Chương 1 ĐỘNG HỌC ĐIẾM Nội dung: + Các khái niệm cơ bản về động học của chất điểm + Chuyển động của chất điểm từ chuyển động đơn giản cho đến chuyển động phức hợp Yêu cầu: + Xác định được vận tốc, gia tốc của chất điểm trong các hệ tọa độ: Decartes, cực, trụ. + Xây dựng quỹ đạo chuyển động của chất điểm. Giới thiệu Trong cơ học động học chủ yếu phân tíchmối quan hệ giữa di chuyển, vận tốc, gia tốc và thời gian xảy ra khi cơ hệ chuyển động mà không xem xét đến các nguyên nhân khác bao gồm lực và khối lượng cũng như lực quán tính của hệ thống. Chất điểm được xem xétlà một điểm hoặc một vật rắn có kích thước bằng không.
Định nghĩa này có thể không phù hợp do hầu hết vật rắn đều có kích thước. Một định nghĩa khác có thể phù hợp hơn, "Chất điểm được xem là một vật rắnvới kích thước hữu hạn,chuyển động của tất cả các điểm trên vật rắnlà giống nhau". Trong một hệ quy chiếu tập hợp tất cả các vị trí của chất điểm được gọi là quỹ đạo chuyển động.Nếu quỹ đạo là đường thẳng thì được gọi là chuyển động thẳng hình l.Nếu quỹ đạo của chất điểm là đường cong thì được gọi là chuyển động cong hình l.Trong phân tích cơ học, tên loại đường cong thường được sử dụng để đặt cho loại chuyển động, ví dụ nếu quỹ đạo chuyển động của điểm là đường tròn thì chất điểm được gọi là chuyển động tròn. Chuyển động theo đường thẳng, đường tròn là hai chuyển động cơ bản của điểm.
Không gian Trong cơ học không gian ơ-clit ba chiều được sử dụng-để phân tích động học cũng như động lực học.Vì vậy, các phép tính hình học ơ-clit được sử dụng trong không gian này. Thời gian Thời gian là một đại lượng vô hướng thể hiện sự thay đổi liên tụctheo một chiều nhất định và tuyệt đối. Vì vậy, thời gian được đo trên trục số thực t gọi là trục thời gian. Đơn vị cơ bản của thời gian là giây (s).
Gốc, hệ thống tọa độ và quy ước dâu Gốc tọa độ là một điểm tham chiếu dùng để xác định vị trí và đo lường chuyển động của điểm.2 Hệ thống tọa độ gồm nhiều trục tham chiếu có chiều dương được xác định theo quy ước. Hệ thống tọa độ bao gồm: + Hệ trục tọa độ Decartesnhư hình 1. + Hệ trục tọa độ cực như hình 1.2b + Hệ trục tọa độ trụ như hình 1.2c + Hệ true tọa độ cầunhư hình 1. VỊ trí Vị trí của một điểm A trong không gian được xác định bằng cách sử dụng vectơT? như trong hình 1.
Khi điểm A chuyển động, vectơ Rsễ thay đổi độ lớn hoặc phương hoặc cá hai theo thời gian. Vì vậy, vectơ R là hàm phụ thuộc vào thời gian. Theo tọa độ Decartes (hình 1.1) Theo tọa độ trụ (hình 1. Di chuyển Di chuyển là sự thay đổi vị trí của điểm đó và được xác định bằng vectơ di chuyển, vectơ này biến đổi phương, chiêu và độ lớn của vectơ vị trí.
Như trình bày trong hình 1.4, giả sử tại thời điểm ti điểm ở tại vị trí A và được xác định bằng vectơ RA, sau khoảng thời gian Í2 điểm di chuyển đến vị trí B với vectơ vị trí tương ứng Rb. Như vậy, vectơ vị trí RAlìđược định nghĩa là vectơ di chuyển hay còn gọi là vectơ độ dời của điểm B so với điểm A. Vectơ di chuyển có hướng theo cát tuyến nếu chuyển động cong như hình 1.4a và dọc theo quỹ đạo nếu chuyển động là thẳng như hình 1. Vận tốc Vận tổc là một đại lượng vectơ mô tả tốc độ và hướng chuyển động của điểm.
