cách tiếp cận F-đa thế vị.
3.1. Các lớp Cegrell và miền F siêu lồi bị chặn
Các lớp Cegrell được U. Cegrell giới thiệu để nghiên cứu các nghiệm có kỳ dị của phương trình Monge-Ampère trên các miền siêu lồi. Luận án này mở rộng khái niệm này cho các hàm F-đa điều hòa dưới trên các miền F-siêu lồi bị chặn. Một miền F-mở Ω được gọi là F-siêu lồi bị chặn nếu nó bị chặn và tồn tại một hàm rào cản F-đa điều hòa dưới. Lớp F(Ω) chứa các hàm F-PSH u sao cho lim_{z→∂_F Ω} u(z) = 0 và ∫_Ω (dd^c max(u, -j))^n hội tụ khi j → ∞. Các lớp này cung cấp một khuôn khổ chặt chẽ để định nghĩa năng lượng Monge-Ampère và nghiên cứu các nghiệm có năng lượng hữu hạn. Việc làm việc trên các miền F-siêu lồi cho phép xử lý các tập hợp có cấu trúc hình học phức tạp hơn các miền mở Euclid truyền thống.
3.2. Điều kiện tồn tại nghiệm yếu với đo độ Monge Ampère
Một trong những kết quả cốt lõi của luận án là thiết lập điều kiện đủ để bài toán MA(Ω, µ) có nghiệm. Thay vì yêu cầu µ bị chặn bởi một đo độ Monge-Ampère của một hàm hữu hạn (như trong một số kết quả trước đó của N.X. Hồng), luận án chỉ ra rằng điều kiện tích phân ∫_Ω (−ψ)dµ < +∞ là đủ, với ψ ∈ F-PSH⁻(Ω). Điều kiện này cho phép độ đo µ có thể 'lớn hơn' bất kỳ độ đo Monge-Ampère nào của một hàm hữu hạn, do đó mở rộng lớp các bài toán có thể giải được. Hơn nữa, nghiệm tìm được có thể không hữu hạn, phản ánh đúng bản chất của các bài toán có kỳ dị. Chứng minh dựa trên việc xây dựng một dãy nghiệm xấp xỉ và sử dụng các công cụ từ lý thuyết đa thế vị và các nguyên lý so sánh đã được phát triển.
IV. Phương pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình MA
Tính ổn định của nghiệm là một câu hỏi quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Câu hỏi đặt ra là: nếu vế phải của phương trình thay đổi một chút, liệu nghiệm có thay đổi một chút tương ứng hay không? Trong bối cảnh của phương trình Monge-Ampère phức, điều này có nghĩa là nếu một dãy độ đo {µ_j} hội tụ đến µ, liệu dãy nghiệm tương ứng {u_j} có hội tụ đến nghiệm u hay không. Để nghiên cứu vấn đề này, cần phải có một khái niệm phù hợp về sự hội tụ của các hàm PSH và các độ đo. Luận án sử dụng khái niệm 'hội tụ F-địa phương' cho các độ đo và 'hội tụ F-địa phương theo dung lượng' cho các hàm. Dung lượng (capacity) là một công cụ trong lý thuyết đa thế vị để đo 'kích thước' của các tập hợp, đặc biệt là các tập nhỏ như tập đa cực. Sự hội tụ theo dung lượng là một dạng hội tụ yếu, phù hợp để xử lý các hàm có kỳ dị. Mối liên hệ giữa sự hội tụ của dãy hàm {u_j} và sự hội tụ của dãy độ đo Monge-Ampère {(dd^c u_j)^n} được thiết lập. Kết quả chính của chương này là chứng minh tính ổn định của nghiệm bài toán MA(Ω, µ) trên các miền F-siêu lồi bị chặn. Cụ thể, nếu dãy độ đo {τ_j µ} hội tụ F-địa phương đến ν, thì tồn tại một dãy nghiệm {u_{τ_j}} hội tụ F-địa phương theo dung lượng đến một nghiệm của bài toán MA(Ω, ν). Kết quả này khẳng định rằng bài toán được đặt ra một cách hợp lý và nghiệm của nó không bị biến động mạnh khi có những nhiễu loạn nhỏ ở vế phải.
