CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. Chứng minh rằng nếu ac > 2(b + d) thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm x2 + ax + b = 0 (1) x2 + cx + d = 0 (2) Lời giải. Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm.
Chứng minh khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con gà. Giả sử không có lồng nào chứa nhiều hơn 1 con gà. Khi đó số gà sẽ không nhiều hơn số lồng. Vậy có nhiều nhất là n con gà.
Điều này mâu thuẫn với giải thiết có n + 1 con gà. Vậy khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con gà. Chứng minh với mọi số tự nhiên n: a) n2 + n + 1 không chia hết cho 9. b) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49.
a) Giả sử n2 + n + 1 chia hết cho 9, khi đó n2 + n + 1 = 9k, với k là số nguyên. Như vậy phương trình n2 + n + 1 − 9k = 0 (1) sẽ có nghiệm nguyên. Ta thấy ∆ chia hết cho 3, 12k − 1 không chia hết cho 3 nên ∆ không chia hết cho 9, do đó ∆ không là số chính phương nên phương trình (1) không có nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết). Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9.
b) Giả sử n2 + 11n + 39 chia hết cho 49, khi đó n2 + 11n + 39 = 49k, với k là số nguyên. Như vậy phương trình n2 + 11n + 39 − 49k = 0 (1) sẽ có nghiệm nguyên. Ta thấy ∆ chia hết cho 7, 28k − 5 không chia hết cho 7 nên ∆ không chia hết cho 49, do đó ∆ không là số chính phương nên phương trình (1) không có nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết). Vậy n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49.
Sưu tầm & biên soạn Trang 9/2406 GeoGebra Th.s Nguyễn Chín Em CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. Mệnh đề có nội dung hình học ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc Ví dụ 1. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) P : “Hai véc-tơ bằng nhau thì có độ dài bằng nhau”.
b) Q : “Hai véc-tơ bằng nhau nếu chúng có độ dài bằng nhau”. a) Mệnh đề P là mệnh đề đúng theo định nghĩa hai véc-tơ bằng nhau. b) Mệnh đề Q là mệnh đề sai. Hai véc-tơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
Như vậy còn thiếu điều kiện về hướng của hai véc-tơ. Cho tam giác ABC. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Nếu AB 2 + AC 2 = BC 2 thì tam giác ABC vuông tại B. b) Nếu AB > AC thì C b > B.
“ c) Tam giác ABC đều khi và chỉ khi nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện AB = AC và b = 600. Mệnh đề đúng là: “Nếu AB 2 + AC 2 = BC 2 thì tam giác ABC vuông tại A”. b) Mệnh đề đúng theo mối liên hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác. c) Mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết tam giác đều.
Cho tứ giác lồi ABCD. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó thỏa mãn AC = BD. b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nếu nó có ba góc vuông. Mệnh đề có cấu trúc P ⇔ Q trong đó mệnh đề P ⇒ Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì AC = BD” là mệnh đề đúng còn mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề sai.
b) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: #» #» a) Hai véc-tơ #» a và b cùng hướng với véc-tơ #» c thì #» a , b cùng hướng. #» b) Trong ba véc-tơ khác véc-tơ 0 và cùng phương thì có ít nhất hai véc-tơ cùng hướng.
a) Mệnh đề đúng theo cách hiểu về hướng của véc-tơ. Sưu tầm & biên soạn Trang 10/2406 GeoGebra Th.s Nguyễn Chín Em CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ #» #» b) Mệnh đề đúng.
Thật vậy: Xét ba véc-tơ #» a , b , #» c khác véc-tơ 0 và cùng phương. Khi đó có 2 trường hợp: #» Trường hợp 1. Hai véc-tơ #» a , b cùng hướng Trường hợp này phù hợp kết luận. #» Trường hợp 2.
Hai véc-tơ #»a , b ngược hướng #» Khi đó nếu véc-tơ #» c ngược hướng với véc-tơ #» a thì #» c và b cùng hướng. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có một góc bằng 60◦ và hai đường trung tuyến bằng nhau. a) Mệnh đề sai vì hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau nhưng ngược lại, hai tam giác có diện tích bằng nhau thì có thể không bằng nhau.
Ví dụ một tam giác vuông có cạnh góc vuông là 2 và 8, tam giác vuông thứ hai có cạnh góc vuông là 4 và 4 có cùng diện tích nhưng hai tam giác không bằng nhau. Thật vậy, xét tam giác ABC tùy ý. +) Nếu tam giác ABC đều thì cả ba góc bằng 60◦ và cặp trung tuyến nào cũng bằng nhau. +) Ngược lại, giả sử có hai trung tuyến BM và CN bằng nhau.