Vectơ vận tốc trung bình của điểm được định nghĩa là tỉ sô' giữa vectơdi chuyển(/^B) và khoảng thời gian thay đổi vị trí tương ứng(Aí = t2 -Ọ như trình bày trong hình 1.4) tb M Vectơ vận. tốc trung bình có chiều theo chiều của vectơ di chuyển. Nếu thời gian càng bé thì vận tốc trung bình càng chính xác. Vận tốc tức thời (hay còn gọi là vận tốc) tại thời điểm khảo sát được định nghĩa bởi phương trình (1.5): R R -R (IR fz V = lim —^4 = lim B 4 -- —— = [ị (15) Ăĩ^õ \ị At-»o At (it Như vậy, vận tốc được định nghĩa là tốc độ thay đổi của vectơ vị trí theo thời gian.Khi AZ —> 0, vectơ di chuyển /?Ư;tiếp tuyến với quỹ đạo chuyên động của chất điểm tại thời điểm khảo sát.
Vì vậy, vectơ vận tốc sẽ cùng phương cùng chiều với vectơ di chuyển. Như vậy: + Nếu vectơ vận tốc luôn luôn hướng theo đường thẳng và chỉ thay đổi vè độ lớn được gọi là chuyển động thẳng. 12 + Nếu vectơ vận tốc sẽ thay đổi phương lẫn độ lớn gọi là chuyển động cong. Độ lớn của vận tốc điểm có thể được xác định bằng cách thay thế độ lớn của vectơ RAlỊ bằng chiều dài của cung AB = ũfc(hình 1.
As (Is z-x V = lim — = -y- • (l.o) At->0 dt Thứ nguyên của vận tốc là chiêu dài/thời gian. Theo hệ thống đo lường quốc tế (SI), đơn vị của vận tốc là m/s. Gia tốc Gia tốc là một đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi độ lớn và chiều của vận tốc điểm theo thời gian. Như mô tả trong hình 1.5, vectơ gia tốc trung bình của chất điểm di chuyển từ điểm A tới điểm Btrong khoảng thời gian At: Chiều của vectơ gia tổc trung bình cùng chiều với vectơ vận tốc trung bình Av = VB - VA và hướng về phía lõm của.
Vectơ gia tốc tức thời (hay còn gọi là gia tốc) tại thời điểm t được định nghĩa là tốc độ thay đổi vectơ vận tốc theo thời gian. 1- &V T Vr ~ dv X /d a = lim —— = lim ——— = — = V (1.8) aT->0 aí ẢtAỈ) t _ ị dt Theo phương trình (1.5), ta có: Như vậy, vectơ gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vectơ vận tốc và đạo hàm bậc hai cùa vectơ vị trí theo thời gian. Thứ nguyên của gia tốc là chiều dài/(thời gian)2, theo hệ SI là (m/s2). + Nếu ơ=0, được gọi là chuyển động đều.
+ Nếu a=constant và dương được gọi là chuyển động nhanh dần đều. + Nếu ơ=constant và âm được gọi là chuyển động chậm dân đều. Chuyến động tương đối Hệ thống tọa độ được định nghĩa là tuyệt đối nếu nó được xem là cô' định, ngược lại được gọi là hệ thống tọa độ tương đối. Xét chuyển động phức hợp của chất điểm p so với hệ tọa độ di chuyển OiXiyiZi, hệ tọa độ này chuyển động so với hệ tọa độ cô' định Oxyz (hình 1.
Chuyển động của p so với hệ cô' định được gọi là chuyển động tuyệt đổi (7?j/ư), chuyển động của p so với hệ tọa độ di động được gọi là chuyển động tương đối (/?p/()|). Chuyển động của hệ tọa độ di động so với hệ tọa độ có định được gọi là chuyển động theo (Ro /0). Ta có vị trí của điểm p trong hệ tọa độ cố định Oxỵz như sau: Rp/O Rp/O' + ỉỉOì /o (1.10) Phương trình (1.10) được đạo hàm theo thời gian ta thu được vectơ vận tốc và gia tốc: Vp/O ~ Rp/O ~ Rp/OỴ + ROJO ~ Vp/Oỵ + Vojo (1.11) ap/o ~ vp/o ~ vp/ol + VOJO ~ ap/oi + (1. Chuyển động thẳng Chuyển động thẳng là chuyển động của chất điểm dọc theo một đường thẳng như hình 1.