4.1. Sự hội tụ F địa phương và dung lượng cho các tập F mở
Để nghiên cứu tính ổn định, luận án giới thiệu khái niệm sự hội tụ F-địa phương của một dãy độ đo và sự hội tụ F-địa phương theo dung lượng (Cap_n-capacity) của dãy hàm F-đa điều hòa dưới. Một dãy độ đo {µ_j} được gọi là hội tụ F-địa phương đến µ nếu tích phân của chúng với các hàm thử F-liên tục có giá compact hội tụ. Một dãy hàm {u_j} hội tụ đến u theo dung lượng nếu dung lượng của tập hợp nơi |u_j - u| > δ tiến về 0. Luận án chứng minh một mệnh đề quan trọng: nếu một dãy hàm F-PSH hội tụ F-địa phương theo dung lượng, thì dãy các đo độ Monge-Ampère tương ứng cũng hội tụ F-địa phương. Đây là công cụ nền tảng để liên kết sự hội tụ của nghiệm với sự hội tụ của vế phải phương trình.
4.2. Xây dựng chứng minh cho tính ổn định của nghiệm
Chứng minh tính ổn định của nghiệm bài toán MA(Ω, µ) được thực hiện qua hai bước. Bước đầu tiên là xây dựng các nghiệm u_{τ_j} cho bài toán MA(Ω, τ_j µ) bằng cách sử dụng các kết quả về sự tồn tại nghiệm đã có ở chương trước. Bước thứ hai, và cũng là bước phức tạp nhất, là chứng minh sự hội tụ của dãy {u_{τ_j}}. Quá trình này sử dụng các kỹ thuật tích phân từng phần tổng quát cho các dòng điện dương (positive currents), các đánh giá tinh tế liên quan đến dung lượng, và các tính chất của tôpô plurifine. Kết quả cho thấy rằng nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức là ổn định dưới các nhiễu loạn nhỏ của độ đo vế phải, một thuộc tính quan trọng cho cả lý thuyết và ứng dụng thực tiễn.
V. Top ứng dụng của hàm đa điều hòa dưới trong hình học phức
Lý thuyết về hàm đa điều hòa dưới và toán tử Monge-Ampère phức không chỉ là một lĩnh vực thuần túy của giải tích mà còn là một công cụ mạnh mẽ với nhiều ứng dụng sâu sắc trong hình học phức và hình học đại số. Một trong những ứng dụng nổi bật nhất là việc giải quyết bài toán Calabi-Yau. Giả thuyết Calabi, được Yau chứng minh bằng cách giải một phương trình Monge-Ampère phức, khẳng định sự tồn tại của các metric Kähler-Einstein trên các đa tạp Kähler compact có lớp Chern đầu tiên triệt tiêu. Kết quả này có ý nghĩa to lớn trong cả toán học và vật lý lý thuyết, đặc biệt là lý thuyết dây. Một ứng dụng quan trọng khác là trong nghiên cứu bài toán Dirichlet phức. Bài toán này tìm kiếm một hàm PSH trong một miền cho trước với giá trị biên xác định. Nghiệm của bài toán này cung cấp các hàm bao của các họ hàm giải tích, có ích trong lý thuyết xấp xỉ và lý thuyết các hệ động lực phức. Hơn nữa, lý thuyết đa thế vị cung cấp các công cụ để nghiên cứu các đối tượng hình học như dòng điện dương (positive currents), một sự tổng quát hóa của các đa tạp con giải tích. Độ đo Monge-Ampère của một hàm PSH chính là một ví dụ về dòng điện dương. Việc nghiên cứu các dòng này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các tập giải tích và các kỳ dị của chúng. Các kết quả của luận án về nghiệm yếu và tính ổn định trên các miền F-siêu lồi góp phần mở rộng phạm vi ứng dụng của các công cụ này đến các lớp không gian và hàm tổng quát hơn, hứa hẹn mở ra những hướng đi mới trong việc giải quyết các bài toán mở trong hình học Kähler và các lĩnh vực liên quan.
5.1. Vai trò trong bài toán Dirichlet phức và xấp xỉ hàm
Một trong những ứng dụng trực tiếp của việc giải phương trình Monge-Ampère là giải quyết bài toán Dirichlet phức. Nghiệm của phương trình (dd^c u)^n = 0 với điều kiện biên u = φ trên ∂Ω là hàm đa điều hòa dưới cực đại nhận giá trị biên φ. Luận án cũng nghiên cứu bài toán xấp xỉ các hàm trong lớp F(Ω) trên các miền F-siêu lồi bị chặn. Cụ thể, một hàm trong lớp này có thể được xấp xỉ bởi một dãy tăng các hàm đa điều hòa dưới được định nghĩa trên các lân cận Euclid của Ω. Khả năng xấp xỉ này rất quan trọng, vì nó cho phép chuyển các tính chất từ các hàm trơn, dễ xử lý hơn sang các hàm có kỳ dị, là đối tượng nghiên cứu chính.
