CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Toán học và mối liên hệ với thực tiễn Theo tác giả Nguyễn Bá Kim (2011) thì đối tượng của toán học thuần tuý là những dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan. Các nghiên cứu quốc tế, điển hình như công trình của Hà Xuân Thành [10], chỉ ra rằng các quốc gia có nền giáo dục phát triển thường ưu tiên kết nối chặt chẽ giữa lý thuyết toán học và thực tiễn ngay từ cấp độ sách giáo khoa.
Điều này được thể hiện qua việc tích hợp nhiều bài tập thực tế, bao gồm cả những bài toán lấy dữ liệu từ cuộc sống và những tình huống giả định, thậm chí là những bài tập liên môn. Cũng theo một số công trình nghiên cứu tại Việt nam của tác giả Nguyễn Anh Tuấn cùng cộng sự cũng đã đưa ra các giải pháp cụ thể để hiện thực hóa mục tiêu gắn toán học với thực tiễn trong dạy học [12, tr. Các đề xuất này đa dạng từ việc bổ sung ví dụ thực tế, khai thác lịch sử toán học, đến việc rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học và liên kết toán học với các ngành nghề trong cuộc sống của con người. Mặc dù toán học ngày càng phát triển trong cuộc sống hiện nay, nhưng quan điểm trên vẫn giữ nguyên giá trị, bởi lý thuyết dạng không gian và mối quan hệ số lượng được xem xét trong một hệ quả rộng lớn và trừu tượng.
Dạng không gian không chỉ giới hạn trong ba chiều của không gian cụ thể mà còn mở rộng ra các không gian trừu tượng khác như: không gian nhiều chiều hoặc vô hạn, không gian của những phần tử, hàm liên tục và nhiều hơn nữa. Tương tự, mối quan hệ số lượng không chỉ đơn thuần là một tập hợp số mà còn được hiểu là những phép toán và đặc tính liên kết chúng trên tập hợp có các phần tử là các đối tượng đa dạng, tuỳ ý như các phép biến đổi, tập hợp, mệnh đề, ma trận,. Tính trừu tượng không chỉ dừng lại ở toán học mà còn là đặc điểm chung của mọi ngành khoa học. Tuy nhiên, điểm đặc biệt trong toán học là sự trừu tượng được tạo ra bằng tách rời ra khỏi hẳn mọi bản thể vật chất của đối tượng, chỉ giữ lại mối quan hệ số lượng dưới dạng các cấu trúc.
Do đó, toán học được ghi nhận có tính trừu tượng rất cao. 6 Trong toán học, trừu tượng hóa được thực hiện trong nhiều phạm vi khác nhau. Một số khái niệm toán học được phát triển từ việc trừu tượng các sự vật cụ thể chẳng hạn như số tự nhiên, hình vuông, hình chữ nhật,. Tuy nhiên cũng có nhiều khái niệm được rút ra từ kết quả của việc trừu tượng hóa trước đó, ví dụ như các khái niệm về nhóm, vành, trường, không gian vectơ,.
Mặc dù Toán học có tính trừu tượng cao nhưng điều đó không làm lu mờ đi bản chất thực sự của toán học đó là gắn liền với thực tiễn. Toán học xuất được sinh ra từ cuộc sống. Số học ra đời do nhu cầu đếm của con người. Hình học xuất hiện do sự cần thiết của việc đo đạc ruộng đất bên bờ sông Nin sau những trận lụt lội ở Ai cập.
Khi nhắc đến nguồn gốc thực tiễn của Toán học, ta cũng cần phải đề cập đến cả nguồn gốc thực tiễn của các quy luật suy luận logic hình thức được sử dụng trong toán học. Lênin có nhấn mạnh rằng: : “Những hình thức và quy luật logic không phải là cái vỏ trống rỗng mà là sự phản ánh thế giới khách quan. thực tiễn của con người, được lặp đi lặp lại hàng nghìn triệu lần, sẽ được củng cố vào ý thức người ta dưới những hình thức của logic học” (Lênin toàn tập, tr.171, 209, trích theo Nguyễn Bá Kim, tr.36) [5] Độ trừu tượng cao độ của Toán học làm cho nó có tính thực tiễn phổ dụng và từ đó toán học có khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực đa dạng của cuộc sống hàng ngày. Một ví dụ, kiến thức về mối quan hệ tỉ lệ thuận, biểu thị qua công thức 𝑦 = 𝑎𝑥, có thể được triển khai trong các bộ môn như hình học, kỹ thuật điện và hóa học, … bởi vì mối quan hệ này phản ánh tương ứng với các liên hệ giữa chúng trên các lĩnh vực, ví dụ như diện tích 𝑆 của một tam giác khi biết trước cạnh 𝑎 tỷ lệ thuận với đường cao ℎ đối với cạnh đó.
1 𝑆 = 𝑎ℎ 2 Quãng đường đi được 𝑠 trong một chuyển động đều với vận tốc cho trước 𝑣 tỉ lệ thuận với thời gian đi 𝑡 𝑠 = 𝑣. 𝑡 Hiệu điện thế U tỉ lệ thuận với cường độ dòng điện 1 khi điện trở R không đổi: 7 Độ trừu tượng cao độ của Toán học làm cho nó có tính thực tiễn phổ dụng giúp cho toán học có khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như Vật lí học, Hóa học, Ngôn ngữ học, Thiên văn học, Địa lí, Sinh học, Tâm lí học. và trở thành một công cụ có hiệu lực của các ngành đó. Như vậy, toán học có ứng dụng phong phú và rất đa dạng trong cuộc sống thực tế.
