Giáo trình Hình học Sơ cấp - TS. Nguyễn Thị Thanh Vân (Trường Đại học Hải Phòng)

Tải trọn bộ giáo trình Hình học sơ cấp của Đại học Hải Phòng. Nội dung gồm 4 chương: Cơ sở hình học, Đa giác, Phép biến hình, Quỹ tích và Dựng hình.

• Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân
• Trường học: Đại học Hải Phòng
• Chuyên ngành: Hình học sơ cấp
• Đề tài: Giáo trình Hình học Sơ cấp
• Loại tài liệu: Giáo trình
• Năm xuất bản: 2025
• Địa điểm: Hải Phòng

Tóm tắt

I. Giới thiệu về Giáo trình Hình học Sơ cấp Đại học Hải Phòng

Giáo trình Hình học Sơ cấp được biên soạn bởi TS. Nguyễn Thị Thanh Vân và Th.S Lê Thị Hà Đông từ Khoa Toán và Khoa học tự nhiên tại Đại học Hải Phòng. Đây là tài liệu học thuật toàn diện dành cho sinh viên ngành sư phạm toán và các chuyên ngành liên quan. Giáo trình được xây dựng theo chương trình giảng dạy tiêu chuẩn, kết hợp giữa lý thuyết và ứng dụng thực tiễn. Nội dung được trình bày một cách khoa học, logic và hệ thống, giúp người học nắm bắt sâu sắc các kiến thức cơ bản và nâng cao của hình học. Qua đó, sinh viên sẽ có khả năng giảng dạy hình học phổ thông một cách đúng đắn, chính xác và hiệu quả trong tương lai.

1.1. Đối tượng và mục tiêu học tập

Giáo trình hướng tới sinh viên sư phạm toán, nhà giáo dục và những ai muốn nâng cao kiến thức về hình học. Mục tiêu chính là giúp người học hiểu rõ bản chất của các kiến thức hình học, từ đó có thể trình bày một cách chính xác và khoa học khi dạy học phổ thông. Giáo trình cung cấp nền tảng lý thuyết vững chắc cho việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp.

1.2. Đặc điểm và ưu điểm của tài liệu

Tài liệu này nổi bật với cách trình bày theo phương pháp tiên đề, một phương pháp cổ điển được sáng tạo bởi Euclide. Giáo trình giải thích rõ ràng các khái niệm cơ bản, hệ tiên đề và các định lý hình học. Mỗi nội dung được minh họa bằng ví dụ cụ thể, bài tập thực hành và hướng dẫn giải chi tiết.

II. Cơ sở Hình học và Phương pháp Tiên đề

Chương 1: Cơ sở Hình học là nền tảng của toàn bộ giáo trình, giới thiệu phương pháp tiên đề - một phương pháp xây dựng lý thuyết toán học được sáng tạo từ thế kỷ III trước Công nguyên. Phương pháp này bao gồm ba bước chính: cung cấp các khái niệm cơ bản không được định nghĩa, thiết lập hệ tiên đề, và suy luận logic để chứng minh các kết quả. Giáo trình trình bày chi tiết các hệ tiên đề Hilbert, hệ tiên đề Weyl, hệ tiên đề Pogogelov và hệ tiên đề hình học phổ thông Việt Nam. Điều này giúp sinh viên hiểu rõ sự khác biệt và tương đồng giữa các hệ tiên đề khác nhau.

2.1. Phương pháp Tiên đề và Mệnh đề

Phương pháp tiên đề bắt đầu từ các mệnh đề cơ bản - những khái niệm đầu tiên không cần chứng minh. Một tiên đề là mệnh đề được thừa nhận là đúng. Hệ tiên đề phải thỏa mãn các yêu cầu như tính phi mâu thuẫn, tính độc lập và tính đầy đủ. Qua phương pháp này, mọi kết quả khác được chứng minh bằng suy luận logic từ các tiên đề đã cho.

2.2. Các hệ Tiên đề Hình học

Giáo trình so sánh và phân tích hệ tiên đề Hilbert (gồm 20 tiên đề), hệ tiên đề Weyl (dựa trên vector), hệ tiên đề Pogogelov (tinh giản hơn), và hệ tiên đề hình học phổ thông Việt Nam. Mỗi hệ tiên đề có các đặc điểm riêng, phù hợp với các mục đích giảng dạy khác nhau trong giáo dục toán học.