Chọn hệ trục tọa độ một chiêu Ox theo hướng quỹ đạo chuyển động và chiều dương theo chiều chuyển động. Tọa độ của chất điểm tại vị trí bất kỳ A là xsau khoảng thời gian At, chất điểm di chuyển đến điểm B có tọa độ tương ứng là x\ Quãng đường di chuyển của chất điểm là Ax. Áp dụng phương trình (1.6), vận tốc của chất điểm: Ax x-x dx V — lim — = lim------ = — (1.13) Ãí-Tõ A í ẢtAõ At dt Vận tốc của chất điểm có thể âm hoặc dương, nếu là dương chất điểm di chuyển theo chiều dương của trục Ox, ngược lại di chuyển theo chiều âm của trục Ox.7 Áp dụng phương trình (1.8), gia tốc của chất điểm: 15 dv d2x (1.14) dt ~ dt2 Một hình thức khác của phương trình gia tốc bằng cách thay thê' ờttừ phương trình (1.13) dv dv dx dv a = -— = —-—- = v—~ (1.15) dt dx dt dx Tương tự, gia tốc của chất điểm có thể dương hoặc âm, nếu gia tốc là dương thì chất điểm chuyển động nhanh theo chiều dương hoặc chuyển động chậm theo chiêu âm (hình 1. Nếu gia tốc là âm thì chất điểm chuyển động chậm theo chiều dương hoặc chuyển động nhanh theo chiều âm (hình 1.
Từ phương trình (1.13), chúng ta có thể xác định được vị trí, vận tốc, và gia tốc tại thời điểm bất kỳ của chất điểm bằng cách thực hiện tích phân các phương trình này: t X = Xo + JI vdt t0 t V = Vo + í adt (1. Chuyển động với gia tốc không đối (a=constant) V2 - V2 = 2a(z - a?ơ) (1.17) X=X o + Vo + a — -tt 2 0 16 Ví dụ 1.1: Một chất điểm chuyển động dọc theo đường thẳng có phương trình mô tả sự thay đối của vị trí theo thời gian: X = t3 -Qt2 -15í + 40(m). Xác định thời gian mà tại đó vận tốc của chất điểm bằng không. Tại thời điểm này, xác định: a.
Vị trí và quãng đường chất điểm di chuyển được. Gia tốc của chất điểm. Giải: Vận tốc và gia tốc của chất điểm: v = 3t2 -12Í-15 (m/s) a = 6í - 12 (m/s2) Thời điểm vận tốc của chất điểm bằng không được xác định bằng cách giải phương trình: V = 3í2 - 12í -15=0 Tìm được: t=-ls(loại), t=5s. Vậy thời điểm mà chất điểm có tô'c độ bằng không là 5s.
Vị trí tại thời điểm t=5s: x(t = 5) = 53 - 6(5)2 -15(5) + 40 = -60 m; s = x(t = 5) - x(t = 0) = -60 - 40 = -100 m. Vậy chất điểm di chuyển được 100 m theo phương âm b.2: Một con trượt A chuyển động theo mối quan hệ X = 50sin(i - 0,5í2j(mm). Hãy xác định vị trí và gia tốc của con trượt khi vận tốc bằng không và thời gian 0<t<2 s. Giải: Vận tốc và gia tốc con trượt: dx V = — = 50(1 - í)cos(i - 0,5í2) (nim/s) dt dv a = — = -50cos(/ - 0,5í2) - 50(1 - ty sin(í - 0,5í2) (iinn/s2) dt Thời điểm vận tốc bằng không tức là 50(1 - í)c<ds(í-0,5ể2) =0 Giải phương trình này, ta tìm được: TRƯỜNG SAI HỌC CÒNG NGHIỆP TP.