5.2. Liên kết với hình học Kähler và metric đặc biệt
Trong hình học Kähler, một metric Kähler được cho bởi một dạng Kähler ω = dd^c φ, trong đó φ là một hàm PSH chặt (potential). Nhiều bài toán hình học quan trọng có thể được quy về việc tìm một hàm thế vị φ sao cho metric tương ứng có các tính chất đặc biệt (ví dụ, độ cong Ricci không đổi). Các bài toán này thường dẫn đến một phương trình Monge-Ampère phức. Ví dụ, phương trình cho metric Kähler-Einstein có dạng (ω + dd^c u)^n = e^f ω^n. Việc giải được phương trình này phụ thuộc rất nhiều vào các kỹ thuật từ lý thuyết đa thế vị, bao gồm các đánh giá tiên nghiệm và các định lý về sự tồn tại nghiệm. Các kết quả về nghiệm yếu và tính chính quy là rất quan trọng để xây dựng các metric này.
VI. Tương lai nghiên cứu Toán tử Monge Ampère và Lý thuyết F
Các kết quả đạt được trong luận án về nghiệm yếu và tính ổn định của phương trình Monge-Ampère phức trên các miền F-siêu lồi bị chặn đã góp phần làm phong phú thêm Lý thuyết F-đa thế vị và mở ra nhiều hướng nghiên cứu tiềm năng trong tương lai. Một hướng đi tự nhiên là tiếp tục nghiên cứu lý thuyết chính quy (regularity theory) cho các nghiệm yếu đã tìm được. Câu hỏi đặt ra là: dưới những điều kiện nào về độ đo µ và miền Ω, nghiệm u sẽ liên tục, Holder liên tục hoặc thậm chí trơn hơn bên trong miền? Việc trả lời câu hỏi này sẽ làm tăng giá trị ứng dụng của các kết quả, đặc biệt trong hình học phức. Một hướng khác là mở rộng các kết quả này cho các lớp phương trình Monge-Ampère tổng quát hơn, chẳng hạn như các phương trình có chứa các số hạng bậc thấp hơn hoặc các phương trình trên các đa tạp phức. Việc nghiên cứu các phương trình này trên các không gian không phải là miền trong Cⁿ, như các đa tạp Kähler, là một lĩnh vực nghiên cứu rất sôi động. Ngoài ra, việc phát triển sâu hơn các công cụ của Lý thuyết F-đa thế vị, chẳng hạn như nghiên cứu các loại dung lượng khác nhau, các định lý xấp xỉ mạnh hơn, và các phiên bản của năng lượng Monge-Ampère trong bối cảnh F-tôpô, cũng là những chủ đề hứa hẹn. Sự phát triển của các kỹ thuật này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có thể cung cấp các công cụ mới để giải quyết các bài toán trong các lĩnh vực khác của toán học và vật lý lý thuyết.
6.1. Hướng phát triển lý thuyết chính quy cho nghiệm yếu
Lý thuyết chính quy là một bước tiếp theo quan trọng. Các công trình của Caffarelli, Kohn, Nirenberg, và Spruck đã cung cấp các kết quả đột phá về tính chính quy của nghiệm cho phương trình Monge-Ampère thực. Trong trường hợp phức, bài toán phức tạp hơn nhiều do bản chất của toán tử dd^c. Nghiên cứu các điều kiện trên µ và Ω để nghiệm u thuộc các không gian Holder hoặc Sobolev sẽ là một bước tiến lớn. Điều này đòi hỏi việc kết hợp các kỹ thuật từ lý thuyết đa thế vị với các phương pháp từ lý thuyết phương trình đạo hàm riêng elliptic phi tuyến.
6.2. Mở rộng lý thuyết cho các đa tạp phức và không gian tổng quát
Việc áp dụng và mở rộng các kết quả hiện có cho các đa tạp phức là một mục tiêu dài hạn. Nghiên cứu phương trình Monge-Ampère phức trên các đa tạp Kähler compact hoặc không compact là trọng tâm của nhiều nghiên cứu hiện đại trong hình học Kähler. Các khái niệm như miền F-siêu lồi cần được định nghĩa một cách phù hợp trong bối cảnh đa tạp. Việc giải quyết các phương trình này trên các không gian kỳ dị, chẳng hạn như các không gian giải tích, cũng là một hướng đi đầy thách thức và tiềm năng, kết nối chặt chẽ giải tích phức nhiều biến với hình học đại số.