III. Các Chương Nội dung Chính của Giáo trình

Giáo trình Hình học Sơ cấp gồm bốn chương chính, mỗi chương tập trung vào một lĩnh vực quan trọng của hình học. Chương 2 đề cập đến đa giác và đa diện, bao gồm công thức tính diện tích các hình phẳng như hình tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, và các đa giác phức tạp hơn. Chương 3 trình bày chi tiết về phép biến hình trong mặt phẳng: phép đẳng cự, phép đồng dạng, phép nghịch đảo và ứng dụng của chúng trong giải toán. Chương 4 tập trung vào hai dạng bài toán quan trọng: bài toán quỹ tích và bài toán dựng hình. Mỗi chương đi kèm với bài tập thực hành chi tiết, giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng.

3.1. Đa giác Đa diện và Diện tích

Chương 2 cung cấp các định nghĩa chính xác về đa giác và đa diện, phân biệt rõ ràng điểm trong và điểm ngoài. Giáo trình trình bày công thức tính diện tích một cách khoa học, không chỉ dựa vào trực quan. Các bài tập yêu cầu tính toán thể tích và giải các bài toán liên quan đến các hình không gian.

3.2. Phép biến hình và Ứng dụng

Chương 3 giới thiệu các phép biến hình như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng (phép đẳng cự), và phép đồng dạng. Đặc biệt, phép nghịch đảo trong mặt phẳng được trình bày chi tiết. Giáo trình hướng dẫn ứng dụng phép biến hình giải toán phổ thông, giúp sinh viên tìm ra những cách giải sáng tạo và hiệu quả.

3.3. Quỹ tích và Bài toán Dựng hình

Chương 4 chuyên sâu vào bài toán quỹ tích (tập hợp các điểm thỏa điều kiện cho trước) và bài toán dựng hình (dựng hình chỉ bằng thước và compa). Giáo trình giới thiệu phương pháp giải tổng quát để xử lý các lớp bài toán tương tự, hỗ trợ sinh viên trong định hướng giải pháp và giảng dạy sau này.

IV. Phương pháp Giảng dạy và Ứng dụng Thực tiễn

Giáo trình Hình học Sơ cấp không chỉ cung cấp kiến thức lý thuyết mà còn hướng tới ứng dụng thực tiễn trong giảng dạy phổ thông. Mỗi khái niệm được định nghĩa lại một cách chính xác khoa học, khác với cách trình bày trực quan trong sách giáo khoa phổ thông. Giáo trình giải thích những đặc điểm của sách giáo khoa hình học phổ thông Việt Nam và cách các khái niệm được định nghĩa trong sách giáo khoa. Sinh viên sẽ hiểu được bản chất sâu sắc của các kiến thức, từ đó có thể trình bày một cách logic, hệ thống và chính xác khi giảng dạy. Việc nắm vững các phương pháp này sẽ giúp nhà giáo nâng cao chất lượng giáo dục toán học và phát triển tư duy logic cho học sinh.

4.1. Kết nối lý thuyết và thực hành

Giáo trình cân bằng giữa lý thuyết toán học chặt chẽ và ứng dụng giảng dạy thực tiễn. Mỗi bài tập không chỉ yêu cầu tính toán mà còn yêu cầu hiểu sâu sắc các khái niệm và khả năng giải thích cho học sinh. Phương pháp này giúp sinh viên trở thành giáo viên tốt, có khả năng dạy học sáng tạo.

4.2. Hỗ trợ học tập và Tài liệu tham khảo

Cuốn giáo trình bao gồm bài tập chương chi tiết ở mỗi phần, được thiết kế để rèn luyện kỹ năng và kiểm tra sự hiểu biết. Cuối giáo trình là danh sách tài liệu tham khảo toàn diện, cho phép sinh viên tìm hiểu sâu hơn các vấn đề mà họ quan tâm. Nhóm tác giả luôn sẵn sàng nhận góp ý để cải thiện giáo trình.

Nội dung chính

Giáo Trình Hình Học Sơ Cấp — Trường Đại Học Hải Phòng (2025)

Chủ biên: TS. Nguyễn Thị Thanh Vân | Thành viên: Th.S Lê Thị Hà Đông Đơn vị: Khoa Toán và Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hải Phòng, 2025

---

Tổng Quan về Giáo Trình

Giáo trình Hình học sơ cấp được biên soạn theo chương trình giảng dạy học phần cùng tên đang thực hiện tại Trường Đại học Hải Phòng. Tài liệu do TS. Nguyễn Thị Thanh Vân (chủ biên) và Th.S Lê Thị Hà Đông biên soạn, thuộc Khoa Toán và Khoa học Tự nhiên, xuất bản năm 2025.

Học phần này nằm trong chương trình đào tạo cử nhân ngành Sư phạm Toán hoặc Toán học, đóng vai trò nền tảng lý luận cho toàn bộ hệ thống kiến thức hình học được giảng dạy ở phổ thông. Theo lời nói đầu, mục tiêu học tập của giáo trình hướng tới ba nhóm năng lực: (1) hiểu bản chất khoa học của các khái niệm hình học mà phổ thông chỉ định nghĩa bằng trực quan; (2) trình bày kiến thức toán học phổ thông một cách đúng, logic, có hệ thống; (3) vận dụng các phương pháp giải toán tổng quát trong định hướng và hướng dẫn học sinh giải bài tập hình học.