Khi đó hình thang BCM N có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân. Do đó tam giác ABC có B “= C b và góc một góc bằng 60◦ nên tam giác ABC đều. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi nó có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau. b) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ nó có hai đường chéo bằng nhau.
a) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Chẳng hạn hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không nhất thiết phải là hình bình hành. Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề: P : “Tứ giác ABCD là hình vuông”.
Q: “Tứ giác ABCD là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. Phát biểu mệnh đề: Cách 1. “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”.
“Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề này đúng theo tính chất và dấu hiệu nhận biết hình vuông. Sưu tầm & biên soạn Trang 11/2406 GeoGebra Th.s Nguyễn Chín Em CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1.
Xét các tập hợp: X: tập hợp các tứ giác. A: Tập hợp các hình vuông. B: Tập hợp các hình chữ nhật. D: Tập hợp các hình thoi.
E: Tập hợp các tứ giác có trục đối xứng. Phát biểu thành lời nội dung các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng. a) Phát biểu: “Mọi hình chữ nhật đều là hình vuông”. Mệnh đề này sai vì hai cạnh của hình chữ nhật không phải lúc nào cũng bằng nhau.
b) Phát biểu: “Mọi hình vuông đều là hình thoi”. Mệnh đề này đúng vì mọi hình vuông đều là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. c) Phát biểu: “Mọi tứ giác có trục đối xứng đều là hình chữ nhật”. Mệnh đề này sai, ví dụ hình thang cân có trục đối xứng nhưng hình thang cân có các góc có số đo không nhất thiết phải bằng 90◦.
d) Phát biểu: “Mọi hình thoi đều có trục đối xứng”. Mệnh đề này đúng vì mỗi hình thoi đều có ít nhất hai trục đối xứng là hai đường chéo. e) Phát biểu: “Tồn tại một tứ giác có trục đối xứng mà không phải là hình chữ nhật”. Mệnh đề này đúng, chẳng hạn hình thang cân có góc ở đáy bằng 60◦.
Thành lập mệnh đề - Mệnh đề phủ định a) Phát biểu thành lời khi cho cho một mệnh đề dạng kí hiệu. b) Dùng kí hiệu ∀, ∃ phát biểu một mệnh đề. c) Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề. d) Phủ định một mệnh đề.
ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc Ví dụ 1. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây: a) “∀x ∈ R, x2 6= 0”. Sưu tầm & biên soạn Trang 12/2406 GeoGebra Th.s Nguyễn Chín Em CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1.
MỆNH ĐỀ a) Mọi số thực đều có bình phương khác không. 1 b) Tồn tại một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn. 2 c) Mọi số thực đều có nghịch đảo lớn hơn hoặc bằng chính nó. d) Tồn tại một số thực sao cho căn bậc hai của nó lớn hơn nó.
Dùng các kí hiệu ∀, ∃ phát biểu các mệnh đề sau: a) Tồn tại một số tự nhiên chia hết cho 9. b) Mọi số không âm đều lớn hơn không. c) Tồn tại một số thực không là số dương cũng không là số âm. Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề sau: a) “∀x ∈ R, x2 > 0”.
Phủ định các mệnh đề sau đây: a) Tất cả bài tập trong sách này đều dễ. b) Có ít nhất một hình thang nội tiếp được trong đường tròn. a) Tồn tại một bài tập trong sách không dễ. b) Mọi hình thang đều không nội tiếp được trong đường tròn.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây: 1 a) “∃x ∈ R, = x”. x Sưu tầm & biên soạn Trang 13/2406 GeoGebra Th.s Nguyễn Chín Em CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1.
a) Tồn tại một số thực mà nghịch đảo của nó bằng với nó. b) Tồn tại số tự nhiên sao cho nghịch đảo của nó thuộc tập số tự nhiên. c) Với mọi số thực ta đều có bình phương của nó hiệu bốn lần nó và cộng thêm 8 lớn hơn 0. d) Tồn tại một số nguyên mà tổng bình phương của nó với năm lần nó bé hơn hoặc bằng 0.
Dùng các kí hiệu ∀, ∃ phát biểu các mệnh đề sau: a) Có một số tự nhiên khác không mà căn bậc hai của nó thuộc tập số tự nhiên khác không. b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên. c) Có một số tự nhiên không là số nguyên. d) Mọi số tự nhiên đều là số thực.
e) Tồn tại một số thực không có nghịch đảo. 1 e) “∃x ∈ R, không tồn tại ”.