Điều đó khẳng định vai trò đặc biệt quan trọng của môn khoa học này trong đời sống của con người. Một số khái niệm về mô hình và dạy học mô hình hóa 1. Mô hình Theo Từ điển tiếng Việt, mô hình là hình thức diễn đạt ngắn gọn theo một ngôn ngữ nào đó các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng để nghiên cứu đối tượng ấy”, mô hình có thể hiểu là đối tượng vật lí (ví dụ mô hình hình không gian), mô hình trong trí não sử dụng ở các ngữ cảnh học tập khác nhau hoặc mô hình tổng quát như hệ tiên đề của hình học Euclid [6]. Theo Đặng Thành Hưng (2017) “Mô hình (Model) là đồ vật thay thế hay ý niệm (tư duy có chủ định) phản ánh một sự vật hay quá trình có thật đang tồn tại hoặc có thể sẽ xuất hiện trong thế giới, cho biết những thuộc tính bản chất nhất, những nguyên lí cơ bản nhất, những đặc điểm nổi bật nhất hiện có hoặc sẽ có của nó một cách tinh giản, khái quát và minh bạch” [4].
Như vậy, ta có thể hiểu mô hình là dạng vật thể trung gian mà qua đó ta có thể hình dung được những đặc trưng của sự vật, hiện tượng hoặc một hệ thống các sự việc thực tế. Ta có thể dùng mô hình cho việc nghiên cứu các sự vật, sự việc, hiện tượng nhằm một mục đích cụ thể nào đó. Mô hình có thể ở nhiều hình dạng khác nhau, có thể là hình ảnh, sơ đồ,. hoặc mô hình tồn tại ở dạng trừu tượng thông qua việc mô tả như các mô hình về kinh tế tài chính, mô hình về chính trị xã hội,.
Hoặc mô hình cũng có thể ở dạng đồ vật cụ thể như mô hình về cái xe, mô hình cái cốc, mô hình hình lập phương, hình chóp, hình lăng trụ,. Thông qua việc nghiên cứu mô hình, ta có thể tìm ra các thuộc sinh của đối tượng mà ta nghiên cứu mà không cần đến toàn bộ sự vật gốc. Tuy nhiên chất lượng của kết 8 quả nghiên cứu cũng sẽ tuỳ thuộc và chất lượng, độ chính xác của mô hình so với sự vật gốc cũng những hoàn cảnh áp dụng của mô hình đó. Mô hình hóa Theo Đặng Thành Hưng (2017) “Mô hình hóa (Modeling) là một trong những phương pháp nghiên cứu (khoa học, kĩ thuật, nghệ thuật) dựa vào ý tưởng khoa học và biện pháp sử dụng mô hình của người nghiên cứu để định hướng nghiên cứu, thiết kế nghiên cứu, khai thác và xử lí tư liệu, tiến hành các hoạt động nghiên cứu, trình bày (hình thức hóa) kết quả nghiên cứu, tức là dựa vào mô hình do mình tạo ra để nghiên cứu đối tượng thực” [4].
Sử dụng mô hình hóa trong trường hợp không thể trực tiếp quan sát thấy hết tác động đến đối tượng thực. Mô hình hóa cũng được sử dụng để giúp con người hình dung ra đối tượng khi đối tượng, vật thể đó chưa xuất hiện, hoặc thể hiện sự khái quát của đối tượng về mặt thuộc tính bản chất và loại bỏ đi những yếu tố phụ để tránh làm ảnh hưởng đến bản chất của đối tượng thực và giúp cho việc phân tích được tập trung hơn. Hoặc mô hình hóa được sử dụng trong các hoạt động nghiên cứu, thuyết trình về điều gì đó trước công chúng về quá trình nghiên cứu và công bố kết quả của nghiên cứu. Vậy quá trình sử dụng mô hình với để thay thế một hệ thống thực với mục đích hỗ trợ cho việc tiếp cận nhận thức các thông tin của hệ thống thực đó qua việc thực nghiệm , nghiên cứu mô hình được gọi là mô hình hóa.
Việc giải quyết một vấn đề cụ thể bằng cách tạo ra một mô hình tương ứng được gọi là quá trình mô hình hóa. Có thể dùng quá trình mô hình hóa để tạo ra các kết quả để giải thích cho các tình huống cụ thể trong thực thế một cách khép kín. a) Mô hình hóa toán học Tác giả Cao Thị Hà, Nguyễn Xuân Dung (2023) đã dựa vào quan điểm của Aristides C. Barreto (2010) cho rằng mô hình hóa Toán học là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ Toán học (các kí hiệu toán học, sơ đồ, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, hàm số,.) để biểu diễn và mô tả đặc điểm của một sự vật, hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu [3].
9 Nguyễn Danh Nam (2015) cho rằng mô hình hóa trong dạy học Toán là một quá trình sử dụng công cụ, ngôn ngữ toán học và sự hỗ trợ của công nghệ thông tin để giúp cho học sinh tìm hiểu và khám phá các tình huống nảy sinh từ trong thực tiễn. Quá trình này yêu cầu học sinh phải có những kĩ năng tư duy và lập luận toán học như phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa và trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, mô hình hóa toán học diễn tả mối quan hệ giữa các hiện tượng trong cuộc sống xã hội với kiến thức toán học trong sách giáo khoa thông qua ngôn ngữ toán học như các công thức, kí hiệu, sơ đồ, đồ thị, các phương trình toán học [7]. Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) cho rằng mô hình hóa toán học là một quá trình sáng tạo, liên tục điều chỉnh và hoàn thiện các mô hình toán học để mô phỏng và giải quyết các vấn đề thực tế.