Giáo trình gồm 4 chương, triển khai theo một nguyên tắc xuyên suốt: các chương sau được trình bày nhất quán theo quan điểm của phương pháp tiên đề đã định nghĩa từ Chương 1. Điểm đặc trưng về cấu trúc là các khái niệm từng được định nghĩa bằng trực quan trong sách giáo khoa phổ thông — như điểm trong, điểm ngoài của đa giác, đa diện, diện tích, thể tích — được tái trình bày theo chuẩn khoa học chính xác, gắn với hệ thống định nghĩa, tiên đề và các bước suy luận logic.

---

Nội Dung Kiến Thức Cốt Lõi

Các Chương và Chủ Đề Chính

Chương 1 — Cơ sở hình học là chương trung tâm của toàn bộ giáo trình, chiếm khối lượng lớn nhất. Chương giới thiệu phương pháp tiên đề như một quy trình xây dựng lý thuyết toán học gồm ba bước: cung cấp khái niệm cơ bản (không định nghĩa), cung cấp hệ tiên đề, và suy ra các kết quả bằng suy luận logic. Lịch sử phương pháp này được truy nguyên từ Euclide (thế kỷ III TCN, tác phẩm Cơ bản) và được hình thức hóa hoàn chỉnh bởi David Hilbert (1862–1943) trong Grundlagen der Geometrie (1899).

Chương trình bày và đối chiếu bốn hệ tiên đề:

• Hệ tiên đề Hilbert: 20 tiên đề chia thành 5 nhóm — liên thuộc (8 tiên đề), thứ tự (4 tiên đề), bằng nhau/toàn đẳng (5 tiên đề), liên tục (2 tiên đề: Archimedes và Cantor), song song (1 tiên đề). Khái niệm cơ bản gồm điểm, đường thẳng, mặt phẳng, và ba quan hệ: thuộc, ở giữa, bằng.
• Hệ tiên đề Weyl: do Hermann Klaus Hugo Weyl (1885–1955) xây dựng, 16 tiên đề chia 5 nhóm, sử dụng điểm và vectơ làm đối tượng cơ bản thay cho đường thẳng và mặt phẳng. Cho phép mở rộng số chiều không gian dễ dàng hơn so với hệ Hilbert.
• Hệ tiên đề Porogelov (Pogorelov): 5 nhóm tiên đề, đưa vào khái niệm phép dời hình như quan hệ cơ bản. Hệ này được chứng minh là đầy đủ và độc lập.
• Hệ tiên đề hình học phổ thông Việt Nam: gồm 6 nhóm với 13 tiên đề cho hình học phẳng và 6 tiên đề cho hình học không gian, được lựa chọn theo tiêu chí sư phạm phù hợp với đối tượng học sinh, kế thừa ưu điểm của cả hệ Hilbert và hệ Weyl.

Chương 2 — Đa giác và đa diện xây dựng chính xác các khái niệm đường gấp khúc, đa giác n cạnh, đa giác đơn, đa giác lồi, từ đó chứng minh Định lý Jordan (phân hoạch mặt phẳng thành miền trong và miền ngoài), định nghĩa hàm diện tích (Định nghĩa 2.9), chứng minh sự tồn tại và duy nhất của hàm diện tích (Định lý 2.5), công thức diện tích hình chữ nhật (Định lý 2.4), khái niệm đa giác đồng phân. Phần đa diện trình bày Định lý Euler (Đ + M − C = 2) với chứng minh quy nạp theo số đỉnh.

Chương 3 — Phép biến hình trong mặt phẳng bao gồm đại cương về phép biến hình, phép đẳng cự, phép đồng dạng, phép nghịch đảo, và ứng dụng phép biến hình trong giải toán phổ thông.

Chương 4 — Bài toán quỹ tích và bài toán dựng hình trình bày hai lớp bài toán cơ bản của hình học sơ cấp, cung cấp hướng tiếp cận tổng quát theo lớp bài toán tương tự.

