Chương 1. Tỉ số phần trăm Theo Wikipédia2 thì khái niệm tỉ số phần trăm dường như có nguồn gốc từ Ý vì trong một văn bản thời Trung cổ, người ta thấy có các khái niệm như “per cento” hay “per c. Còn theo David Eugene Smith3, dấu vết đầu tiên của ký hiệu 0 phần trăm có dạng p. và được tìm thấy trong một bản viết tay tiếng Ý từ năm 1425, 0 rất gần với ký hiệu được dùng hiện nay.
Khái niệm tỉ số phần trăm này cũng được Wikipédia định nghĩa như sau : “Tỉ số phần trăm là một cách biểu diễn cho tỉ số (hay giá trị tương đối hay tỉ lệ) các tần số của hai tập hợp bằng một phân số có mẫu số bách phân.” Có thể thấy rằng ngay từ trong tên gọi của mình, khái niệm tỉ số phần trăm đã biểu thị một mối liên hệ mật thiết với khái niệm đã có trước đó, là khái niệm tỉ số và khái niệm phân số (phần trăm chính là ứng với phân số có mẫu là 100). Chúng tôi đơn cử ở đây một tham khảo từ nguồn tài liệu chính thức của Bộ giáo dục Canada, đó là chương trình và tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán từ lớp 1 đến lớp 8 của bang Ontario nhấn mạnh về mong đợi của thể chế dạy học bậc này đối với “Hệ đếm và nghĩa của số” ở lớp 6 là : “- thiết lập và giải thích các mối quan hệ giữa phân số, số thập phân và tỉ lệ phần trăm. - chuyển một số thập phân hoặc một phân số có mẫu số là số chia của 100 sang dạng phần trăm và ngược lại (ví dụ: 2/5 = 40/100 = 40%, 0,18 = 18/100 = 18%)” [18, tr.70] Tài liệu cũng chỉ ra rằng để đáp ứng mong đợi này, học sinh lớp 6 ở Canada cần : 2 https://fr.org/wiki/Pourcentage 3 Trích theo Wikipédia. Luan van 6 “thiết lập và giải thích bằng các phương tiện vất chất cụ thể mối quan hệ giữa phân số, số thập phân, tỷ lệ phần trăm và tỷ lệ”.78] Để minh hoạ mối quan hệ giữa các khái niệm này, chúng tôi chọn tham chiếu từ chương trình và sách giáo khoa Toán 6 tại Việt nam và cố gắng chỉ ra mối quan hệ này thông qua các thành tố gồm định nghĩa, thành phần, cách viết, giá trị và khái niệm kế thừa như sau : Bảng 1.
Mối quan hệ giữa phân số, tỉ số và tỉ số phần trăm. Khái Đặc trưng của Cách Khái niệm Định nghĩa niệm khái niệm biểu diễn kế thừa 𝑎 “Người ta gọi với a, b ϵ Tử số a và mẫu số b Có dạng : Phân số 𝑏 Z, b ≠ 0 là một phân số, a là số tự nhiên (mẫu số a thập phân Phân khác không) b là tử số (tử), b là mẫu số số (mẫu) của phân số.”[4, - Là 1 phân số tối tr.4] giản “Thương trong phép chia Số bị chia và số chia Có dạng : Tỉ số phần số a cho số b (b ≠ 0) gọi là có thể là số thập phân a:b trăm Tỉ số tỉ số của a và b.56] 𝑎 Giá trị thập phân 𝑏 “Tỉ số dưới dạng tỉ số Số bị chia và số chia Tỉ số phần trăm với ký hiệu % có thể là số thập phân c% phần thay cho 1 .57] (mẫu số khác không) trăm 100 Giá trị thập phân 1. Quan sát thực hành dạy học của GV Tham khảo từ luận văn thạc sĩ có tên “Nghiên cứu thực hành dạy học của GV về hệ đếm thập phân ở bậc Tiểu học” của tác giả Võ Thị Thanh Tuyền, chúng tôi sẽ trích Luan van 7 dẫn tóm tắt một số khái niệm cơ bản mà chúng tôi dùng làm điểm tựa về mặt lý luận cho nghiên cứu trong luận văn này, gồm: mối quan hệ cá nhân đối với một tri thức, mối quan hệ thể chế đối với tri thức đó, tổ chức toán học và tổ chức sư phạm (tổ chức didactic) theo Thuyết nhân học trong Didactic Toán được xây dựng bởi Yves Chevallard (1992). Mối quan hệ cá nhân (của HS hoặc của GV) đối với một đối tượng tri thức - Đối tượng: “Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân.11] - Mối quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức: “Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, … Quan hệ cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O.11] - Quan niệm về việc học tập: “Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X với O.
Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Mối quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức Theo Chevallard, khi xem xét mối quan hệ cá nhân của X đối với đối tượng O, cần đặt mối quan hệ này vào trong một thể chế vì “một cá nhân không thể tồn tại độc lập ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế” và vì “đối tượng O không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào […] O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy”. Ông sử dụng ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. Như vậy, Luan van 8 “R(I,O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, […] Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O).12] Để mô tả quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, Chevallard (1998) đã đưa ra một mô hình khái niệm praxéologie như sau: mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ, θ, Θ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lý thuyết giải thích cho θ, nghĩa là công nghệ của công nghệ θ.
Mô hình này cho phép mô tả hoạt động nghiên cứu, dạy và học toán. Tổ chức toán học (organisation mathématique) Một praxéologie có các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học. Theo các tác giả Bosch và Chevallard, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O, vì: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Tổ chức sư phạm Cũng theo Võ Thị Thanh Tuyền: “Để phân tích thực hành của GV, Chevallard cho rằng người nghiên cứu cần quan tâm đến việc trả lời hai câu hỏi sau: - Phân tích một tổ chức toán học được xây dựng trong một lớp học nào đó bằng cách nào? - Làm sao để mô tả và phân tích một tổ chức sư phạm mà một GV đã tiến hành trên lớp học cụ thể để chuyển tải đến HS một tổ chức toán học cụ thể nào đó? Luan van 9 Để giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu hỏi trên, Chevallard đưa ra công cụ lý thuyết là khái niệm các thời điểm nghiên cứu và không phải là mọi tổ chức toán học đều được tổ chức tìm hiểu theo một cách thức duy nhất, thì vẫn có những thời điểm mà tất cả các hoạt động nghiên cứu đều phải trải qua.
Cụ thể, ông chỉ ra 6 thời điểm và gọi chúng là các thời điểm nghiên cứu (moment d’étude) hay thời điểm sư phạm (moment didactique) như sau: Thời điểm thứ nhất: là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức toán học OM được xem là mục tiêu đặt ra cho việc học tập liên quan đến đối tượng O. Sự gặp gỡ như vậy có thể xẩy ra theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, có một cách gặp, hay “gặp lại”, hầu như không thể tránh khỏi, trừ khi người ta nghiên cứu O rất hời hợt, là cách gặp thông qua một hay nhiều kiểu nhiệm vụ Ti cấu thành nên O. Sự “gặp gỡ lần đầu tiên” với kiểu nhiệm vụ Ti có thể xẩy ra qua nhiều lần, tùy vào môi trường toán học và didactic tạo ra sự gặp gỡ này: người ta có thể khám phá lại một kiểu nhiệm vụ giống như khám phá lại một người mà người ta nghĩ rằng mình đã biết rõ.
Thời điểm thứ hai: là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ 𝑇𝑖 được đặt ra, và xây dựng nên một kỹ thuật 𝜏𝑖 cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này. Thông thường, nghiên cứu một bài toán cá biệt, làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu, là một cách thức tiến hành để triển khai việc xây dựng kỹ thuật tương ứng. Kỹ thuật này sau đó sẽ lại là phương tiện để giải quyết mọi bài toán cùng kiểu. Thời điểm thứ ba: là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết [θ/Θ] liên quan đến 𝜏𝑖 , nghĩa là tạo ra những yếu tố cho phép giải thích kỹ thuật đã được thiết lập.
Thời điểm thứ tư: là thời điểm làm việc với kỹ thuật. Luan van 10 Thời điểm này là thời điểm hoàn thiện kỹ thuật bằng cách làm cho nó trở nên hiệu quả nhất, có khả năng vận hành tốt nhất - điều này nói chung thường đòi hỏi chỉnh sửa lại công nghệ đã được xây dựng cho đến lúc đó. Đồng thời đây cũng là thời điểm làm tăng khả năng làm chủ kỹ thuật: thời điểm thử thách kỹ thuật này đòi hỏi phải xét một tập hợp thích đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ. Thời điểm thứ năm: là thời điểm thể chế hóa.
Mục đích của thời điểm này là chỉ ra một cách rõ ràng những yếu tố của tổ chức toán học cần xây dựng. Những yếu tố này có thể là kiểu bài toán liên quan, kỹ thuật được giữ lại để giải, cơ sở công nghệ-lý thuyết của kỹ thuật đó, cách ghi hay ký hiệu mới. Thời điểm thứ sáu: là thời điểm đánh giá. Thời điểm đánh giá nối khớp với thời điểm thể chế hóa.
Trong thực tế, việc dạy học phải đi đến một thời điểm mà ở đó người ta phải “điểm lại tình hình”: cái gì có giá trị, cái gì đã học được,… 6 thời điểm nghiên cứu nêu trên cho phép mô tả kỹ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ dạy một tổ chức toán học như thế nào?