Kiến Thức Nền Tảng được Xây Dựng

Giáo trình hình thức hóa một số khái niệm nền mà học sinh phổ thông thường tiếp nhận qua trực quan. Cụ thể:

• Độ dài đoạn thẳng được xây dựng từ tiên đề Archimedes và tiên đề Cantor (Nhóm IV Hilbert), dẫn đến Định lý 38: "Với mỗi đơn vị độ dài cho trước, mỗi đoạn thẳng có độ dài duy nhất", và Định lý 39 về sự tồn tại đoạn thẳng có độ dài là số thực dương tùy ý.
• Quan hệ "ở giữa" (Nhóm II) là cơ sở logic để định nghĩa đoạn thẳng, tia, nửa mặt phẳng, đa giác — những khái niệm mà sách giáo khoa phổ thông mô tả trực tiếp qua hình vẽ.
• Hàm diện tích được định nghĩa qua ba tính chất: bất biến qua đẳng cự, tính cộng theo phân hoạch, và chuẩn hóa (hình vuông cạnh 1 có diện tích bằng 1).
• Lát cắt Dedekind được trình bày như cơ sở của tính liên tục của đường thẳng (Định lý 43), đặt nền cho mối liên hệ giữa hình học và số học thực.
• Đặc số Euler (Đ + M − C = 2) được chứng minh cho mọi đa diện lồi.

Kỹ Năng Được Phát Triển

Thông qua hệ thống bài tập ở cuối mỗi chương, người học hình thành:

• Kỹ năng lập luận logic — chứng minh tính phi mâu thuẫn, độc lập, đầy đủ của hệ tiên đề bằng cách xây dựng mô hình.
• Kỹ năng phân tích bài toán theo lớp — nhận diện bài toán thuộc lớp nào, từ đó áp dụng hướng giải tổng quát (đặc biệt ở Chương 3 và 4).
• Kỹ năng kết nối lý thuyết — thực hành giảng dạy — chuyển đổi từ cách trình bày tiên đề nghiêm ngặt sang ngôn ngữ phù hợp với học sinh phổ thông.

---

Phương Pháp Giảng Dạy và Học Tập

Giáo trình áp dụng cách tiếp cận diễn dịch theo phương pháp tiên đề: mỗi khái niệm mới đều được dẫn dắt từ các khái niệm cơ bản và tiên đề đã công nhận, mỗi kết quả đều được chứng minh hoặc chỉ rõ nguồn gốc suy diễn. Cách trình bày này phân biệt rõ giữa khái niệm cơ bản (không định nghĩa) và khái niệm không cơ bản (được định nghĩa qua khái niệm cơ bản).

Hệ thống bài tập cuối chương được thiết kế theo nhiều mức độ. Ở Chương 1, bài tập yêu cầu chứng minh tính phi mâu thuẫn hoặc tính độc lập của các nhóm tiên đề (ví dụ: Bài 3 — chứng minh nhóm tiên đề liên thuộc của hệ Hilbert là phi mâu thuẫn; Bài 4 — chứng minh tiên đề I3 độc lập với các tiên đề còn lại trong nhóm I). Bài 5 yêu cầu chứng minh sự tương đương của các mệnh đề với Tiên đề V (tiên đề Euclide), như: tổng góc trong tam giác bằng 180°, tính duy nhất của đường thẳng vuông góc đi qua một điểm cho trước. Ở Chương 2, bài tập ví dụ 2.8 hướng dẫn tính diện tích tam giác DEF theo diện tích tam giác ABC khi các điểm D, E, F lấy trên phần kéo dài của các cạnh, áp dụng tính chất cơ bản của hàm diện tích.

Về case studies lý thuyết, giáo trình sử dụng lý thuyết nhóm như ví dụ minh họa cho phương pháp tiên đề (hệ 3 tiên đề: kết hợp, phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo), và tứ diện ABCD như mô hình kiểm tra tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề K (K1, K2, K3).

Hướng dẫn tự học: Mỗi kết quả trong giáo trình đều có chứng minh đầy đủ, cho phép người đọc tự kiểm tra từng bước suy luận. Bài tập có kèm hướng dẫn ở một số bài phức tạp (ví dụ ví dụ 2.11d gợi ý dùng bất đẳng thức a/b + b/a ≥ 2), hỗ trợ tự học không cần giám sát trực tiếp. Theo cấu trúc sách, người học nên hoàn thành bài tập Chương 1 trước khi tiếp tục, vì các nhóm tiên đề được xây dựng tích lũy theo thứ tự I → II → III → IV → V.

---

Điểm Nổi Bật và Cập Nhật

Điểm đáng chú ý về bối cảnh xuất bản: giáo trình được biên soạn năm 2025, bám sát chương trình học phần đang thực thi tại Trường Đại học Hải Phòng tại thời điểm đó. Đây là tài liệu nội bộ do Khoa Toán và Khoa học Tự nhiên soạn thảo, không phải bản tái bản của giáo trình cũ, nên không có thông tin so sánh với các edition trước từ cùng nhóm tác giả.

Một đặc điểm đáng chú ý về tích hợp nội dung hiện đại: giáo trình trình bày song song ba hệ tiên đề (Hilbert, Weyl, Porogelov) và đặt chúng trong mối liên hệ với hệ tiên đề hình học phổ thông Việt Nam. Cụ thể, sách phân tích rõ lý do hình học phổ thông Việt Nam kế thừa cả hai hệ tiên đề Hilbert và Weyl để "khai thác hợp lý những ưu điểm của từng hệ tiên đề trong xây dựng hình học phổ thông" — điều này gắn trực tiếp nội dung đại học với thực tiễn chương trình giảng dạy phổ thông hiện hành.

Về ứng dụng thực tế trong giảng dạy: Chương 1 phân tích Một số đặc điểm của sách giáo khoa hình học phổ thông Việt Nam, chỉ ra rằng hình học không gian phổ thông kết hợp nghiên cứu quan hệ không gian với hình không gian theo lộ trình: liên thuộc → hình chóp; song song → hình hộp, lăng trụ; vuông góc → lăng trụ đứng, hình chóp đều. Việc phân tích cấu trúc logic này giúp sinh viên sư phạm nhận diện được nguyên tắc thiết kế chương trình, từ đó có định hướng khi soạn giáo án.

Quan hệ vuông góc trong sách giáo khoa phổ thông được trình bày bằng cả hai phương pháp — hình học trực quan và hình học vectơ — là ví dụ thực tế về sự kết hợp hai hệ tiên đề Hilbert và Weyl trong thực tiễn giảng dạy.

---

Đối Tượng Sử Dụng Giáo Trình

Sinh viên đại học ngành Sư phạm Toán và Toán học: Giáo trình phục vụ trực tiếp sinh viên học học phần Hình học sơ cấp, thường được xếp vào năm thứ hai hoặc thứ ba sau khi đã hoàn thành các học phần Đại số tuyến tính, Giải tích và các học phần Hình học cơ sở.

Kiến thức nền cần có: Người học cần nắm vững logic mệnh đề cơ bản (khái niệm mệnh đề, giá trị chân lý), lý thuyết tập hợp ở mức sử dụng, khái niệm ánh xạ và quan hệ. Giáo trình sử dụng khái niệm không gian vectơ (trong phần hệ tiên đề Weyl) và cơ sở đại số tuyến tính để đặt vectơ vào điểm, do đó kiến thức về vectơ và không gian vectơ là điều kiện hỗ trợ đáng kể.

Giảng viên: Tài liệu được thiết kế làm giáo trình chính thức cho học phần tại Trường Đại học Hải Phòng. Cấu trúc chương — với phần lý thuyết có đầy đủ chứng minh, hệ thống bài tập cuối chương và ví dụ có lời giải chi tiết — phù hợp để giảng viên sử dụng làm cơ sở thiết kế bài giảng và bài kiểm tra.

Tự học và tham khảo: Nhờ mỗi kết quả đều có chứng minh hoàn chỉnh và các ví dụ có hướng dẫn, sinh viên có thể sử dụng tài liệu độc lập ngoài giờ lên lớp. Giáo trình cũng có giá trị tham khảo cho những người nghiên cứu về nền tảng hình học hoặc về cơ sở toán học của chương trình phổ thông.

---

Câu Hỏi Thường Gặp

1. Giáo trình này phù hợp với ai?

Giáo trình được biên soạn theo chương trình học phần Hình học sơ cấp tại Trường Đại học Hải Phòng, phù hợp chủ yếu với sinh viên ngành Sư phạm Toán và Toán học đại học. Nội dung Chương 1 đặt trọng tâm vào cơ sở tiên đề của hình học, phù hợp với những ai cần hiểu nền tảng lý luận của hệ thống kiến thức hình học phổ thông — đặc biệt sinh viên định hướng nghề giáo.

2. Cần kiến thức nền nào để học?

Người học cần nắm logic mệnh đề cơ bản, lý thuyết tập hợp và khái niệm ánh xạ. Phần hệ tiên đề Weyl (Chương 1) sử dụng ngôn ngữ không gian vectơ — khái niệm vectơ, phép cộng vectơ, tích vô hướng — do đó kiến thức Đại số tuyến tính sẽ hỗ trợ đáng kể. Phần Chương 2 về hàm diện tích sử dụng lập luận epsilon-N, đòi hỏi quen thuộc với khái niệm giới hạn ở mức cơ bản.

3. Điểm khác biệt với các giáo trình hình học sơ cấp khác?

Giáo trình này trình bày đồng thời và so sánh ba hệ tiên đề (Hilbert, Weyl, Porogelov), đồng thời dành một mục riêng phân tích hệ tiên đề hình học phổ thông Việt Nam, chỉ rõ những chỗ hệ phổ thông công nhận thêm so với yêu cầu tối thiểu (ví dụ: quan hệ ở giữa, số đo góc là những khái niệm có thể định nghĩa được nhưng được công nhận vì lý do sư phạm). Đây là điểm khác biệt so với các tài liệu chỉ trình bày một hệ tiên đề duy nhất.

4. Làm sao để tự học hiệu quả?

Người học nên đọc tuần tự vì các nhóm tiên đề trong Chương 1 được xây dựng tích lũy: nhóm I (liên thuộc) → nhóm II (thứ tự) → nhóm III (bằng nhau) → nhóm IV (liên tục) → nhóm V (song song). Mỗi nhóm mở rộng thêm cấu trúc không gian — như giáo trình ghi rõ: "Với nhóm I chưa chứng minh được không gian có nhiều hơn 4 điểm; Với nhóm II chứng minh được không gian có vô số điểm nhưng các điểm còn rời rạc; Phải đến nhóm IV thì không gian mới liên tục". Hiểu logic tích lũy này giúp theo dõi toàn bộ lộ trình xây dựng lý thuyết.

5. Có tài liệu bổ trợ nào kèm theo?

Giáo trình có danh mục Tài liệu tham khảo ở trang 100. Nội dung lý thuyết trong giáo trình đề cập trực tiếp đến các tác phẩm kinh điển như Grundlagen der Geometrie (Hilbert, 1899) và hệ tiên đề Pogorelov, người học có thể tra cứu thêm qua các nguồn dịch thuật hoặc trích lược được lưu hành trong cộng đồng nghiên cứu toán học ở Việt Nam.

---

Kết Luận

Giáo trình Hình học sơ cấp (Trường Đại học Hải Phòng, 2025) tổ chức kiến thức theo lộ trình: từ phương pháp tiên đề và cơ sở hình học (Chương 1), qua các hình phẳng và không gian cùng lý thuyết diện tích (Chương 2), đến công cụ biến đổi hình học (Chương 3) và hai lớp bài toán cơ bản (Chương 4). Xuyên suốt, giáo trình duy trì nguyên tắc trình bày nhất quán theo quan điểm tiên đề, giúp người học phân biệt rõ giữa thừa nhận và chứng minh trong lý thuyết toán học.

Lộ trình học đề xuất: hoàn thành Chương 1 và toàn bộ bài tập kèm theo trước khi tiếp cận Chương 2–4, vì khung lý luận tiên đề là nền tảng cho cách đọc các chương sau. Người học có thể bổ sung tham chiếu từ Danh mục tài liệu tham khảo (trang 100) để đào sâu về các hệ tiên đề và hình học phi Euclide được đề cập trong Chương 1.

---

Giáo trình được biên soạn theo chương trình giảng dạy tại Trường Đại học Hải Phòng, UBND Thành phố Hải Phòng, năm 2025.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: CƠ SỞ HÌNH HỌC 1. Mệnh đề Trong logic mệnh đề, mệnh đề là một khái niệm cơ bản không được định nghĩa. Tất cả những câu phản ánh đúng hay sai một thực tế khách quan đều được coi là những mệnh đề. Ta gán cho mệnh đề phản ánh đúng giá trị bằng 1, mệnh đề phản ánh sai giá trị bằng 0.

Các giá trị 1, 0 gọi là giá trị chân lý của mệnh đề. Tiên đề Định nghĩa 1. Tiên đề là một mệnh đề được thừa nhận là đúng. Phương pháp tiên đề Phương pháp tiên đề đã được Euclide - nhà toán học cổ Hy Lạp phát hiện và sử dụng đầu tiên khi trình bày hình học sơ cấp trong tác phẩm "Cơ bản" của mình từ thế kỷ III trước Công nguyên.

Phương pháp tiên đề là phương pháp xây dựng lý thuyết toán học được thực hiện theo quy trình sau: - Cung cấp các khái niệm cơ bản, là những khái niệm đầu tiên, không định nghĩa. Các khái niệm cơ bản bao gồm các đối tượng cơ bản và các quan hệ cơ bản. - Cung cấp hệ tiên đề. - Trình bày các kết quả thu được từ các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề, cùng với các hệ quả của nó bằng các phép suy luận logic.

Tất cả các khái niệm không cơ bản phải được định nghĩa thông qua khái niệm cơ bản và quan hệ cơ bản cùng các kết quả trước nó.1: Lý thuyết nhóm là một lý thuyết toán học được xây dựng theo phương pháp tiên đề, cụ thể như sau: - Khái niệm cơ bản bao gồm: Tập hợp và phép toán * trên tập hợp. - Hệ tiên đề gồm 3 tiên đề: (1) Phép toán * có tính chất kết hợp, tức là (a*b)*c = a*(b*c). (2) Tồn tại phần tử e sao cho a*e = e*a = a. (3) Tồn tại phần tử nghịch đảo đối với phép toán *, tức là với mọi phần tử a, tồn tại phần tử b sao cho a*b = e.

4 - Tiếp đến là tất cả các định lý nhận được bằng suy luận logic từ các yếu tố đã biết, khái niệm khác được định nghĩa thông qua các khái niệm đã biết. Tương tự, Lý thuyết modul, Hình học Affine và Euclide… và hầu hết các lý thuyết toán học đều được xây dựng theo phương pháp tiên đề. Mô hình của hệ tiên đề Định nghĩa 1.2: Tập hợp H khác rỗng gọi là một mô hình của hệ tiên đề K nếu trên H mọi tiên đề của K đều là một mệnh đề đúng.2: Mỗi nhóm bất kỳ là một mô hình của Lý thuyết nhóm, chẳng hạn tập các số hữu tỉ Q, tập các số thực R đều là mô hình của Lý thuyết nhóm. Chú ý: Mỗi hệ tiên đề có thể có nhiều mô hình khác nhau.

Yêu cầu của một hệ tiên đề Tiên đề là những mệnh đề công nhận là đúng, không chứng minh. để đảm bảo giá trị của lý thuyết toán học, không phải một tập các mệnh đề nào cũng có thể sử dụng là một hệ tiên đề cho nó. Hệ tiên đề cần đạt các yêu cầu sau: 1. Tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề Định nghĩa 1.3 Hệ tiên đề K gọi là phi mâu thuẫn nếu từ K và các kết quả suy ra từ K bằng suy luận logic không suy ra hai kết quả trái ngược nhau.

Đây là điều kiện tiên quyết của một hệ tiên đề. Điều kiện này giúp cho lý thuyết toán học không mâu thuẫn và có ý nghĩa.1 Một hệ tiên đề là phi mâu thuẫn nếu tồn tại một mô hình của hệ tiên đề đó. Xét hệ tiên đề sau về khái niệm cơ bản bao gồm đối tượng cơ bản là “điểm”, “đường thẳng”, quan hệ cơ bản là “điểm thuộc đường thẳng”. Hệ tiên đề K gồm 3 tiên đề: K1: Qua hai điềm có duy nhất một đường thẳng.

K2: Hai đường thẳng khác nhau có duy nhất một điểm chung. 5 K3: Có ít nhất 4 điểm trong đó không có 3 điểm nào thuộc cùng một đường thẳng. Để chứng minh hệ tiên đề là phi mâu thuẫn, ta có thể xây dựng một mô hình, chẳng hạn là hình tứ diện ABCD, với A, B, C, D là các điểm, các cạnh của tứ diện là 6 đường thẳng. Ta nhận thấy, các tiên đề của hệ K đều đúng trên ABCD.

Do đó tứ diện ABCD là một mô hình của hệ tiên đề K, hay K là một hệ tiên đề phi mâu thuẫn. Tính độc lập của hệ tiên đề Định nghĩa 1. Tiên đề a của hệ tiên đề K gọi là độc lập với K\ a tiên đề còn lại nếu nó không là hệ quả của K\a tiên đề đó. Hệ tiên đề K gọi là độc lập nếu mọi tiên đề của K đều độc lập.

Hệ tiên đề độc lập là hệ tiên đề tối thiểu mà lý thuyết toán học cần có để xây dựng. Tiên đề a của hệ tiên đề K độc lập với các tiên đề của K nếu tồn tại một mô hình của K\a tiên đề mà trên đó a không thỏa mãn. Quay lại hệ tiên đề K trên, ta có tiên đề K1 độc lập với các tiên đề còn lại vì có hình tứ diện ABCD không có cạnh AB là một mô hình của K2 và K3 nhưng không thỏa mãn K1. Tính đầy đủ của hệ tiên đề Định nghĩa 1.

Hệ tiên đề gọi là đầy đủ nếu có thể xác định được tính đúng sai của một kết quả bất kỳ suy ra từ hệ tiên đề đó bằng suy luận logic. Tính đầy đủ của hệ tiên đề giúp lý thuyết toán học có đủ căn cứ trong quá trình lập luận xây dựng lý thuyết đó. Hệ tiên đề đầy đủ khi mọi mô hình của nó đều đẳng cấu, tức là có một song ánh từ mô hình này tới mô hình kia. Hệ tiên đề Hilbert của hình học Euclide 1.

Vài nét lịch sử David Hilbert (1862–1943), nhà toán học người Đức, đã có đóng góp quan trọng trong việc xây dựng nền tảng hình học thông qua việc phát triển hệ tiên đề cho Hình học Euclide. Năm 1899, Hilbert công bố tác phẩm Grundlagen der Geometrie 6 (Nền tảng của Hình học), trong đó ông trình bày một hệ thống tiên đề chặt chẽ và đầy đủ cho Hình học Euclide. Hệ tiên đề này được xây dựng dựa trên sáu khái niệm cơ bản chưa được định nghĩa: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ “thuộc", quan hệ "ở giữa" và quan hệ "bằng". Hilbert đã phân loại các tiên đề thành năm nhóm: tiên đề về sự liên thuộc, về thứ tự, về toàn đẳng, về song song và về liên tục.

Cách tiếp cận này giúp loại bỏ những thiếu sót trong các hệ tiên đề trước đó của Euclide và Pasch, đồng thời khẳng định tính chặt chẽ và độc lập của các tiên đề trong Hình học Euclide. Công trình của Hilbert đã có ảnh hưởng sâu rộng trong việc phát triển phương pháp tiên đề trong toán học, không chỉ trong Hình học mà còn trong các lĩnh vực khác. Hilbert đã nhận giải thưởng Lobachevsky vào năm 1903. Giải thưởng này được trao bởi Hội Toán học Kazan để vinh danh những đóng góp xuất sắc trong lĩnh vực toán học.

Sau đó, phương pháp tiên đề trở nên thịnh hành và xuất hiện nhiều hệ tiên đề khác của hình học Euclide. Nhiều công trình khoa học khác về cơ sở hình học đã bổ sung, tạo ra nhiều hệ tiên đề tương đương với hệ tiên đề Hilbert như Hệ tiên đề Porogelov hay Hệ tiên đề Wayle. Hệ tiên đề Hilbert Các khái niệm cơ bản gồm các đối tượng cơ bản là “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” và các quan hệ cơ bản là “thuộc”, “ở giữa”, “bằng”. Hệ tiên đề được chi thành 5 nhóm với 20 tiên đề.

Nhóm I là nhóm tiên đề “liên thuộc” chứa 8 tiên đề. Nhóm II là nhóm tiên đề về “thứ tự” chứa 4 tiên đề. Nhóm III là nhóm tiên đề về “bằng nhau” chứa 5 tiên đề. Nhóm IV là nhóm tiên đề về “liên tục” chứa 2 tiên đề.

Nhóm V là nhóm tiên đề về “song song” chứa 1 tiên đề. Nhóm I – Các tiên đề về liên thuộc Nhóm tiên đề này mô tả quan hệ cơ bản: “Thuộc” hay “đi qua”. Với 2 điểm bất kỳ tồn tại đường thẳng đi qua. Với 2 điểm phân biệt có không quá một đường thẳng đi qua.

Mỗi đường thẳng có ít nhất 2 điểm. Có ít nhất 3 điểm không cùng thuộc một đường thẳng. Cho bất cứ 3 điểm bao giờ cũng có một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó. Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điểm.

Cho bất cứ 3 điểm nào không thuộc cùng một đường thẳng, không có quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó. Nếu hai điểm A,B thuộc đường thẳng a, đồng thời thuộc mặt phẳng α thì mọi điểm khác của a cũng thuộc α. Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm thì chúng sẽ cùng thuộc ít nhất một điểm thứ hai. Có ít nhất 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Một số định nghĩa và định lý suy ra trực tiếp từ nhóm tiên đề I. Hai đường thẳng phân biệt có nhiều nhất là một điểm chung. Nếu mọi điểm thuộc đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng (P) thì đường thẳng a gọi là thuộc mặt phẳng (P) hoặc mặt phẳng (P) thuộc đường thẳng a. Một mặt phẳng và một đường thẳng không thuộc mặt phẳng đó có nhiều nhất là một điểm chung.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng. Hai đường thẳng gọi là cắt nhau nếu có 1 điểm thuộc cả hai đường thẳng đó, điểm chung đó gọi là giao điểm của hai đường thẳng. Đường thẳng và mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu có duy nhất một điểm thuộc cả đường thẳng và mặt phẳng. Điểm chung đó gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Hai mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu có một đường thẳng chung. Đường thẳng chung đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng hoặc qua hai đường thẳng cắt nhau bao giờ cũng có một và chỉ một mặt phẳng. Mỗi mặt phẳng chứa ít nhất 3 điểm không thẳng hàng.

Chú ý: - Chỉ có tương quan “thuộc” giữa điểm và đường thẳng, giữa điểm với mặt phẳng là tương quan cơ bản, còn các tương quan khác đều được định nghĩa. - Nhóm I chỉ nêu ra những yêu cầu tối thiểu đủ để lí luận khi chứng minh các định lý. Chẳng hạn, bằng trực giác ta có thể nhận biết là trên một đường thẳng hay một mặt phẳng có vô số điểm nhưng tiên đề I3 chỉ công nhận trên một đường thẳng có ít nhất hai điểm và tiên đề I4 chỉ công nhận trên một mặt phẳng có ít nhất một điểm.